高中数学人教a版必修4模块综合检测（二） word版含解析

高中数学人教a版必修4模块综合检测（二） word版含解析

模块综合检测(二) (时间：120 分钟，满分：150 分) 一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的) 1．(北京高考)已知向量 a＝(2,4)，b＝(－1,1)，则 2a－b＝( ) A．(5,7) B．(5,9) C．(3,7) D．(3,9) 解析：选 A 因为 a＝(2,4)，b＝(－1,1)，所以 2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5,7)， 故选 A. 2．点 M(2，tan 300°)位于( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选 D ∵tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3， ∴M(2，－ 3)．故点 M(2，tan 300°)位于第四象限． 3．已知OA  ＝(2,3)，OB  ＝(－3，y)，且OA  ⊥OB  ，则 y 等于( ) A．2 B．－2 C.1 2 D．－1 2 解析：选 A ∵OA  ⊥OB  ，∴OA  ·OB  ＝－6＋3y＝0，∴y＝2. 4．已知 cos π 2 －φ ＝ 3 2 ，且|φ|<π 2 ，则 tan φ＝( ) A．－ 3 3 B. 3 3 C．－ 3 D. 3 解析：选 D cos π 2 －φ ＝sin φ＝ 3 2 ，又|φ|<π 2 ，则 cos φ＝1 2 ，所以 tan φ＝ 3. 5. 2sin 2α 1＋cos 2α· cos2α cos 2α 等于( ) A．tan α B．tan 2α C．1 D.1 2 解析：选 B 2sin 2α 1＋cos 2α· cos2α cos 2α ＝2sin 2α 2cos2α · cos2α cos 2α ＝tan 2α. 6．设 tan α，tan β是方程 x2－3x＋2＝0 的两根，则 tan(α＋β)的值为( ) A．－3 B．－1 C．1 D．3 解析：选 A 由题意可知 tan α＋tan β＝3， tan α·tan β＝2， 则 tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝－3. 7．已知函数 f(x)＝2sin x，对任意的 x∈R 都有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值为 ( ) A.π 4 B.π 2 C．π D．2π 解析：选 C ∵f(x)＝2sin x 的周期为 2π， ∴|x1－x2|的最小值为π. 8．已知 a＝(1，sin2x)，b＝(2，sin 2x)，其中 x∈(0，π)．若|a·b|＝|a||b|，则 tan x 的值等 于( ) A．1 B．－1 C. 3 D. 2 2 解析：选 A 由|a·b|＝|a||b|知 a∥b.所以 sin 2x＝2sin2x，即 2sin xcos x＝2sin2x.而 x∈(0， π)，所以 sin x＝cos x，即 x＝π 4 ，故 tan x＝1. 9．将函数 y＝sin x 的图象上所有的点向右平移 π 10 个单位长度，再把所得各点的横坐标伸 长到原来的 2 倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( ) A．y＝sin 2x－ π 10 B．y＝sin 2x－π 5 C．y＝sin 1 2x－ π 10 D．y＝sin 1 2x－ π 20 解析：选 C 函数 y＝sin x 的图象上的点向右平移 π 10 个单位长度可得函数 y＝sin x－ π 10 的 图象；再把各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)可得函数 y＝sin 1 2 x－ π 10 的图象，所 以所得函数的解析式是 y＝sin 1 2 x－ π 10 . 10．(山东高考)函数 y＝2sin πx 6 －π 3 (0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( ) A．2－ 3 B．0 C．－1 D．－1－ 3 解析：选 A 当 0≤x≤9 时，－π 3 ≤πx 6 －π 3 ≤7π 6 ， － 3 2 ≤sin πx 6 －π 3 ≤1，所以函数的最大值为 2，最小值为－ 3，其和为 2－ 3. 11．如图，在△ABC 中，AD⊥AB， BC  ＝ 3 BD  ，| AD  |＝1，则 AC  · AD  ＝( ) A．2 3 B．3 3 C. 3 2 D. 3 解析：选 D 建系如图． 设 B(xB,0)，D(0,1)，C(xC，yC)， BC  ＝(xC－xB，yC)， BD  ＝(－xB,1)． ∵ BC  ＝ 3 BD  ， ∴xC－xB＝－ 3xB⇒xC＝(1－ 3)xB，yC＝ 3. AC  ＝((1－ 3)xB， 3)， AD  ＝(0,1)， AC  · AD  ＝ 3. 12．已知向量 a，b 不共线，实数 x，y 满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则 x－y 的值 为( ) A．3 B．－3 C．0 D．2 解析：选 A 由原式可得 3x－4y＝6， 2x－3y＝3， 解得 x＝6， y＝3. 所以 x－y＝3. 二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．(重庆高考)已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，且 a＝(－2，－6)，|b|＝ 10，则 a·b＝________. 解析：因为 a＝(－2，－6)，所以|a|＝ －22＋－62＝2 10，又|b|＝ 10，向量 a 与 b 的夹角为 60°，所以 a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2 10× 10×1 2 ＝10. 答案：10 14．(江西高考)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为α，且 cos α＝1 3 ，若向量 a＝3e1－2e2，则|a| ＝________. 解析：因为 a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，所以|a|＝3. 答案：3 15．(山东高考)函数 y＝ 3 2 sin 2x＋cos2x 的最小正周期为________． 解析：y＝ 3 2 sin 2x＋1 2cos 2x＋1 2 ＝sin2x＋π 6 ＋1 2 ，所以其最小正周期为2π 2 ＝π. 答案：π 16．化简：sin2 α－π 6 ＋sin2 α＋π 6 －sin2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos 2α－π 3 2 ＋1－cos 2α＋π 3 2 －sin2α ＝1－1 2 cos 2α－π 3 ＋cos 2α＋π 3 －sin2α ＝1－cos 2α·cosπ 3 －sin2α ＝1－cos 2α 2 －1－cos 2α 2 ＝1 2. 答案：1 2 三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 10 分)设 a＝(1＋cos x,1＋sin x)，b＝(1,0)，c＝(1,2)． (1)求证：(a－b)⊥(a－c)； (2)求|a|的最大值，并求此时 x 的值． 解：(1)证明：a－b＝(cos x,1＋sin x)， a－c＝(cos x，sin x－1)， (a－b)·(a－c)＝(cos x,1＋sin x)·(cos x，sin x－1)＝cos2x＋sin2x－1＝0. ∴(a－b)⊥(a－c)． (2)|a|＝ 1＋cos x2＋1＋sin x2 ＝ 3＋2sin x＋cos x ＝ 3＋2 2sin x＋π 4 ≤ 3＋2 2＝ 2＋1. 当 sin x＋π 4 ＝1，即 x＝π 4 ＋2kπ(k∈Z)时，|a|有最大值 2＋1. 18．(本小题满分 12 分)已知 sin(2α＋β)＝3sin β，设 tan α＝x，tan β＝y，记 y＝f(x)． (1)求证：tan(α＋β)＝2tan α； (2)求 f(x)的解析式． 解：(1)证明：由 sin(2α＋β)＝3sin β， 得 sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]， 即 sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin (α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α， ∴sin(α＋β)cos α＝2cos(α＋β)sin α. ∴tan(α＋β)＝2tan α. (2)由(1)得 tan α＋tan β 1－tan αtan β ＝2tan α， 即 x＋y 1－xy ＝2x， ∴y＝ x 1＋2x2 ， 即 f(x)＝ x 1＋2x2. 19．(本小题满分 12 分)已知 cos α－β 2 ＝－4 5 ，sinβ－α 2 ＝ 5 13 ，且π 2 ＜α＜π，0＜β＜π 2 ，求 cosα＋β 2 的值． 解：∵π 2 ＜α＜π，0＜β＜π 2 ， ∴α－β 2 ∈ π 4 ，π ，β－α 2 ∈ －π 2 ，π 4 . ∴sin α－β 2 ＝ 1－cos2 α－β 2 ＝3 5 ， cos β－α 2 ＝ 1－sin2 β－α 2 ＝12 13. ∵ α－β 2 ＋ β－α 2 ＝α＋β 2 ， ∴cosα＋β 2 ＝cos α－β 2 ＋ β－α 2 ＝cos α－β 2 cos β－α 2 －sin α－β 2 sin β－α 2 ＝ －4 5 ×12 13 －3 5 × 5 13 ＝－63 65. 20．(本小题满分 12 分)(湖北高考)某实验室一天的温度(单位：℃)随时间 t(单位：h)的变 化近似满足函数关系：f(t)＝10－ 3cos π 12t－sin π 12t，t∈[0,24)． (1)求实验室这一天上午 8 时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差． 解：(1)f(8)＝10－ 3cos π 12 ×8 －sin π 12 ×8 ＝10－ 3cos2π 3 －sin2π 3 ＝10－ 3× －1 2 － 3 2 ＝10. 故实验室上午 8 时的温度为 10 ℃. (2)因为 f(t)＝10－2 3 2 cos π 12t＋1 2sin π 12t ＝10－2sin π 12 t＋π 3 ，又 0≤t<24，所以π 3 ≤ π 12t＋ π 3<7π 3 ，－1≤sin π 12 t＋π 3 ≤1.当 t＝2 时，sin π 12 t＋π 3 ＝1；当 t＝14 时，sin π 12 t＋π 3 ＝－1. 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12，取得最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃，最低温度为 8 ℃，最大温差为 4 ℃. 21．(本小题满分 12 分)已知 f(x)＝2 3cos2x＋sin 2x－ 3＋1(x∈R)． (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)的递增区间； (3)当 x∈ －π 4 ，π 4 时，求 f(x)的值域． 解：f(x)＝sin 2x＋ 3(2cos2x－1)＋1＝sin 2x＋ 3cos 2x＋1＝2sin 2x＋π 3 ＋1. (1)函数 f(x)的最小正周期 T＝2π 2 ＝π. (2)由 2kπ－π 2 ≤2x＋π 3 ≤2kπ＋π 2 ， 得 2kπ－5π 6 ≤2x≤2kπ＋π 6 ， ∴kπ－5π 12 ≤x≤kπ＋ π 12(k∈Z)． ∴函数 f(x)的递增区间为 kπ－5π 12 ，kπ＋ π 12 (k∈Z)． (3)∵x∈ －π 4 ，π 4 ，∴2x＋π 3 ∈ －π 6 ，5π 6 . ∴sin 2x＋π 3 ∈ －1 2 ，1 . ∴f(x)∈[0,3]． 22．(本小题满分 12 分)(陕西高考)已知向量 a＝ cos x，－1 2 ，b＝( 3sin x，cos 2x)，x∈ R，设函数 f(x)＝a·b. (1)求 f (x)的最小正周期； (2)求 f (x)在 0，π 2 上的最大值和最小值． 解：f(x)＝ cos x，－1 2 ·( 3sin x，cos 2x) ＝ 3cos xsin x－1 2cos 2x ＝ 3 2 sin 2x－1 2cos 2x ＝cosπ 6sin 2x－sinπ 6cos 2x ＝sin 2x－π 6 . (1)f(x)的最小正周期为 T＝2π ω ＝2π 2 ＝π， 即函数 f(x)的最小正周期为π. (2)∵0≤x≤π 2 ， ∴－π 6 ≤2x－π 6 ≤5π 6 . 由正弦函数的性质， 当 2x－π 6 ＝π 2 ，即 x＝π 3 时，f(x)取得最大值 1. 当 2x－π 6 ＝－π 6 ，即 x＝0 时，f(0)＝－1 2 ， 当 2x－π 6 ＝5π 6 ，即 x＝π 2 时，f π 6 ＝1 2 ， ∴f(x)的最小值为－1 2. 因此，f(x)在 0，π 2 上的最大值是 1，最小值是－1 2.