高三数学（文数）总复习练习专题四 函数的图象、函数的应用
1．(2015·浙江，5，易)函数 f(x)＝(x－1
x )cos x(－π≤x≤π且 x≠0)的图象可能为( )
【答案】 D (特值法)令 x＝－π，f(－π)＝(－π＋ 1
π)cos(－π)＞0，排除 B，C.令 x＝π，f(π)＝
(π－ 1
π)cos π＜0，排除 A，故选 D.
2．(2015·课标Ⅰ，12，中)设函数 y＝f(x)的图象与 y＝2x＋a 的图象关于直线 y＝－x 对称，且 f(－2)＋
f(－4)＝1，则 a＝( )
A．－1 B．1
C．2 D．4
【答案】 C 设 f(－2)＝b，则 f(－4)＝1－b，点(－2，b)，(－4，1－b)在 y＝f(x)上，则其关于 y＝－
x 的对称点(－b，2)，(b－1，4)均在 y＝2x＋a 的图象上，分别代入得{2a－b＝2，
2b－1＋a＝4，解得 a＝2，选 C.
思路点拨：利用关于直线 y＝－x 对称的两点坐标满足的关系，设出点的坐标，列方程组求解．
3．(2015·安徽，10，难)函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( )
A．a>0，b<0，c>0，d>0
B．a>0，b<0，c<0，d>0
C．a<0，b<0，c＞0，d>0
D．a>0，b>0，c>0，d<0
【答案】 A 根据图象得 f(0)＝d ＞0.
＝3ax2＋2bx＋c，
根据图象知 f′(x)＝0 有两个根为 x1，x2，且 x1＞0，x2＞0，
( )'f x
即{x1x2＝ c
3a
＞0，
x1＋x2＝－2b
3a
＞0，
∴a 与 c 同号，a 与 b 异号．
∵f(x)在(－∞，x1)上是增函数，
∴f′(x)＝3a(x－x1)(x－x2)＞0，在(－∞，x1)上恒成立．
∵x－x1＜0，x－x2＜0，
∴a＞0.
综上所述，a＞0，b＜0，c＞0，d＞0.
4．(2015·课标Ⅱ，11，难)如图，长方形 ABCD 的边 AB＝2，BC＝1，O 是 AB 的中点．点 P 沿着边
BC，CD 与 DA 运动，记∠BOP＝x.将动点 P 到 A，B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x)，则 y＝f(x)的图
象大致为( )
【答案】 B 当 0≤x＜π
4 ，f(x)＝tan x＋ 4＋tan2x；当π
4 ≤x≤3π
4 时，f(x)＝ 1＋（1－cot x）2＋
1＋（1＋cot x）2；当3π
4 ＜x≤π时，f(x)＝－tan x＋ 4＋tan2x，由图可知 x＝π
4 和 x＝3π
4 时函数的值
相等，排除 C，D；由函数解析式知，函数的图象每段应是曲线，故应选 B.
5．(2015·课标Ⅱ，13，易)已知函数 f(x)＝ax3－2x 的图象过点(－1，4)，则 a＝________．
【解析】 ∵f(x)＝ax3－2x 过点(－1，4)，∴－a＋2＝4，∴a＝－2.
【答案】 －2
6．(2015·安徽，14，中)在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 y＝2a 与函数 y＝|x－a|－1 的图象只有一
个交点，则 a 的值为____________．
【解析】 可以利用函数 y＝|x|的图象平移得到函数 y＝|x－a|－1 的图象如图所示．
当直线 y＝2a 经过点 A 时满足条件，即 2a＝－1，∴a＝－1
2.
【答案】 －1
2
1．(2012·湖北，6，中)已知定义在区间[0，2]上的函数 y＝f(x)的图象如图所示，则 y＝－f(2－x)的图
象为( )
【答案】 B 方法一(图象变换法)：根据图象的变换，y＝f(x)的图象沿 y 轴对称得到 y＝f(－x)的图
象，向右平移 2 个单位得到 y＝f(2－x)的图象，关于 x 轴对称得到 y＝－f(2－x)的图象．综上可知，平移
后的图象为 B.
方法二(排除法)：当 x＝1 时，y＝－f(1)＝－1，排除 A，C；当 x＝2 时，y＝－f(0)＝0，排除 D.故选
B.
2．(2013·湖北，5，中)小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了
赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
【答案】 C (先分析小明的运动规律，再结合图象作出判断)距学校的距离应逐渐减小，由于小明
先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降的快，故应选 C.
3．(2011·山东，10，中)函数 y＝x
2－2sin x 的图象大致是( )
【答案】 C 易知函数 y＝x
2－2sin x 为奇函数，y′＝1
2－2cos x.
当 x＞0 时，令 y′＝0，有 cos x＝1
4，则 x＝2kπ＋x0 或 x＝2kπ＋2π－x0(k∈N)，其中 x0 是使 cos x＝
1
4成立的最小正数，∴当 x∈(0，x0)时，y′＜0；当 x∈(x0，2π－x0)时，y′＞0；当 x∈(2π－x0，2π＋
x0)时，y′＜0，依次类推，结合图象应选 C.
4．(2012·北京，8，中)某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，
前 m 年的年平均产量最高，m 的值为( )
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】 C 年平均产量为Sm
m ＝Sm－0
m－0
，即为点(m，Sm)与点(0，0)连线的斜率，求出斜率最大时对
应的 m 值即可．由题图可知，当 m＝9 时，年平均产量最高，故选 C.
5．(2012·山东，10，中)函数 y＝cos 6x
2x－2－x
的图象大致为( )
【答案】 D 函数 y＝cos 6x 为偶函数，函数 y＝2x－2－x 为奇函数，故原函数为奇函数，排除 A；
又函数 y＝2x－2－x 为增函数，当 x 趋近于＋∞时，2x－2－x 趋近于＋∞，且|cos 6x|≤1，∴y＝cos 6x
2x－2－x
趋
近于 0，排除 C；∵y＝cos 6x
2x－2－x
＝2x·cos 6x
4x－1
为奇函数，不妨考虑 x>0 时函数值的情况，当 x 趋近于 0
时，4x 趋近于 1，4x－1 趋近于 0，2x 趋近于 1，cos 6x 趋近于 1，∴y 趋近于＋∞，故排除 B.综上可知选
D.
6．(2014·辽宁，10，中)已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝{cos πx，x ∈ [0，
1
2]，
2x－1，x ∈ (1
2，＋∞)，
则不等式
f(x－1)≤1
2的解集为( )
A.[1
4，
2
3]∪[4
3，
7
4] B.[－3
4，－1
3]∪[1
4，
2
3]
C.[1
3，
3
4]∪[4
3，
7
4] D.[－3
4，－1
3]∪[1
3，
3
4]
【答案】 A 当 0≤x≤1
2时，令 f(x)＝cos πx≤1
2，解得1
3≤x≤1
2；当 x＞1
2时，令 f(x)＝2x－1≤1
2，
解得1
2＜x≤3
4，故有1
3≤x≤3
4.因为 f(x)是偶函数，由于偶函数的图象关于 y 轴对称，所以 f(x)≤1
2的解集为
[－3
4，－1
3]∪[1
3，
3
4]，故 f(x－1)≤1
2的解集为[1
4，
2
3]∪[4
3，
7
4]，故选 A.
7．(2014·江西，10，难)在同一直角坐标系中，函数 y＝ax2－x＋a
2与 y＝a2x3－2ax2＋x＋a(a∈R)的图
象不可能的是( )
【答案】 B 当 a＝0 时，函数为 y1＝－x 与 y2＝x，排除 D.当 a≠0 时，y1＝ax2－x＋a
2＝a(x－ 1
2a) 2
－ 1
4a＋a
2，而 y2＝a2x3－2ax2＋x＋a，求导得 y′2＝3a2x2－4ax＋1，令 y′2＝0，解得 x1＝ 1
3a，x2＝1
a，∴x1＝ 1
3a
与 x2＝1
a是函数 y2 的两个极值点．当 a＞0 时， 1
3a＜ 1
2a＜1
a；当 a＜0 时， 1
3a＞ 1
2a＞1
a，即二次函数 y1 的对
称轴在函数 y2 的两个极值点之间，∴选项 B 不合要求，故选 B.
8．(2014·湖北，15，易)如图所示，函数 y＝f(x)的图象由两条射线和三条线段组成．
若∀x∈R，f(x)>f(x－1)，则正实数 a 的取值范围为________．
【解析】 由图可知 f(2a)＝－a＝f(－4a)，
若∀x∈R，f(x)>f(x－1)，
则只需 x＝2a 时，x－1<－4a 即可．
∴6a<1，即 a<
1
6.
又 a>0，∴0
0)的图象，可由 y＝f(x)的图象沿 x 轴方向向左(＋a)或向右(－a)平移 a 个单位得到；
②y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由 y＝f(x)的图象沿 y 轴方向向上(＋b)或向下(－b)平移 b 个单位得到．
(2)常见的对称变换
①y＝f(－x)与 y＝f(x)的图象关于 y 轴对称；
②y＝－f(x)与 y＝f(x)的图象关于 x 轴对称；
③y＝－f(－x)与 y＝f(x)的图象关于原点对称．
(3)伸缩变换
①y＝kf(x)(k>0)的图象，可由 y＝f(x)的图象上每一个点的纵坐标伸长(k>1)或缩短(00)的图象，可由 y＝f(x)的图象上每一个点的横坐标伸长(01)为原来的1
k而
得到．
(4)翻折变换
①要得到 y＝|f(x)|的图象，可先画出 y＝f(x)的图象，然后“上不动，下翻上”即可得到；
②由于 y＝f(|x|)是偶函数，要得到 y＝f(|x|)的图象，可先画出 y＝f(x)的图象，然后“右不动，左去掉，
右翻左”即可得到．
进行图象变换时，要合理选择变换的顺序，并进行适当的转化变形．例如，要得到 y＝2－|x－1|的图象，
由于 y＝2－|x－1|＝(1
2 )|x－1|
，可将 y＝(1
2 ) x
的图象先通过对称翻折得到 y＝(1
2 )|x|
的图象，再通
过平移得到 y＝(1
2 )|x－1|
的图象．
2．辨识函数图象
一般确定函数图象的过程为：
(1)确定函数的定义域；
(2)化简函数的解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、有界性、特殊点等)．
(1)(2014·浙江，8)在同一直角坐标系中，函数 f(x)＝x a(x≥0)，g(x)＝logax 的图象可能是
( )
A B
C D
(2)(2013·江西，10)如图，已知 l1⊥l2，圆心在 l1 上、半径为 1 m 的圆 O 在 t＝0 时与 l2 相切于点 A，
圆 O 沿 l1 以 1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线 l2 所截上方圆弧长记为 x，令 y＝cos x，则 y 与时间
t(0≤t≤1，单位：s)的函数 y＝f(t)的图象大致为( )
【解析】 (1)方法一：分 a＞1，0＜a＜1 两种情形讨论．
当 a＞1 时，y＝xa 与 y＝logax 均为增函数，但 y＝xa 递增较快，排除 C；
当 0＜a＜1 时，y＝xa 为增函数，y＝logax 为减函数，排除 A，由于 y＝xa 递增较慢，所以选 D.
方法二：利用基本初等函数的图象的性质进行排除．
幂函数 f(x)＝xa 的图象不过(0，1)点，排除 A；B 项中由对数函数 f(x)＝logax 的图象知 0＜a＜1，而
此时幂函数 f(x)＝xa 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故 B 错，D 对；C 项中由对数函数 f(x)＝logax
的图象知 a＞1，而此时幂函数 f(x)＝xa 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故 C 错．
(2)如图，设∠MON＝α，由弧长公式知 x＝α.
在 Rt△AOM 中，|AO|＝1－t，cos
x
2＝|OA|
|OM|＝1－t，
∴y＝cos x＝2cos2x
2－1＝2(t－1)2－1.又 0≤t≤1，故选 B.
【答案】 (1)D (2)B
【点拨】 解题(1)的关键，方法一：分类讨论，再结合函数图象的特点用排除法求解；方法二：利
用基本初等函数的性质；解题(2)的关键是根据弧长公式求出解析式，然后再确定图象．
寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法
(1)知图选式
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项．
(2)知式选图
①从函数的定义域，判断图象左右的位置，从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除、筛选错误或正确的选项．
(2013·山东，8)函数 y＝xcos x＋sin x 的图象大致为( )
【答案】 D (结合给出的函数图象，代入特殊值，利用排除法求解)当 x＝π
2
时，y＝1＞0，排除
C.
当 x＝－π
2 时，y＝－1，排除 B；或利用 y＝xcos x＋sin x 为奇函数，图象关于原点对称，排除 B.
当 x＝π时，y＝－π＜0，排除 A.故选 D.
考向 2 函数图象的应用
利用函数图象研究的几个方面
(1)利用函数的图象研究函数的性质：①从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；②从图
象的对称性，分析函数的奇偶性；③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．
(2)利用函数的图象研究不可解方程的根的个数、求不等式的解集以及求参数的取值范围等．
(1)(2011·课标全国，12)已知函数 y＝f(x)的周期为 2，当 x∈[－1，1]时，f(x)＝x 2，那么
函数 y＝f(x)的图象与函数 y＝|lg x|的图象的交点共有( )
A．10 个 B．9 个 C．8 个 D．1 个
(2)(2012·天津，14)已知函数 y＝|x2－1|
x－1
的图象与函数 y＝kx－2 的图象恰有两个交点，则实数 k 的取
值范围是________．
【解析】 (1)在同一平面直角坐标系中分别作出 y＝f(x)和 y＝|lg x|的图象，如图．又 lg 10＝1，由
图象知选 A.
(2)y＝{x＋1，x ≤ －1或x > 1，
－x－1，－1 < x < 1，
函数 y＝kx－2 恒过定点 M(0，－2)，kMA＝0，kMB＝4.
当 k＝1 时，直线 y＝kx－2 在 x>1 时与直线 y＝x＋1 平行，此时有一个公共点，∴k∈(0，1)∪(1，4)
时，两函数图象恰有两个交点．
【答案】 (1)A (2)(0，1)∪(1，4)
【点拨】 解题(1)的关键是准确作出两函数的图象；解题(2)的关键是化简函数解析式，并作出其图
象．
1.利用函数的图象研究函数的性质
对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零
点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系．
2．利用函数的图象研究方程根的个数
当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程 f(x)＝0 的根就是函数 f(x)图象
与 x 轴的交点的横坐标，方程 f(x)＝g(x)的根就是函数 f(x)与 g(x)图象的交点的横坐标．
3．利用函数的图象研究不等式
当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关
系问题，从而利用数形结合求解．
若将典型例题 2(2)中“y＝kx－2”改为“y＝kx”，则 k 的取值范围是________．
【解析】 函数可表示为
y＝{x＋1，x＞1或x ≤ －1，
－x－1，－1 < x＜1， 图象为如图所示的实线部分，数形结合可知，要使两函数图象有两个交
点，则 k∈(0，1)∪(1，2)．
【答案】 (0，1)∪(1，2)
1．(2015·河北邢台质检，4)函数 y＝{x2，x < 0，
2x－1，x ≥ 0的图象大致是( )
【答案】 B 当 x＜0 时，函数的图象是抛物线；当 x≥0 时，只需把 y＝2x 的图象在 y 轴右侧的
部分向下平移 1 个单位即可．故选 B.
2．(2014·安徽合肥一模，6)已知函数 y＝f(x)与 y＝g(x)的图象如图所示，则函数 y＝f(x)·g(x)的图象可
能是( )
【答案】 A (排除法)观察图象可知，y＝f(x)有两个零点 x1＝－π
2 ，x2＝π
2 ，且 y＝g(x)在 x＝0 时，
函数值不存在，所以函数 y＝f(x)·g(x)在 x＝0 时，函数值也不存在，排除选项 C，D.当 x∈(0，
π
2 )时，y＝
f(x)·g(x)的函数值为负，排除选项 B.故选 A.
3．(2014·河南三市第二次调研，10)若实数 x，y 满足|x－1|－ln
1
y＝0，则 y 关于 x 的函数图象的大致
形状是( )
【 答 案 】 B 原 式 可 化 为 y ＝ e － |x － 1| ＝ (1
e )|x－1|
， 它 的 图 象 是 将 y ＝ (1
e )|x|
＝
{(1
e ) x
（x ≥ 0），
ex（x＜0）
的图象向右平移一个单位得到的，故选 B.
4．(2015·吉林一中质检，8)某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 9.5%，要增长到原来的 x 倍，
需经过 y 年，则函数 y＝f(x)的图象大致为( )
【答案】 D 设原来森林蓄积量为 a，因为某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 9.5%，所
以一年后，森林蓄积量为 a(1＋9.5%)，两年后，森林蓄积量为 a(1＋9.5%)2，经过 y 年，森林蓄积量为 a(1
＋9.5%)y，因为要增长到原来的 x 倍，需经过 y 年，所以 a(1＋9.5%)y＝ax，即 y＝log1.095x，故选 D.
5．(2015·安徽六安一模，13)已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数，当 x∈[0，1]时，f(x)＝x，且在[－1，
3]内，关于 x 的方程 f(x)＝kx＋k＋1(k∈R，k≠1)有四个根，则 k 的取值范围是________．
【解析】 由题意作出 f(x)在[－1，3]上的示意图如图所示，记 y＝k(x＋1)＋1，∴函数 y＝k(x＋1)＋
1 的图象过定点 A(－1，1)．记 B(2，0)，由图象知，方程有四个根，即函数 y＝f(x)与 y＝kx＋k＋1 的图
象有四个交点，故 kAB＜k＜0，∴－1
3＜k＜0.
【答案】 (－1
3，0)
6．(2015·福建福州联考，14)已知函数 f(x)＝ {2x （x＜0），
log2x （x＞0），若直线 y＝m 与函数 f(x)的图象有两
个不同的交点，则实数 m 的取值范围是________．
【解析】 如图，在平面直角坐标系中画出函数 f(x)＝{2x （x＜0），
log2x （x＞0）的图象，可知当 0＜m＜1 时，
直线 y＝m 与函数 f(x)的图象有两个不同的交点．
【答案】 (0，1)
7．(2014·江苏盐城模拟，12)若关于 x 的不等式 2－x2＞|x－a|至少有一个负数解，则实数 a 的取值范
围是________．
【解析】 在同一坐标系中画出函数 f(x)＝2－x2，g(x)＝|x－a|的图象，如图所示．若 a≤0，则其临
界情况为折线 g(x)＝|x－a|与抛物线 f(x)＝2－x2 相切．由 2－x2＝x－a 可得 x2＋x－a－2＝0，由 Δ＝1＋4(a
＋2)＝0，解得 a＝－9
4；若 a＞0，则其临界情况为两函数图象的交点为(0，2)，此时 a＝2.结合图象可知，
实数 a 的取值范围是(－9
4，2).
【答案】 (－9
4，2)
1．(2015·湖北，13，中)函数 f(x)＝2sin xsin(x＋
π
2 )－x2 的零点个数为________．
【解析】 f(x)＝sin 2x－x2，则原题可转化为求 f(x)＝0 的解的个数，即求 y1＝sin 2x 与 y2＝x2 两函
数图象交点的个数，如图所示交点有两个．
【答案】 2
2．(2015·湖南，14，中)若函数 f(x)＝|2x－2|－b 有两个零点，则实数 b 的取值范围是________．
【解析】 因为 y＝f(x)有两个零点，
所以|2x－2|－b＝0 有两个实根．
即|2x－2|＝b 有两个实根．
令 y1＝|2x－2|，y2＝b，则 y1 与 y2 的图象有两个交点．
由图可知 b∈(0，2)时 y1 与 y2 有两个交点．
【答案】 (0，2)
3．(2015·江苏，13，难)已知函数 f(x)＝|ln x|，g(x)＝{0， 0 < x ≤ 1，
|x2－4|－2，x > 1，则方程|f(x)＋g(x)|＝1 实根
的个数为________．
【解析】 ∵|f(x)＋g(x)|＝1，
∴g(x)＝－f(x)＋1 或 g(x)＝－f(x)－1，
①当 g(x)＝－f(x)＋1 时，
由图可知，此时 y＝g(x)与 y＝－f(x)＋1 的图象有两个交点，
即 g(x)＝－f(x)＋1 有 2 个实根．
②当 g(x)＝－f(x)－1 时，
由图可知，此时 y＝g(x)与 y＝－f(x)－1 的图象有两个交点．
即 g(x)＝－f(x)－1 有 2 个实数．
综合①②，可知方程有 4 个实根．
【答案】 4
1．(2012·北京，5，易)函数 f(x)＝ －(1
2 ) x
的零点个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】 B 令 f(x)＝ －(1
2 ) x
＝0，得 ＝(1
2 ) x
，求零点个数可转化为求两个函数图
象的交点个数，如图所示．
由图可知，两函数图象有 1 个交点，故选 B.
思路点拨：零点个数转化为图象的交点个数问题解决．构造函数 y＝ 和 y＝(1
2 ) x
，数形结合
求解．
2．(2012·湖北，3，易)函数 f(x)＝xcos 2x 在区间[0，2π]上的零点的个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】 D 令 f(x)＝xcos 2x＝0，
∴x＝0 或 cos 2x＝0，
即 x＝0 或 2x＝kπ＋π
2 ，k∈Z.
∵x∈[0，2π]，
∴x＝0，π
4 ，3π
4 ，5π
4 ，7π
4 ，故选 D.
3．(2014·湖北，9，中)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x≥0 时，f(x)＝x2－3x，则函数 g(x)＝f(x)
－x＋3 的零点的集合为( )
A．{1，3} B．{－3，－1，1，3}
C．{2－ 7，1，3} D．{－2－ 7，1，3}
【答案】 D 由已知可得，x<0 时，f(x)＝－x2－3x.
∴g(x)＝{x2－4x＋3，x ≥ 0，
－x2－4x＋3，x < 0.
①x≥0 时，令 g(x)＝0，即 x2－4x＋3＝0，得 x＝1 或 3；
②x<0 时，令 g(x)＝0，即－x2－4x＋3＝0，得 x＝－2－ 7或 x＝－2＋ 7(舍去)．
综上，g(x)的零点的集合为{1，3，－2－ 7}．
4．(2013·天津，8，中)设函数 f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数 a，b 满足 f(a)＝0，g(b)＝0，
则( )
A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a)
C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0
【答案】 A ∵f(x)＝ex＋x－2，
∴f′(x)＝ex＋1＞0，
则 f(x)在 R 上为增函数，
且 f(0)＝e0－2＜0，f(1)＝e－1＞0.
又 f(a)＝0，∴0＜a＜1.
∵g(x)＝ln x＋x2－3，∴g′(x)＝1
x＋2x.
当 x∈(0，＋∞)时，g′(x)＞0，得 g(x)在(0，＋∞)上为增函数．
又 g(1)＝ln 1－2＝－2<0，
g(2)＝ln 2＋1＞0，且 g(b)＝0，
∴1＜b＜2，即 a＜b.
∴{f（b）＞f（a）＝0，
g（a）＜g（b）＝0.
∴g(a)<00，f(x)单调递增；x∈(x1，x2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
x∈(x2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．∴x1 为极大值点，x2 为极小值点．∴方程 3(f(x))2＋2af(x)＋b
＝0 有两个不等实根，f(x)＝x1，f(x)＝x2.∵f(x1)＝x1，∴由图知 f(x)＝x1 有两个不同的解，f(x)＝x2 仅有一
个解．故选 A.
7．(2014·重庆，10，难)已知函数 f(x)＝{ 1
x＋1
－3，x ∈ （－1，0]，
x，x ∈ （0，1]，
且 g(x)＝f(x)－mx－m 在(－1，1]
内有且仅有两个不同的零点，则实数 m 的取值范围是( )
A.(－9
4，－2]∪(0，
1
2] B.(－11
4 ，－2]∪(0，
1
2]
C.(－9
4，－2]∪(0，
2
3] D.(－11
4 ，－2]∪(0，
2
3]
【答案】 A g(x)＝f(x)－mx－m 在(－1，1]内有且仅有两个不同的零点就是函数 y＝f(x)的图象与
函数 y＝m(x＋1)的图象有两个交点，在同一直角坐标系内作出函数 f(x)＝{ 1
x＋1
－3，x ∈ （－1，0]，
x，x ∈ （0，1]
和
函数 y＝m(x＋1)的图象，如图，
当直线 y＝m(x＋1)与 y＝ 1
x＋1
－3，x∈(－1，0]和 y＝x，x∈(0，1]都相交时 0＜m≤1
2；当直线 y＝m(x
＋1)与 y＝ 1
x＋1
－3，x∈(－1，0]有两个交点时，由方程组{y＝m（x＋1），
y＝ 1
x＋1
－3， 消元得 1
x＋1
－3＝m(x＋1)，
即 m(x＋1)2＋3(x＋1)－1＝0，化简得 mx2＋(2m＋3)x＋m＋2＝0，当 Δ＝9＋4m＝0，即 m＝－9
4时直线 y＝
m(x＋1)与 y＝ 1
x＋1
－3 相切，当直线 y＝m(x＋1)过点(0，－2)时，m＝－2，所以 m∈(－9
4，－2].综上，
实数 m 的取值范围是(－9
4，－2]∪(0，
1
2]，选 A.
方法点拨：在求解函数零点问题时往往要转化为两曲线的交点个数问题，需要先画出函数的图象，
本题中在画分段函数的图象时要注意自变量的取值范围，在函数的定义域内画图，再利用直线 y＝m(x＋1)
过定点(－1，0)，通过转动直线判断何时有两个交点，利用分界点处直线的斜率求解范围．
8．(2014·福建，15，中)函数 f(x)＝{x2－2，x ≤ 0，
2x－6＋ln x，x > 0的零点个数是________．
【解析】 当 x≤0 时，由 x2－2＝0 得 x＝－ 2；当 x>0 时，f(x)＝2x－6＋ln x 在(0，＋∞)上为增函
数，且 f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3>0，所以 f(x)在(0，＋∞)上有且只有一个零点．综上可知 f(x)的零点个
数为 2.
【答案】 2
考向 1 函数零点的判断与求解
1．函数零点的理解
函数 f(x)的零点⇔方程 f(x)＝0 的根⇔函数 f(x)的图象与 x 轴交点的横坐标．
2．零点存在性定理
如果函数 y＝f(x)满足条件：
(1)图象在闭区间[a，b]上连续不断；
(2)f(a)·f(b)<0.
则 f(x)在开区间(a，b)上存在零点(此处的零点仅指变号零点)，个数不定．若仅有变号零点，则有奇
数个，反之不成立，即函数 f(x)在(a，b)上有零点，不一定有 f(a)·f(b)<0，这不是一个等价条件．
零点存在性定理只能判断函数在某区间上是否存在零点，并不能判断零点的个数，但如果函数在区
间上是单调函数，则该函数在区间上至多有一个零点．
(1)(2014·北京，6)已知函数 f(x)＝6
x－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是( )
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，4) D．(4，＋∞)
(2)(2013·天津，7)函数 f(x)＝2x|log0.5x|－1 的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】 (1)因为 f(1)＝6－log21＝6＞0，f(2)＝3－log 22＝2＞0，f(4)＝3
2－log24＝－1
2＜0，所以函
数 f(x)的零点所在区间为(2，4)，故选 C.
(2)易知函数 f(x)＝2 x|log0.5x|－1 的零点个数⇔方程|log 0.5x|＝ 1
2x＝(1
2 ) x
的根的个数⇔函数 y 1 ＝
|log0.5x|与 y2＝(1
2 ) x
的图象的交点个数．作出两个函数的图象如图所示，由图可知两个函数图象有两
个交点，故选 B.
【答案】 (1)C (2)B
【点拨】 解题(1)的关键是应用零点存在性定理分别计算区间端点 1，2，4 对应的函数值 f(1)，f(2)，
f(4)，根据相应的函数值的符号进行判断；解题(2)的关键是在同一坐标系中，画出两个函数的图象，有
几个交点，原函数就有几个零点．
1.判断函数零点个数的常见方法
(1)方程法：解方程 f(x)＝0，方程有几个解，函数 f(x)就有几个零点；
(2)图象法：画出函数 f(x)的图象，函数 f(x)的图象与 x 轴的交点个数即为函数 f(x)的零点个数；
(3)将函数 f(x)拆成两个常见函数 h(x)和 g(x)的差，从而 f(x)＝0⇔h(x)－g(x)＝0⇔h(x)＝g(x)，则函数 f(x)
的零点个数即为函数 y＝h(x)与函数 y＝g(x)的图象的交点个数；
(4)二次函数的零点问题，通过相应的二次方程的判别式 Δ 来判断．
2．判断函数在某个区间上是否存在零点的方法
(1)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程，看方程是否有根落在给定区间上；
(2)零点存在性定理法：利用函数零点的存在性定理判断函数零点所在的区间，应分别计算各区间端
点对应的函数值，并判断其正负号，如果区间端点对应的函数值异号，那么函数在该区间上存在零点．
(3)数形结合法：画出函数的图象，通过观察图象与 x 轴在给定区间上是否有交点来判断．
(1)(2012·湖南，9)设定义在 R 上的函数 f(x)是最小正周期为 2π的偶函数，f′(x)是 f(x)的
导函数．当 x∈[0，π]时，00，则函数 y＝f(x)－sin x
在[－2π，2π]上的零点个数为( )
A．2 B．4 C．5 D．8
(2)(2011·陕西，6)方程|x|＝cos x 在(－∞，＋∞)内( )
A．没有根 B．有且仅有一个根
C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
(1)【答案】 B ∵f(x)是最小正周期为 2π的偶函数，
∴f(x＋2π)＝f(x)＝f(－x)，
∴y＝f(x)的图象关于 y 轴和直线 x＝π对称．
又∵00，
∴00.
又∵00)零点的分布
根的分布
(m 0，
－ b
2a < m，
f（m） > 0
m 0，
－ b
2a > m，
f（m） > 0
x1 0，
m < － b
2a < n，
f（m） > 0，
f（n） > 0
m 0，
f（n） < 0，
f（p） > 0
只有一根在
(m，n)之间
{Δ＝0，
m < － b
2a < n
或 f(m)·f(n)<0
在解决有关问题时，一定要充分利用这三者的关系，观察、分析函数的图象，找函数的零点，判断
各区间上函数值的符号，使问题得以解决．
(1)(2013·湖北，10)已知函数 f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，0) B.(0，
1
2)
C．(0，1) D．(0，＋∞)
(2)(2014·天津，14)已知函数 f(x)＝ {|x2＋5x＋4|，x ≤ 0，
2|x－2|，x＞0. 若函数 y＝f(x)－a|x|恰有 4 个零点，则实
数 a 的取值范围为________．
【解析】 (1)函数 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1－2ax.已知函数 f(x)＝x(ln x－ax)有两个
极值点，等价于 ln x＋1－2ax＝0 在(0，＋∞)上有两个不相等的实数根，等价于函数 h(x)＝ln x 的图象与
函数 g(x)＝2ax－1 的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点．
如图，设函数 h(x)＝ln x 与函数 g(x)＝2ax－1 的图象相切于点 A(m，ln m)，
其中 m＞0，函数 g(x)在点 A 处的切线的斜率为 k＝2a，函数 h(x)的图象在点 A 处
的切线的斜率为 k＝1
m，所以 2a＝1
m.
又因为直线 g(x)＝2ax－1 过点(0，－1)，
所以 k＝ln m＋1
m
，即ln m＋1
m
＝1
m，解得 m＝1，
所以当两曲线相切时，a＝1
2.∴a∈(0，
1
2).
(2)由题意，函数 y＝f(x)－a|x|恰有 4 个零点，得函数 y1＝f(x)与 y2＝a|x|的图象有 4 个不同的交点．在
同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示(a 显然大于 0)．由图可知，当 y2＝－ax(x＜0)与 y1＝－x2－5x
－4(－4＜x＜－1)相切时，x2＋(5－a)x＋4＝0 有两个相等的实数根，则(5－a)2－16＝0，解得 a＝1(a＝9
舍去)，所以当 x＜0 时，y1 与 y2 的图象恰有 3 个不同的交点．显然，当 1＜a＜2 时，两个函数的图象恰
有 4 个不同的交点，即函数 y＝f(x)－a|x|恰有 4 个零点．
【答案】 (1)B (2)(1，2)
【点拨】 解题(1)的关键是将问题转化为 f′(x)＝0 有两个零点解决；解题(2)的关键是在坐标系中画
出函数 f(x)的图象，利用数形结合思想求解．
已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范
围)常用的方法
(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求
解．
已知函数的零点个数，一般利用数形结合思想转化为两个函数图象的交点个数，这时图形一定要准
确．这种数形结合的方法能够帮助我们直观解题．
(2014·江苏，13)已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[0，3)时，f(x)＝|x2－2x＋1
2|.
若函数 y＝f(x)－a 在区间[－3，4]上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是________．
【解析】 当 x∈[0，3)时，f(x)＝|x2－2x＋1
2|＝|（x－1）2－1
2|，
由 f(x)是周期为 3 的函数，作出 f(x)在[－3，4]上的图象，如图．
由题意知方程 a＝f(x)在[－3，4]上有 10 个不同的根．
由图可知 a∈(0，
1
2).
【答案】 (0，
1
2)
方法点拨：已知函数的零点个数，一般利用数形结合转化为两个函数图象的交点个数，这种数形结
合的方法能够帮助我们直观解题．
1．(2015·福建厦门模拟，7)函数 f(x)＝2x－1
x的零点所在的大致区间是( )
A.(0，
1
2) B.(1
2，1)
C.(1，
3
2) D.(3
2，2)
【答案】 B 由题意知函数 f(x)单调递增，且 f (1
2 )＝ －2＜0，f(1)＝21－1＞0，所以函数的
零点在区间(1
2，1)内．
2．(2014·山东莱芜一模，5)已知函数 f(x)＝{2x－1，x ≤ 1，
1＋log2x，x＞1，则函数 f(x)的零点为( )
A.
1
2，0 B．－2，0
C.
1
2 D．0
【答案】 D 当 x≤1 时，由 f(x)＝2x－1＝0，解得 x＝0；当 x＞1 时，由 f(x)＝1＋log2x＝0，解得 x
＝1
2，又因为 x＞1，所以此时方程无解．综上，函数 f(x)的零点只有 0.
3．(2015·河南周口二模，6)已知函数 f(x)＝(1
5 ) x
－log3x，若 x0 是函数 y＝f(x)的零点，且 0＜x1＜
x0，则 f(x1)的值( )
A．恒为正值 B．等于 0
C．恒为负值 D．不大于 0
【答案】 A 注意到函数 f(x)＝(1
5 ) x
－log3x 在(0，＋∞)上是减函数，因此当 0＜x1＜x0 时，有
f(x1)＞f(x0)．又 x0 是函数 f(x)的零点，因此 f(x0)＝0，所以 f(x1)＞0，即此时 f(x1)的值恒为正值，选 A.
4．(2015·安徽合肥模拟，4)函数 f(x)＝x2－ax＋1 在区间(1
2，3)上有零点，则实数 a 的取值范围是( )
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞]
C.[2，
5
2) D.[2，
10
3 )
【答案】 D 当 f(1
2 )·f(3)＜0 时，函数在区间(1
2，3)上有且仅有一个零点，
即(5
4－a
2)(10－3a)＜0，解得5
2
＜a＜10
3 ；当{
1
2＜a
2
＜3，
Δ＝a2－4 ≥ 0，
f(1
2 )＞0，
f（3）＞0
时，函数在区间(1
2，3)上有一个或两个
零点，解得 2≤a＜5
2；当 a＝5
2时，函数的零点为1
2和 2，符合题意；当 a＝10
3 时，函数的零点为1
3或 3，不
符合题意．综上 a 的取值范围是[2，
10
3 )，故选 D.
5．(2015·河北秦皇岛二模，12)定义域为 R 的偶函数 f(x)满足对∀x∈R，有 f(x＋2)＝f(x)－f(1)，且当
x∈[2，3]时，f(x)＝－2x2＋12x－18.若函数 y＝f(x)－loga(x＋1)在(0，＋∞)上至少有三个零点，则 a 的取
值范围是( )
A.(0，
3
3 ) B.(0，
2
2 )
C.(0，
5
5 ) D.(0，
6
6 )
【答案】 A 在方程 f(x＋2)＝f(x)－f(1)中，令 x＝－1 得 f(1)＝f(－1)－f(1)，再根据函数 f(x)是偶函
数可得 f(1)＝0.由此得 f(x＋2)＝f(x)＝f(－x)，由此可得函数 f(x)是周期为 2 的周期函数，且其图象关于直
线 x＝1 对称．又当 x∈[0，1]时，x＋2∈[2，3]，所以当 x∈[0，1]时，f(x)＝f(x＋2)＝－2(x＋2)2＋12(x＋
2)－18＝－2x2＋4x－2＝－2(x－1)2，根据对称性可知函数 f(x)在[1，2]上的解析式也是 f(x)＝－2(x－1)2，
故函数 f(x)在[0，2]上的解析式是 f(x)＝－2(x－1)2.根据其周期性画出函数 f(x)在[0，＋∞)上的部分图象(如
图)．结合函数图象，只要实数 a 满足 0＜a＜1 且－2＜loga(2＋1)＜0 即可满足题意，故 0＜a＜1 且 log3a
＜－1
2＝log3
3
3 ，即 0＜a＜
3
3 .
6．(2015·湖北部分重点中学高三联考，8)已知 f(x)＝ln x＋x－2，g(x)＝xln x＋x－2 在(1，＋∞)上都
有且只有一个零点，f(x)的零点为 x1，g(x)的零点为 x2，则( )
A．1＜x2＜x1＜2
B．1＜x1＜x2＜2
C．1＜x1＜2＜x2
D．2＜x2＜x1
【答案】 A f(x)＝ln x＋x－2 的零点是函数 y＝ln x 与 y＝2－x 的交点的横坐标 x1，g(x)＝xln x＋x
－2 的零点是函数 y＝ln x 与 y＝2
x－1 的交点的横坐标 x2，在同一个坐标系中画出这些函数的图象，可以
看出 1＜x2＜x1＜2.
7．(2014·北京朝阳模拟，7)直线 y＝x 与函数 f(x)＝ {2，x＞m，
x2＋4x＋2，x ≤ m的图象恰有三个公共点，则
实数 m 的取值范围是( )
A．[－1，2) B．[－1，2]
C．[2，＋∞) D．(－∞，－1]
【答案】 A 直线 y＝x 与函数 f(x)＝{2，x＞m，
x2＋4x＋2，x ≤ m的图象恰有三个公共点，即方程 x2＋4x＋
2＝x(x≤m)与 x＝2(x＞m)共有三个根．
∵x2＋4x＋2＝x 的解为 x1＝－2，x2＝－1，
∴－1≤m＜2 时满足条件，故选 A.
思路点拨：将两个函数图象交点个数转化为方程解的个数解决．
8．(2015·陕西西安三模，15)对于函数 f(x)＝x|x|＋px＋q，现给出四个命题：
①q＝0 时，f(x)为奇函数；
②y＝f(x)的图象关于(0，q)对称；
③p＝0，q＞0 时，方程 f(x)＝0 有且只有一个实数根；
④方程 f(x)＝0 至多有两个实数根．
其中正确命题的序号为____________．
【解析】 若 q＝0，则 f(x)＝x|x|＋px＝x(|x|＋p)，为奇函数，所以①正确；由①知，当 q＝0 时，f(x)
为奇函数，图象关于原点对称，f(x)＝x|x|＋px＋q 的图象由函数 f(x)＝x|x|＋px 向上或向下平移 q 个单位，
所以图象关于(0，q)对称，所以②正确；当 p＝0，q＞0 时，f(x)＝x|x|＋q＝{x2＋q，x ≥ 0，
－x2＋q，x＜0，当 f(x)＝0 时，
得 x＝－ q，只有一解，所以③正确；取 q＝0，p＝－1，f(x)＝x|x|－x＝{x2－x，x ≥ 0，
－x2－x，x＜0，由 f(x)＝0，可
得 x＝0，x＝±1 有三个实数根，所以④不正确．综上，正确命题的序号为①②③.
【答案】 ①②③
1．(2015· 北京，8，中)某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.
加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米)
2015 年 5 月 1 日 12 35 000
2015 年 5 月 15
日
48 35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为( )
A．6 升 B．8 升
C．10 升 D．12 升
【答案】 B 5 月 1 日到 5 月 15 日，汽车行驶了 35 600－35 000＝600(千米)，
实际耗油 48 升，所以该车每 100 千米平均耗油量为48
6 ＝8(升)．
2．(2015·江苏，17，14 分，中)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交
通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边
界曲线为 C，计划修建的公路为 l.如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1，l2 的距离分别为 5
千米和 40 千米，点 N 到 l1，l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米，以 l2，l1 所在的直线分别为 x，y 轴，
建立平面直角坐标系 xOy.假设曲线 C 符合函数 y＝ a
x2＋b(其中 a，b 为常数)模型．
(1)求 a，b 的值；
(2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点，P 的横坐标为 t.
①请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t)，并写出其定义域；
②当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度．
解：(1)由题意知，点 M，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．
将其分别代入 y＝ a
x2＋b
，
得{ a
25＋b
＝40，
a
400＋b
＝2.5，
解得{a＝1 000，
b＝0.
(2)①由(1)知，y＝1 000
x2 (5≤x≤20)，则点 P 的坐标为(t，
1 000
t2 ).
设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于 A，B 点，y′＝－2 000
x3 ，
则 l 的方程为 y－1 000
t2 ＝－2 000
t3 (x－t)，由此得 A(3t
2 ，0)，B(0，
3 000
t2 ).
故 f(t)＝ (3t
2 )2
＋(3 000
t2 ) 2
＝3
2 t2＋4 × 106
t4 ，t∈[5，20]．
②设 g(t)＝t2＋4 × 106
t4 ，则 g′(t)＝2t－16 × 106
t5 .令 g′(t)＝0，解得 t＝10 2.
当 t∈(5，10 2)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；
当 t∈(10 2，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．
从而，当 t＝10 2时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，所以 g(t)min＝300，
此时 f(t)min＝15 3.
1．(2013·陕西，9，中)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于 300 m2 的内接矩形花
园(阴影部分)，则其边长 x(单位：m)的取值范围是( )
A．[15，20] B．[12，25]
C．[10，30] D．[20，30]
【答案】 C 设矩形的另一边长为 y m，
则由三角形相似知， x
40＝40－y
40
，
∴y＝40－x.
∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，
∴x2－40x＋300≤0，
∴10≤x≤30.
2．(2014·北京，8，中)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用
率”．在特定条件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p＝at2＋bt＋c(a，b，c 是常数)，
下图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )
A．3.50 分钟 B．3.75 分钟
C．4.00 分钟 D．4.25 分钟
【答案】 B (本题考查求二次函数解析式及应用)将(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)代入 p＝at2＋bt＋
c 中，得
{9a＋3b＋c＝0.7，
16a＋4b＋c＝0.8，
25a＋5b＋c＝0.5，
解得{a＝－0.2，
b＝1.5，
c＝－2，
∴p＝－0.2t2＋1.5t－2，
∴当 t＝－ 1.5
2 × （－0.2）＝3.75(分钟)时 p 最大，故选 B.
思路点拨：将问题转化为 p 的最值问题(二次函数最值问题)求解是解答本题的关键．
3．(2012·福建，16，易)某地区规划道路建设，考虑道路铺设方案．方案设计图中，点表示城市，两
点之间连线表示两城市间可铺设道路，连线上数据表示两城市间铺设道路的费用，要求从任一城市都能
到达其余各城市，并且铺设道路的总费用最小．例如：在三个城市道路设计中，若城市间可铺设道路的
路线图如图①，则最优设计方案如图②，此时铺设道路的最小总费用为 10.
现给出该地区可铺设道路的线路图如图③，则铺设道路的最小总费用为________．
【解析】 由题意知，各城市相互到达，且费用最少为 FG＋GD＋AE＋EF＋GC＋BC＝1＋2＋2＋3
＋3＋5＝16.
【答案】 16
4．(2011·福建，16，中)商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售
限价 a，最高销售限价 b(b>a)以及实数 x(00；当 x∈(20，30)时，V′<0.
所以当 x＝20 时，V 取得极大值，也是最大值．
此时h
a＝1
2，即包装盒的高与底面边长的比值为1
2.
思路导引：分别建立侧面积 S(cm2)、容积 V(cm3)关于 x 的函数，用配方法或导数工具求最大值．
考向 1 分段函数模型的应用
1．解决应用问题的基本步骤
(1)审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型；
(2)建模：将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实
际问题化为数学问题；
(3)求解：求解数学问题，得出数学结论；
(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案．
解函数应用题常见的错误：①不会将实际问题抽象转化为函数模型，或转化不全面；②在求解过程
中忽略实际问题对变量参数的限制条件．
2．分段函数模型
(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如出租
车的票价与路程的函数就是分段函数．
(2)分段函数的主要特征是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段
的变化规律分别找出来，再合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．
(3)构建分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理，不重不漏．
(2011·湖北，17，12 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一
般情况下，大桥上的车流速度 v(单位：千米/小时)是车流密度 x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密
度达到 200 辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为 0；当车流密度不超过 20 辆/千米时，车流速度为 60
千米/小时．研究表明：当 20≤x≤200 时，车流速度 v 是车流密度 x 的一次函数．
(1)当 0≤x≤200 时，求函数 v(x)的表达式；
(2)当车流密度 x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)
可以达到最大，并求出最大值．(精确到 1 辆/小时)
【解析】 (1)由题意，当 0≤x≤20 时，v(x)＝60；
当 201) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)
上的单调性
单调增函数 单调增函数 单调增函数
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化
随 x 增大逐渐表现
为与 y 轴平行
随 x 增大逐渐表现
为与 x 轴平行
随 n 值变化而不同
(2015·湖南八校联考，18，12 分)某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的
剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所示的曲
线．
(1)写出第一次服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y＝f(t)；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于 0.25 微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有
效的时间．
【解析】 (1)由图象，设 y＝{kt（0 ≤ t ≤ 1），
(1
2 )t－a
（t > 1），
当 t＝1 时，由 y＝4 得 k＝4；
由(1
2 )1－a
＝4 得 a＝3.
所以 y＝{4t（0 ≤ t ≤ 1），
(1
2 )t－3
（t > 1）.
(2)由 y≥0.25 得{0 ≤ t ≤ 1，
4t ≥ 0.25 或{t > 1，
(1
2 )t－3
≥ 0.25，
解得 1
16≤t≤5.
因此服药一次后治疗疾病有效的时间是 5－ 1
16＝79
16(小时)．
【点拨】 解答本题的关键是设出正确的函数模型，利用待定系数法确定函数解析式，然后解不等
式．
三种函数模型的应用技巧
(1)与幂函数、指数函数、对数函数三类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模
型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于 1)的一类函数模型，与增长率、银行利
率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决幂函数、指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，
再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
(2013·上海，20，14 分)甲厂以 x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求
1≤x≤10)，每一小时可获得的利润是 100 (5x＋1－3
x)元．
(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围；
(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利
润．
解：(1)根据题意，得 200(5x＋1－3
x)≥3 000，∵1≤x≤10，∴解得 3≤x≤10.
(2)生产 900 千克该产品，获得的利润为
90 000(5＋1
x
－3
x2)，1≤x≤10.
记 f(x)＝－ 3
x2＋1
x＋5，1≤x≤10，
则 f(x)＝－3(1
x－1
6) 2
＋ 1
12＋5，当且仅当 x＝6 时取到最大值61
12，
所以获得最大利润为
90 000×61
12＝457 500(元)．
因此甲厂应以 6 千克/小时的速度生产，可获得最大利润为 457 500 元．
1．(2015·河北石家庄高三月考，8)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为 L1
＝5.06x－0.15x2 和 L2＝2x，其中 x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售 15 辆车，则能获得的
最大利润为( )
A．45.606 万元 B．45.6 万元
C．45.56 万元 D．45.51 万元
【答案】 B 设在甲地销售 x 辆车，则在乙地销售(15－x)辆车，获得的利润为 y＝5.06x－0.15x2＋
2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30，当 x＝－ 3.06
2 × （－0.15）＝10.2 时，y 最大，但 x∈N*，所以当 x＝10 时，
ymax＝－15＋30.6＋30＝45.6，故选 B.
2．(2014·广东汕头一模，6)一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所
示．出水口的出水速度如图乙所示，某天 0 点到 6 点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下 3 个论断：①0 点到 3 点只进水不出水；②3 点到 4 点不进水只出水；③4 点到 6 点不进水
不出水．则一定正确的是( )
A．① B．①② C．①③ D．①②③
【答案】 A 由甲、乙两图可知进水速度为 1，出水速度为 2，结合丙图中直线的斜率，只进水不
出水时，蓄水量增加速度是 2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是 2，故②不正确；两个进
水一个出水时，蓄水量减少速度也是 0，故③不正确．
3．(2014·北京东城期末，9)某企业投入 100 万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是 0.5 万元，
此外每年都要花费一定的维护费，每一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上
一年增加 2 万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )
A．10 B．11 C．13 D．21
【答案】 A 设该企业需要更新设备的年数为 x，设备年平均费用为 y，则 x 年后的设备维护费用
为 2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以 x 年的平均费用为 y＝100＋0.5x＋x（x＋1）
x
＝x＋100
x ＋1.5.由均值不等
式得 y＝x＋100
x ＋1.5≥2 x·
100
x ＋1.5＝21.5，当且仅当 x＝100
x
，即 x＝10 时取等号，所以选 A.
4．(2014·吉林长春外国语学校模拟，4)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽
快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间 T 内完成预测的运输
任务 Q0，各种方案的运输总量 Q 与时间 t 的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间
的运输量)逐步提高的是( )
【答案】 B 由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得，曲线上的点的切线斜率应逐渐增大，故
函数的图象应一直是下凹的，故选 B.
5．(2014·山东青岛二模，6)某位股民购进某只股票，在接下来的交易时间内，他的这只股票先经历
了 n 次涨停(每次上涨 10%)，又经历了 n 次跌停(每次下跌 10%)，则该股民这只股票的盈亏情况(不考虑
其他费用)为( )
A．略有盈利 B．略有亏损
C．没有盈利也没有亏损 D．无法判断盈亏情况
【答案】 B 设该股民购这只股票的价格为 a，则经历 n 次涨停后的价格为 a(1＋10%)n＝a×1.1n，
经历 n 次跌停后的价格为 a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a0；②f(0)f(1)<0；
③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0.
其中正确结论的序号是( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
【答案】 C 由题设知 f(x)＝0 有 3 个不同零点．
设 g(x)＝x3－6x2＋9x，
∴f(x)＝g(x)－abc，f(x)有 3 个零点，需将 g(x)的图象向下平移至如图所示位置．
由图象观察可知，f(0)f(1)<0 且 f(0)·f(3)>0.故选 C.
8．(2011·课标全国，12)函数 y＝ 1
1－x
的图象与函数 y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐
标之和等于( )
A．2 B．4
C．6 D．8
【答案】 D 函数 y＝ 1
1－x
＝ －1
x－1
和 y＝2sin πx 的图象有公共的对称中心(1，0)，画出二者图象
如图所示，
易知 y＝ 1
1－x
与 y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象共有 8 个交点，不妨设其横坐标为 x1，x2，x3，x4，
x5，x6，x7，x8，且 x1＜x2＜x3＜x4＜x5＜x6＜x7＜x8.由对称性得 x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2，∴x1＋
x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8，故选 D.
9．(2015·山东枣庄质检，8)若函数 f(x)＝x3＋ax＋b(b∈R)有 3 个零点，分别为 x1，x2，x3，且满足 x1
＜－1，x2＝1，x3＞1，则实数 a 的取值范围是( )
A．(－∞，－3)
B．(－∞，－2)
C．(－∞，－1)
D．(－∞，0)
【答案】 A f′(x)＝3x2＋a，∵f(x)有三个零点，
∴a＜0.令 f′(x)＝0，得 x＝± －a
3.
∵x2＝1，x3＞1，由图象，得 －a
3
＞1，
∴a＜－3.
10．(2015·安徽芜湖一模，10)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足：f(x)＝{x2＋2，x ∈ [0，1），
2－x2，x ∈ [－1，0），且 f(x
＋2)＝f(x)，g(x)＝2x＋5
x＋2
，则方程 f(x)＝g(x)在区间[－5，1]上的所有实数根之和为( )
A．－5 B．－6
C．－7 D．－8
【答案】 C 由题意知 g(x)＝2x＋5
x＋2
＝2（x＋2）＋1
x＋2
＝2＋ 1
x＋2
，函数 f(x)的周期为 2，则函数 f(x)，
g(x)在区间[－5，1]上的图象如图所示：
由图形可知函数 f(x)，g(x)在区间[－5，1]上的交点为 A，B，C，易知点 B 的横坐标为－3，
若设 C 的横坐标为 t(0＜t＜1)，则点 A 的横坐标为－4－t.
∴方程 f(x)＝g(x)在区间[－5，1]上的所有实数根之和为－3＋(－4－t)＋t＝－7.
二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
11．(2014·广东揭阳月考，9)若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的两个零点是－2 和 3，则不等式 af(－2x)＞0 的
解集是________．
【 解 析 】 由 题 意 得 ， － 2 和 3 是 方 程 x2 ＋ ax ＋ b ＝ 0 的 两 个 根 ， 由 根 与 系 数 的 关 系 得
{－2＋3＝－a，
（－2） × 3＝b⇒a＝－1，b＝－6
⇒f(x)＝x2－x－6.
故不等式 af(－2x)＞0⇔2x2＋x－3＜0，
解得－3
2＜x＜1.
【答案】 (－3
2，1)
12．(2015·河南安阳一模，14)已知函数 f(x)＝{ax2＋2x＋1（－2＜x ≤ 0），
ax－3（x＞0） 有 3 个零点，则实数 a
的取值范围是________．
【解析】 因为二次函数最多有两个零点，所以函数 y＝ax－3(x＞0)必有一个零点，从而 a＞0，所
以函数 y＝ax2＋2x＋1(－2＜x≤0)必有两个零点，故需要
{－2＜－ 2
2a
＜0，
f（－2）＞0，
f（0） ≥ 0，
Δ＝4－4a＞0，
解得3
4＜a＜1.
【答案】 (3
4，1)
13．(2015·安徽黄山一模，14)铁道机车运行 1 h 所需的成本由两部分组成：固定部分 m 元，变动部
分(元)与运行速度 x(km/h)的平方成正比，比例系数为 k(k>0)．如果机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两
站间的距离为 500 km，则机车从甲站运行到乙站的总成本 y(元)与机车运行速度 x 之间的函数关系为
________．
【解析】 ∵1 h 的成本为(m＋kx2)，从甲站到乙站需运行500
x h，∴y＝500
x (m＋kx2)＝500(m
x＋kx).
【答案】 y＝500(m
x＋kx)
14．(2015·湖北宜昌质检，13)已知函数 f(x)＝{(1
2 )x
（x ≤ 0），
1－3x（x＞0），
则 f(f(－1))＝________；若 f(2a2－
3)＞f(5a)，则实数 a 的取值范围是________．
【解析】 因为 f(－1)＝(1
2 )－1
＝2，
所以 f[f(－1)]＝f(2)＝1－3×2＝－5.
函数 f(x)的大致图象如下：
由图象可知，函数 f(x)在定义域上单调递减，所以由 f(2a2－3)>f(5a)得，2a2－3<5a，即 2a2－5a－
3<0，解得－1
20.
∵a>0，f(x)＝a[(x－1)2－4]≥－4，
又 f(1)＝－4a，
∴f(x)min＝－4a＝－4，∴a＝1.
故函数 f(x)的解析式为
f(x)＝x2－2x－3.
(2)∵g(x)＝x2－2x－3
x
－4ln x＝x－3
x－4ln x－2(x>0)，g′(x)＝1＋ 3
x2－4
x＝（x－1）（x－3）
x2 .
∴x，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：
x (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞)
g′(x) ＋ 0 － 0 ＋
g(x)
单调
递增
极大值
单调
递减
极小值 单调递增
当 03，
g(e5)＝e5－ 3
e5－20－2>25－1－22＝9>0.
故函数 g(x)只有 1 个零点，且零点 x0∈(3，e5)．
18．(14 分)(2015·江西宜春质检，20)已知函数 f(x)＝loga(x＋1)，函数 y＝g(x)的图象上任意一点 P 关
于原点的对称点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象．
(1)写出 g(x)的解析式；
(2)若 a>1，x∈[0，1)时，总有 F(x)＝f(x)＋g(x)≥m 成立，求实数 m 的取值范围．
解：(1)设 P(x，y)是函数 y＝g(x)图象上的任意一点，则 P 关于原点的对称点 Q 的坐标为(－x，－
y)．
∵已知点 Q 在函数 f(x)的图象上，
∴－y＝f(－x)，而 f(x)＝loga(x＋1)，
∴－y＝loga(－x＋1)，
∴y＝－loga(－x＋1)．
而 P(x，y)是函数 y＝g(x)图象上的点，
∴y＝g(x)＝－loga(－x＋1)
＝－loga(1－x)＝loga
1
1－x.
(2)当 x∈[0，1)时，
f(x)＋g(x)＝loga(x＋1)＋loga
1
1－x
＝loga
1＋x
1－x.
下面求当 x∈[0，1)时，f(x)＋g(x)的最小值．
令1＋x
1－x
＝t，则 x＝t－1
t＋1.
∵x∈[0，1)，即 0≤t－1
t＋1<1，解得 t≥1，
∴1＋x
1－x
≥1.又 a>1，
∴loga
1＋x
1－x
≥loga1＝0，
∴f(x)＋g(x)≥0，
∴当 x∈[0，1)时，f(x)＋g(x)的最小值为 0.
∵当 x∈[0，1)时，总有 f(x)＋g(x)≥m 成立，
∴m≤0，
即所求 m 的取值范围为(－∞，0]．
