2020届湖北省华中师大一附中高三上学期期中考试数学（理）试题

2020届湖北省华中师大一附中高三上学期期中考试数学（理）试题

华中师大一附中2019—2020学年度上学期期中检测 高三年级数学（理科）试题 时间：120分钟 满分：150分 ‎ 一、 选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)‎ ‎1. 已知集合，，则的子集个数为（ ）‎ A. 2 B．‎4 ‎ C．6 D．8‎ ‎【答案】B 2. 设命题：，，则为 （ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D 3. 若复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为 （ ）‎ A. ‎ B. ‎2 ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎4. 我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”章中有一道“两鼠穿墙”问题：有厚墙5尺，两只老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙，大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半。问两鼠在第几天相遇？（ ）‎ ‎ A. 第2天 B.第3天 C.第4天 D.第5天 ‎ ‎【答案】B ‎5. 已知变量x, y满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.6‎ ‎【答案】A ‎6. 已知等差数列{an}的前n项和Sn满足且{Sn}的最大项为，，则（ ）‎ ‎ A. 20 B‎.22 ‎ C.24 D.26‎ ‎【答案】D ‎7. 右图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论 ‎ ‎① ②CF与EN所成的角为 ‎③//MN ④二面角的大小为 其中正确的个数是（ ）‎ A.1 B‎.2 ‎C.3 D.4‎ ‎【答案】C ‎8. 已知中，，E为BD中点，若，则的值为 （ ）‎ ‎ A. 2 B. ‎6 ‎ C. 8 D. 10‎ ‎【答案】C ‎9. 若，，，则的大小关系为 （ ）‎ A. ‎ B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎10. 已知函数的部分图像如右图 所示，且，则的值为 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎11. 已知函数，则使不等式成立的的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎12. 已知函数，若对于任意的，均有成立，则实数a的最小值为（ ）‎ ‎ A. B‎.1 ‎ C. D. 3‎ ‎【答案】B 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)‎ ‎13. 曲线在点处的切线方程为 .‎ ‎【答案】 ‎ 14. 已知，则 . ‎ ‎【答案】 ‎ 15. 已知的内角的对边分别为.若，的面积为，则面积的最大值为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎16. 已知的外接圆圆心为O，，，若（为实数）有最小值，则参数的取值范围是 .‎ ‎【答案】 ‎ 三、解答题：(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)‎ ‎17. （本小题满分12分）已知的内角的对边分别为，若 ‎ （1）求角C； ‎ ‎（2）BM平分角B交AC于点M，且，求.‎ ‎【解析】（1）由题 ‎ ‎ 又 ‎ ‎（2）记，则，在中，，‎ 在中，，即 ‎ 即或（舍） ‎ ‎18. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，，‎ ‎ （1）证明：数列为等差数列；‎ ‎ （2）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前项和Tn.‎ ‎【解析】（1）时， ‎ ‎ 即 同除以得 为等差数列，首项为1，公差为1 ‎ ‎ （2）由（1）知 ‎ ‎ ‎ ‎19. （本小题满分12分）已知函数 ‎（1）求函数的最大值并指出取最大值时的取值集合；‎ ‎（2）若为锐角，，求的值.‎ ‎【解析】（1） ‎ 令 得 所以最大值为2，此时的取值集合为 ‎ ‎ （2）由为锐角，得 ‎ ‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎20. （本小题满分12分）已知四棱锥的底面ABCD是直角梯形，AD//BC，，E为CD的中点，‎ ‎（1）证明:平面PBD平面ABCD；‎ ‎（2）若，PC与平面ABCD所成的角为，试问“在侧面PCD内是否存在一点N，使得平面PCD？”若存在，求出点N到平面ABCD的距离；若不存在，请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎【解析】（1）证明:由四边形ABCD是直角梯形, AB=，BC=2AD=2，AB⊥BC，‎ 可得DC=2,∠BCD=，从而△BCD是等边三角形,BD=2,BD平分∠ADC. ‎ ‎∵E为CD的中点,∴DE=AD=1,∴BD⊥AE,‎ 又∵PB⊥AE,PB∩BD=B,∴AE⊥平面PBD. ‎ 又∵AE⊂平面ABCD∴平面PBD⊥平面ABCD. ‎ ‎(2) 在平面PBD内作PO⊥BD于O,连接OC,‎ 又∵平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,‎ ‎∴PO⊥平面ABCD ‎∴∠PCO为PC与平面ABCD所成的角, 则∠PCO= ‎ ‎∴易得OP=OC= ∵PB=PD,PO⊥BD,∴O为BD的中点,∴OC⊥BD.‎ 以OB,OC,OP所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),C(0,,0),D(-1,0,0),P(0,0,),‎ ‎ 假设在侧面内存在点，使得平面成立，‎ 设，易得 ‎ 由得，满足题意 ‎ 所以N点到平面ABCD的距离为 ‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎（1）已知，证明：当时，；‎ ‎ （2）证明：当时，有最小值，记 最小值为，求的值域.‎ ‎【解析】（1）证明：在上单增 ‎ 时，即 时， ‎ ‎ （2）‎ ‎ 由在上单增且 ‎ 知存在唯一的实数，使得，即 ‎ 单减；单增 ‎ ，满足 ‎ ‎ ‎ ‎ 记，则在上单减 ‎ ‎ 所以的值域为 ‎ ‎22. （本小题满分10分）已知函数 ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若函数最小值为，且，求的最小值.‎ ‎【解析】（1）当时，，无解 ‎ 当时，，得 ‎ 当时，，得 ‎ 所以不等式解集为 ‎ ‎（2）‎ ‎ 当且仅当时取等 ‎ 当且仅当时取等 ‎ 所以当时，最小值为4，即， ‎ 所以 ‎ 所以 ‎ ‎ 当且仅当且即时取“=” ‎ ‎ 所以最小值为 ‎ ‎ ‎