中考复习专题学案因式分解的常用方法

中考复习专题学案因式分解的常用方法

因式分解的常用方法 ‎ 数学教研组 ‎ 一、 提公因式法.：a+b+c=m(a+b+c)‎ 二、运用公式法.‎ 在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：‎ ‎　（1）(a+b)(a-b)= a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；‎ ‎　（2）(a±b)2=a2±2ab+b2---------a2±2ab+b2=(a±b)2；‎ ‎　（3）(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3-------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；‎ ‎　（4）(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3 ------a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．‎ 补充两个常用的公式：‎ ‎（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；‎ ‎（6）a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；‎ 例1.已知是的三边，且,则的形状是（ ）‎ A.直角三角形 B等腰三角形 ‎ C 等边三角形 D等腰直角三角形 解：‎ 三、分组分解法.‎ ‎（一）分组后能直接提公因式 例1、分解因式：‎ 分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a，后两项都含有b ‎，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。‎ 解：原式=‎ ‎ = 每组之间有公因式！ ‎ 例2、分解因式：‎ 解法一：‎ 第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；‎ 第三、四项为一组。 第二、三项为一组。‎ 解：原式= 原式=‎ ‎（二）分组后能直接运用公式 例3、分解因式：‎ 分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。‎ ‎ 解：原式= ‎ 例4、分解因式：‎ ‎ 解：原式=‎ 四、十字相乘法.‎ ‎（一）二次项系数为1的二次三项式 直接利用公式—进行分解。‎ 特点：（1）二次项系数是1；‎ ‎ （2）常数项是两个数的乘积；‎ ‎（3）一次项系数是常数项的两因数的和。‎ 思考：十字相乘有什么基本规律？‎ 例.已知0＜≤5，且为整数，‎ 若能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.‎ 解析：凡是能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，‎ 都要求 >0 而且是一个完全平方数。‎ 于是为完全平方数，‎ 例5、分解因式：‎ 分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和等于5。‎ ‎ 由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，‎ 从中可以发现只有2×3的分解适合，‎ 即2+3=5。 ‎ ‎ 1 2‎ 解：= 1 3 ‎ ‎ = 1×2+1×3=5‎ 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。‎ 例6、分解因式：‎ 解：原式= 1 -1 ‎ ‎= 1 -6 ‎ ‎（-1）+（-6）= -7‎ ‎（二）二次项系数不为1的二次三项式——‎ 条件：（1） ‎ ‎（2） ‎ ‎（3） ‎ 分解结果：=‎ 例7、分解因式：‎ 分析： 1 -2‎ ‎ 3 -5 ‎ ‎ （-6）+（-5）= -11‎ 解：=‎ ‎（三）二次项系数为1的齐次多项式 例8、分解因式：‎ 分析：将看成常数，把原多项式看成关于的 二次三项式，利用十字相乘法进行分解。‎ ‎ 1 8b ‎ 1 -16b ‎ ‎ 8b+(-16b) = -8b ‎ 解：=‎ ‎（四）二次项系数不为1的齐次多项式 例9、 例10、‎ ‎ 1 -2y 把看作一个整体 1 -1 ‎ ‎ 2 -3y 1 -2 ‎ ‎ (-3y) +(-4y) = -7y (-1)+(-2)= -3 ‎ 解：原式= 解：原式=‎ 五、换元法。‎ 型如的多项式，‎ 分解因式时可以把四个因式两两分组相乘。‎ ‎ 例13、因式分解 解：设，则 则原式==‎ 六、多项式除以多项式法 先找这个多项式所对应方程的特殊根，然后利用多项式除以多项式进行因式分解。（过程详细讲解）‎ 例14、分解因式 七、添项、拆项、配方法。‎ 例15、分解因式（1） ‎ 解法1——拆项。 解法2——添项。‎ 原式= 原式=‎ ‎（2）‎ 解：原式=‎ 八、待定系数法。‎ 例16、分解因式 分析：原式的前3项可以分为，‎ 则原多项式必定可分为 解：设=‎ 则=‎ 对比左右两边相同项的系数可得，解得 因此，原式=‎