中考数学一轮复习 数与式 因式分解

中考数学一轮复习 数与式 因式分解

第3讲　因式分解 第一章　数与式 知识盘点 1 ．因式分解的概念 2 ．基本方法 3 ．因式分解的一般步骤 1 ． 公因式确定的步骤： (1) 看系数：取各 项 整数系数的最大公 约 数． (2) 看字母：取各 项 相同的字母． (3) 看指数：取各相同字母的最低次 幂． 如：分解因式 6 xy 2 ＋ 2 xy ， 第一步取系数 为 6 和 2 的最大公 约 数 2 ， 第二步取相同字母 为 xy ， 第三步取 xy 的最低次 幂为 1 ， 故公因式 为 2 xy . 2 ． 因式分解的思考步骤 (1) 提取公因式； (2) 看有几 项 ：如果 为 二 项时 ， 考 虑 使用平方差公式；如果 为 三 项时 ， 考 虑 使用完全平方公式； (3) 检查 是否分解 彻 底． 在分解出的每个因式化 简 整理后 ， 把它作 为 一个新的多 项 式 ， 再重复以上 过 程 进 行思考 ， 试 探分解的可能性 ， 直至不可能分解 为 止． 以上步 骤 可以概括 为 “ 一提二套三 查 ” ． 3 ． 变形技巧 当 n 为 奇数 时 ， ( a － b ) n ＝－ ( b － a ) n ； 当 n 为 偶数 时 ， ( a － b ) n ＝ ( b － a ) n . 难点与易错点 1 ． ( 2015 · 武汉 ) 把 a 2 － 2a 分解因式 ， 正确的是 ( ) A ． a ( a － 2) B ． a ( a ＋ 2) C ． a ( a 2 － 2) D ． a (2 － a ) 2 ． ( 2015 · 宜宾 ) 把代数式 3x 3 － 12x 2 ＋ 12x 分解因式 ， 结果正确的是 ( ) A ． 3 x ( x 2 － 4 x ＋ 4) B ． 3 x ( x － 4) 2 C ． 3 x ( x ＋ 2)( x － 2) D ． 3 x ( x － 2) 2 A D 夯实基础 3 ． ( 2015 · 北海 ) 下列因式分解正确的是 ( ) A ． x 2 － 4 ＝ ( x ＋ 4)( x － 4) B ． x 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ x ( x ＋ 2) ＋ 1 C ． 3 mx － 6 my ＝ 3 m ( x － 6 y ) D ． 2 x ＋ 4 ＝ 2( x ＋ 2) 4 ． ( 2015 · 广西 ) 分解因式： x 3 － 2x 2 y ＝ ． 5 ． ( 2015 · 北京 ) 分解因式： 5x 3 － 10x 2 ＋ 5x ＝ . D x 2 ( x － 2y ) 5x ( x － 1 ) 2 【 例 1 】 　 ( 2014 · 海南 ) 下列式子从左到右变形是因式分解的是 ( ) A ． a 2 ＋ 4 a － 21 ＝ a ( a ＋ 4) － 21 B ． a 2 ＋ 4 a － 21 ＝ ( a － 3)( a ＋ 7) C ． ( a － 3)( a ＋ 7) ＝ a 2 ＋ 4 a － 21 D ． a 2 ＋ 4 a － 21 ＝ ( a ＋ 2) 2 － 25 【 点评 】 　因式分解是将一个多 项 式化成几个整式 积 的形式的恒 等 变 形 ， 若 结 果不是 积 的形式 ， 则 不是因式分解 ， 还 要注意分解要 彻 底． [ 对应训练 ] 1 ．下列等式从左到右的变形 ， 属于因式分解的是 ( ) A ． a ( x － y ) ＝ ax － ay B ． x 2 ＋ 2 x ＋ 1 ＝ x ( x ＋ 2) ＋ 1 C ． ( x ＋ 1)( x ＋ 3) ＝ x 2 ＋ 4 x ＋ 3 D ． x 3 － x ＝ x ( x ＋ 1)( x － 1) B D 典例探究 【 例 2 】 　阅读下列文字与例题： 将一个多项式分组后 ， 可提取公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法． 例如： (1) am ＋ an ＋ bm ＋ bn ＝ ( am ＋ bm ) ＋ ( an ＋ bn ) ＝ m ( a ＋ b ) ＋ n ( a ＋ b ) ＝ ( a ＋ b )( m ＋ n ) ； (2) x 2 － y 2 － 2 y － 1 ＝ x 2 － ( y 2 ＋ 2 y ＋ 1) ＝ x 2 － ( y ＋ 1) 2 ＝ ( x ＋ y ＋ 1)( x － y － 1) ． 试用上述方法分解因式： a 2 ＋ 2 ab ＋ ac ＋ bc ＋ b 2 ＝ ． 【 点评 】 　 (1) 首 项 系数 为负 数 时 ， 一般公因式的系数取 负 数 ， 使括号内首 项 系数 为 正； ( 2) 当某 项 正好是公因式 时 ， 提取公因式后 ， 该项应为 1 ， 不可漏掉； (3) 公因式也可以是多 项 式． ( a ＋ b )( a ＋ b ＋ c ) [ 对应训练 ] 2 ． (1) ( 2015 · 临沂 ) 多项式 mx 2 － m 与多项式 x 2 － 2x ＋ 1 的公因式是 ( ) A ． x － 1 B ． x ＋ 1 C ． x 2 － 1 D ． ( x － 1) 2 (2) 把多项式 ( m ＋ 1)( m － 1) ＋ ( m － 1) 提取公因式 ( m － 1) 后 ， 余下的部分是 ( ) A ． m ＋ 1 B ． 2 m C ． 2 D ． m ＋ 2 (3) 分解因式： ( x ＋ y ) 2 － 3( x ＋ y ) ． 解： ( x ＋ y ) 2 － 3 ( x ＋ y ) ＝ ( x ＋ y )( x ＋ y － 3 ) A D 【 例 3 】 　 (1) ① ( 2015 · 哈尔滨 ) 把多项式 9a 3 － ab 2 因式分解的结果 是 ； ② ( 2015 · 巴中 ) 分解因式： 2a 2 － 4a ＋ 2 ＝ ． (2) 分解因式： ① ( 2015 · 株洲 ) 因式分解： x 2 (x － 2) － 16(x － 2) ＝ ； ② ( 2015 · 酒泉 ) 分解因式： x 3 y － 2x 2 y ＋ xy ＝ ． 【 点评 】 　 (1) 用平方差公式分解因式 ， 其关 键 是将多 项 式 转 化 为 a 2 － b 2 的形式 ， 需注意 对 所 给 多 项 式要善于 观 察 ， 并作适当 变 形 ， 使之符合平方差公式的特点 ， 公式中的 “ a ”“ b ” 也可以是多 项 式 ， 可将 这 个多 项 式看作一 个整体 ， 分解后注意合并同 类项 ； ( 2) 用完全平方公式分解因式 时 ， 其关 键 是掌握公式的特征． a ( 3a ＋ b )( 3a － b ) 2 ( a － 1 ) 2 ( x － 2 )( x ＋ 4 )( x － 4 ) xy ( x － 1 ) 2 [ 对应训练 ] 3 ． 分解因式： (1)9 x 2 － 1 ； (2)25( x ＋ y ) 2 － 9( x － y ) 2 ； (3) ( 2015 · 南京 ) 分解因式 (a － b)(a － 4b) ＋ ab ； (4) ( 2015 · 杭州 ) 分解因式： m 3 n － 4mn. 解： ( 1 ) 9x 2 － 1 ＝ ( 3x ＋ 1 )( 3x － 1 ) ( 2 ) 25 ( x ＋ y ) 2 － 9 ( x － y ) 2 ＝ [ 5 ( x ＋ y ) ＋ 3 ( x － y )][ 5 ( x ＋ y ) － 3 ( x － y )] ＝ ( 8x ＋ 2y )( 2x ＋ 8y ) ＝ 4 ( 4x ＋ y )( x ＋ 4y ) 　 ( 3 )( a － b )( a － 4b ) ＋ ab ＝ a 2 － 5ab ＋ 4b 2 ＋ ab ＝ a 2 － 4ab ＋ 4b 2 ＝ ( a － 2b ) 2 　 ( 4 ) m 3 n － 4mn ＝ mn ( m 2 － 4 ) ＝ mn ( m － 2 )( m ＋ 2 ) 【 点评 】 　灵活运用多种方法分解因式 ， 其一般 顺 序是：首先提取公因式 ， 然后再考 虑 用公式 ， 最后 结 果一定要分解到不能再分解 为 止． by ( 3x ＋ y )( 3x － y ) x ( x － 1 ) 2 解： ( x ＋ 2 )( x ＋ 4 ) ＋ x 2 － 4 ＝ ( x ＋ 2 )( x ＋ 4 ) ＋ ( x ＋ 2 )( x － 2 ) ＝ ( x ＋ 2 )( x ＋ 4 ＋ x － 2 ) ＝ ( x ＋ 2 )( 2x ＋ 2 ) ＝ 2 ( x ＋ 2 )( x ＋ 1 ) 【 例 5 】 　 (1)( 2014 · 河北 ) 计算： 85 2 － 15 2 等于 ( ) A ． 70 　　　　 B ． 700 　　　 C ． 4900 　　　 D ． 7000 (2) 已知 a 2 ＋ b 2 ＋ 6 a － 10 b ＋ 34 ＝ 0 ， 求 a ＋ b 的值． 解： ∵ a 2 ＋ b 2 ＋ 6a － 10b ＋ 34 ＝ 0 ， ∴ a 2 ＋ 6a ＋ 9 ＋ b 2 － 10b ＋ 25 ＝ 0 ， 即 ( a ＋ 3 ) 2 ＋ ( b － 5 ) 2 ＝ 0 ， ∴ a ＋ 3 ＝ 0 且 b － 5 ＝ 0 ， ∴ a ＝－ 3 ， b ＝ 5 ， ∴ a ＋ b ＝－ 3 ＋ 5 ＝ 2 【 点评 】 　 (1) 利用因式分解 ， 将多 项 式分解之后整体代入求 值 ； ( 2) 一个 问题 有两个未知数 ， 只有一个条件 ， 根据已知式右 边 等于 0 ， 若将左 边转 化成两个完全平方式的和 ， 而它 们 都是非 负 数 ， 要使和 为 0 ， 则 每个完全平方式都等于 0 ， 从而使 问题 得以求解． D 4900 C 解析： ∵ a 3 ＋ ab 2 ＋ bc 2 ＝ b 3 ＋ a 2 b ＋ ac 2 ， ∴ a 3 － b 3 － a 2 b ＋ ab 2 － ac 2 ＋ bc 2 ＝ 0 ， ( a 3 － a 2 b ) ＋ ( ab 2 － b 3 ) － ( ac 2 － bc 2 ) ＝ 0 ， a 2 ( a － b ) ＋ b 2 ( a － b ) － c 2 ( a － b ) ＝ 0 ， ( a － b )( a 2 ＋ b 2 － c 2 ) ＝ 0 ， ∴ a － b ＝ 0 或 a 2 ＋ b 2 － c 2 ＝ 0. ∴ a ＝ b 或 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ， 故 △ ABC 的形状是等腰三角形或直角三角形 试题 　分解因式： (1)20m 3 n － 15m 2 n 2 ＋ 5m 2 n ； (2)4x 2 － 16y 2 ； (3)m(a － b) ＋ n(b － a) ； (4) － 3x 2 ＋ 18x － 27. 错解 　 (1)20m 3 n － 15m 2 n 2 ＋ 5m 2 n ＝ 5m 2 n(4m － 3n) ； (2)4x 2 － 16y 2 ＝ (2x ＋ 4y)(2x － 4y) ； (3)m(a － b) ＋ n(b － a) ＝ (a － b)(m ＋ n) ； (4) － 3x 2 ＋ 18x － 27 ＝－ 3(x 2 － 6x ＋ 9) ． 剖析 　学 习 因式分解 ， 若 对 分解因式的方法不熟 练 ， 理解不透 彻 ， 可能会出 现 各种各 样 的 错误． 因式分解提取公因式后 ， 括号内的 项 一定要与原来的 项 数一 样 多 ， 错 解主要是 对 分配律理解不深或粗心大意造成的 ， 提取公因式 还 有符号方面的 错误 ；分解因式 时 ， 应 先 观 察是否有公因式可提 ， 公因式包括系数 ， 错 解忽 视 提取系数的最大公 约 数；分解因式 还 要使分解后的每个因式都不能再分解． 正解 　 ( 1 ) 20m 3 n － 15m 2 n 2 ＋ 5m 2 n ＝ 5m 2 n ( 4m － 3n ＋ 1 ) 　 ( 2 ) 4x 2 － 16y 2 ＝ 4 ( x ＋ 2y )( x － 2y ) 　 ( 3 ) m ( a － b ) ＋ n ( b － a ) ＝ m ( a － b ) － n ( a － b ) ＝ ( a － b )( m － n ) 　 ( 4 ) － 3x 2 ＋ 18x － 27 ＝－ 3 ( x 2 － 6x ＋ 9 ) ＝－ 3 ( x － 3 ) 2