各省市中考数学试题分类汇编实验应用型问题

各省市中考数学试题分类汇编实验应用型问题

‎2010中考数学分类汇编 ‎ ‎ 一、选择题 ‎1．（2010 浙江省温州）用若干根相同的火柴棒首尾顺次相接围成一个梯形(提供的火柴棒全部用完)，下列根数的火柴棒不能围成梯形的是(▲) ．‎ A．5 B．‎6 C．7 D．8‎ ‎【答案】B ‎ ‎2．3．4．5．6．7．8．9．10．‎ ‎11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．‎ ‎21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．‎ 二、填空题 ‎1．（2010浙江绍兴）做如下操作：在等腰三角形ABC中,AB= AC,AD平分∠BAC,‎ 交BC于点D.将△ABD作关于直线AD的轴对称变换,所得的 像与△ACD重合.‎ 第15题图 对于下列结论:①在同一个三角形中,等角对等边;②在同一个三角形中,等边对等角;③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线 和高互相重合.‎ 由上述操作可得出的是 (将正确结论的序号都填上). ‎ ‎【答案】②③‎ ‎2．（2010 福建晋江）将一块正五边形纸片（图①）做成一个底面仍为正五边形且高相等的无盖纸盒（侧面均垂直于底面，见图②），需在每一个顶点处剪去一个四边形，例如图①中的四边形，则的大小是_______度.‎ ‎①‎ ‎②‎ 第16题图 ‎【答案】72‎ ‎3．4．5．6．7．8．9．10．‎ ‎11．12．13．14．15．16．17．18．19．20．‎ ‎21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．‎ 三、解答题 ‎1．（2010江苏南通）（本小题满分10分）‎ 小沈准备给小陈打电话，由于保管不善，电话本上的小陈手机号码中，有两个数字已模糊不清．如果用x、y表示这两个看不清的数字，那么小陈的手机号码为139x370y580（手机号码由11个数字组成），小沈记得这11个数字之和是20的整数倍．‎ ‎（1）求x+y的值；‎ ‎（2）求小沈一次拨对小陈手机号码的概率．‎ ‎【答案】（1）因为（n为正整数）‎ 双因为所以所以即所以，，所以 ‎（2）因为，且所以有，这5种情况，因此，一次拨对小陈手机号的概率为0.2‎ ‎2．（2010山东青岛）问题再现 现实生活中，镶嵌图案在地面、墙面乃至于服装面料设计中随处可见．在八年级课题学习“平面图形的镶嵌”中，对于单种多边形的镶嵌，主要研究了三角形、四边形、正六边形的镶嵌问题．今天我们把正多边形的镶嵌作为研究问题的切入点，提出其中几个问题，共同来探究.‎ O 我们知道，可以单独用正三角形、正方形或正六边形镶嵌平面．如右图中，用正方形镶嵌平面，可以发现在一个顶点O周围围绕着4个正方形的内角.‎ 试想：如果用正六边形来镶嵌平面，在一个顶点周围应该围绕着 个 正六边形的内角．‎ 问题提出 如果我们要同时用两种不同的正多边形镶嵌平面，可能设计出几种不同的组合方案？‎ 问题解决 猜想1：是否可以同时用正方形、正八边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？‎ 分析：我们可以将此问题转化为数学问题来解决．从平面图形的镶嵌中可以发现，解决问题的关键在于分析能同时用于完整镶嵌平面的两种正多边形的内角特点．具体地说，就是在镶嵌平面时，一个顶点周围围绕的各个正多边形的内角恰好拼成一个周角．‎ 验证1：在镶嵌平面时，设围绕某一点有x个正方形和y个正八边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：‎ ‎，整理得：，‎ 我们可以找到惟一一组适合方程的正整数解为 ． ‎ 结论1：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正方形和2个正八边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正方形和正八边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌．‎ 猜想2：是否可以同时用正三角形和正六边形两种正多边形组合进行平面镶嵌？若能，请按照上述方法进行验证，并写出所有可能的方案；若不能，请说明理由．‎ 验证2：‎ 结论2： ‎ ‎ ． ‎ 上面，我们探究了同时用两种不同的正多边形组合镶嵌平面的部分情况，仅仅得到了一部分组合方案，相信同学们用同样的方法，一定会找到其它可能的组合方案．‎ 问题拓广 请你仿照上面的研究方式，探索出一个同时用三种不同的正多边形组合进行平面镶嵌的方案，并写出验证过程．‎ 猜想3： . ‎ 验证3：‎ 结论3： ‎ ‎ .‎ ‎【答案】‎ 解：3个； 1分 验证2：在镶嵌平面时，设围绕某一点有a个正三角形和b个正六边形的内角可以拼成一个周角．根据题意，可得方程：‎ ‎． ‎ 整理得：， ‎ 可以找到两组适合方程的正整数解为和． 3分 结论2：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着2个正三角形和2个正六边形的内角或者围绕着4个正三角形和1个正六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时 用正三角形和正六边形两种正多边形组合可以进行平面镶嵌． 5分 猜想3：是否可以同时用正三角形、正方形和正六边形三种正多边形组合进行平面镶嵌？ 6分 验证3：在镶嵌平面时，设围绕某一点有m个正三角形、n个正方形和c个正六边形的内角可以拼成一个周角. 根据题意，可得方程：‎ ‎，‎ 整理得：，‎ 可以找到惟一一组适合方程的正整数解为. 8分 结论3：镶嵌平面时，在一个顶点周围围绕着1个正三角形、2个正方形和1个正 六边形的内角可以拼成一个周角，所以同时用正三角形、正方形和正六边 形三种正多边形组合可以进行平面镶嵌. ‎ ‎（说明：本题答案不惟一，符合要求即可.） 10分 ‎3．（2010山东威海）A1‎ B1‎ C1‎ A B C ‎（图①） ‎ 如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC，△A1B‎1C1． ‎ A B(A1)‎ C B1‎ C1‎ 图 ②‎ E ‎﹙1﹚将△ABC，△A1B‎1C1如图②摆放，使点A1与B重合，点B1在AC边的延长线上，连接CC1交BB1于点E．求证：∠B‎1C1C＝∠B1BC． ‎ A1‎ C1‎ C A B(B1)‎ 图 ③‎ F ‎﹙2﹚若将△ABC，△A1B‎1C1如图③摆放，使点B1与B重合，点A1在AC边的延长线上，连接CC1交A1B于点F．试判断∠A‎1C1C与∠A1BC是否相等，并说明理由． ‎ ‎﹙3﹚写出问题﹙2﹚中与△A1FC相似的三角形 ． ‎ ‎【答案】‎ ‎（1）证明：由题意，知△ABC≌△A1B‎1C1， ‎ ‎∴ AB= A1B1，BC1=AC，∠2=∠7，∠A=∠1． ‎ ‎∴ ∠3=∠A=∠1． ……………………………………………………………………1分 ‎ ‎∴ BC1∥AC． ‎ ‎∴ 四边形ABC‎1C是平行四边形． ………………2分 A B(A1)‎ C B1‎ C1‎ 图 ② ‎ E ‎1‎ ‎4‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎∴ AB∥CC1． ‎ ‎∴ ∠4=∠7=∠2． …………………………………3分 ‎∵ ∠5=∠6，‎ ‎∴ ∠B‎1C1C＝∠B1BC．……………………………4分 ‎﹙2﹚∠A‎1C1C =∠A1BC． …………………………5分 理由如下：由题意，知△ABC≌△A1B‎1C1，‎ ‎∴ AB= A1B1，BC1=BC，∠1=∠8，∠A=∠2． ‎ A1‎ C1‎ C A B(B1)‎ 图 ③‎ F ‎3‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎∴ ∠3=∠A，∠4=∠7． ………………………6分 ‎∵ ∠1＋∠FBC=∠8＋∠FBC，‎ ‎∴ ∠C1BC＝∠A1BA． …………………………7分 ‎∵ ∠4=(180°－∠C1BC)，∠A=(180°－∠A1BA)．‎ ‎∴ ∠4=∠A． …………………………………8分 ‎∴ ∠4=∠2． ‎ ‎∵ ∠5=∠6， ‎ ‎∴ ∠A1C1C=∠A1BC．……………………………………………………………………9分 ‎﹙3﹚△C1FB，…………10分； △A‎1C1B，△ACB．…………11分﹙写对一个不得分﹚‎ ‎4．（2010山东威海）（1）探究新知：‎ ‎①如图，已知AD∥BC，AD＝BC，点M，N是直线CD上任意两点．‎ A B D C M N 图 ①‎ 求证：△ABM与△ABN的面积相等． ‎ ‎②如图，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，点M是直线CD上任一点，点G是直线EF上任一点．试判断△ABM与△ABG的面积是否相等，并说明理由． ‎ C 图 ②‎ A B D M F E G ‎（2）结论应用： ‎ 如图③，抛物线的顶点为C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点D．试探究在抛物线上是否存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等？ 若存在，请求出此时点E的坐标，若不存在，请说明理由． ‎ ‎﹙友情提示：解答本问题过程中，可以直接使用“探究新知”中的结论．﹚ ‎ A 图 ③‎ C D B O x y A 备用图 C D B O x y ‎【答案】‎ ‎﹙1﹚①证明：分别过点M，N作 ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为点E，F． ‎ A B D C M N 图 ①‎ E F ‎∵ AD∥BC，AD＝BC， ‎ ‎∴ 四边形ABCD为平行四边形． ‎ ‎∴ AB∥CD． ‎ ‎∴ ME= NF． ‎ ‎∵S△ABM＝，S△ABN＝， ‎ ‎∴ S△ABM＝ S△ABN． ……………………………………………………………………1分 ‎②相等．理由如下：分别过点D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分别为H，K．‎ H C 图 ②‎ A B D M F E G K 则∠DHA=∠EKB=90°． ‎ ‎∵ AD∥BE， ‎ ‎∴ ∠DAH=∠EBK． ‎ ‎∵ AD＝BE， ‎ ‎∴ △DAH≌△EBK． ‎ ‎∴ DH=EK． ……………………………2分 ‎ ‎∵ CD∥AB∥EF， ‎ ‎∴S△ABM＝，S△ABG＝， ‎ ‎∴ S△ABM＝ S△ABG. ………………………………………………………………………3分 ‎﹙2﹚答：存在． …………………………………………………………………………4分 解：因为抛物线的顶点坐标是C(1，4)，所以，可设抛物线的表达式为.‎ 又因为抛物线经过点A(3，0)，将其坐标代入上式，得，解得.‎ ‎∴ 该抛物线的表达式为，即． ………………………5分 ‎∴ D点坐标为（0，3）．‎ 设直线AD的表达式为，代入点A的坐标，得，解得.‎ ‎∴ 直线AD的表达式为． ‎ 过C点作CG⊥x轴，垂足为G，交AD于点H．则H点的纵坐标为． ‎ ‎∴ CH＝CG－HG＝4－2＝2． …………………………………………………………6分 设点E的横坐标为m，则点E的纵坐标为． ‎ 过E点作EF⊥x轴，垂足为F，交AD于点P，则点P的纵坐标为，EF∥CG．‎ A 图 ③-1‎ C D B O x y H P G F P E 由﹙1﹚可知：若EP＝CH，则△ADE与△ADC的面积相等． ‎ ‎①若E点在直线AD的上方﹙如图③-1﹚，‎ 则PF=，EF＝． ‎ ‎∴ EP＝EF－PF＝=． ‎ ‎∴ ． ‎ 解得，． ……………………………7分 ‎ 当时，PF=3－2＝1，EF=1+2＝3． ‎ ‎∴ E点坐标为（2，3）． ‎ 同理 当m=1时，E点坐标为（1，4），与C点重合． ………………………………8分 ‎②若E点在直线AD的下方﹙如图③－2,③－3﹚， ‎ 则． ……………………………………………9分 ‎∴．解得，． ………………………………10分 当时，E点的纵坐标为； ‎ 当时，E点的纵坐标为． ‎ A 图③－3‎ C D B O x y H P G F P E A 图③－2‎ C D B O x y H P G F P E ‎∴ 在抛物线上存在除点C以外的点E，使得△ADE与△ACD的面积相等，E点的坐标为E1（2，3）；；． ……………………12分 ‎﹙其他解法可酌情处理﹚ ‎ ‎5．（2010浙江宁波）如图1，有一张菱形纸片ABCD，AC=8， BD=6.‎ ‎ (1)请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一 ‎ 个平行四边形，在图2中用实线画出你所拼成的平行四边形；若 ‎ 沿着BD剪开，请在图3中用实线画出拼成的平行四边形.并直接 ‎ 写出这两个平行四边形的周长. ‎ ‎(图1)‎ ‎ (2)沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，‎ ‎ 请在图4中用实线画出拼成的平行四边形.‎ ‎ (注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等)‎ ‎(图4)‎ ‎(图3)‎ ‎(图2)‎ 周长为 ▲ ‎ 周长为 ▲ ‎ ‎(第21题)‎ ‎【答案】‎ 解：(1)‎ ‎ 1分 ‎ ‎ 周长为26 2分 ‎ ‎ ‎ 3分 ‎ 周长为22 4分 ‎ (2)‎ ‎ 6分 ‎ 注:画法不唯一.‎ ‎6．（2010浙江绍兴） (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,‎ CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.‎ 求证：BE＝CF.‎ 第23题图1‎ ‎(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,‎ BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°, EF ‎＝4.求GH的长.‎ 第23题图2‎ ‎(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,‎ ‎∠FOH＝90°,EF＝4. 直接写出下列两题的答案：‎ ‎①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；‎ ‎ ②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).‎ 第23题图4‎ 第23题图3‎ ‎【答案】‎ 第23题图1‎ ‎(1) 证明：如图1，∵ 四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴ AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， ‎ ‎∴ ∠EAB+∠AEB=90°.‎ ‎∵ ∠EOB=∠AOF＝90°,‎ ‎∴ ∠FBC+∠AEB=90°，∴ ∠EAB=∠FBC， ‎ ‎∴ △ABE≌△BCF ， ∴ BE=CF． ‎ 第23题图2‎ O′‎ N M ‎(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，‎ 过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，‎ 则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形， ‎ ‎∴ EF=BN,GH=AM， ‎ ‎∵ ∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴ ∠NO/A=90°,‎ 故由(1)得, △ABM≌△BCN， ∴ AM=BN，‎ ‎∴ GH=EF=4． ‎ ‎(3) ① 8．② 4n． ‎ ‎7．（2010 浙江台州市）如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°．△EDF绕着边AB的中点D旋转， DE，DF分别交线段AC于点M，K．‎ ‎ （1）观察： ①如图2、图3，当∠CDF=0° 或60°时，AM+CK_______MK(填“>”，“<”或“=”)．‎ ‎②如图4，当∠CDF=30° 时，AM+CK___MK(只填“>”或“<”)．‎ ‎（2）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK_______MK，证明你所得到的结论．‎ 图1‎ 图2‎ 图3‎ ‎（第23题）‎ 图4‎ ‎（3）如果，请直接写出∠CDF的度数和的值．‎ ‎【答案】‎ ‎（1）① = ‎ ‎② ＞ 分 ‎（2）＞‎ 证明：作点C关于FD的对称点G，‎ 连接GK，GM，GD，‎ 则CD=GD ，GK = CK，∠GDK=∠CDK，‎ ‎∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD．‎ ‎∵30°，∴∠CDA=120°，‎ ‎∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°，‎ ‎∠ADM+∠CDK =60°．‎ ‎∴∠ADM=∠GDM，‎ ‎∵DM=DM， ‎ ‎∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM．‎ ‎∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK．‎ ‎（3）∠CDF=15°，．‎ ‎8．（2010江苏无锡）如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为‎10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为‎15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．‎ ‎（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；‎ ‎（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．‎ 图1‎ ‎ 图2‎ 图3‎ ‎【答案】（1）由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30‎ ‎ ∵纸带宽为15，∴sin∠DAB=sin∠ABM=，∴∠DAB=30°．‎ ‎ （2）在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，‎ 图甲 图乙 ‎ 将图甲种的△ABE向左平移‎30cm，△CDF向右平移‎30cm，拼成如图乙中的□ABCD，‎ ‎ 此平行四边形即为图2中的□ABCD ‎ 由题意得，知：BC=BE+CE=2CE=2×，‎ ‎ ∴所需矩形纸带的长为MB+BC=30·cos30°+=cm．‎ ‎9．（2010 河北）图14-1‎ 连杆 滑块 滑道 观察思考 某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2‎ 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以 左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且 PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得 OH = 4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．‎ 解决问题 H l O P Q 图14-2‎ ‎（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；‎ 点Q与点O间的最大距离是 分米；‎ 点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米．‎ ‎（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位 置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？‎ 为什么？‎ ‎（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l 的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大 的位置，此时，点P到l的距离是 分米；‎ H l O 图14-3‎ P ‎（Q）‎ ‎②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，‎ 求这个扇形面积最大时圆心角的度数．‎ ‎ ‎ ‎【答案】解：（1）4 5 6； ‎ ‎（2）不对． ‎ ‎∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且42≠32 + 22，即OQ2≠PQ2 + OP2，‎ ‎∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切．‎ ‎（3）① 3； ‎ D H l O 图3‎ P Q ‎②由①知，在⊙O上存在点P，到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，如图3．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是OP．‎ 连结P，交OH于点D．‎ ‎∵PQ，均与l垂直，且PQ =，‎ ‎∴四边形PQ是矩形．∴OH⊥P，PD =D．‎ 由OP = 2，OD = OHHD = 1，得∠DOP = 60°．‎ ‎∴∠PO = 120°．‎ ‎∴ 所求最大圆心角的度数为120°．‎ ‎10．（2010 山东省德州） ●探究 (1) 在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．‎ 第22题图1‎ O x y D B A C ‎①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为__________；‎ ‎②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为__________；‎ ‎(2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)，‎ 求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的 代数式表示），并给出求解过程．‎ O x y D B 第22题图2‎ A ‎●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，‎ 当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时，‎ x=_________，y=___________．（不必证明）‎ ‎●运用 在图2中，一次函数与反比例函数 x y y=‎ y=x-2‎ A B O 第22题图3‎ 的图象交点为A，B．‎ ‎①求出交点A，B的坐标；‎ ‎②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形，‎ 请利用上面的结论求出顶点P的坐标．‎ ‎【答案】解： 探究 (1)①(1，0)；②(-2，)；‎ ‎(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为 A′‎ D′‎ B′‎ O x y D B A ‎，， ，则∥∥．‎ ‎∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得 ‎=．‎ ‎∴O=．‎ x y y=‎ y=x-2‎ A B O O P 即D点的横坐标是 同理可得D点的纵坐标是．‎ ‎∴AB中点D的坐标为(，)．‎ 归纳：，．‎ 运用 ①由题意得 解得或．‎ ‎∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) ．‎ ‎②以AB为对角线时，‎ 由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1) ．‎ ‎∵平行四边形对角线互相平分，‎ ‎∴OM=OP，即M为OP的中点．‎ ‎∴P点坐标为(2，-2) ．‎ 同理可得分别以OA，OB为对角线时，‎ 点P坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．‎ ‎∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．‎ ‎11．（2010江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。‎ 实验与论证 ‎ 设旋转角∠A‎1A0B1=α（α< A‎1A0A2）, θ3，θ4，θ5，θ6，所表示的角如图所示。‎ （1） 用含α的式子表示角的度数：θ3=___________θ4=_____________θ5=____________‎ ‎（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由；‎ 归纳与猜想 设正n边形A‎0A1A2…An－1与正n边形A0B1B2…Bn－1重合（其中，A1与B1重合），现将正n边形A0B1B2…Bn－1绕顶点A0逆时针旋转α（）．‎ ‎（3）设θn与上述“θ3，θ4，…”的意义一样，请直接写出θn的度数；‎ ‎（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】解：（１）．‎ ‎（２）答案不唯一，选图１，图１中有直线垂直平分．‎ 证明：∵与是全等的等边三角形，∴，∴，∴，∴点在线段的垂直平分线上，所以直线垂直平分．‎ ‎（３）当为奇数时，‎ 当为偶数时，．‎ ‎（４）存在，当为奇数时，直线垂直平分．‎ 当为偶数时，直线垂直平分．‎ ‎12．（2010江苏淮安）(1)观察发现 ‎ 如题26(a)图，若点A，B在直线同侧，在直线上找一点P，使AP+BP的值最小．‎ ‎ 做法如下：作点B关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点P ‎ 再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小．‎ ‎ 做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这 ‎ 点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ． ‎ ‎ ‎ 题26(a)图 题26(b)图 ‎ ‎(2)实践运用 ‎ 如题26(c)图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．‎ ‎ ‎ 题26(c)图 题26(d)图 ‎ (3)拓展延伸 ‎ ‎ 如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留 作图痕迹，不必写出作法． ‎ ‎【答案】解：（1）；‎ ‎（2）如图：‎ 作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，因为AD的度数为60°，点B是的中点，‎ 所以∠AEB=15°，‎ 因为B关于CD的对称点E，‎ 所以∠BOE=60°，‎ 所以△OBE为等边三角形，‎ 所以∠OEB=60°，‎ 所以∠OEA=45°，‎ 又因为OA=OE，‎ 所以△OAE为等腰直角三角形，‎ 所以AE=.‎ ‎（3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，‎ ‎13．（2010湖北省咸宁）问题背景 ‎（1）如图1，‎B C D F E 图1‎ A ‎3‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，‎ 过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：‎ 四边形DBFE的面积 ，‎ ‎△EFC的面积 ，‎ ‎△ADE的面积 ．‎ 探究发现 ‎（2）在（1）中，若，，DE与BC间的距离为．请证明．‎ 拓展迁移 ‎（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若 ‎△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）‎ 中的结论求△ABC的面积．‎ B C D G F E 图2‎ A ‎【答案】（1），，．‎ ‎（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，‎ ‎∴四边形DBFE为平行四边形，，．‎ ‎∴△ADE∽△EFC．‎ ‎∴．‎ ‎∵， ∴．‎ ‎∴．‎ 而， ∴‎ ‎（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形．‎ B C D G F E 图2‎ A H ‎∴，，．‎ ‎∵四边形DEFG为平行四边形，‎ ‎∴． ∴．‎ ‎∴． ∴△DBE≌△GHF．‎ ‎∴△GHC的面积为．‎ 由（2）得，□DBHG的面积为．‎ ‎∴△ABC的面积为．‎ ‎14．（2010北京）问题:已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA，探究∠DBC与∠ABC度数的比值．‎ 请你完成下列探究过程：‎ 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．‎ ‎（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图．‎ 观察图形，AB与AC的数量关系为 ；‎ 当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 ；‎ 可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 ．‎ ‎（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．‎ ‎【答案】解：（1）相等；15°；1:3．‎ ‎(2)猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中的结论相同．‎ 证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC，交CK于点K，连结DK.‎ ‎∵∠BAC≠90°‎ ‎∴四边形ABKC是等腰梯形．‎ ‎∴CK=AB，‎ ‎∵DC=DA，‎ ‎∴∠DCA=∠DAC．‎ ‎∵∠KCA=∠BAC，‎ ‎∴∠KCD=∠3．‎ ‎∵△KCD≌△BAD．‎ ‎∴∠2=∠4，KD=BD，‎ ‎∵BK∥AC，‎ ‎∴∠ACB=∠6．‎ ‎∵∠KCA=2∠ACB，‎ ‎∴∠5=∠ACB，‎ ‎∴∠5=∠6．‎ ‎∴KC=KB，‎ ‎∴KD=BD=KB．‎ ‎∴∠KBD=60°．‎ ‎∵∠ACB=∠6=60°－∠1，‎ ‎∴ ∠BAC=2∠ACB=120°－2∠1．‎ ‎∵∠1 +(60°－∠1) +(120°－2∠1)+ ∠2=180° ‎ ‎∴∠2=2∠1．‎ ‎∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．‎ ‎15．（2010河南）（1)操作发现 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎(2)问题解决 保持(1)中的条件不变，若DC=2DF，求的值.‎ ‎(3)类比探究 保持(1)中的条件不变，若DC=n·DF，求的值.‎ ‎【答案】（1）同意.连接EF，则∠EGF = ∠D=90°,EG = AE = ED,EF = EF,‎ ‎ ∴Rt△EGF ≌ Rt△EDF. ∴GF = DF. ‎ ‎ （2）由（1）知，GF = DF.设DF = x ，BC = y ，则有GF = x，AD = y.‎ ‎ ∵DC = 2DF, ∴CF = x ,DC = AB = BG = 2x , ∴BF = BG + GF = 3x.‎ 在Rt△BCF中，BC2+CF2 = BF2 .即y2+x2=(3x)2.‎ ‎∴y = x , ∴ ==‎ ‎（3）由（1）知，GF = DF.设DF = x，BC = y，则有GF = x，AD = y.‎ ‎∵DC = n·DF, ∴ DC = AB = BG = nx.‎ ‎∴CF = (n-1)x，BF = BG + GF =（n+1）x.‎ 在Rt△BCF中，BC2+CF2 = BF2，即y2+[(n-1)x]2=[(n+1)x]2‎ ‎∴ y = 2x, ∴==(或)‎ ‎16．（2010陕西西安）问题探究 ‎ （1）请你在图①中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分；‎ ‎ （2）如图②，点M是矩形ABCD内一定点，请你在图②中过点M作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分。‎ 问题解决 ‎ （3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中CD//OB，OB=6，BC=4，CD=4。开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处，为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线是否存在？若存在，求出直线的表达式；若不存在，请说明理由。‎ ‎【答案】解：（1）如图①，作直线DB，直线DB即为所求。（所求直线不唯一，只要过矩形对称中心的直线均可） ‎ ‎ （2）如图②，连接AC、DB交于点P，则点P为矩形ABCD的对称中心，作直线MP，直线MP即为所求 ‎ ‎ （3）如图③，存在符合条件的直线， ‎ 过点D作DA⊥OB于点A，‎ 则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心 ‎ ‎∴过点P的直线只要平分的面积即可。‎ 易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将面积平分，‎ 从而，直线PH平分梯形OBCD的面积。‎ 即直线PH为所求直线 ‎ 设直线PH的表达式为且点 ‎∵直线OD的表达式为 解之，得 ‎∴点H的坐标为 ‎∴PH与线段AD的交点F的坐标为 ‎∴‎ 解之，得 ‎∴直线的表达式为 ‎17．（2010 湖北孝感）（本题满分10分）‎ ‎[问题情境]‎ 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言。‎ ‎[定理表述]‎ 请你根据图1中的直角三角形叙述勾股定理（用文字及符号语言叙述）；（3分）‎ ‎ [尝试证明]‎ 以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；（4分）‎ ‎[知识拓展]‎ 利用图2中的直角梯形，我们可以证明其证明步骤如下：‎ ‎= 。‎ 又∵在直角梯形ABCD中有BC AD（填大小关系），即 ，‎ ‎（3分）‎ ‎【答案】[定理表述]‎ 如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么 ‎ …………3分 说明：只有文字语言，没有符号语言给2分。‎ ‎[尝试证明]‎ ‎≌‎ 又 ‎ …………5分 整理，得 …………7分 ‎[知识拓展]‎ ‎ …………10分 ‎18．19．20．‎ ‎21．22．23．24．25．26．27．28．29．30．‎