2019-2020学年山西大学附中高二上学期12月月考试题 数学（文）

2019-2020学年山西大学附中高二上学期12月月考试题 数学（文）

山西大学附中2019～2020学年高二第一学期12月（总第四次）模块诊断 数学试题（文）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（每题5分，共60分）‎ ‎1．椭圆的长轴长为( )‎ A．4 B．5 C．10 D．8‎ ‎2．若直线与直线平行，则的值为（ ）‎ A．1 B．或0 C． D．0‎ ‎3．若圆与圆关于直线对称，则圆的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．如图，表示图中阴影部分所示平面区域(包括边界)的不等式组是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．圆与圆的公切线条数为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6.若点和点在直线的两侧，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．已知直线与直线互相垂直，交点为，则等于（ ）‎ A．0 B．4 C．20 D．24‎ ‎8.设，满足约束条件，则的最大值为（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎9. 已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知点，与直线：，且直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（ ）‎ A．或 B. 或 C． D．‎ ‎11．若圆上恰有2个点到直线的距离等于1，则的取值范围是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎12.如图：已知是椭圆的右焦点，点在椭圆上，直线与圆相切于点，且，则椭圆的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13．过点作圆的最短弦，则这条弦所在直线的方程是_____________.‎ ‎14.设是椭圆的两个焦点．若在上存在一点，使 ‎，且，则的离心率为_________．‎ ‎15．设是椭圆的左焦点，是椭圆上的动点，，则 的最小值为_______.‎ ‎16．过点且斜率为的直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是______________________.‎ 三、解答题（共70分）‎ ‎17．（10分）‎ 在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）求点的坐标.‎ ‎18．（12分）‎ 如图，在三棱锥中，，，，是的中点，，，． ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎19．（12分）‎ 已知关于的方程．‎ ‎（1）若方程表示圆，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，曲线与直线相交于两点，求的值．‎ ‎20．（12分）‎ 已知圆经过，两点，且圆心在直线上.‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)过原点作圆的切线，求切线方程.‎ ‎21．（12分）‎ 已知椭圆过点,且离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎22．（12分）‎ 已知是椭圆:的左右焦点，‎ ‎(1)若是椭圆上一点，求的最小值；‎ ‎（2）直线与椭圆交于两点, 是坐标原点.椭圆上存在点满足，求的值.‎ 山西大学附中2019～2020学年高二第一学期12月（总第四次）模块诊断 数学答案（文）‎ 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题（5×12=60分）‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ C B C A B C A D D A B A 二、填空题（5×4=20分）‎ ‎13. 14. 15.5 16. ‎ 三、解答题 ‎17．在中，已知点，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为.‎ ‎（1）求直线的方程；‎ ‎（2）求点的坐标.‎ 解：（1）由边上的高所在直线方程为得，‎ 则………………………………………………………………………..2分 又∵，∴直线的方程为，………………………….4分 即（或）. ………………………5分 ‎（2）因为边上的中线过点，则联立直线方程：.……………7分 解得：，………………………9分 即点坐标为……………………………..10分 ‎18. （12分）‎ 如图，在三棱锥中，，，，是AC的中点，‎ ‎，，． ‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点A到平面的距离．‎ ‎（1）∵，O是AC中点，∴，………………………….1分 由已知得，∴，…………………………………..2分 又，∴平面ABC，…………………3分 ‎,……………………………4分 ‎∵，平面PAC…‎ ‎∴平面PAC…………………………6分 ‎（2）设点A到平面PBC的距离为h，‎ ‎∵在中，，‎ 则，‎ 平面PAC∴，…………………………………………. 7分 ‎……………………………….8分 ‎………………9分 ‎…………………………………10分 ‎∴…………………………………………..11分 即点A到平面PBC的距离为．……………………………………….12 分 ‎19．已知关于的方程．‎ ‎（1）若方程表示圆，求的取值范围；‎ ‎（2）当时，圆与直线相交于两点，求的值．‎ ‎（1）解法一：‎ 方程可化为 ，……………………………..2分 显然 时方程表示圆．…………………………4分 解法二： ，………………………………..2分 ‎ …………………………4分 ‎（2）圆的圆心………………….5分 圆心到直线的距离为 ‎， …………………………7分 圆的半径，…………………………………..8分 ‎ 又 ， ‎ ‎ =………….10分 所以………10分 =………………12分 所以．……………………12分 ‎20．已知圆经过，两点，且圆心在直线上.‎ ‎(1)求圆的方程 ‎(2)从原点向圆作切线，求切线方程.‎ ‎(1)解法一:设圆的方程为 由题意: ①………………………1分 ‎ ②………………………2分 又圆心在直线上 故 ， ③………………………3分 由①②③解得:，，，………………………5分 圆的方程为:(或写成:，……………………6分 解法二:由题意，圆心在的中垂线上，………………………2分 又在已知直线上，‎ 解得圆心坐标为，………………………4分 于是半径………………………5分 所求圆的方程为:; ………………………6分 注：其他方法给相应分值 ‎(2)解法一:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆相切………………………7分 当斜率存在时，设直线方程为………………………8分 代入得 即 ‎ 令，………………………9分 解得，………………………10分 即切线方程为.………………………12分 解法二:过原点的直线中，当斜率不存在时，不与圆相切；………………………7分 当斜率存在时，设直线方程为，……………………8分 因为直线与圆相切，故圆心到直线的距离等于半径，‎ 根据点到直线的距离公式:可得……………………9分 解得.………………………10分 即切线方程为.………………………12分 ‎21．已知椭圆过点,且离心率.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)直线，椭圆交于两点，求面积的最大值.‎ ‎(1)已知椭圆过点,且离心率.‎ 可得：,………………………3分 解得，…………………………….4分 椭圆方程为：…………………..5分 ‎(2)设 联立方程，得 直线与椭圆要有两个交点，所以解得，‎ 由韦达定理得：…………………………7分 利用弦长公式得：……………………..8分 由点到直线的距离公式得到到的距离……………………………..9分 ‎……..11分 当且仅当，即时取到最大值，最大值2………………………….12分 ‎22．已知椭圆:的左右焦点，‎ ‎(1)若C是椭圆上一点，求的最小值；‎ ‎（2）直线与椭圆交于两点, 是坐标原点.椭圆M上存在点满足，求 的值.‎ ‎(1)设则，‎ ‎,………………………….1分 ‎…………………………………2分 当时，的最小值为0…………………………………..6分 ‎（2）设，联立，得，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎………………………………………………………..8分 ‎，………………………………..9分 ‎， ‎ ‎……………………….10分 在椭圆上，‎ ‎，…………….11分 解得.…………….12分.‎