高三数学（文数）总复习练习专题十八 数系的扩充与复数的引入

高三数学（文数）总复习练习专题十八 数系的扩充与复数的引入

‎1．(2015·湖北，1，易)i为虚数单位，i607＝(　　)‎ A．－i B．i C．－1 D．1‎ ‎【答案】　A　由复数的运算知，i607＝i604×i3＝i3＝－i.‎ ‎2．(2015·安徽，1，易)设i是虚数单位，则复数(1－i)(1＋2i)＝(　　)‎ A．3＋3i B．－1＋3i C．3＋i D．－1＋i ‎【答案】　C　(1－i)(1＋2i)＝3＋i.‎ ‎3．(2015· 广东，2，易)已知i是虚数单位，则复数(1＋i)2＝(　　)‎ A．2i B．－2i C．2 D．－2‎ ‎【答案】　A　(1＋i)2＝12＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.选A.‎ ‎4．(2015·湖南，1，易)已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝(　　)‎ A．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i ‎【答案】　D　设z＝a＋bi，则(1－i)2＝(a＋bi)(1＋i)，所以－2i＝a－b＋(a＋b)i.由复数相等得：a＝b＝－1.所以z＝－1－i.‎ ‎5．(2015·山东，2，易)若复数z满足＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)‎ A．1－i B．1＋i C．－1－i D．－1＋i ‎【答案】　A　∵＝i(1－i)＝1＋i，∴z＝1－i，故选A.‎ ‎6．(2015·课标Ⅱ，2，易)若a为实数，且＝3＋i，则a＝(　　)‎ A．－4 B．－3‎ C．3 D．4‎ ‎【答案】　D　∵＝＝1＋＋i＝3＋i，‎ ‎∴1＋＝3，＝1，∴a＝4.‎ ‎7．(2015·课标Ⅰ，3，易)已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝(　　)‎ A．－2－i B．－2＋i C．2－i D．2＋i ‎【答案】　C　依题意，z－1＝＝＝1－i，所以z＝2－i.选C.‎ ‎8．(2015· 北京，9，易)复数i(1＋i)的实部为________．‎ ‎【解析】　∵i(1＋i)＝－1＋i，∴实部为－1.‎ ‎【答案】　－1‎ ‎9．(2015·江苏，3，易)设复数z满足z2＝3＋4i(i是虚数单位)，则z的模为________．‎ ‎【解析】　∵z2＝3＋4i，‎ ‎∴|z2|＝＝5＝|z|2，∴|z|＝.‎ ‎【答案】　 ‎1．(2014·山东，1，易)已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝(　　)‎ A．3－4i B．3＋4i C．4－3i D．4＋3i ‎【答案】　A　由题意，a＝2，b＝－1，‎ ‎∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i.‎ ‎2．(2014·课标Ⅱ，2，易)＝(　　)‎ A．1＋2i B．－1＋2i C．1－2i D．－1－2i ‎【答案】　B　＝＝＝－1＋2i，故选B.‎ ‎3．(2013·湖南，1，易)复数z＝i(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】　B　z＝i(1＋i)＝－1＋i，故对应的点(－1，1)在第二象限．‎ ‎4．(2012·江西，1，易)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为(　　)‎ A．0　 B．－1　 C．1　　 D．－2‎ ‎【答案】　A　∵z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，‎ ‎∴z2＋2的虚部为0，故选A.‎ ‎5．(2011·辽宁，2，易)i为虚数单位，＋＋＋＝(　　)‎ A．0 B．2i C．－2i D．4i ‎【答案】　A　由in(n∈N*)的周期为4知＋＋＋＝＋＝＋＝0，故选A.‎ 思路点拨：本题考查复数的基本运算，利用in(n∈N*)的周期性可简化运算．‎ ‎6．(2012·陕西，4，中)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】　B　ab＝0⇒a＝0或b＝0，这时a＋＝a－bi不一定为纯虚数，但如果a＋＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0，由此知选B.‎ ‎7．(2014·广东，10，中)对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω2＝ω12，其中2是ω2的共轭复数．对任意复数z1，z2，z3，有如下四个命题：‎ ‎①(z1＋z2)*z3＝(z1*z3)＋(z2*z3)；‎ ‎②z1*(z2＋z3)＝(z1*z2)＋(z1*z3)；‎ ‎③(z1*z2)*z3＝z1*(z2*z3)；‎ ‎④z1*z2＝z2*z1.‎ 则真命题的个数是(　　)‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】　C　根据定义w1*w2＝w12，可知，‎ ‎①(z1＋z2)*z3＝(z1＋z2)3＝z13＋z23＝(z1*z3)＋(z2*z3)，故①正确；②z1*(z2＋z3)＝z1(z2＋z)＝z1(2＋ 3)＝z12＋z13＝(z1*z2)＋(z1*z3)，故②正确；③(z1*z2)*z3＝(z12)*z3＝(z12)3＝z1(2 3)＝z1*(z2z3)≠z1*(z2*z3)，故③不正确；④z1*z2＝z12≠z21＝z2*z1，故④不正确，故选C.‎ ‎8．(2014·浙江，11，易)已知i是虚数单位，计算＝__________.‎ ‎【解析】　＝＝＝＝＝－－i.‎ ‎【答案】　－－i ‎9．(2014·江苏，2，易)已知复数z＝(5＋2i)2(i为虚数单位)，则z的实部为________．‎ ‎【解析】　由题意得z＝(5＋2i)2＝25＋2×5×2i＋(2i)2＝21＋20i，所以其实部为21.‎ ‎【答案】　21‎ ‎10．(2013·江苏，2，中)设z＝(2－i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为________．‎ ‎【解析】　方法一：z＝(2－i)2＝4－4i＋i2＝3－4i，∴|z|＝＝5.‎ 方法二：|z|＝|(2－i)2|＝|2－i|2＝22＋(－1)2＝5.‎ ‎【答案】　5‎ ‎11．(2013·湖北，11，中)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1‎ ‎＝2－3i，则z2＝________.‎ ‎【解析】　在复平面内，复数z＝a＋bi与点(a，b)一一对应．‎ ‎∴点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)，则复数z2＝－2＋3i.‎ ‎【答案】　－2＋3i 考向1　复数的概念及运算 ‎1．复数的相关概念 ‎(1)对于复数a＋bi(a，b∈R)，当且仅当b＝0时，是实数；当b≠0时，是虚数；当a＝0且b≠0时，是纯虚数．‎ ‎(2)复数相等：如果a，b，c，d都是实数，那么a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d；a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0.‎ ‎(3)共轭复数：a＋bi(a，b∈R)与c＋di(c，d∈R)互为共轭复数⇔a＝c，b＝－d.‎ ‎2．复数的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)‎ 运算法则 运算形式 加法 z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i 减法 z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i 乘法 z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i 除法 ＝＝＝＋i ‎(c2＋d2≠0)‎ ‎3.常用结论 ‎(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，n∈N*.‎ ‎(2)(1±i)2＝±2i，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2.‎ 不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，并不能推出z1＝z2＝0.‎ ‎(1)(2014·陕西，3)已知复数z＝2－i，则z·的值为(　　)‎ A．5 B. C．3 D. ‎(2)(2014·辽宁，2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)‎ A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i ‎(3)(2014·湖南，11)复数(i为虚数单位)的实部等于________．‎ ‎【解析】　(1)∵z＝2－i，∴＝2＋i，∴z·＝(2－i)(2＋i)＝22＋1＝5，故选A.‎ ‎(2)∵(z－2i)(2－i)＝5，∴z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i.故选A.‎ ‎(3)＝＝－3－i，其实部为－3.‎ ‎【答案】　(1)A　(2)A　(3)－3‎ ‎ 复数的相关概念与运算技巧 ‎(1)解决与复数的基本概念和性质有关的问题时，应注意复数和实数的区别与联系，把复数问题实数化是解决复数问题的关键．‎ ‎(2)复数相等问题一般通过实部与虚部对应相等列出方程或方程组求解．‎ ‎(3)复数的代数运算的基本方法是运用运算法则，但可以通过对代数式结构特征的分析，灵活运用i的幂的性质、运算法则来优化运算过程．‎ ‎(1)(2014·福建，2)复数(3＋2i)i等于(　　)‎ A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i ‎(2)(2014·广东，2)已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝(　　)‎ A．3＋4i B．3－4i C．－3＋4i D．－3－4i ‎(1)【答案】　B　(3＋2i)i＝3i＋2i2＝－2＋3i，故选B.‎ ‎(2)【答案】　A　由(3－4i)z＝25，得z＝＝＝3＋4i，故选A.‎ 考向2　复数的几何意义及模的运算 ‎1．复数的几何意义 ‎(1)复数加法的几何意义：复数的加法即向量的加法，满足平行四边形法则；‎ ‎(2)复数减法的几何意义：复数的减法即向量的减法，满足三角形法则．‎ ‎2．复数的模 向量的长度r叫作复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|，即|z|＝|a＋bi|＝.‎ ‎3．模的运算性质 ‎(1)|z|2＝||2＝z·；‎ ‎(2)|z1·z2|＝|z1||z2|；‎ ‎(3)＝.‎ ‎(1)(2014·重庆，1)实部为－2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎(2)(2014·课标Ⅰ，3)设z＝＋i，则|z|＝(　　)‎ A. B. C. D．2‎ ‎【解析】　(1)实部为－2，虚部为1的复数在复平面内对应的点的坐标为(－2，1)，位于第二象限．‎ ‎(2)因为z＝＋i＝＋i＝＋i＝＋i，所以|z|＝＝＝，故选B.‎ ‎【答案】　(1)B　(2)B ‎ 与复数几何意义、模有关的解题技巧 ‎(1)只要把复数z＝a＋bi(a，b∈R)与向量对应起来，‎ 就可以根据平面向量的知识理解复数的模、加法、减法的几何意义，并根据这些几何意义解决问题．‎ ‎(2)有关模的运算要注意灵活运用模的运算性质．‎ ‎(1)(2014·江西，1)若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C. D. ‎(2)(2013·广东，3)若复数z满足iz＝2＋4i，则在复平面内，z对应的点的坐标是(　　)‎ A．(2，4) B．(2，－4)‎ C．(4，－2) D．(4，2)‎ ‎(1)【答案】　C　由z(1＋i)＝2i知z＝＝＝＝1＋i，所以|z|＝＝，故选C.‎ ‎(2)【答案】　C　由iz＝2＋4i，得z＝＝4－2i，所以z对应的点的坐标是(4，－2)．‎ ‎1．(2014·河北石家庄二模，2)设i是虚数单位，则复数的共轭复数是(　　)‎ A.＋i B.－i C.－i D.＋i ‎【答案】　D　令z＝＝＝＝－i，∴＝＋i.‎ ‎2．(2015·山东菏泽一模，2)已知复数z＝，则(　　)‎ A．|z|＝2‎ B．z的实部为1‎ C．z的虚部为－1‎ D．z的共轭复数为1＋i ‎【答案】　C　z＝＝＝＝－1－i，所以|z|＝|－1－i|＝，z的实部为－1，z的虚部为－1，z的共轭复数为－1＋i，故选C.‎ ‎3．(2014·山西大同二模，2)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝(　　)‎ A. B．2‎ C. D．1‎ ‎【答案】　A　方法一：|(1－z)·|＝|1－z|||＝|2＋i||－1＋i|＝·＝.‎ 方法二：|(1－z)·|＝|－z·|＝|－1＋i－2|＝|－3＋i|＝＝.‎ ‎4．(2014·吉林长春三校调研，3)已知i是虚数单位，且复数z1＝3－bi，z2＝1－2i，若是实数，则实数b的值为(　　)‎ A．6 B．－6 C．0 D. ‎【答案】　A　＝＝＝∈R，‎ ‎∴6－b＝0，∴b＝6.‎ ‎5．(2015·河南郑州一模，5)已知复数z＝(其中i是虚数单位)在复平面内对应的点Z落在第二象限，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(－1，＋∞) B．(－1，1)‎ C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)‎ ‎【答案】　C　若z＝＝在复平面内对应的点Z落在第二象限，则解得a＜－1，故a的取值范围为(－∞，－1)．‎ ‎6．(2015·安徽芜湖一模，1)已知i是虚数单位，若z1＝a＋i，z2＝a－i，若为纯虚数，则实数a＝(　　)‎ A. B．－ C.或－ D．0‎ ‎【答案】　C　＝＝＝是纯虚数，‎ ‎∴解得a＝±.‎ ‎7．(2015·“皖西七校”联考，6)复数z＝(i是虚数单位)在复平面内的对应点位于(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】　C　∵i2 014＝(i2)1 007＝(－1)1 007＝－1，‎ ‎∴z＝＝－ ‎＝－＝－，‎ ‎∴z在复平面内的坐标为，故选C.‎ ‎8．(2014·湖北武汉二模，11)若关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋q＝0有一个根为3－4i(i是虚数单位)，则实数p与q的乘积pq＝________．‎ ‎【解析】　由题意可得原方程的另一根为3＋4i，‎ 由根与系数的关系可得(3＋4i)＋(3－4i)＝－p，(3＋4i)·(3－4i)＝q，‎ 化简可得p＝－6，q＝25，‎ ‎∴pq＝－150.‎ ‎【答案】　－150‎ ‎(时间：45分钟__分数：80分)‎ 一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．(2015·湖北武汉二模，3)已知x，y∈R，i为虚数单位，且(x－2)i－y＝－1－i，则(1＋i)x＋y的值为(　　)‎ A．4 B．－4 C．4＋4i D．2i ‎【答案】　D　∵(x－2)i－y＝－1－i，由复数相等的充要条件得解得 ‎∴(1＋i)x＋y＝(1＋i)2＝2i.‎ ‎2．(2015·河南开封一模，1)复数z＝1－对应的点在(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】　D　z＝1－＝1－i对应点为(1，－1)在第四象限．‎ ‎3．(2015·四川资阳二模，2)在复平面内，复数1－3i，(1＋i)(2－i)对应的点分别为A，B，则线段AB的中点C对应的复数为(　　)‎ A．－4＋2i B．4－2i C．－2＋i D．2－i ‎【答案】　D　∵(1＋i)(2－i)＝3＋i，∴B的坐标为(3，1)．A的坐标为(1，－3)，则线段AB的中点C的坐标为(2，－1)．‎ ‎∴线段AB的中点C对应的复数为2－i.‎ ‎4．(2014·安徽，1)设i是虚数单位，复数i3＋＝(　　)‎ A．－i B．i C．－1 D．1‎ ‎【答案】　D　∵i3＝－i，＝＝i(1－i)＝i＋1，‎ ‎∴i3＋＝－i＋i＋1＝1.‎ ‎5．(2015·广东湛江二模，5)对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是(　　)‎ A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2‎ C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|‎ ‎【答案】　D　由于复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，‎ ‎∴|z－|＝|2yi|＝2|y|，故A，C错．‎ B项，z2＝x2－y2＋2xyi，故B错；‎ D项，|z|＝≤＝＝|x|＋|y|，D正确，故选D.‎ ‎6．(2015·湖北孝感统考，5)已知i是虚数单位，等于(　　)‎ A．－1 B．1 C．i D．－i ‎【答案】　C　∵＝＝－i，‎ ‎∴＝(－i)2 015＝(－1)2 015·i4×503＋3＝－i3＝i.‎ ‎7．(2013·安徽，1)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为(　　)‎ A．－3 B．－1 C．1 D．3‎ ‎【答案】　D　a－＝a－＝a－(3＋i)＝(a－3)－i为纯虚数，∴a＝3.‎ ‎8．(2015·辽宁五校联考，3)若复数(a2－1)＋(a－1)i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数a＝(　　)‎ A．±1 B．－1 C．0 D．1‎ ‎【答案】　B　∵(a2－1)＋(a－1)i是纯虚数，‎ ‎∴∴a＝－1.‎ ‎9．(2014·安徽合肥二模，2)已知复数z＝3＋4i，表示复数z的共轭复数，则等于(　　)‎ A. B．5 C. D．6‎ ‎【答案】　B　由z＝3＋4i，得＝3－4i，∴＝＝|－4－3i|＝＝5.‎ ‎10.‎ ‎(2013·四川，3)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z 的共轭复数的点是(　　)‎ A．A B．B C．C D．D ‎【答案】　B　由复数的几何意义及共轭复数定义可知，共轭复数对应的点关于x轴对称(实数的共轭复数是其本身)．‎ ‎11．(2013·陕西，6)设z是复数，则下列命题中的假命题是(　　)‎ A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2＜0，则z是虚数 C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2＜0‎ ‎【答案】　C　实数可以比较大小，而虚数不能比较大小，设z＝a＋bi(a，b∈R)，‎ 则z2＝a2－b2＋2abi，由z2≥0，‎ 得则b＝0，所以A正确；同理，z2＜0，则z是纯虚数，所以B正确；反过来，z是纯虚数，z2＜0，D正确；对于选项C，不妨取z＝1＋i，则z2＝2i不能与0比较大小．‎ ‎12．(2015·山东菏泽一模，1)设复数w＝，其中a为实数，若w的实部为2，则w的虚部为(　　)‎ A．－ B．－ C. D. ‎【答案】　A　(先化w为代数式，再找出虚部)‎ w＝＝ ‎＝＝[(a＋1)2－(1－a)2＋2(a＋1)·(1－a)i]＝a－i.‎ 由题意知a＝2，‎ ‎∴w的虚部为－＝－＝－.‎ 二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．(2015·湖南五市十校联考，13)设复数z满足z·i＝2－i，i为虚数单位，则z＝________．‎ ‎【解析】　z＝＝－1－2i.‎ ‎【答案】　－1－2i ‎14．(2015·山西太原调研，13)已知i是虚数单位，z＝，则|z|＝________．‎ ‎【解析】　方法一：由公式＝得：‎ ‎|z|＝＝ ‎＝＝1.‎ 方法二：z＝＝＝＝i，∴|z|＝1.‎ ‎【答案】　1‎ ‎15．(2015·山西十校联考，13)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________．‎ ‎【解析】　∵z＝＝＝ ‎＝＝ ‎＝－＋i，‎ ‎∴z·＝＝＋＝.‎ ‎【答案】　 ‎16．(2015·上海崇明一模，1)已知虚数z满足等式2z－＝1＋6i，则z＝________．‎ ‎【解析】　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则2z－＝2(a＋bi)－(a－bi)＝a＋3bi＝1＋6i，所以所以即z＝1＋2i.‎ ‎【答案】　1＋2i