2019-2020学年广东省东莞市高二上学期期末教学质量检查数学试题

2019-2020学年广东省东莞市高二上学期期末教学质量检查数学试题

东莞市2019—2020学年度第一学期期末教学质量检查 高二数学 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．‎ ‎1． 在中，内角的对边分别为,且，则边 A． B． C． D．‎ ‎2． 已知实数满足，则目标函数的最大值是 A． B． C． D．‎ ‎3. 糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为，向糖水（不饱和）中再加入克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为 A． B． C． D．‎ ‎4． 已知双曲线的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为 A． B． C． D．‎ ‎5. 已知数列是等差数列，且，则 A．3 B．4 C．7 D．8‎ ‎6． 已知为实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎7. 中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为 A．里 B．里 C．里 D．里 图1‎ ‎8. 如图1，已知三棱锥，点分别是的中点，点为线段上一点，且，若记,则 A． B．‎ C． D． ‎ ‎9． 已知实数且，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎10．已知双曲线的左、右焦点分别为、， 为双曲线上一点，直线分别与以为圆心、为半径的圆和以为圆心、为半径的圆相切于点则 A． B． C． D．‎ 二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．‎ ‎11. 四边形内接于圆，，下列结论正确的有 A．四边形为梯形 B．圆的直径为7 ‎ C．四边形的面积为 D．的三边长度可以构成一个等差数列 ‎ ‎12. 我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图2，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有 A．为等比数列 ‎ B． ‎ 图2‎ C． 轴，且 D．四边形的内切圆过焦点 ‎ 图3‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．‎ ‎13. 抛物线上的一点到焦点的距离为2，‎ 则点的纵坐标是 . ‎ ‎14. 如图3，以长方体的顶点为坐标原点，‎ 过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，‎ 若的坐标为，则的坐标为_________. ‎ ‎15. 已知命题“不等式”为真命题，则的取值范围为 . ‎ ‎16. 斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列：……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义： ，，，记其前项和为，设（为常数），则 （用表示）， (用常数表示)．‎ 四、解答题: 本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ 已知.‎ ‎（1）若且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知等比数列满足，，数列是首项为公差为的等差数列.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 在中，内角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小.‎ ‎（2）若边上的中线，且,求的周长.‎ ‎20. （本小题满分12分） ‎ 图4‎ 如图4，已知斜三棱柱中，，在底面上的射影恰为的中点，且.‎ ‎（1）求证：； ‎ ‎（2）求直线与平面所成角的正弦值；‎图3‎ 图3‎ ‎（3）在线段上是否存在点，使得二面 角的平面角为？若存在，确定 点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ 在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米 的东莞第一高楼民盈·国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.‎ 第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的点测得国贸中心顶部的仰角为，正对国贸中心前进了米后，到达点，在点测得国贸中心顶部的仰角为，然后计算出国贸中心的高度（如图5-1）.‎ 第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为米；②正对国贸中心，将镜子前移米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为米.然后计算出国贸中心的高度（如图5-2）.‎ 实际操作中，第一小组测得米，，，最终算得国贸中心高度为；第二小组测得米，米，米，最终算得国贸中心高度为；假设他们测量者的“眼高”都为米.‎ ‎（1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据：，,答案保留整数结果）；‎ ‎（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由. ‎ 图5-2‎ 图5-1‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 设圆的圆心为，直线l过点且与x轴不重合，l交圆于两点，过点作的平行线交于点.‎ ‎（1）证明为定值,并写出点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点的轨迹为曲线，直线与曲线交于两点，点为椭圆上一点， 若是以为底边的等腰三角形，求面积的最小值.‎ ‎2019—2020学年度第一学期期末教学质量检查 高二数学参考答案及评分标准 一、单项选择题 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D A B A C D C C B B 二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）‎ 题号 ‎11‎ ‎12‎ 答案 ACD BD 三、填空题（16题第一空2分，第二空3分）‎ ‎13. 14. 15. 16. ；‎ 四、解答题 ‎17. 解：（1）：得或-----------------------------------------------1分 当为真得 ------------------------------------------------------------2分 为真，即都为真-------------------------------------------------------------------------------------3分 即 -----------------------------------------------------------------------------------------------4分 所以的取值范围为-----------------------------------------------------------------------------------------5分 ‎（2），即-------------------------------6分 所以， 即--------------------------------------------------------------------7分 因为是的充分不必要条件， 所以 ----------------------------8分 所以或-----------------------------------------------------------------------------------------9分 综上：是的充分不必要条件时，的取值范围为-------------------------10分 ‎18. 解（1）因为数列是等比数列，故设首项为，公比 因为， 所以，----------------------------------------------------2分 所以，解得，所以 ---------------------------------------------------------------------3分 所以数列的通项公式为-------------------------------------------------------------------------4分 因为是首项为公差为的等差数列 ‎ 所以 ----------------------------------------------------------------------------------5分 因为，所以 ------------------------------------------------------------------------6分 ‎（2）由（1）知 ----------------------------------------7分 同乘得： ----------------------------------8分 ‎ 作差得： -----------------------------------9分 即 --------------------------------------11分 所以-----------------------------------------------------------------------------12分 ‎19.解：（1）由已知 ‎ 由正弦定理得： -------------------------------------------------------------------------2分 由余弦定理得： ------------------------------------------------------------4分 在中，因为,所以 --------------------------------------------------6分 ‎（2）方法一：由，得① --------7分 由（1）知，即 ② ---------------------8分 ‎ 在中，由余弦定理得： ‎ 在中，由余弦定理得： ‎ 因为，所以③ ---------------10分 ‎ 由①②③，得 所以 --------------11分 所以的周长. ---------------------------12分 方法二：得① ----------------------------7分 由（1）知 ② ----------------------------8分 得③ ----------------------------9分 由 ① ② ③ 得， ---------------------------11分 所以的周长 --------------------------12分 方法三：得① ----------------------------7分 由（1）知 ② ----------------------------8分 延长到,使 在中,,‎ 余弦定理得，即③ -------------------9分 由 ① ② ③ 得， ---------------------------11分 所以的周长 --------------------------12分 ‎20.证明：（1）方法一：作交于点，分别以所在直线为 轴建系 ‎ ------------------------2分 所以， ------------------------3分 ‎，所以 ------------------------4分 方法二：在中，得 ‎ 所以四边形为菱形，得 ------------------------1分 又, ,,所以-----------2分 因为，所以 ------------------------3分 又因为 所以,因为,所以 ------------------------4分 ‎（2）方法一：因为，所以面的一个法向量为---5分 因为，所以，‎ ‎ -----------------------6分 设线与平面所成角为， ---------------------7分 方法二：因为，所以线与平面所成的角等于与面所成的角，所以即为所要求. ----------5分 在中，，,‎ ‎ ----------6分 线与平面所成角的正弦值为 ---------------------7分 ‎（3）方法一：不存在，设，（ ） ‎ ‎, ------8分 设面的一个法向量为 ‎ 有 ‎ ‎ ------------------------10分 ‎，得 ------------------------11分 所以不存在点满足要求. （只猜想不存在也给分） -----------------12分 方法二： ------------------------8分 与面的交点为与的交点 ------10分 且 ------------------------11分 所以在线段上不存在点满足要求. ----------------12分 ‎ ‎21. 解：（1）第一小组：在中得，；在中得，----1分 因为即 --------------------------------------------------------------------2分 得米 ----------------------------------------------------------3分 米（也给分） ----------------------------------------------------------4分 第二小组：,得 ----------------------------------------------5分 同理得， --------------------------------------------------6分 因为得 ---------------------------------------------------------------7分 所以=米 --------------------------------------------------------------8分 所以米 ------------------------------------------------------------------------------9分 ‎（2）说明其中一个方案的1个优点给1分，2个优点给2分，3个优点给3分；说明另一个方案的1个不足给1分，2个不足给2分，3个不足给3分.（以下作为参考，言之有理，酌情给分，给到3分为止）‎ 第一组方案 优点：①测量方法较好理解，普适性强；②计算思路简洁；‎ 不足：①的距离较长，测量要求高，难度大；②角度测量较难精准，容易造成误差；③场地要求较高；‎ 第二组方案 优点：①测量方法有创意（用到镜面成像和相似三角形）；②相对距离短，比较好测量；③只需测量距离，需要的工具少；‎ 不足：①两次放镜子相对距离太短，容易造成误差；②镜面放置较难保持水平，容易造成误差；③如果镜面较大，人眼看镜内物像时，两次不一定都看准镜面上的同一个点，易造成误差；④人与镜子的距离差值较小，测量容易造成误差.‎ ‎22.解：（1）圆可化为 ‎ 所以圆心，半径 ----------------------------1分 又因为过点作的平行线交于点 所以 ‎ 又因为 所以 所以 -----------------------3分 所以 ---------------------------4分 所以点的轨迹为椭圆,由椭圆定义可得点的轨迹方程为（） ------------6分 ‎（2）由（1）可知点的轨迹方程为：（），‎ 直线与曲线交于两点, 可知，设 联立 消得 解得 ---------------------------7分 ‎ ---------------------------8分 是以为底的等腰三角形 则 同理： ---------------------------9分 ‎ ----------10分 方法1： -------------------------11分 当且仅当，即时取等号 ‎ ‎ -------12分 方法2：‎ ‎ -------------------------11分 当且仅当，即时取等号 ‎ ‎ -------12分