2020-2021学年高二数学上册同步练习：直线与圆的位置关系

2020-2021学年高二数学上册同步练习：直线与圆的位置关系

2020-2021 学年高二数学上册同步练习：直线与圆的位置关系 一、单选题 1．圆 22(1)(2)6xy 与直线 2 5 0xy   的位置关系是（ ） A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．相交过圆心 D．相离 【答案】B 【解析】由题意知圆心 (1, 2 ) 到直线 的距离 22 2125 56 21 d   且 2 1 ( 2 ) 5 0     ，所以直线与圆相交但不过圆心． 故选 B 2．经过点  2 , 1M  作圆 225xy的切线，则切线的方程为（ ） A． 2 5 0xy   B． 2 5 0xy   C． 25xy D． 2 5 0xy   【答案】A 【解析】因为点  2,1M  在圆 225xy上，所以 1 2OMk  ，因此切线斜率为 2，故切线方程为  122yx ，整理得 250.xy 故选 A 3．圆 224xy被直线3450xy 截得的弦长为（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 23 【答案】D 【解析】依题意，圆 x2+y2＝4 圆心为（0，0），半径 r＝2， 所以圆心到直线圆 x2+y2＝4 的距离 d＝ 22 5 34 ＝1， 设弦长为 l，则半径 r、半弦长 2 l 和弦心距 d 构成直角三角形， 所以 2 22212 l ， 解得 l＝2 ， 故选 D. 4．圆 224xy被直线 2yx 截得的劣弧所对的圆心角的大小为（ ） A． 30° B． 45 C．90 D．120 【答案】D 【解析】根据题意，设直线 与圆 的交点为 ,AB， AB 的中点为点 M ， 圆 的圆心为 (0 ,0)O ，半径 2r = ， 则圆心到直线 的距离 2 1 11 d   ， 所以 1cos 2 dAOM r   ， 因为 ( 0 , )A O M  ，所以 60A O M   ， 所以 120AOB   ， 所以圆 被直线 截得的劣弧所对的圆心角的大小为 ， 故选 D 5．直线 10axy 与圆 22440xyxy 交于 两点，若 | | 4AB  ，则 a  （ ） A． 4 3 B． 4 3 C． 3 4 D． 3 4 【答案】D 【解析】由题得 22(2)(2)8xy ，它表示圆心为（2,2），半径为 22的圆. 则圆心到直线的距离 d 2 22 | 221|| 21|822= 11 aa aa   ， 所以 3 4a  . 故选 D 6．已知直线 ( 0)x y m m   与圆 221xy 相交于 ,PQ两点，且 120POQ（其中 O 为原点）， 那么 m 的值是（ ） A． 3 3 B． 2 2 C． 2 D． 3 【答案】B 【解析】O 为圆 221xy的圆心，所以易知 30O P Q，则圆心 O 到直线 ( 0 )x y m m   的距 离等于 1 2 ，根据点到直线距离公式有 1 22 m  ，所以 2 2m  ， 故选 B. 7．垂直于直线 1yx且与圆 221xy相切于第一象限的直线方程是（ ） A． 20xy   B． 10xy   C． 10xy   D． 20xy   【答案】A 【解析】与直线 y＝x＋1 垂直的直线设为：x＋y＋b＝0. 则 2 b ＝r＝1，所以|b|＝ 2 ， 又直线与圆相切于第一象限， ∴b＝－ ，从而切线方程为 x＋y－ ＝0. 故选 A 8．圆   22128xy 上到直线 x+y+1=0 的距离等于 2 的点的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由题意，圆心坐标为（1，−2），半径为 22， ∴圆心到直线 x+y+1=0 的距离为 |121| 0 2 d ， ∴圆 上到直线 x+y+1=0 的距离等于 的点共有 4 个. 故选 D. 9．已知圆 222: (4)(2)Cxyr  截 y 轴所得的弦长为 ，过点(0,4) 且斜率为k 的直线l 与圆 C 交 于 ,AB两点，若| | 2 2AB  ，则 的值为（ ） A． 1 4 B． 1 4 C． 3 4 D． 3 4 【答案】D 【解析】因为 y 轴和直线 l 被圆截得的弦长相等， 所以圆心C 到 轴和到直线 的距离相等， 又直线 :4l y k x ， 即 40kx y   ， 所以圆心 (4 ,2 )C 到直线 的距离 22 | 424 || 42 | 4 11 kkd kk   ， 解得 3 4k  ， 故选 D． 10．已知直线 :22lymxm 和圆 22:9C x y 关于 A 、 B 两点，则使得弦长 AB 为整数的直线 的 条数为（ ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【解析】直线 过定点  2 ,2Q ，该点在圆 内， 则弦长 的最大值为 6 ，满足弦长 为 6 的直线有 1 条. 当 C Q l 时，弦长 最小，且最小值为 2982，满足弦长 为 2 的直线有 1 条. 若弦长 为整数，则整数为 2,3,4,5,6 ，其中满足弦长 为 3 ,4 ,5 各有两条直线. 故使得弦长 为整数的直线 的条数为 2 3 1 1 8    . 故选 C. 11．若圆 :C 22( ) ( ) 2x a y b    与两条直线 yx 和 yx 都有公共点，则 22ab 的范围是（ ） A． 2, 4 B． 0, 4 C． 4, D． 2, 【答案】B 【解析】圆 与两条直线 和 都有公共点 222 2 2 4 2 ab a b a ab b         ； 222224 2 ab abaabb  ； 两式相加得到 2204ab   故选 B 12．已知⊙M： 222220xyxy ，直线 l ： 2 2 0xy   ， P 为 上的动点，过点 作⊙M 的切 线 ,P A P B ，切点为 ,AB，当 | | | |P M A B 最小时，直线 AB 的方程为（ ） A． 2 1 0xy   B． 2 1 0xy   C． 2 1 0xy   D． 2 1 0xy   【答案】D 【解析】圆的方程可化为    22114xy ，点 M 到直线 的距离为 22 2 1 1 2 52 21 d       ， 所以直线 与圆相离．依圆的知识可知，四点 ,,,A P B M 四点共圆，且 AB MP ，所以 1444 2PAMPMABSPAAMPA ，而 2 4PAMP， 当直线 M P l 时， min 5MP  ， min 1PA  ，此时 PMAB 最小． ∴  1:11 2MPyx  即 11 22yx，由 11 22 220 yx xy     解得， 1 0 x y    ． 所以以 MP 为直径的圆的方程为    1110xxyy ，即 22 10xyy ， 两圆的方程相减可得： ，即为直线 的方程． 故选 D. 二、填空题 13．直线  0kx y k k R    与圆 222xy交点的个数为______. 【答案】 2 【解析】 0 ( 1)kx y k y k x      ，所以直线 恒过点 (1,0)A ， 因为 221 0 1 2   ，所以点 在圆 内， 所以直线 与圆 相交，故交点的个数为 2. 故填 2 14．已知直线 20xy   与圆 222x y r相切，则 r 的值为_______. 【答案】 2 【解析】由直线 与圆 相切， 则 22 2 11 r  ， 即 2r  ， 故填 . 15．过圆 222450xyxy 上的点 (2,1)P 的切线方程为_______. 【答案】 3 5 0xy   【解析】依题意，圆 x2+y2﹣2x+4y﹣5＝0 的圆心 O 坐标为（1，﹣2）， ∴直线 OP 的斜率 kOP 12 21  3， ∴切线 l 的斜率 k 11 3OPk  ， ∴圆 O 过点 P 的切线方程为：y﹣1 1 3 （x﹣1），即 x+3y﹣5＝0. 故填 ． 16．若直线  4ykx与圆 228xy有公共点，则实数 k 的取值范围是__________． 【答案】  1 ,1 【解析】直线 (4)ykx即 40kxyk ， 圆 的圆心为(0,0) ，半径为 22， 若直线与圆有交点，则 2 4 22 1 k k   ， 解得 11k   , 故实数 的取值范围是 . 故填 17．在平面直角坐标系 xOy 中，若点 A 到原点的距离为 2，到直线 3 x＋y－2＝0 的距离为 1，则满足条 件的点 A 的个数为______． 【答案】3 【解析】点 A 到原点的距离为 2，所以点 A 在以原点为圆心，2 为半径的圆上， 圆心 O(0,0)到直线 3 x＋y－2＝0 的距离为： 2 1 31   . 所以圆上到直线 x＋y－2＝0 的距离为 1 的点共 3 个. 故填 3. 18．已知圆    22 00:8Mxxyy ，点 ( 2 ,4 )T  ，从坐标原点 O 向圆 M 作两条切线 OP ， OQ ，切 点分别为 P ， Q ，若切线 ， 的斜率分别为 1k ， 2k ， 12 1kk  ，则 ||TM 的取值范围为________． 【答案】 [254,254] 【解析】由题意可知，直线 1:OPy xk ， 2:OQykx ， 因为直线 ， 与圆 相切， 所以 100 2 1 22 1 kxy k    ， 200 2 2 22 1 kxy k    ， 两边同时平方整理可得  222 1010008280kxk x yy ，  222 2020008280kxk x yy ， 所以 ， 是方程  222 00008280(0)kxkx yyk 的两个不相等的实数根， 所以 2 0 12 2 0 8 8 ykk x   ．又 ， 所以 2 0 2 0 8 18 y x   ，即 22 0016xy．又||416TO  25 ， 所以| | 4 | | | | 4TO TM TO    ， 即 2 5 4 | | 2 5 4TM    ． 故填 三、解答题 19．已知圆 222xy，直线 y x b，当 b 为何值时， （1）圆与直线有两个公共点； （2）圆与直线只有一个公共点； （3）圆与直线没有公共点． 【解析】方法一：圆心  00O ， 到直线 y x b的距离为 2 bd  ，圆的半径 2r  ． （1）当 dr ，即 –22b 时，直线与圆相交，有两个公共点； （2）当 dr ，即 2b  时，直线与圆相切，有一个公共点； （3）当 dr ，即 2b  或 2b  时，直线与圆相离，无公共点． 方法二：联立直线与圆的方程，得方程组 222{ xy y x b   ， 消去 y 得 222220xbxb ，则 2164 b ． （1）当 >0 ，即 –22b时，直线与圆有两个公共点； （2）当 0 ，即 2b  时，直线与圆有一个公共点； （3）当 0 ，即 2b  或 2b  时，直线与圆无公共点． 20．已知圆 22:2440Cxyxy 和直线 :3490lxy  ，点 P 是圆 C 上的动点. （1）求圆 C 的圆心坐标及半径； （2）求点 P 到直线l 的距离的最小值. 【解析】（1）由圆 ， 化为   22129xy ， 所以圆 C 的圆心坐标 1,2 ，半径为 3 . （2）由直线 ， 所以圆心到直线的距离    23 3 1 4 2 9 4 34 d       ， 所以点 P 到直线 l 的距离的最小值为 4 3 1. 21．已知圆 22240xyxym . （1）此方程表示圆，求 m 的取值范围； （2）若（1）中的圆与直线 2 4 0xy   相交于 M . N 两点，且 O M O N ( O 为坐标原点)，求 的值； 【解析】（1）由 D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0，得 m<5； （2）设 M(x1,y1)，N(x2,y2)，由 OM⊥ON 得 x1x2+ y1y2=0. 将直线方程 x+2y-4=0 与曲线 C：x2+y2-2x-4y+m=0 联立并消去 y 得 5x2-8x+4m-16=0， 由韦达定理得 x1+x2= 8 5 ①，x1x2= 4 16 5 m  ②，  =64-20（4m-16）=384-80m﹥0，所以 m﹤4 4 5 ， 又由 x+2y-4=0 得 y= 1 2 (4-x)， ∴x1x2+y1y2=x1x2+ (4-x1)· (4-x2)= 5 4 x1x2-( x1+x2)+4=0. 将①、②代入得 m= ，满足 ﹥0. 22．如图，点 P 是直线 2x  上一个动点，过 做圆  22:11Cxy  的两条切线 PA ，PB 交直线 2x  于 A ， B 两点． 是坐标原点，直线 AO ， BO 的斜率为 AOK ， BOK ． （1）当  2,1P  时，求 AOBOKK 的值； （2）当 运动时，求 的最小值，并求此时点 的坐标． 【解析】（1）设切线 ， ：  12y k x   ， 点 C 到 PA ， PB ：  12y k x   的距离为 1 ， 2 2 31 31 k k k   . ， ：  3123yx ， 432,1 3A ， 432,1 3B 434311 1333==2212AOBOKK   ； （2）设  02,Py 设切线 ， ：  0 2y y k x   ，  0 22 0002 21134420 1 ky kykyy k   0 12 2 00 12 44 3 2 3 ykk yykk       ， ， ： ， 令 2x  ， 得  012,4Ayk，  022,4Byk，       2 1020 0 1 2012 44=444AOBO kyky yKKk kykk  2 004 16 4 3 9 yy    ， 故当 P 在直线上运动 0 8 3y  ， AOBOKK 的最小值为 16 9 ， 点的坐标 82, 3  .