【数学】2020届一轮复习人教A版立体几何综合问题作业

【数学】2020届一轮复习人教A版立体几何综合问题作业

立体几何综合问题 ‎1．【湖北省荆门市2019届高三月考】在棱长为4的正方体中，是中点，点是正方形内的动点(含边界)，且满足，则三棱锥的体积最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为在棱长为4的正方体中，是中点，点是正方形内的动点(含边界)，且满足，‎ 所以,‎ 所以,即 ,‎ 令点P在DC上的投影点为O，，，‎ 所以，‎ 整理得，‎ 根据函数单调性可得当时，有最大值为16，所以 的最大值为，‎ 因为,‎ 所以三棱锥体积最大值为：，故选D。‎ ‎2．【江西省南昌市2018届测试】如图，在正四棱台中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点分别在上，且.过点的平面与此四棱台的下底面会相交，则平面与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】当斜面α经过点时与四棱台的面的交线围成的图形的面积最大，此时α为等腰梯形，上底为MN=4，下底为BC=8此时作正四棱台俯视图如下：‎ 则MN中点在底面的投影到BC的距离为8-2-1=5‎ 因为正四棱台的高为5，所以截面等腰梯形的高为 ‎ 所以截面面积的最大值为 ‎ 所以选B ‎3．【湖南省益阳市2019届高三上学期期末】直三棱柱外接球表面积为，，若，矩形外接圆的半径分别为，则的最大值为（ ）‎ A． B．3 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由外接球表面积为，可得外接球半径为2.设中点为，，矩形外接圆的圆心分别为，球心为，则由平面与平面得为矩形，，‎ ‎，‎ ‎，，当且仅当时取等号.‎ 故选.‎ ‎4．【北京市丰台区2019届高三第一学期期末】如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，是底面内一动点，若直线与平面不存在公共点，则三角形 的面积的最小值为 A． B．1 C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 延展平面，可得截面,其中分别是所在棱的中点，‎ 直线与平面不存在公共点，‎ 所以平面,‎ 由中位线定理可得,‎ 在平面内，‎ 在平面外，‎ 所以平面,‎ 因为与在平面内相交，‎ 所以平面平面,‎ 所以在上时，直线与平面不存在公共点，‎ 因为与垂直，所以与重合时最小，‎ 此时，三角形的面积最小，‎ 最小值为，故选C.‎ ‎5.(2018·黄冈模拟)如图，在多面体ABCDEF中，平面ABCD为正方形，AB=2，AE=3，DE=，二面角E-AD-C的余弦值为，且EF∥BD.‎ ‎(1)证明：平面ABCD⊥平面EDC.‎ ‎(2)求平面AEF与平面EDC夹角的余弦值.‎ ‎【解析】(1)因为AB=AD=2，AE=3，DE=，‎ 所以AD2+DE2=AE2，所以AD⊥DE.‎ 又因为在正方形ABCD中，AD⊥DC，‎ 且DE∩DC=D，‎ 所以AD⊥平面EDC，‎ 又因为AD平面ABCD，‎ 所以平面ABCD⊥平面EDC.‎ ‎(2)由(1)知∠EDC是二面角E-AD-C的平面角，作OE⊥CD于点O，‎ 则OD=DE·cos∠EDC=1，OE=2，‎ 且平面ABCD⊥平面EDC，‎ 平面ABCD∩平面EDC=CD，OE平面EDC，‎ 所以OE⊥平面ABCD，‎ 取AB中点M，连接OM，则OM⊥CD，如图，建立空间直角坐标系，‎ 则A(2，-1，0)，B(2，1，0)，D(0，-1，0)，C(0，1，0)，E(0，0，2)，‎ 所以=(-2，1，2)，=(2，2，0)，‎ 由EF∥BD，知EF的一个方向向量为(2，2，0)，‎ 设平面AEF的法向量为n=(x，y，z)，‎ 则 取x=-2，得n=(-2，2，-3)，‎ 因为平面EDC的一个法向量为m=(2，0，0)，‎ 所以cos= =-，‎ 设平面AEF与平面EDC夹角为θ，‎ 则cos θ=|cos|=.‎