沪科版九年级上册数学知识点整理

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第 21章 二次函数与反比例函数 ‎【知识点 1 函数 y=ax2+bx+c 的解析式】‎ ‎1. 形如（a≠0）的函数叫做x的二次函数；‎ ‎2. 形如的函数叫做x的反比例函数；‎ 典例 1 在下列函数表达式中，表示y是 x 的二次函数关系的有 。‎ ‎①；②；③；④；⑤；‎ ‎⑥；⑦‎ 典例2 在下列函数表达式中，表示y 是 x 的反比例函数关系的有 。‎ ‎①；②；③；④；⑤；⑥；⑦‎ 典例 3 若函数是反比例函数，则a= ,若是二次函数，则a= 。‎ ‎【知识点 2 二次函数的图象与性质】‎ 函数 a的值 a＞0‎ a＜0‎ 性质 ‎1. 抛物线开口 ，并向 无限延伸；‎ ‎2.对称轴是 ，顶点坐标（ ， ）；‎ ‎3.当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y随x的增大而增大；‎ ‎4.抛物线有最 点，当x= 时，y有最 值，；‎ ‎1.抛物线开口 ，并向 ；2.对称轴是 ，顶点坐标（ ， ）‎ ‎3.当x 时，y随x的增大而减小，当x 时，y随x的增大而增大；‎ ‎4.抛物线有最 点，当x= 时，y有最 值，；‎ 典例 4 已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表：则下列判断中正确的是（ ）‎ x ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ y ‎-3‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ A.抛物线开口向上 B.抛物线与y轴交于负半轴 C.当x=4时，y＞0 D.方程ax2+bx+c=0的正根在2与3之间 典例 5 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过点 A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（-2，y1），N（﹣1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，则下列结论正确的是（ ）‎ A.y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y1＜y3＜y2‎ ‎【知识点 3 二次函数解析式的确定】‎ ‎1.待定系数法：‎ 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0) (条件：任意 点坐标)‎ 顶点式：（条件： 坐标+任意 点坐标）‎ 交点式： （条件：与 轴两交点坐标及任意 点坐标）‎ ‎2.平移规律：左加右减，上加下减 典例 6 抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（－3，0），对称轴为x＝－1，顶点C到x轴的距离为 2，则此抛物线表达式为 。‎ 典例7 抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），则这个函数的关系式为 ‎ 。‎ 典例 8 抛物线y=x2+bx +c向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的表达式为y=x2-2x-3，则b= ，c= 。‎ 典例 9 若抛物线y=x2+2bx+4 的顶点在坐标轴上，则抛物线的解析式为 。‎ ‎【知识点 4 二次函数系数与图象】‎ 考查角度 1：判断a、b、c与0比较大小， 决定了开口方向， 和 共同决定了对称轴的位置（左同右异）， 决定了抛物线与y轴交点；（填a、b、c）‎ 考查角度 2：判断 b2-4ac ，b2-4ac>0（图象与坐标轴有 个交点），b2-4ac=0(图象与坐标轴有 个交点), b2-4ac<0(图象与坐标轴 交点)。‎ 考查角度 3：判断2a+b与0比较大小，用对称轴x=与1比较大小即可（解不等式过程中注意a的符号），判断2a-b与0比较大小，用对称轴x=与-1比较大小即可。‎ 考查角度 4：（1）判断a+b+c与0比较，可将x=1代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可；判断a-b+c与0比较，可将x=-1代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可；‎ ‎（2）判断与0比较大小，可将x= 代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可；‎ ‎（3）判断与0比较大小，可将x= 代入抛物线解析式，观察此时图象函数值在x轴上方还是下方判断即可；之后判断同理……‎ 典例 10： 如图，是抛物线y＝ax2+bx+c (a≠0) 的部分图象，则下列结论：‎ ‎① abc>0 ；② 2a+b=0 ；③ b2-4ac>0；④ a+b+c>0 ；⑤ 9a-3b+c>0 ；⑥ 3a+c>0；⑦ 2c<3b 其中正确的结论有 。‎ 典例11 如图，是抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象，其顶点的纵坐标为m，则下列结论：‎ ‎①a－b＋c>0；②4a＋c>2b；③2a-b<0；④b2＝4a(c－m)；⑤一元二次方程ax2＋bx＋c＝m－1有两个不相等的实数根．其中正确结论有 。 ‎ ‎ ‎ 典例12 如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为x=-1，与x轴的一个交点在（-3，0）和（-2，0）之间，其部分图象如图所示，则下列结论：‎ ‎①abc＞ 0 ； ② b2-4ac＞ 0； ③ 2a=b；④ a+b+c＞0 ；⑤ 3b+2c＜ 0；‎ ‎⑥ t（at+b） ≤a-b（ t 为任意实数）。其中正确结论有 。‎ ‎【知识点 5 二次函数与一元二次方程】‎ 一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与 x轴的交点坐标，因此一元二次方程中的△=b2-4ac，在二次函数中表示图像与x轴是否有交点：‎ ‎（1）当△>0时，图像与x轴有 个交点；‎ ‎（2）当△=0时，图像与x轴有 个交点；‎ ‎（3）当△=b2-4ac <0时，图像与x轴 交点。‎ 典例 13 二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，求：‎ ‎(1)函数解析式 _________________ ；‎ ‎(2)当 x______时， y 随 x 增大而减小；‎ ‎(3)由图象回答：‎ 当y＞ 0 时， x 的取值范围 ______；‎ 当y＝ 0 时， x＝ ______；‎ 当y＜ 0 时， x 的取值范围 ______；‎ ‎(4) 方程 ax2 ＋bx＋c=－3 的解为： ______．‎ 典例14 已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，且关于x的一元二次ax2+bx+c-m=0没有实数根，则m的取值范围是 。‎ ‎【知识点 6 二次函数的应用】‎ 典例15 某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件．试营销阶段发现：当销售单价是 25元时，每天的销售量为250件；销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．‎ ‎（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润 w（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；‎ ‎（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；‎ ‎（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：‎ 方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；‎ 方案B：每天销售量不少于 10件，且每件文具的利润至少为25元请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．‎ 典例16 王强在一次高尔夫球的练习中， 在某处击球，其飞行路线满足抛物线 ，其中y（m）是球的飞行高度，x(m)是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有 2m． ‎ ‎(1) 请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴．‎ ‎(2) 请求出球飞行的最大水平距离．‎ ‎(3) 若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式．‎ ‎【知识点 7 反比例函数图象与性质】‎ 典例 17 在函数 （a 为常数）的图象上有三点（-3，y1），（-1，y2），（2，y3），则函数值y1，y2，y3的大小关系是 。‎ 典例 18 如下图，直线于点P，且与反比例函数图像分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则= 。‎ 第18题 图 第19题图 ‎【知识点8 函数与一次函数综合】‎ 典例19 如图，已知A（-4，n），B（2，-4）是一次函数y=kx+b和反比例函数的图像的两个交点。‎ ‎（1）求反比例函数和一次函数的解析式；‎ ‎（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；‎ ‎（3）由图像求：不等式的解集；‎ ‎ 典例20 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C。抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是，且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B。‎ ‎（1） ① 直接写出点 B 的坐标； ② 求抛物线解析式．‎ ‎（2）若点 P 为直线 AC 上方的抛物线上的一点，连接 PA， PC．求 △PAC 的面积的最大值，并求出此时点 P的坐标．‎ 第 22 章 相似三角形 ‎【知识点1 比例的基本性质】（知识点请查阅教材或笔记）‎ 典例 1 （1）已知求2a+4b-3c= ；‎ ‎（2）若x是a、b的比例中项，那么 。‎ 典例 2 若= 。‎ 典例 3 已知 。‎ ‎【知识点2 黄金分割比】（知识点请查阅教材或笔记）‎ 典例 4 点 C 是线段 AB 的黄金分割点，且AB=6cm，则BC= 。‎ 典例 5 已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段AB 的黄金分割点(AC＞ BC)，则下列结论正确的是 ( )‎ A ．AB2 ＝AC•BC B ．BC2＝ AC•BC C． AC＝BC D． BC＝AB ‎ 【知识点3 平行线分线段成比例】（知识点请查阅教材或笔记）‎ 典例 6如图， AD为 △ ABC 的中线，AE＝AD，BE 的延长线交AC于点 F，DH∥BF ，则的值是多少？‎ 典例7 如图，在△ABC中，DG∥EC，EG∥BC.求证：AE2＝AB·AD ‎【知识点 4 相似三角形基本模型】‎ 典例 8 如图，在 △ ABC 中，正方形 EFGH 的两个顶点 E、 F 在 BC 上，另外两个顶点 G、 H 分别在 AC 、AB 上， BC = 15， BC 边上的高是 10，求正方形的面积。‎ 典例 9 如图，四边形 ABCD 中，∠B= ∠D=90 °，M 是 AC 上一点， ME ⊥ AD 于点 E， MF ⊥ BC 于点 F，求证：‎ 典例 10 如图，点 D 是 AB 边的中点， AF ∥BC ，CG： GA=3:1 ， BC=8 ，求 AF 的长。‎ 典例 11 如图，在 △ ABC 与 △ ADE 中，∠ ACB= ∠ AED=90 °，∠ ABC= ∠ ADE ，连接 BD 、CE，若 AC ：BC=3： 4，求 BD ： CE 的值.‎ 典例 12 △ ABC 中， AB=AC ，点 D 、E、 F 分别在 BC 、AB 、 AC 上， ∠ EDF= ∠ B．‎ ‎(1)如图1，求证： DE·CD=DF·BE ； ‎ ‎(2)如图 2，若 D 为 BC 中点，连接 EF ．求证： ED 平分 ∠ BEF ．‎ ‎【知识点 5 相似证明中的比例式】‎ 典例 13 已知：如图，△ABC中， CE⊥ AB ，BF⊥ AC ，求证：‎ 典例 14 如图，CD是Rt△ ABC 的斜边AB 上的高，∠BAC 的平分线分别交 BC 、 CD 于点 E、F，求证：AC·AE=AF·AB.‎ 典例 15 已知：如图， △ ABC 中， ∠ACB=90°，AB 的垂直平分线交AB于 D，交 BC 延长线于F。求证：CD 2=DE·DF。‎ 典例 16 如图，△ABC 中，AD 平分 ∠ BAC ， AD 的垂直平分线FE 交 BC 的延长线于 F．求证：DF2＝ FB·FC．‎ 典例 17 如图，在 △ ABC 中， ∠BAC=90 °，AD ⊥ BC ，E 是 AC 的中点， ED 交 AB 的延长线于点 F．求证：‎ ‎【知识点 6 相似三角形的性质】‎ 典例 18 已知 △ ABC∽△ DEF ，若 △ ABC 与 △ DEF 的相似比为 2： 3，则 △ABC 与 △ DEF 对应边上的中线的比为 ___________.‎ 典例 19 若两个相似三角形的周长之比为 2： 3，则它们的面积之比是__________.‎ 典例 20 如图， D、 E 分别是 △ ABC 的边 AB、 BC 上的点， DE ∥ AC，若 S△BDE ： S△CDE ＝ 1： 3，则 S△DOE ：S△ AOC 的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第20题 图 第21题 图 典例 21 如图，在 △ ABC 中，M 、N 分别是 AB 、AC 上的点， MN ∥BC，若 S△ MBC ：S△CMN =3：1，则 S△AMN ：S△ ABC = ．‎ ‎【知识点 7 位似图形】‎ 典例 22 如右图，以点 O 为位似中心，将 △ ABC 放大得到 △DEF .若 AD＝ OA，则 △ABC 与 △DEF 的面积之比为 ( )‎ A ．1∶ 2 B． 1∶4 C． 1∶5 D． 1∶ 6‎ 典例 23 如图，在平面直角坐标系中，每个虚线网格代表一个边长为 1 个单位长度的小正方形．‎ ‎（1）请以原点 O 为位似中心，将 △ABC 作位似变换得到 △DEF ，且 △ DEF 与 △ ABC 的相似比为2:1.‎ ‎（2）已知在 △ ABC 的边上有一点 P，其坐标为（ a， b），则 P 点在 △ DEF 上的对应点的坐标为 ．‎ B A C D 典例 24 如图，AD是△ABC的角平分线线，求证：AB:BD=AC:CD.‎ 第23章 解直角三角形 ‎【知识点 1 锐角三角函数概念】‎ ‎1、如图，在△ABC中，∠C=90° ‎ ‎①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即 ‎②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即 ‎③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即 ‎2、锐角三角函数的概念 锐角A的正弦、 、 都叫做∠A的锐角三角函数 ‎【知识点 2 一些特殊角的三角函数值】‎ 特殊角α三角函数 ‎30°‎ ‎45°‎ ‎60°‎ sinα cosα tanα 典例1：‎ ‎【知识点 3 三角函数的性质】‎ ‎1、∠A+∠B=90°，则sinA= ； cosA= ‎ ‎2、∠A+∠B=90°，tanA·tanB= ‎ ‎3、sin2A+cos2A= ，‎ ‎4、0°<∠A<45°,sinA cosA; 45°<∠A<90°,sinA cosA (填<,>或=)‎ 典例2：已知0°<∠A<45°，，（1）求sinA·cosA；（2）求sinA-cosA。‎ ‎【知识点 4 锐角三角函数的增减性】‎ 当角度在0°~90°之间变化时，‎ ‎（1）正弦值随着角度的增大而 ，随着角度的减小而 ；‎ ‎（2）余弦值随着角度的增大而 ，随着角度的减小而 ；‎ ‎（3）正切值随着角度的增大而 ，随着角度的减小而 ；‎