2015版人教A版数学必修4课本例题习题改编

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‎2015版人教A版必修4课本例题习题改编 ‎1.原题（必修4第十页A组第五题）改编1 下列说法中正确的是(　　)‎ A．第一象限角一定不是负角 B．－831°是第四象限角 C．钝角一定是第二象限角 D．终边与始边均相同的角一定相等 解：选C. －330°＝－360°＋30°，所以－330°是第一象限角，所以A错误；－831°＝(－3)×360°＋249°，所以－831°是第三象限角，所以B错误；0°角，360°角终边与始边均相同，但它们不相等，所以D错误．‎ 改编2 已知θ为第二象限角，那么是（ ） ‎ A. 第一或第二象限角 B. 第一或四象限角 C. 第二或四象限角 D. 第一、二或第四象限角 解：选D.‎ ‎（1）当此时为第一象限角；（2）当此时为第二象限角；（3）当此时为第四象限角。‎ 改编3 设角属于第二象限，且，则角属于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解：‎ 当时，在第一象限；当时，在第三象限；‎ 而，在第三象限；答案：C ‎ ‎2.原题（必修4第十页B组第二题）改编 时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度数为(　　) A. π B．－ π C. π D．－ π 解：选B. 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了两周又一周的，用弧度制表示就是－4π－×2π＝－π.故选B.‎ ‎3.原题（必修4第十九页例6）改编 （1）已知 ，且为第二象限角，求；（2）已知= ，求。‎ 解：（1），且为第二象限角，‎ ‎= 。‎ ‎（2），为象限角。当为第一或第四象限角时，= ，；当为第二或第三象限角时，，，综上，的值为或 ‎4.原题（必修4第十九页例7）改编 若的值是（ ）A. 0 B. 1 C. -1 D. ‎ 解：由已知有：； 两式相乘得：‎ ‎ ‎ ‎ 答案：B ‎5.原题（必修4第二十二页习题1.2B组第二题）改编 化简 为（ ） A. C. B. D. 不能确定 解:C .原式=‎ ‎6.原题（必修4第二十二页B组第三题）改编 已知，计算：（1）； （2）‎ 解：（1）原式；（2）原式 ‎7.原题（必修4第二十三页探究）改编1 化简得( )‎ A. B. C. D.±‎ 解：选C ‎ ‎∵,,∴,∴‎ 改编2 设函数(其中为非零实数),若,则的值是( )‎ A.5 B.3 C.8 D.不能确定 解：.B ‎ ‎,,‎ ‎8.原题（必修4第二十七页例4）改编 已知角x终边上的一点P（-4，3），则的值为 .‎ 解：，根据三角函数的定义，可知 ‎ ‎9.原题（必修4第四十一页练习题6）改编 函数的单调递增区间为 . ‎ 解：，∴所求的递增区间就是使的值为正值的递减区间，由得：∴所求的递增区间为 ‎ 答案： ‎ ‎10.原题（必修4第五十三页例1）改编 设ω>0，函数y＝sin的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)‎ A. B. C. D．3‎ 解：选C.函数y＝sin的图象向右平移个单位所得的函数解析式为y＝sin＝sin，又因为函数y＝sin的图象向右平移个单位后与原图象重合，∴ω＝2kπ⇒ω＝k(k∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为，故选C.‎ ‎11.原题（必修4第五十六页练习题3）改编 的振幅为，频率和初相分别为，。‎ 解：2 ‎ ‎12.原题（必修4第六十页例2）改编 在函数、、、中，最小正周期为的函数的个数为（ ）‎ A．个 B．个 C．个 D．个 解：中，利用含绝对值函数和奇偶性的知识作出函数图象如下，‎ 可知不是周期函数；的最小正周期为，课本上已有解答；由公式可知的最小正周期为，的最小正周期为.故答案选B ‎13.原题（必修4第六十九页复习参考题A组第八题）改编 已知是关于的方程的两个实根，且，求的值．‎ 解：，而，则得，则。‎ ‎14.原题（必修4第七十一页复习参考题B组第六题）改编 已知的值域为 . ‎ 解：‎ ‎ 的增大而增大。‎ ‎ ∴所求值域为（-1，2）.‎ ‎15.原题（必修4第九十二页习题2.2B组第四题）改编 设向量满足:,,.以为边长构成三角形,则它的边与半径为的圆的公共点个数最多为 个.‎ 解：可得,设该三角形内切圆的半径为,则,∴对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆,此时只有三个交点,对于圆的位置稍作移动,则能实现4个交点,但不能得到5个以上的交点.答案：4‎ ‎16.原题（必修4第一百零二页习题2.3B组第四题）改编1 设、是平面内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系下的坐标。假设，（1）计算的大小；（2）由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定是否合理？‎ 解：（1）；（2）对于任意向量，，都是唯一确定的，分解唯一，所以向量的坐标表示的规定合理。‎ 改编2 给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.点C在以O为圆心的圆弧上变动,若,其中,则的范围是________.‎ 解：由,又,∴,得,而点C在以O为圆心的圆弧上变动,得,于是.‎ 改编3 如图，在平面直角坐标系xoy中，向量,将数轴Oy绕着O点顺时针旋转到,设分别是与Ox轴、轴正方向同向的单位向量，若向量,求的值. ‎ y 解：由已知，‎ P O x ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎17.原题（必修4第一百零五页例4）改编 已知（k＞0）（1）求证：；（2）将数量积表示为关于k的函数f（k）；（3）求f（k）的最小值及相应，夹角θ 解：（1）‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ ‎（3） 时，取等号，此时，，又∵）‎ ‎18.原题（必修4第一百零六页练习2）改编1已知△ABC中，向量，且∠BAC是锐角，则x的取值范围是 。‎ 解：本题容易忽视向量方向相同的情况。由可得x的取值范围是.‎ 改编2已知△ABC中，向量，且∠BAC是钝角，则x的取值范围是 。‎ 解：本题容易忽视向量方向相反的情况。由可得x的取值范围是.‎ ‎19.原题（必修4第一百零八页习题2.4B组第四题）改编1 如图，在圆中，点在圆上，的值 （ ）‎ ‎(A)只与圆C的半径有关；(B)只与弦的长度有关 ‎（C）既与圆C的半径有关，又与弦的长度有关 ‎（D）是与圆的半径和弦的长度均无关的定值 解:答案为B。‎ 改编2 如图2，在半径为的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，那么 的值可由下列哪些量唯一确定。请写出所有满足题意的选项的序号_________________.①. ②. 弦AB的长 ③. ④. ‎ A B C rR 解：根据数量积的意义，，‎ 故②正确；而,故③正确；在中根据余弦定理可求得 ‎，故④正确。答案：②③④ （图2）‎ 改编3 如图2，在半径为的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，的取值范围为_________________.‎ 解：当B点和A点重合时，；当为圆的直径时，答案：‎ A B C rR D 改编4 如图4，在半径为的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若,且点D也圆C上，则 _________________.‎ ‎（图4）‎ 解：根据向量加法的平行四边形法则，四边形为平行四边形，‎ 而，为正三角形，答案：‎ A B C rR 改编5 如图5，在半径为的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点，若,则 _________________.‎ ‎（图5）‎ 解：由，得,，答案：‎ A B C rR D 改编6 如图，在半径为的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点。若点D也圆C上，且两两所成的角相等，则 _________________.‎ ‎（图6）‎ 解： 两两所成的角相等，两两所成的角为零角或角，且，易知0或，答案：0或 A B C D 改编7 如图，在半径为的定圆C中，A为圆上的一个定点，B为圆上的一个动点。若点A、B、C不共线，且对恒成立，则______________.‎ 解：根据数乘向量与向量减法的意义，点D在射线AC上，‎ ‎，由恒成立，则 答案： （图7）‎ ‎20.原题（必修4第113页复习参考题B组第三题）改编 已知对任意平面向量AB=(x,y),把向量a,b绕其起点沿顺时针方向旋转a角得到向量AP=（xcosa-ysina，xsina+ycosa），叫做把点B绕点A沿顺时针方向旋转a角得到点P。已知平面上的点A（1,2），点B（3,4），把点B绕点A沿逆时针方向旋转45°后得到点P，则向量BP的坐标为________．‎ 解：AB向量坐标为（2，2），旋转后得到AP向量坐标为（2,0），所以P（2+1,2） 故BP向量坐标为（2-2,2）‎ ‎21.原题（必修4第一百二十页复习参考题B组第五题）改编 在△ABC所在的平面内有一点P，满足＋＋＝，则△PBC与△ABC的面积之比是(　　)‎ A. B. C. D. 解：由＋＋＝，得＋＋＋＝0，即＝2，所以点P是CA边上的三等分点，如图所示．故＝＝.‎ ‎22.原题（必修4第一百二十页复习参考题B组第六题）改编 如图，已知任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，点C为线段AB中点，则____________.‎ 解：,‎ 又 故答案为5‎ ‎23.原题（必修4第一百二十七页例2）改编 已知求。‎ 解：， 。‎ ‎ ， 。‎ ‎。‎ ‎24.原题（必修4第137页A组第十题）已知：，是方程的两根，试求的值.‎ 改编 已知：，是方程的两根，‎ 求的值。‎ 解：由题意有，，‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎25.原题（必修4第一百三十九页例1）改编 化简：的结果是 .‎ 解：2sin2‎ ‎26.原题（必修4第147页复习参考题B组第七题）改编Q D A 如图，正方形ABCD的边长为1，P、Q分别为AB、DA上的点，当∠PCQ=时，求△APQ的周长.‎ 解：设 C 则 P B ‎∴‎ ‎∴△APQ的周长为AP+AQ+PQ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ =2‎ ‎27.原题（必修4第一百四十七页复习参考题B组第六题）改编 若函数在区间上的最小值为3，求常数的值及此函数当(其中可取任意实数)时的最大值.‎ 解：，时，，，，由于最小正周期为，所以当取任意实数时，区间上的最大值是6.‎