2017常州市中考数学试卷解析

2017常州市中考数学试卷解析

‎2017年江苏省常州市中考数学试卷 满分：120分 ‎ 一、选择题(每小题3分，共10小题，合计30分)‎ ‎1．(2017常州，1，2分)-2的相反数是( )‎ ‎ A．- B． C．±2 D．2‎ ‎ 答案：D，解析：数a的相反数是-a,所以-2的相反数是2，故选D．‎ ‎2．(2017常州，2，2分)下列运算正确的是( )‎ ‎ A．m·m=2m B．(mn)3=mn3 ‎ C．(m2)3=m6 D．m6÷a3=a3‎ ‎ 答案：C，解析：m·m=2m2, (mn)3=m3n3, (m2)3=m6, m6÷a3=a4,故正确的是C，故选C．‎ ‎3．(2017常州，3，2分)右图是某个几何体的三视图，则该几何体是( ) ‎ ‎ A．圆锥 B．三棱柱 C．圆柱 D．三棱锥 ‎ 答案：B，解析：由三视图确定几何体，从三视图可以确定此几何体为三棱柱，故选B．‎ ‎4．(2017常州，4，2分)计算+的结果是( )‎ ‎ A． B． C． D．1‎ ‎ 答案：D，解析：本题考查分式的加法，同分母分式，分子相加减，原式==1，故选D．‎ ‎5．(2017常州，5，2分)若3x>-3y,则下列不等式中一定成立的是( )‎ ‎ A．x+y>0 B．x-y>0 C．x+y<0 D．x-y<0‎ ‎ 答案：A，解析：不等式的两边都除以3得x>-y,移项得x+y>0,故选A．‎ ‎6．(2017常州，6，2分)如图，已知直线AB、CD被直线AE所截，AB∥CD, ∠1＝60°,则∠‎ ‎2的度数是( ) ‎ ‎ A．100° B．110° C．120° D．130°‎ ‎ 答案：C，解析：∵AB∥CD, ∠1＝60°,∴∠3＝∠1＝60°,所以∠2＝180°-60°=120°,故选C ．‎ ‎7．(2017常州，7，2分)如图，已知矩形ABCD的顶点A、D分别落在x轴、y轴上，OD=2OA=6, AD：AB=3：1, 则点C的坐标是( ) ‎ ‎ A．(2,7) B．(3,7) C．(3,8) D．(4,8)‎ ‎ 答案：A，解析：作BE⊥x轴于E，由题意知△ABE∽△DAO，因为OD=2OA=6,所以OA=3,由勾股定理得AD=3,因为AD：AB=3：1,所以AB=，所以BE=1,AE=2,由矩形的性质知，将点D向上平移一个单位，向右平移2个单位得到点C，所以点C的坐标为(2,7),故选A．‎ ‎8．(2017常州，8，3分)如图，已知□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，连接 AC，若EF=2,FG=GC=5,则AC的长是( ) ‎ ‎ A．12 B．13 C．6 D．8‎ ‎ 答案：B，解析：作AM⊥CH交CH的延长线于H，因为四条内角平分线围成的四边形EFGH为矩形，所以AM=FG=5,MH=AE=CG=5,所以CM=12,由勾股定理得AC=13，故选B．‎ 二、填空题：(本大题共10小题，每小题2分，共20分)‎ ‎9．(2017常州，9，2分)计算：|-2|+(-2)0= .‎ ‎ 答案：3，解析：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0,非零数的零次方都等于1,依此规则原式=2+1=3．‎ ‎10．(2017常州，10，2分)若二次根式有意义，则实数x的取值范围是 .‎ ‎ 答案：x≥2，解析：二次根式有意义需要满足被开方数为非负数，所以x-2≥0,解得x≥2．‎ ‎11．(2017常州，11，2分)肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm,则数据0.0007用科学计数法表示为 .‎ ‎ 答案：7×10-4，解析：用科学记数法表示较小的数，0.0007=7×10-4．‎ ‎12．(2017常州，12，2分)分解因式：ax2-ay2= .‎ ‎ 答案：a(x+y)(x-y)，解析：原式=a(x2-y2)=a(x+y)(x-y)．‎ ‎13．(2017常州，13，2分)已知x=1是关于x的方程ax2-2x+3=0的一个根，则a= .‎ ‎ 答案：-1，解析：将x=1代入方程ax2-2x+3=0得a-2+3=0,解得a=-1．‎ ‎14．(2017常州，14，2分)已知圆锥的底面圆半径是1,母线长是3,则圆锥的侧面积是 .‎ ‎ 答案：3π，解析：圆锥的侧面积=×扇形半径×扇形弧长=×l×(2πr)=πrl=π×1×3=3π．设圆锥的母线长为l，设圆锥的底面半径为r，则展开后的扇形半径为l，弧长为圆锥底面周长(2πR)．我们已经知道，扇形的面积公式为：S=×扇形半径×扇形弧长=×l×(2πr)=πrl．即圆锥的侧面积等于底面半径与母线和π的乘积.π×1×3=3π.‎ ‎15．(2017常州，15，2分)如图，已知在△ABC中，DE是BC的垂直平分线，垂足为E，交AC于点D，若AB=6,AC=9,则△ABD的周长是 . ‎ ‎ 答案：15，解析：因为DE垂直平分BC，所以DB=DC，所以△ABD的周长=AD+AB+BD=AB+AD+CD=AB+AC=6+9=15．‎ ‎16．(2017常州，16，2分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点C为弧BD的中点.若∠DAB＝40°,则∠ABC＝ °. ‎ ‎ 答案：70°，解析：连接AC，OC，因为C是弧BD的中点，∠DAB＝40°,所以∠CAB＝20°,所以∠COB＝40°,由三角形内角和得∠B＝70°. ．‎ ‎17．(2017常州，17，2分)已知二次函数y= ax2+bx-3自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：‎ X ‎…‎ ‎-2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎-3‎ ‎-4‎ ‎-3‎ ‎0‎ ‎…‎ 则在实数范围内能使得y-5>0成立的x的取值范围是 .‎ ‎ 答案：x>4或x<-2，解析：将点(-1,0)和(1,-4)代入y= ax2+bx-3得，解得：，所以该二次函数的解析式为y= x2-2x-3,若y>5,则x2-2x-3>5, x2-2x-8>0,解一元二次方程x2-2x-8=0，得x=4或x=-2.根据函数图象判断y-5>0成立的x的取值范围是x>4或x<-2．‎ ‎18．(2017常州，18，3分)如图，已知点A是一次函数y=x(x≥0)图像上一点，过点A作x轴的垂线l，B是l上一点(B在A上方)，在AB的右侧以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，反比例函数(k)0)的图像过点B、C，若△OAB的面积为6,则△ABC的面积是 . ‎ ‎ 答案：18析：设点A(4a,2a),B(4a,2b),则C点的横坐标为4a+(2b-2a) , C点的坐标为(3a+b, a+b)．所以4a·2b=(3a+b)(a+b), (3a-b)(a-b)=0,解得：a=b(舍去) 或b=3a.‎ S△ABC=(2b-2a)·4a=8a2=6,k=4a·2b =24a2=18.‎ 三、解答题：本大题共6个小题，满分60分．‎ ‎19．(2017常州，19，6分)先化简，再求值：(x+2) (x-2)-x (x-1),其中x=-2.‎ ‎ 思路分析：先化简，再代入求值.‎ 解：原式=x2-4-x2+x=x-4,当x=-2时，原式=-2-4=-6.‎ ‎20．(2017常州，20，8分)解方程和不等式组：‎ ‎(1)=-3‎ ‎(2)‎ ‎ 思路分析：(1)解分式方程，检验方程的解是否为增根；‎ ‎(2)分别解两个不等式再确定不等式组的解集.‎ 解：(1)去分母得2x-5=3x-3-3(x-2),去括号移项合并同类项得，2x=-8,解得x=-4,经检验x=4是原方程的根，所以原方程的根是x=4；‎ ‎(2)解不等式①得x≥-3，解不等式②得x＜1，所以不等式组的解集是-3≤x＜1.‎ ‎21．(2017常州，21，8分)为了解某校学生的课余兴趣爱好情况，某调查小组设计了“阅读”“打球”“书法”和“其他”四个选项，用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况(每个学生必须选一项且只能选一项)，并根据调查结果绘制了如下统计图：‎ 根据统计图所提供的信息，解答下列问题：‎ ‎(1)本次抽样调查中的样本容量是 .‎ ‎(2)补全条形统计图；‎ ‎(3)该校共有2000名学生，请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数.‎ ‎ 思路分析：(1)利用爱好阅读的人数与占样本的百分比计算，30÷30%=100；‎ ‎(2)其他100×10%=10人，打球100-30-20-10=40人；‎ ‎(3)利用样本中的数据估计总体数据.‎ 解：(1)100；‎ ‎(2)其他10人，打球40人；‎ ‎(3)2000×=800,所以估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生为数为800人.‎ ‎22．(2017常州，22，8分)一只不透明的袋子中装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1、2、3、4.‎ ‎ (1)搅匀后从中任意摸出1个球，求摸出的乒乓球球面上数字为1的概率；‎ ‎(2)搅匀后先从中任意摸出1个球(不放回)，再从余下的3个球中任意摸出1个球，求2次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率.‎ 思路分析：(1)列举法求概率；‎ ‎(2)画树状图法求概率.‎ 解：(1)从4个球中摸出一个球，摸出的球面数字为1的概率是；‎ ‎(2)用画树状图法求解，画树状图如下：‎ 从树状图分析两次摸球共出现12种可能情况，其中两次摸出的乒乓球球面上数字之和为偶数的概率为：=．‎ ‎23．(2017常州，23，8分)如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE. ‎ ‎(1)求证：AC=CD；‎ ‎(2)若AC=AE，求∠DEC的度数.‎ ‎ 思路分析：(1)证明△ABC≌△DEC；‎ ‎(2)由∠EAC=45°通过等腰三角形的性质求解.‎ 解：(1)证明：∵∠BCE=∠ACD=90°，∴∠ACB=∠DCE，‎ 又∵∠BAC=∠D，BC=CE，∴△ABC≌△DEC，∴AC=CD.‎ ‎(2)∵∠ACD=90°，AC=CD，∴∠EAC=45°，‎ ‎∵AE=AC∴∠AEC=∠ACE=×(180°-45°)=67.5°，‎ ‎∴∠DEC=180°-67.5°=112.5°.‎ ‎24．(2017常州，24，8分)某校计划购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需320元，购买3个篮球和2个足球共需540元.‎ ‎(1)求每个篮球和每个足球的售价；‎ ‎(2)如果学校计划购买这两种共50个，总费用不超过5500元，那么最多可购买多少个足球？‎ ‎ 思路分析：(1)根据等量关系列方程组求解；‎ ‎(2)根据不等关系列不等式求解.‎ 解：(1)解设每个篮球售价x元，每个足球售价y元，根据题意得：‎ ‎，解得：‎ 答：每个篮球售价100元，每个足球售价120元.‎ ‎(2)设学校最多可购买a个足球，根据题意得 ‎100(50-a)+120a≤5500,解得：a≤25.‎ 答：学校最多可购买25个足球.‎ ‎25．(2017常州，25，8分)如图，已知一次函数y=kx+b的图像与x轴交于点A，与反比例函数y=(x<0)的图像交于点B(-2,n)，过点B作BC⊥x轴于点C，点D(3-3n,1)是该反比例函数图像上一点.‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若∠DBC=∠ABC，求一次函数y=kx+b的表达式.‎ ‎ 思路分析：(1)将点B、D坐标代入反比例函数解析式求解m的值；‎ ‎(2)先求BD的解析式，再由线段垂直平分线的性质求得点A坐标，最后求AB的解析式.‎ 解：(1)把B(-2,n),D(3-3n,1)代入反比例函数y=得, ‎ 解得：，所以m的值为-6.‎ ‎(2)由(1)知B、D两点坐标分别为B(-2,3),D(-6,1)，‎ 设BD的解析式为y=px+q,所以，解得 所以一次函数的解析式为y=x+4,与x轴的交点为E(-8,0)‎ 延长BD交x轴于E，∵∠DBC=∠ABC，BC⊥AC，∴BC垂直平分AC，‎ ‎∴CE=6, ∴点A(4,0),将A、B点坐标代入y=kx+b得 ‎，解得，所以一次函数的表达式为y=-x+2.‎ ‎26．(2017常州，26，10分)如图1,在四边形ABCD中，如果对角线AC和BD相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形.‎ ‎(1)①在“平行四边形、矩形、菱形”中， 一定是等角线四边形(填写图形名称)；‎ ‎②若M、N、P、Q分别是等角线四边形ABCD四边AB、BC、CD、DA的中点，当对角线AC、BD还需要满足 时，四边形MNPQ是正方形；‎ ‎⑵如图2,已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=4,BC=3,D为平面内一点.‎ ② 若四边形ABCD是等角线四边形，且AD=BD，则四边形ABCD的面积是 ；‎ ‎②设点E是以C为圆心，1为半径的圆上的动点，若四边形ABED是等角线四边形，写出四边形 ABED面积的最大值，并说明理由. ‎ 思路分析：(1)①矩形是对角线相等的四边形；‎ ‎②四边形的中点四边形是平行四边形，等角线四边形的中点四边形是菱形，当对角线AC、BD互相垂直时四边形MNPQ是正方形；‎ ‎⑵①根据题意画出图形，根据图形分析确定DF垂直平分AB，从而计算面积SABED=S△ABD+S△BCD；‎ ‎②如图四边形ABED面积的最大值时点E在直线AC上，点D是以AE为斜边的等腰直角三角形的直角顶点，进而求得四边形ABED面积的最大值.‎ 解：(1)①矩形；②AC⊥BD；‎ ‎⑵①∵∠ABC=90°，AB=4,BC=3，∴BD=AC=5, 作DF⊥AB于F，∵AD=BD，∴DF垂直平分AB，‎ ‎∴BF=2,由勾股定理得DF=，‎ 由题意知SABED=S△ABD+S△BCD=×AB×DF+×BC×BF=×4×+×3×2=2+3；‎ ‎②如图四边形ABED面积的最大值时点E在直线AC上，点D是以AE为斜边的直角三角形的直角顶点，所以AE=6,DO=3,在△ABC中，由面积公式得点B到AC的距离为，所以四边形ABED面积的最大值= S△AED+S△ABE=×6×3+×6×=16.2.‎ ‎27．(2017常州，27，10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y=-x2+bx的图像过点A(4,0),顶点为B，连接AB、BO.‎ ‎(1)求二次函数的表达式；‎ ‎(2)若C是BO的中点，点Q在线段AB上，设点B关于直线CP的对称点为B′，当△OCB′为等边三角形时，求BQ的长度；‎ ‎(3)若点D在线段BO上，OD=2BD，点E、F在△OAB的边上，且满足△DOF与△DEF全等，求点E的坐标. ‎ 思路分析：(1)将A点坐标代入y=-x2+bx求得二次函数的表达式；‎ ‎(2)根据题意画出图形，根据图形分析，若△OCB′为等边三角形，则∠OCB′=∠QCB′=∠QCB=60°，由∠B=90°,根据特殊三角函数值求得BQ的长；‎ ‎(3)按点F在OB上和点B在OA上进行讨论确定点E的位置，当点F在BA上，点E与点A重合时△DOF与△DEF全等；当F在OA上，DE∥AB时△DOF与△DEF全等，点O关于DF的对称点落在AB上时△DOF与△DEF全等.‎ 解：(1)将A(4,0)代入y=-x2+bx得，-×42+b×4=0,解得b=2,‎ 所以二次函数的表达式为y=-x2+2x；‎ ‎(2)根据题意画出图形，二次函数y=-x2+2x的顶点坐标为B(2,2)，与两坐标轴的交点坐标为O(0,0)、A(4,0).此时OB=2,BC=，若△OCB′为等边三角形，则∠OCB′=∠QCB′=∠QCB=60°，因为∠B=90°,所以tan∠QCB=QB:CB=,所以QB=；‎ ‎(3) ①当点F在OB上时，如图，当且仅当DE∥OA，即点E与点A重合时△DOF≌△FED，此时点E的坐标为E(4,0)；‎ ‎②点F在OA时，如图DF⊥OA，当OF=EF时△DOF≌△DEF，由于OD=2BD，所以点D坐标为(，)，点F坐标为(，0)，点E坐标为(，0)；‎ 点F在OA时，如图点O关于DF的对称点落在AB上时，△DOF≌△DEF，此时OD=DE=2BD=，BE=，作BH⊥OA于H，EG⊥OA于G，由相似三角形的性质求得HG=，所以点E坐标为(2+，2-)． ‎ 综上满足条件的点E的坐标为(4,0)、(，0)、(2+，2-)．‎ ‎28．(2017常州，28，10分)如图，已知一次函数y=-x+4的图像是直线l，设直线l分别与y轴、x轴交于点A、B.‎ ‎ (1)求线段AB的长度；‎ ‎(2)设点M在射线AB上，将点M绕点A按逆时针方向旋转90°到点N，以点N为圆心，NA的长为半径作⊙N.‎ ‎①当⊙N与x轴相切时，求点M的坐标；‎ ‎②在①的条件下，设直线AN与x轴交于点C，与⊙N的另一个交点为D，连接MD交x轴于点E.直线m过点N分别与y轴、直线l交于点P、Q，当△APQ与△CDE相似时，求点P的坐标. ‎ 思路分析：(1) 求A、B两点坐标，由勾股定理求得AB的长度；‎ ‎(2)①根据题意画出图形，根据△AOB∽△NHA，△HAN≌△FMA计算出线段FM与OF的长；‎ ‎②分点P位于y轴负半轴上和点P位于y轴正半轴上两种情况进行分析，借助于相似三角形的对应线段比等于相似比列方程求得交点Q坐标，再将点Q坐标代入AB及NP解析式求得交点P的坐标.‎ 解：(1)函数y=-x+4中，令x=0得y=4,令y=0得，x=3, 所以A(0,4),B(3,0).AB==5.‎ ‎(2)①由图1知,当⊙N与x轴相切于点E时，作NH⊥y轴于H，则四边形NHOE为矩形，HO=EN=AM=AN，∵∠HAN+∠OAB=90°，∠HNA+∠HAN=90°,∴∠OAB=∠HAN，因为AM⊥AN，所以△AOB∽△NHA，图1‎ ‎∴==，设AH=3x，则HN=4x,AN=NE=OH=5x, ∵OH=OA+AH,∴3x+4=5x, ∴x=2, ‎ ‎∴AH=6,HN=8,AN=AM=10. ∵AM=AN，∠OAB=∠HAN，∴Rt△HAN≌Rt△FMA, ∴FM=6,AF=8,OF=4, ‎ ‎∴M(6,-4).‎ ‎②当点P位于y轴负半轴上时，设直线AN的解析式为y=kx+b，将A(0,4),N(8,10)代入得，解得，所以直线AN的解析式为y=x+4.所以点C坐标为(-，0),过D 作x轴的垂线可得点D(16，16).设点P坐标为(0,-p),N(8，10)则直线NP解析式为y=x-p,作EF⊥CD于F，CE=+8=,AC=，CD=+20=,由相似三角形性质可得EF=8,△CDE∽△APQ，则，解得点Q的横坐标绝对值为，将点Q横坐标绝对值代入AB及NP解析式得·-p=·(-)+4，解得p1=-4(舍去),p2=6,所以P(0,-6).‎ 当点P位于y轴正半轴上时，设点P 坐标为(0,4+p),N(8，10)，D(16，16)则直线NP解析式为y=x+4+p,△CDE∽△AQP，则，解得点Q的横坐标绝对值为，将点Q横坐标绝对值代入AB及NP解析式得·(-)+4+p=(-)·(-)+4，解得p=10，所以P(0,14).‎ 法二：把M（6,-4）,D（16,16）代入y=kx+b得，解得,∴直线MD的解析式为y=2x-16,当x=8时，y=0，点E（8,0）在直线DE上。‎ ‎①当P位于y轴负半轴上时，△CDE∽△APQ，则∠7=∠5, ∠4=∠6, ∵ND=NE=r，∴∠1=∠6,∵OA∥NE，∴∠2=∠4, ∴∠2=∠1, ∴NP∥ND，∴∠3=∠6, ∴∠3=∠4, ∴AN=NP=10, ∵OA=4, ∴OP=6, ∴点P坐标为（0,-6）‎ ‎②当P位于y轴正半轴上时，△CDE∽△AQP，则∠1=∠2=∠3, ∠APQ=∠CED, ∴∠5=∠6, ∵ND=NE=r，∴∠4=∠7, ∠8=∠Q=90°, ∠8=∠9, ∠E=∠Q∴∠9+∠4=90°, ∴NQ⊥DE，∴∠9=∠6, ∴∠5=∠8,∴AN=NP=10, ∵OA=4, ∴OP=14, ∴点P坐标为（0,14）‎