2020_2021学年新教材高中数学第5章函数概念与性质5
5.3 函数的单调性
第1课时 函数的单调性
学 习 目 标
核 心 素 养
1．理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义．(重点)
2．会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点)
3．会求函数的单调区间．(重点、难点)
通过学习本节内容，提升学生的直观想象和逻辑推理素养．
我们知道，“记忆”在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色，因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题．德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究，并给出了类似下图所示的记忆规律．
如果我们以x表示时间间隔(单位：h)，y表示记忆保持量(单位：%)，则不难看出，上图中，y是x的函数，记这个函数为y＝f(x)．
这个函数反映出记忆具有什么规律？你能从中得到什么启发？
1．单调增(减)函数的概念
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A．
如果对于区间I内的任意两个值x1，x2．当x1
f(x2)
①称y＝f(x)在区间I上为减函数．
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②I称为y＝f(x)的减区间．
2．函数的单调性与单调区间
如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，增区间和减区间统称为单调区间．
思考：在增、减函数定义中，能否把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x2”？
[提示] 不能．如图所示，虽是f(－1)1，∴x1x2>1，∴x1x2－1>0．
又x1x2时，f(x1)>f(x2)；另一方面是逆向应用，即若y＝f(x)在给定区间上是增函数，则当f(x1)f(x2)时，x1>x2．当y＝f(x)在给定区间上是减函数时，同理可得相应结论．
2．根据函数的单调性研究参数的取值范围，往往会根据函数在某一区间上的增减性确定不等式，此时常需要将含参数的变量单独移到一侧，用变量的范围推出参数的范围．
3．已知f(x)在R上为减函数且f(2m)≥f(9－m)，则m的取值范围是 ．
m≤3 [由题意可得2m≤9－m，∴m≤3．]
1．对函数单调性的理解
(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性．
(2)单调性是函数在某一区间上的“整体”性质，因此定义中的x1、x2有以下几个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1x2)．
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(4)并不是所有函数都具有单调性．若一个函数在定义区间上既有增区间又有减区间，则此函数在这个区间上不具有单调性．
2．单调性的判断方法
(1)定义法：利用定义严格判断．
(2)图象法：作出函数的图象，用数形结合的方法确定函数的单调区间．
(3)用两个函数和(差)的单调性的规律判断：“增＋增＝增”，“减＋减＝减”，“增－减＝增”，“减－增＝减”．
1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是( )
A．f(x)＝－ B．f(x)＝x2－3x
C．f(x)＝3－x D．f(x)＝－|x|
A [函数f(x)＝－的单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，显然在(0，＋∞)上是增函数；函数f(x)＝x2－3x在上单调递减，在上单调递增；函数f(x)＝3－x在(0，＋∞)上是减函数；函数f(x)＝－|x|在(0，＋∞)上是减函数，故B、C、D错误．]
2．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的单调减区间为 ．
[由题图知，f(x)在上图象呈下降趋势，∴单调减区间为．]
3．若函数f(x)＝(k－2)x＋b在R上是减函数，则k的取值范围为 ．
(－∞，2) [∵f(x)＝(k－2)x＋b在R上是减函数，
∴k－2＜0，∴k＜2．]
4．已知函数f(x)＝x＋＋2，x∈[1，＋∞)．
(1)判断函数f(x)在区间[1，＋∞)上的单调性；
(2)解不等式：f＜f(x＋1 010)．
[解] (1)设1≤x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
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＝(x1－x2)＋
＝(x1－x2)
＝(x1－x2)·．
由1≤x1＜x2得x1－x2＜0，x1x2＞1，
∴2x1x2－1＞0，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在[1，＋∞)上为增函数．
(2)∵f(x)在[1，＋∞)上为增函数，
∴f＜f(x＋1 010)⇒
解得≤x＜，故原不等式的解集为．
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