2019届二轮复习解题技巧　概　率学案（全国通用）

2019届二轮复习解题技巧　概　率学案（全国通用）

第1讲　概　率 ‎[考情考向分析]　1.以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用.2.将古典概型与概率的性质相结合，考查知识的综合应用能力．‎ 热点一　古典概型 古典概型的概率 P(A)＝＝.‎ 例1　(2017·山东)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游．‎ ‎(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；‎ ‎(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率．‎ 解　(1)由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，共15个．‎ 所选2个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3个，‎ 则所求事件的概率为P＝＝.‎ ‎(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，共9个．‎ 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有 ‎{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，‎ 则所求事件的概率为P＝.‎ 思维升华　求古典概型概率的步骤 ‎(1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意．‎ ‎(2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件．‎ ‎(3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m.‎ ‎(4)计算事件A的概率P(A)＝.‎ 跟踪演练1　(2018·北京朝阳区模拟)今年，楼市火爆，特别是一线城市，某一线城市采取“限价房”摇号制度，客户以家庭为单位进行抽签，若有n套房源，则设置n个中奖签，客户抽到中奖签视为中签，中签家庭可以在指定小区提供的房源中随机抽取一个房号，现共有20户家庭去抽取6套房源．‎ ‎(1)求每个家庭中签的概率；‎ ‎(2)已知甲、乙两个友好家庭均已中签，并共同前往某指定小区抽取房号．目前该小区剩余房源有某单元27,28两个楼层共6套房，其中，第27层有2套房，房间号分别记为2702,2703；第28层4套房，房间号分别记为2803,2804,2806,2808.‎ ‎①求该单元27,28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数；‎ ‎②求甲、乙两个家庭能住在同一层楼的概率．‎ 解　(1)因为共有20户家庭去抽取6套房源且每个家庭中签的概率都是相同的，‎ 所以每个家庭中签的概率P＝＝.‎ ‎(2)①该单元27,28两个楼层所剩下6套房的房间号的平均数 ＝＝2771.‎ ‎②将这6套房编号，记第27层2套房分别为X，Y，第28层4套房分别为a，b，c，d，‎ 则甲、乙两个家庭选房可能的结果有 ‎(X，Y)，(X，a)，(X，b)，(X，c)，(X，d)，(Y，a)，(Y，b)，(Y，c)，(Y，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共15种．‎ 其中甲、乙两个家庭能住在同一楼层的可能情况有(X，Y)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)，共7种，‎ 所以甲、乙两个家庭能住在同一楼层的概率为P＝.‎ 热点二　几何概型 ‎1．几何概型的概率公式：‎ P(A)＝.‎ ‎2．几何概型应满足两个条件：基本事件的无限性和每个基本事件发生的等可能性．‎ 例2　(1)(2018·北京朝阳区模拟)若在集合{x|－21，可以求得m>2，‎ 在集合中随机取大于2的数，‎ 满足条件的取值所对应的几何度量就是区间的长度，为3－2＝1，‎ 而在集合中随机取一个数所对应的几何度量是区间[－2,3]的长度，为3－(－2)＝5，‎ 所以对应事件的概率为P＝.‎ ‎(2)(2018·衡水调研)甲、乙两人各自在400 m长的直线形跑道上跑步，则在任一时刻两人在跑道上相距不超过50 m的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设甲、乙两人跑的路程分别为x m，y m，则有表示的区域为如图所示的正方形OABC，面积为160 000 m2，相距不超过50 m，满足|x－y|≤50，表示的区域如图阴影部分所示，面积为160 000－×××2＝37 500(m2)，所以在任一时刻两人在跑道上相距不超过50 m的概率为P＝＝.‎ 思维升华　当试验结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解．利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．‎ 跟踪演练2　(1)(2018·安徽省“皖南八校”联考)2018年平昌冬季奥运会于2月9日～2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比值P，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟在长为8、宽为5的长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为n个，圆环半径为1，则比值P的近似值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　设奥运五环所占的面积为S1，矩形的面积为S＝8×5＝40.‎ 由在长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为n个，‎ 根据面积比的几何概型概率公式得＝，‎ 则S1＝S＝，‎ 单独五个环的面积为S3＝5π×12＝5π，‎ 所以奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比值为P＝＝.‎ ‎(2)(2018·延安模拟)某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是________．‎ 答案　 解析　由题意知这是一个几何概型，‎ ‎∵电台在每小时的整点和半点开始播送新闻，‎ ‎∴事件总数包含的时间长度是30，‎ 又新闻时长均为5分钟，‎ ‎∴一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是P＝.‎ 热点三　互斥事件与对立事件 ‎1．事件A，B互斥，那么事件A∪B发生(即A，B中至少有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．‎ ‎2．在一次试验中，对立事件A和B不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P(B)＝1－P(A)．‎ 例3　国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩在加紧备战，经过近期训练，某队员射击一次命中7～10环的概率如下表所示：‎ 命中环数 ‎10‎ ‎9‎ ‎8‎ ‎7‎ 概率 ‎0.32‎ ‎0.28‎ ‎0.18‎ ‎0.12‎ 求该射击队员在一次射击中：‎ ‎(1)命中9环或10环的概率；‎ ‎(2)至少命中8环的概率；‎ ‎(3)命中不足8环的概率．‎ 解　记事件“射击一次，命中k环”为Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak之间彼此互斥．‎ ‎(1)设“射击一次，命中9环或10环”为事件A，那么当A9，A10之一发生时，事件A发生，由互斥事件概率的加法公式得P(A)＝P(A9)＋P(A10)＝0.28＋0.32＝0.6.‎ ‎(2)设“射击一次，至少命中8环”为事件B，那么当A8，A9，A10之一发生时，事件B发生，由互斥事件概率的加法公式得P(B)＝P(A8)＋P(A9)＋P(A10)＝0.18＋0.28＋0.32＝0.78.‎ ‎(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C，由于事件C与事件B互为对立事件，故P(C)＝1－P(B)＝1－0.78＝0.22.‎ 思维升华　事件的互斥和对立是既有联系又有区别的两个概念，要充分利用对立事件是必然有一个发生的互斥事件．在判断这些问题时，先要判断两个事件是不是互斥事件(即是否不可能同时发生)，然后判断这两个事件是不是对立事件(即是否必然有一个发生)．在解答与两个事件有关的问题时一定要仔细斟酌，全面考虑，防止出现错误．‎ 跟踪演练3　(1)从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A＝“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件A的对立事件是(　　)‎ A．1个白球2个红球 B．2个白球1个红球 C．3个都是红球 D．至少有一个红球 答案　C 解析　事件A＝“所取的3个球中至少有1个白球”，说明有白球，白球的个数可能是1或2，事件“1个白球、2个红球”，“2个白球、1个红球”，“至少有一个红球”与A都能同时发生，既不互斥，也不对立．‎ ‎(2)现有4张卡片，正面分别标有1,2,3,4，背面完全相同．将卡片洗匀，背面向上放置，甲、乙二人轮流抽取卡片，每人每次抽取一张，抽取后不放回，甲先抽．若二人约定，先抽到标有偶数的卡片者获胜，则甲获胜的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　甲抽取一张卡片获胜的概率为；甲抽取两张卡片获胜的概率为××1＝，‎ 所以甲获胜的概率为＋＝.‎ 真题体验 ‎1．(2017·全国Ⅱ改编)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______．‎ 答案　 解析　从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：‎ 基本事件的总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，‎ ‎∴所求概率P＝＝.‎ ‎2．(2016·全国Ⅰ改编)某公司的班车在7：30,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是________．‎ 答案　 解析　如图所示，画出时间轴：‎ 小明到达的时间会随机的落在图中线段AB中，而当他的到达时间落在线段AC或DB时，才能保证他等车的时间不超过10分钟，根据几何概型得所求概率P＝＝.‎ ‎3．(2016·北京改编)袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒，每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则下列说法正确的是______．‎ ‎(1)乙盒中黑球不多于丙盒中黑球；‎ ‎(2)乙盒中红球与丙盒中黑球一样多；‎ ‎(3)乙盒中红球不多于丙盒中红球；‎ ‎(4)乙盒中黑球与丙盒中红球一样多．‎ 答案　(2)‎ 解析　取两个球往盒子中放有4种情况：‎ ‎①红＋红，则乙盒中红球数加1；‎ ‎②黑＋黑，则丙盒中黑球数加1；‎ ‎③红＋黑(红球放入甲盒中)，则乙盒中黑球数加1；‎ ‎④黑＋红(黑球放入甲盒中)，则丙盒中红球数加1.‎ 因为红球和黑球个数一样，所以①和②的情况一样多．③和④的情况完全随机，③和④对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数没有任何影响．①和②出现的次数是一样的，所以对(2)中的乙盒中的红球数与丙盒中的黑球数的影响次数一样．故(2)正确．‎ ‎4．(2017·江苏)记函数f(x)＝的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．‎ 答案　 解析　设事件“在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D”为事件A，‎ 由6＋x－x2≥0，解得－2≤x≤3，‎ ‎∴D＝[－2,3]．‎ 如图，区间[－4,5]的长度为9，定义域D的长度为5，‎ ‎∴P(A)＝.‎ 押题预测 ‎1．将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，‎ ‎＋∞)上为增函数的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 押题依据　古典概型是高考考查概率问题的核心，考查频率很高．古典概型和函数、方程、不等式、向量等知识的交汇是高考命题的热点．‎ 答案　B 解析　将一颗骰子抛掷两次，所得向上的点数(m，n)的所有事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36个．由题意可知，函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y′＝2mx2－n≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y＝mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为＝.‎ ‎2．已知集合M＝{x|－1s.‎ B组　能力提高 ‎11．在掷一个骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A∪发生的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意有P(A)＝＝，P(B)＝＝，‎ ‎∴P()＝1－P(B)＝1－＝.‎ ‎∵表示“出现5点或6点”的事件，因此事件A与互斥，从而P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.‎ ‎12．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝ln x与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数xi和10个在区间[0,1]‎ 上的均匀随机数yi(i∈N*,1≤i≤10)，其数据如下表的前两行.‎ x ‎2.50‎ ‎1.01‎ ‎1.90‎ ‎1.22‎ ‎2.52‎ ‎2.17‎ ‎1.89‎ ‎1.96‎ ‎1.36‎ ‎2.22‎ y ‎0.84‎ ‎0.25‎ ‎0.98‎ ‎0.15‎ ‎0.01‎ ‎0.60‎ ‎0.59‎ ‎0.88‎ ‎0.84‎ ‎0.10‎ ln x ‎0.92‎ ‎0.01‎ ‎0.64‎ ‎0.20‎ ‎0.92‎ ‎0.77‎ ‎0.64‎ ‎0.67‎ ‎0.31‎ ‎0.80‎ 由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是(　　)‎ A.(e－1) B.(e－1)‎ C.(e＋1) D.(e＋1)‎ 答案　A 解析　由表可知，向矩形区域内随机抛掷10个点，其中有6个点在曲边三角形内，其频率为＝.‎ ‎∵矩形区域的面积为e－1，‎ ‎∴曲边三角形面积的近似值为(e－1)．‎ ‎13．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝(m，n)与向量b＝(1，－1)的夹角为θ，则θ为锐角的概率是________．‎ 答案　 解析　由题意得，连掷两次骰子分别得到点数m，n，‎ 所组成的向量(m，n)的个数为36，‎ 由于向量(m，n)与向量(1，－1)的夹角θ为锐角，‎ 所以(m，n)·(1，－1)>0，‎ 即m>n，满足题意的情况如下：‎ 当m＝2时，n＝1；‎ 当m＝3时，n＝1,2；‎ 当m＝4时，n＝1,2,3；‎ 当m＝5时，n＝1,2,3,4；‎ 当m＝6时，n＝1,2,3,4,5，共15种，‎ 故所求事件的概率为＝.‎ ‎14．(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)为了解中学生课余观看热门综艺节目“爸爸去哪儿”是否与性别有关，某中学一研究性学习小组从该校学生中随机抽取了n人进行问卷调查．调查结果表明：女生中喜欢观看该节目的占女生总人数的，男生喜欢看该节目的占男生总人数的 .随后，该小组采用分层抽样的方法从这n份问卷中继续抽取了5份进行重点分析，知道其中喜欢看该节目的有3人．‎ ‎(1)现从重点分析的5人中随机抽取了2人进行现场调查，求这两人都喜欢看该节目的概率；‎ ‎(2)若有99%的把握认为“喜欢看该节目与性别有关”，则参与调查的总人数n至少为多少．‎ 参考数据：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.‎ 解　(1)记重点分析的5人中喜欢看该节目的为a，b，c，不喜欢看该节目的为d，e，从5人中随机抽取2人，所有可能的结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10种，则这两人都喜欢看该节目的有3种，‎ ‎∴P＝，即这两人都喜欢看该节目的概率为.‎ ‎(2)∵进行重点分析的5人中，喜欢看该节目的有3人，故喜欢看该节目的总人数为n，不喜欢看该节目的总人数为n.设这次调查问卷中女生总人数为a，男生总人数为b，a，b∈N*，则由题意可得2×2列联表如下：‎ 喜欢看该节目的人数 不喜欢看该节目的人数 总计 女生 a a a 男生 b b b 总计 n n n 解得a＝n，b＝n，‎ ‎∴正整数n是25的倍数，设n＝25k，k∈N*，‎ 则a＝12k，a＝4k，b＝3k，b＝6k，则K2＝＝k.‎ 由题意得k≥6.635，解得k≥1.59，‎ ‎∵k∈N*，∴kmin＝2，故nmin＝50.‎