江西省新余一中高考数学一模试卷文科解析

江西省新余一中高考数学一模试卷文科解析

‎2016年江西省新余一中高考数学一模试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）‎ ‎1．（5分）（2016•新余校级一模）命题“∃x0∈R，cosx0+lnx0＜1”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈R，cosx0+lnx0＞1 B．∃x0∈R，cosx0+lnx0≥1‎ C．∀x∈R，cosx0+lnx0≥1 D．∀x∈R，cosx0+lnx0＞1‎ ‎2．（5分）（2016•沈阳校级模拟）若纯虚数z满足（1﹣i）z=1+ai，则实数a等于（　　）‎ A．0 B．﹣1或1 C．﹣1 D．1‎ ‎3．（5分）（2016•新余校级一模）已知{an}是等差数列，a10=17，其前10项的和S10=80，则其公差d=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1‎ ‎4．（5分）（2016•新余二模）已知点 F 是抛物线 y2=4x的焦点，M、N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则 MN中点的横坐标为（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎5．（5分）（2016•桂林模拟）设平面向量，若，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）（2016•新余校级一模）我国古代数学名著《九章算数》中的更相减损法的思路与如图相似．记R（ab）为a除以b所得余数（a，b∈N*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出的b的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．9 D．18‎ ‎7．（5分）（2016•新余校级一模）在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A＜B＜C，则cosAcosC的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（﹣，） D．（﹣，）‎ ‎8．（5分）（2016•重庆三模）已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（　　）‎ A．[，5] B．[0，5] C．[0，5） D．[，5）‎ ‎9．（5分）（2016•九江一模）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是正方体被两个平面所截得到的某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B．6 C． D．‎ ‎10．（5分）（2016•孝义市模拟）已知函数f（x）=，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（　　）‎ A．[0，1） B．[1，4] C．[1，6] D．[0，1]∪[3，8]‎ ‎11．（5分）（2016•河南模拟）设F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是C的右支上的点，射线PT平分∠F1PF2，过原点O作PT的平行线交PF1于点M，若|MP|=|F1F2|，则C的离心率为（　　）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎12．（5分）（2015•鹰潭二模）已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex﹣2，对于∀a∈R，∃b∈（0，+∞）使得g（a）=f（b）成立，则b﹣a的最小值为（　　）‎ A．ln2 B．﹣ln2 C． D．e2﹣3‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题．每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上）‎ ‎13．（5分）（2014•仙游县模拟）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是　　　　．‎ ‎14．（5分）（2014•南昌模拟）已知圆C：x2+y2=18，直线l：4x+3y=25，则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为　　　　．‎ ‎15．（5分）（2016•新余校级一模）已知三棱锥P﹣ABC的4个顶点都在球O的球面上，若|AC|=4，∠ABC=30°，PA⊥平面ABC，PA=6，则球O的表面积为　　　　．‎ ‎16．（5分）（2016•新余校级一模）如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为　　　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（12分）（2015•潍坊模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，向量=（Sn，1），=（2n﹣1，），满足条件=λ，λ∈R且λ≠0．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设函数f（x）=（）x，数列{bn}满足条件b1=2，f（bn+1）=，（n∈N+）‎ ‎（i） 求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（ii）设 cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎18．（12分）（2016•新余校级一模）有一名同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对某种引领销售的影响，记录了2015年7月至12月每月15号下午14时的气温和当天卖出的饮料杯数，得到如下资料：‎ 日期 ‎7月15日 ‎8月15日 ‎9月15日 ‎10月15日 ‎11月15日 ‎12月15日 摄氏温度x（℃）‎ ‎36‎ ‎35‎ ‎30‎ ‎24‎ ‎18‎ ‎8‎ 饮料杯数y ‎27‎ ‎29‎ ‎24‎ ‎18‎ ‎15‎ ‎5‎ 该同学确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选中的2组数据进行检验．‎ ‎（1）求选取2组数据恰好是相邻的两个月的概率；‎ ‎（2）若选中的是8月与12月的两组数据，根据剩下的4组数据，求出y关于x的线性回归方程．‎ 附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．‎ ‎19．（12分）（2014•广东校级模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．‎ ‎（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；‎ ‎（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．‎ ‎20．（12分）（2015•浙江二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．‎ ‎21．（12分）（2016•新余校级一模）已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．‎ ‎（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．‎ ‎　‎ 四.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）（2016•新余校级一模）已知曲线C1的参数方程为，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．‎ ‎（1）求A，B两点的极坐标；‎ ‎（2）设P为曲线C2上的动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5不等式选讲]‎ ‎23．（2016•新余校级一模）设函数f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|．‎ ‎（1）求f（x）的最大值；‎ ‎（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．‎ ‎　‎ ‎2016年江西省新余一中高考数学一模试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意）‎ ‎1．（5分）（2016•新余校级一模）命题“∃x0∈R，cosx0+lnx0＜1”的否定是（　　）‎ A．∃x0∈R，cosx0+lnx0＞1 B．∃x0∈R，cosx0+lnx0≥1‎ C．∀x∈R，cosx0+lnx0≥1 D．∀x∈R，cosx0+lnx0＞1‎ ‎【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题，写出结果即可．‎ ‎【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，cosx0+lnx0＜1”的否定是：∀x∈R，cosx0+lnx0≥1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2016•沈阳校级模拟）若纯虚数z满足（1﹣i）z=1+ai，则实数a等于（　　）‎ A．0 B．﹣1或1 C．﹣1 D．1‎ ‎【分析】把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，由z的实部为0且虚部不为0求得实数a的值．‎ ‎【解答】解：由（1﹣i）z=1+ai，得 ‎，‎ ‎∵z为纯虚数，‎ ‎∴，即a=1．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2016•新余校级一模）已知{an}是等差数列，a10=17，其前10项的和S10=80，则其公差d=（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1‎ ‎【分析】由题意可得首项和公差的方程组，解方程组可得．‎ ‎【解答】解：设{an}等差数列的公差为d，‎ 则由题意可得a10=a1+9d=17，S10=10a1+d=80，‎ 联立可解得d=2‎ 故选：A ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2016•新余二模）已知点 F 是抛物线 y2=4x的焦点，M、N 是该抛物线上两点，|MF|+|NF|=6，则 MN中点的横坐标为（　　）‎ A． B．2 C． D．3‎ ‎【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出x1+x2=4，即可求出MN中点的横坐标．‎ ‎【解答】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点 ‎∴F（1，0），准线方程x=﹣1，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2）‎ ‎∴|MF|+|NF|=x1+1+x2+1=6，‎ 解得x1+x2=4，‎ ‎∴线段MN的中点横坐标为2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2016•桂林模拟）设平面向量，若，则等于（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】由向量平行的到b=﹣4，从而得到=（﹣3，6），由此能求出．‎ ‎【解答】解：∵平面向量，，‎ ‎∴，解得b=﹣4．‎ ‎∴=（2，﹣4），=（﹣3，6），‎ ‎∴==3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查向量的模的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2016•新余校级一模）我国古代数学名著《九章算数》中的更相减损法的思路与如图相似．记R（ab）为a除以b所得余数（a，b∈N*），执行程序框图，若输入a，b分别为243，45，则输出的b的值为（　　）‎ A．0 B．1 C．9 D．18‎ ‎【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b，y的值，当y=0时满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9．‎ ‎【解答】解：模拟执行程序框图，可得 a=243，b=45‎ y=18，‎ 不满足条件y=0，a=45，b=18，y=9‎ 不满足条件y=0，a=18，b=9，y=0‎ 满足条件y=0，退出循环，输出b的值为9．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的a，b，y的值是解题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2016•新余校级一模）在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A＜B＜C，则cosAcosC的取值范围是（　　）‎ A． B． C．（﹣，） D．（﹣，）‎ ‎【分析】由三角形的知识易得B=，C=﹣A，A∈（0，），进而可得cosAcosC=sin（2A﹣）﹣，由角的范围和三角函数的知识可得．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且A＜B＜C，‎ ‎∴A+B+C=π，2B=A+C，解得B=，C=﹣A，A∈（0，），‎ ‎∴cosAcosC=cosAcos（﹣A）=cosA（cosA+sinA）‎ ‎=cos2A+sinAcosA=sin（2A﹣）﹣‎ ‎∵A∈（0，），∴2A∈（﹣，），‎ ‎∴sin（2A﹣）∈（，1），‎ ‎∴sin（2A﹣）﹣∈（﹣，）‎ 故选：C ‎【点评】本题考查三角函数的取值范围，涉及等差数列和三角形的知识，属基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2016•重庆三模）已知实数x，y满足：，z=|2x﹣2y﹣1|，则z的取值范围是（　　）‎ A．[，5] B．[0，5] C．[0，5） D．[，5）‎ ‎【分析】由约束条件作出可行域如图，令u=2x﹣2y﹣1，由线性规划知识求出u的最值，取绝对值求得z=|u|的取值范围．‎ ‎【解答】解：由约束条件作可行域如图，‎ 联立，解得，‎ ‎∴A（2，﹣1），‎ 联立，解得，‎ ‎∴．‎ 令u=2x﹣2y﹣1，‎ 则，‎ 由图可知，当经过点A（2，﹣1）时，直线在y轴上的截距最小，‎ u最大，最大值为u=2×2﹣2×（﹣1）﹣1=5；‎ 当经过点时，直线在y轴上的截距最大，‎ u最小，最小值为u=．‎ ‎∴，‎ ‎∴z=|u|∈[0，5）．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数学转化思想方法，求z得取值范围，转化为求目标函数u=2x﹣2y﹣1的取值范围，是中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2016•九江一模）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是正方体被两个平面所截得到的某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A． B．6 C． D．‎ ‎【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是由棱柱截割去两个三棱锥所得到的几何体，由此求出几何体的体积．‎ ‎【解答】解：如图示：‎ ‎，‎ V=2×2×2﹣2•••2•2•1=，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体的体积的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2016•孝义市模拟）已知函数f（x）=，若存在x1，x2，当0≤x1＜4≤x2≤6时，f（x1）=f（x2），则x1•f（x2）的取值范围是（　　）‎ A．[0，1） B．[1，4] C．[1，6] D．[0，1]∪[3，8]‎ ‎【分析】由已知中函数f（x）=，可得当0≤x1＜4≤x2≤6时，若f（x1）=f（x2），则x1∈[1，3]，进而得到x1•f（x2）的表达式，数形结合，可得x1•f（x2）的取值范围．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=的图象如下图所示：‎ 当0≤x1＜4≤x2≤6时，若f（x1）=f（x2），‎ 则x1∈[1，3]，‎ ‎∴x1•f（x2）=x1•f（x1）=x1•（2﹣|x1﹣2|）=，‎ 其图象如下图所示：‎ 即x1•f（x2）的范围是[1，4]．‎ 故选：B ‎【点评】本题考查的知识点是分段函数的图象和性质，分段函数的应用，数形结合思想，难度中档．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2016•河南模拟）设F1，F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P是C的右支上的点，射线PT平分∠F1PF2，过原点O作PT的平行线交PF1于点M，若|MP|=|F1F2|，则C的离心率为（　　）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【分析】运用极限法，设双曲线的右顶点为A，考察特殊情形，当点P→A时，射线PT→直线x=a，此时PM→AO，即|PM|→a，结合离心率公式即可计算得到．‎ ‎【解答】解：设双曲线的右顶点为A，‎ 考察特殊情形，当点P→A时，射线PT→直线x=a，‎ 此时PM→AO，即|PM|→a，‎ 特别地，当P与A重合时，|PM|=a．‎ 由|MP|=|F1F2|=，‎ 即有a=，‎ 由离心率公式e==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，注意极限法的运用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2015•鹰潭二模）已知函数f（x）=ln+，g（x）=ex﹣2，对于∀a∈R，∃b∈（0，+∞）使得g（a）=f（b）成立，则b﹣a的最小值为（　　）‎ A．ln2 B．﹣ln2 C． D．e2﹣3‎ ‎【分析】不妨设g（a）=f（b）=m，从而可得b﹣a=2•﹣lnm﹣2，（m＞0）；再令h（m）=2•﹣lnm﹣2，从而由导数确定函数的单调性，再求最小值即可．‎ ‎【解答】解：不妨设g（a）=f（b）=m，‎ ‎∴ea﹣2=ln+=m，‎ ‎∴a﹣2=lnm，b=2•，‎ 故b﹣a=2•﹣lnm﹣2，（m＞0）‎ 令h（m）=2•﹣lnm﹣2，‎ h′（m）=2•﹣，‎ 易知h′（m）在（0，+∞）上是增函数，‎ 且h′（）=0，‎ 故h（m）=2•﹣lnm﹣2在m=处有最小值，‎ 即b﹣a的最小值为ln2；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了函数的性质应用及导数的综合应用，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4个小题．每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡上）‎ ‎13．（5分）（2014•仙游县模拟）函数f（x）=sin（2x﹣）在区间[0，]上的最小值是．‎ ‎【分析】根据题意，求出相位的范围，结合正弦函数的图象与性质可得，函数的最小值．‎ ‎【解答】解：∵x∈[0，]‎ ‎∴2x﹣∈[﹣]，可得f（x）=sin（2x﹣）∈[，1]‎ 因此，当x=0时，函数f（x）=sin（2x﹣）的最小值为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题给出三角函数表达式，求函数在[0，]上的最小值．着重考查了三角函数的图象与性质、函数的值域与最值等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2014•南昌模拟）已知圆C：x2+y2=18，直线l：4x+3y=25，则圆C上任一点到直线l的距离小于2的概率为．‎ ‎【分析】试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，根据题意做出符合条件的弧长对应的圆心角是60°，根据几何概型概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个几何概型，试验发生包含的事件是从这个圆上随机的取一个点，对应的圆上整个圆周的弧长，满足条件的事件是到直线l的距离小于2，过圆心做一条直线交直线l与一点，‎ ‎∵圆心到直线的距离是=5，‎ ‎∴在这条垂直于直线l的半径上找到圆心的距离为3的点做半径的垂线，‎ 根据弦心距，半径，弦长之间组成的直角三角形得到符合条件的弧长对应的圆心角是90°‎ 根据几何概型的概率公式得到P==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查几何概型，考查学生的计算能力，确定测度是关键．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2016•新余校级一模）已知三棱锥P﹣ABC的4个顶点都在球O的球面上，若|AC|=4，∠ABC=30°，PA⊥平面ABC，PA=6，则球O的表面积为100π．‎ ‎【分析】通过底面三角形ABC求出底面圆的半径AM，判断球心到底面圆的距离OM，求出半径，即可求解取得表面积．‎ ‎【解答】解：△ABC中，∠ABC=30°，|AC|=4底面三角形的底面半径为：‎ AM==4，AP是球的弦，PA=6，∴OM=PA=3，‎ ‎∴球的半径OA==5．‎ 该球的表面积为：4πOA2=100π．‎ 故答案为：100π．‎ ‎【点评】本题考查球的表面积的求法，球的内接体，考查空间想象能力以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2016•新余校级一模）如图，有一圆柱形的开口容器（下表面密封），其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为．‎ ‎【分析】画出圆柱的侧面展开图，根据对称性，求出AQ+PQ的最小值就是AE的长，求解即可．‎ ‎【解答】解：侧面展开后得矩形ABCD，其中AB=π，AD=2问题转化为在CD上找一点Q，‎ 使AQ+PQ最短作P关于CD的对称点E，连接AE，‎ 令AE与CD交于点Q，则得AQ+PQ的最小值就是AE为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查求曲面上最短路程问题，通常考虑侧面展开，考查转化思想，计算能力，是基础题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（12分）（2015•潍坊模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn，向量=（Sn，1），=（2n﹣1，），满足条件=λ，λ∈R且λ≠0．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设函数f（x）=（）x，数列{bn}满足条件b1=2，f（bn+1）=，（n∈N+）‎ ‎（i） 求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（ii）设 cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由=λ可得，然后利用an=Sn﹣Sn﹣1（n≥2）求得数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）再由，得到bn+1=bn+3，说明{bn}是以2为首项3为公差的等差数列．由等差数列的通项公式可得bn；‎ ‎（ⅱ）把数列{an}、{bn}的通项公式代入cn=，然后利用错位相减法求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】（Ⅰ）∵=λ，∴，．‎ 当n≥2时，；‎ 当n=1时，，满足上式．‎ ‎∴；‎ ‎（Ⅱ）（ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴bn+1=bn+3，‎ 又∵b1=f（﹣1）=2，‎ ‎∴{bn}是以2为首项3为公差的等差数列．‎ ‎∴bn=3n﹣1；‎ ‎（ⅱ）．‎ ‎ ①，‎ ‎ ②，‎ ‎①﹣②得 ‎==．‎ ‎∴=．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的应用，考查了等差关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）（2016•新余校级一模）有一名同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对某种引领销售的影响，记录了2015年7月至12月每月15号下午14时的气温和当天卖出的饮料杯数，得到如下资料：‎ 日期 ‎7月15日 ‎8月15日 ‎9月15日 ‎10月15日 ‎11月15日 ‎12月15日 摄氏温度x（℃）‎ ‎36‎ ‎35‎ ‎30‎ ‎24‎ ‎18‎ ‎8‎ 饮料杯数y ‎27‎ ‎29‎ ‎24‎ ‎18‎ ‎15‎ ‎5‎ 该同学确定的研究方案是：先从这六组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再用被选中的2组数据进行检验．‎ ‎（1）求选取2组数据恰好是相邻的两个月的概率；‎ ‎（2）若选中的是8月与12月的两组数据，根据剩下的4组数据，求出y关于x的线性回归方程．‎ 附：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，．‎ ‎【分析】（1）利用列举法求出基本事件数，计算出对应的概率值；‎ ‎（2）根据数据计算出、与、，即可写出线性回归方程．‎ ‎【解答】解：（1）从这六组数据中选取2组，共有15种等可能情况，分别为 ‎（7，8），（7，9），（7，10），（7，11），（7，12），‎ ‎（8，9），（8，10），（8，11），（8，12），‎ ‎（9，10），（9，11），（9，12），‎ ‎（10，11），（10，12），（11，12）；‎ 其中选取2组数据恰好是相邻两个月有5种情况，分别为 ‎（7，8），（8，9），（9，10），（10，11），（11，12）；‎ 故选取2组数据恰好是相邻两个月的概率为=；‎ ‎（2）计算=×（26+30+24+18）=27，‎ ‎=×（27+24+18+15）=21，‎ 所以=≈0.7，‎ ‎=21﹣0.7×27=2.1；‎ 所以y关于x的线性回归方程为=0.7x+2.1．‎ ‎【点评】本题考查了用列举法求古典概型的概率问题，也考查了求线性回归方程的问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2014•广东校级模拟）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，且AB=1，BC=2，∠ABC=60°，E为BC的中点，AA1⊥平面ABCD．‎ ‎（1）证明：平面A1AE⊥平面A1DE；‎ ‎（2）若DE=A1E，试求异面直线AE与A1D所成角的余弦值．‎ ‎【分析】（1）根据题意，得△ABE是正三角形，∠AEB=60°，等腰△CDE中∠CED=（180°﹣∠ECD）=30°，所以∠AED=90°，得到DE⊥AE，结合DE⊥AA1，得DE⊥平面A1AE，从而得到平面A1AE⊥平面平面A1DE．‎ ‎（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C．证出EF∥A1D，可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角．利用勾股定理和三角形中位线定理，算出△AEF各边的长，再用余弦定理可算出异面直线AE与A1D所成角的余弦值．‎ ‎【解答】解：（1）依题意，BE=EC=BC=AB=CD…（1分），‎ ‎∴△ABE是正三角形，∠AEB=60°…（2分），‎ 又∵△CDE中，∠CED=∠CDE=（180°﹣∠ECD）=30°…（3分）‎ ‎∴∠AED=180°﹣∠CED﹣∠AEB=90°，即DE⊥AE…（4分），‎ ‎∵AA1⊥平面ABCD，DE⊆平面ABCD，∴DE⊥AA1．…（5分），‎ ‎∵AA1∩AE=A，∴DE⊥平面A1AE…（6分），‎ ‎∵DE⊆平面A1DE，∴平面A1AE⊥平面A1DE．…（7分）．‎ ‎（2）取BB1的中点F，连接EF、AF，连接B1C，…（8分）‎ ‎∵△BB1C中，EF是中位线，∴EF∥B1C ‎∵A1B1∥AB∥CD，A1B1=AB=CD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，可得B1C∥A1D ‎∴EF∥A1D…（9分），‎ 可得∠AEF（或其补角）是异面直线AE与A1D所成的角…（10分）．‎ ‎∵△CDE中，DE=CD==A1E=，AE=AB=1‎ ‎∴A1A=，由此可得BF=，AF=EF==…（12分），‎ ‎∴cos∠AEF==，即异面直线AE与A1D所成角的余弦值为…（14分）‎ ‎【点评】本题在直平行六面体中，求证面面垂直并求异面直线所成角余弦，着重考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和异面直线所成角的求法等知识，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2015•浙江二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为的椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．若直线PQ斜率为时，PQ=2．‎ ‎（1）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（2）试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．‎ ‎【分析】，（1）设，由于直线PQ斜率为时，，可得，解得，代入椭圆方程可得：，又，联立解得即可．‎ ‎（2）设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），代入椭圆方程可得．由直线PA方程为：，可得，同理由直线QA方程可得，可得以MN为直径的圆为，由于，代入整理即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设，‎ ‎∵直线PQ斜率为时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴，=1，‎ ‎∴，‎ ‎∵，化为a2=2b2．‎ 联立，‎ ‎∴a2=4，b2=2．‎ ‎∴椭圆C的标准方程为．‎ ‎（2）以MN为直径的圆过定点．下面给出证明：‎ 设P（x0，y0），则Q（﹣x0，﹣y0），且，即，‎ ‎∵A（﹣2，0），∴直线PA方程为：，‎ ‎∴，‎ 直线QA方程为：，‎ ‎∴，‎ 以MN为直径的圆为，‎ 即，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 令y=0，x2+y2﹣2=0，解得，‎ ‎∴以MN为直径的圆过定点．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、点与椭圆的位置关系、点斜式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016•新余校级一模）已知函数f（x）=（其中k∈R，e是自然对数的底数），f′（x）为f（x）导函数．‎ ‎（Ⅰ）若k=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若f′（1）=0，试证明：对任意x＞0，f′（x）＜恒成立．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），代入切线方程即可；‎ ‎（Ⅱ）求出k的值，令g（x）=（x2+x）f'（x），问题等价于，根据函数的单调性证明即可．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由得，x∈（0，+∞），‎ 所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为：，‎ 而f（1）=，故切线方程是：y﹣=﹣（x﹣1），‎ 即：x+ey﹣3=0；‎ ‎（Ⅱ）证明：若f′（1）=0，解得：k=1，令g（x）=（x2+x）f'（x），‎ 所以，x∈（0，+∞），‎ 因此，对任意x＞0，g（x）＜e﹣2+1，等价于，‎ 由h（x）=1﹣x﹣xlnx，x∈（0，∞），‎ 得h'（x）=﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），（8分）‎ 因此，当x∈（0，e﹣2）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增；‎ x∈（e﹣2，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，‎ 所以h（x）的最大值为h（e﹣2）=e﹣2+1，故1﹣x﹣xlnx≤e﹣2+1，（10分）‎ 设φ（x）=ex﹣（x+1），∵φ'（x）=ex﹣1，‎ 所以x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，‎ φ（x）＞φ（0）=0，故x∈（0，+∞）时，φ（x）=ex﹣（x+1）＞0，即，‎ 所以．‎ 因此，对任意x＞0，恒成立． （12分）‎ ‎【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．‎ ‎　‎ 四.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上．[选修4-4坐标系与参数方程]‎ ‎22．（10分）（2016•新余校级一模）已知曲线C1的参数方程为，当t=﹣1时，对应曲线C1上一点A，且点A关于原点的对称点为B．以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．‎ ‎（1）求A，B两点的极坐标；‎ ‎（2）设P为曲线C2上的动点，求|PA|2+|PB|2的最大值．‎ ‎【分析】（1）将t=﹣1代入得A，B的坐标，即可得到结论．‎ ‎（2）求出曲线C2上的直角坐标方程，设P的坐标，结合两点间的距离公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）经t=﹣1代入C1得x=3，y=﹣，‎ 则A（3，﹣），B（﹣3，），它们的极坐标为A（2，），B（2，）．‎ ‎（2）曲线C2的极坐标方程为．‎ 平方得ρ2==，‎ 即3ρ2+ρ2sin2θ=12，‎ 即3x2+3y2+y2=12，‎ 即3x2+4y2=12，‎ 即=1．‎ 设P（2cosθ，sinθ），‎ 则|PA|2+|PB|2=（2cosθ﹣3）2+（sinθ+）2+（2cosθ+3）2+（sinθ﹣）2‎ ‎=2（4cos2θ+3sin2θ+12）=2（15+cos2θ），‎ ‎∵cos2θ≤1，∴PA|2+|PB|2=2（15+cos2θ）≤32，‎ 即|PA|2+|PB|2的最大值是32．‎ ‎【点评】本题主要考查极坐标和参数坐标的应用，根据极坐标和参数坐标转换为直角坐标是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5不等式选讲]‎ ‎23．（2016•新余校级一模）设函数f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|．‎ ‎（1）求f（x）的最大值；‎ ‎（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）通过讨论x的范围，将f（x）写成分段函数的形式，画出函数的图象，从而求出f（x）的最大值即可；‎ ‎（2）问题转化为，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵f（x）=|x﹣2|﹣2|x+1|=，‎ 如图示：‎ ‎，‎ ‎∴f（x）的最大值是3；‎ ‎（2）若f（x）≤mx+3+m恒成立，‎ 则，‎ 解得：﹣3≤m≤1．‎ ‎【点评】本题考查了绝对值不等式，考查函数恒成立问题，是一道中档题．‎ ‎　‎