江苏省高考数学试卷加详细解析

江苏省高考数学试卷加详细解析

‎2008年江苏省高考数学试卷 ‎　‎ 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）‎ ‎1．（5分）（2008•江苏）若函数最小正周期为，则ω=　_________　．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2008•江苏）若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是　_________　．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2008•江苏）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=　_________　．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2008•江苏）若集合A={x|（x﹣1）2＜3x+7，x∈R}，则A∩Z中有　_________　个元素．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2008•江苏）已知向量和的夹角为120°，，则=　_________　．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是　_________　．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2008•江苏）某地区为了解70﹣80岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：‎ 序号i 分组 ‎（睡眠时间）‎ 组中值（Gi）‎ 频数 ‎（人数）‎ 频率（Fi）‎ ‎1‎ ‎[4，5）‎ ‎4.5‎ ‎6‎ ‎0.12‎ ‎2‎ ‎[5，6）‎ ‎5.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎3‎ ‎[6，7）‎ ‎6.5‎ ‎20‎ ‎0.40‎ ‎4‎ ‎[7，8）‎ ‎7.5‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎5‎ ‎[8，9]‎ ‎8.5‎ ‎4‎ ‎0.08‎ 在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为　_________　．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2008•江苏）设直线y=x+b是曲线y=lnx（x＞0）的一条切线，则实数b的值为 　_________　．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线OE的方程为，请你完成直线OF的方程：　_________　．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2008•江苏）将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为　_________　．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2008•江苏）设x，y，z为正实数，满足x﹣2y+3z=0，则的最小值是　_________　．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为　_________　．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）（2008•江苏）满足条件AB=2，AC=BC的三角形ABC的面积的最大值是　_________　．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2008•江苏）f（x）=ax3﹣3x+1对于x∈[﹣1，1]总有f（x）≥0成立，则a=　_________　．‎ ‎　‎ 二、解答题（共12小题，满分90分）‎ ‎15．（15分）（2008•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点．已知A，B两点的横坐标分别是，．‎ ‎（1）求tan（α+β）的值；‎ ‎（2）求α+2β的值．‎ ‎　‎ ‎16．（15分）（2008•江苏）如图，在四面体ABCD中，CB=CD，AD⊥BD，点E，F分别是AB，BD的中点．求证：‎ ‎（1）直线EF∥面ACD；‎ ‎（2）平面EFC⊥面BCD．‎ ‎　‎ ‎17．（15分）（2008•江苏）如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB=20km，BC=10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．‎ ‎（1）按下列要求建立函数关系式：‎ ‎（i）设∠BAO=θ（rad），将y表示成θ的函数；‎ ‎（ii）设OP=x（km），将y表示成x的函数；‎ ‎（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短．‎ ‎　‎ ‎18．（15分）（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x2+2x+b（x∈R）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．‎ ‎（1）求实数b的取值范围；‎ ‎（2）求圆C的方程；‎ ‎（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．‎ ‎　‎ ‎19．（15分）（2008•江苏）（1）设a1，a2，…，an是各项均不为零的n（n≥4）项等差数列，且公差d≠0，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．‎ ‎（i）当n=4时，求的数值；‎ ‎（ii）求n的所有可能值．‎ ‎（2）求证：对于给定的正整数n（n≥4），存在一个各项及公差均不为零的等差数列b1，b2，…，bn，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．‎ ‎　‎ ‎20．（15分）（2008•江苏）已知函数，（x∈R，p1，p2为常数）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，‎ ‎（1）求f（x）=f1（x）对所有实数x成立的充分必要条件（用p1，p2表示）；‎ ‎（2）设a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），求证：函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（闭区间[m，n]的长度定义为n﹣m）‎ ‎　‎ ‎21．（2008•江苏）如图，△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：ED2=EB•EC．‎ ‎　‎ ‎22．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．‎ ‎　‎ ‎23．（2008•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆上的一个动点，求S=x+y的最大值．‎ ‎　‎ ‎24．（2008•江苏）设a，b，c为正实数，求证：．‎ ‎　‎ ‎25．（2008•江苏）记动点P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记．当∠APC为钝角时，求λ的取值范围．‎ ‎　‎ ‎26．（2008•江苏）请先阅读：‎ 在等式cos2x=2cos2x﹣1（x∈R）的两边求导，得：（cos2x）′=（2cos2x﹣1）′，由求导法则，得（﹣sin2x）•2=4cosx•（﹣sinx），化简得等式：sin2x=2cosx•sinx．‎ ‎（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn（x∈R，正整数n≥2），证明：．‎ ‎（2）对于正整数n≥3，求证：‎ ‎（i）；‎ ‎（ii）；‎ ‎（iii）．‎ ‎　‎ ‎2008年江苏省高考数学试卷 参考答案与试题解析 一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）‎ ‎1．（5分）‎ 考点：‎ 三角函数的周期性及其求法．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据三角函数的周期公式，即T=可直接得到答案．‎ 解答：‎ 解：.‎ 故答案为：10‎ 点评：‎ 本小题考查三角函数的周期公式，即T=．‎ ‎2．（5分）‎ 考点：‎ 古典概型及其概率计算公式．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 分别求出基本事件数，“点数和为4”的种数，再根据概率公式解答即可．‎ 解答：‎ 解析：基本事件共6×6个，‎ 点数和为4的有（1，3）、（2，2）、（3，1）共3个，‎ 故．‎ 故填：．‎ 点评：‎ 本小题考查古典概型及其概率计算公式，考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．‎ ‎3．（5分）‎ 考点：‎ 复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 利用复数除法的法则：分子分母同乘以分母的共轭复数．‎ 解答：‎ 解：．∵，‎ ‎∴a=0，b=1，‎ 因此a+b=1‎ 故答案为1‎ 点评：‎ 本小题考查复数的除法运算．‎ ‎4．（5分）‎ 考点：‎ 交集及其运算．4664233‎ 分析：‎ 先化简集合A，即解一元二次不等式（x﹣1）2＜3x+7，再与Z求交集．‎ 解答：‎ 解：由（x﹣1）2＜3x+7得x2﹣5x﹣6＜0，∴A=（﹣1，6），因此A∩Z={0，1，2，3，4，5}，共有6个元素．‎ 故答案是 6‎ 点评：‎ 本小题考查集合的运算和解一元二次不等式．‎ ‎5．（5分）‎ 考点：‎ 向量的模．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 根据向量的数量积运算公式得，化简后把已知条件代入求值．‎ 解答：‎ 解：由题意得，‎ ‎=，‎ ‎∴=7．‎ 故答案为：7．‎ 点评：‎ 本小题考查向量模的求法，即利用数量积运算公式“”进行求解．‎ ‎6．（5分）‎ 考点：‎ 古典概型及其概率计算公式．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 本题是一个几何概型，试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），满足条件的事件表示单位圆及其内部，根据几何概型概率公式得到结果．‎ 解答：‎ 解析：本小题是一个几何概型，‎ ‎∵试验包含的所有事件是区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），面积是42=16，‎ 满足条件的事件表示单位圆及其内部，面积是π×12‎ 根据几何概型概率公式得到 ‎∴‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．本题可以以选择和填空形式出现．‎ ‎7．（5分）‎ 考点：‎ 频率分布表；工序流程图（即统筹图）．4664233‎ 专题：‎ 图表型．‎ 分析：‎ 观察算法流程图知，此图包含一个循环结构，即求G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5的值，再结合直方图中数据即可求解．‎ 解答：‎ 解：由流程图知：‎ S=G1F1+G2F2+G3F3+G4F4+G5F5‎ ‎=4.5×0.12+5.5×0.20+6.5×0.40+7.5×0.2+8.5×0.08‎ ‎=6.42，‎ 故填：6.42．‎ 点评：‎ 本题考查读频率分布直方图、算法流程图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用图表获取信息时，必须认真观察、分析、研究图表，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎8．（5分）‎ 考点：‎ 利用导数研究曲线上某点切线方程．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 欲实数b的大小，只须求出切线方程即可，故先利用导数求出在切点处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，最后求出切线方程与已知直线方程对照即可．‎ 解答：‎ 解：y′=（lnx）′=，令=得x=2，‎ ‎∴切点为（2，ln2），代入直线方程y=x+b，‎ ‎∴ln2=×2+b，∴b=ln2﹣1．‎ 故答案为：ln2﹣1‎ 点评：‎ 本小题主要考查直线的方程、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎9．（5分）‎ 考点：‎ 直线的一般式方程；归纳推理．4664233‎ 专题：‎ 转化思想．‎ 分析：‎ 本题考查的知识点是类比推理，我们类比直线OE的方程为，分析A（0，a），B（b，0），C（c，0），P（0，p），我们可以类比推断出直线OF的方程为：．‎ 解答：‎ 解：由截距式可得直线AB：，‎ 直线CP：，‎ 两式相减得，‎ 显然直线AB与CP的交点F满足此方程，‎ 又原点O也满足此方程，‎ 故为所求直线OF的方程．‎ 故答案为：．‎ 点评：‎ 类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．‎ ‎10．（5分）‎ 考点：‎ 归纳推理；等比数列的前n项和．4664233‎ 专题：‎ 压轴题；规律型．‎ 分析：‎ 观察图例，我们可以得到每一行的数放在一起，是从一开始的连续的正整数，故n行的最后一个数，即为前n项数据的个数，故我们要判断第n行（n≥3）从左向右的第3个数，可先判断第n﹣1行的最后一个数，然后递推出最后一个数据．‎ 解答：‎ 解：本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．‎ 前n﹣1行共有正整数1+2+…+（n﹣1）个，‎ 即个，‎ 因此第n行第3个数是全体正整数中第+3个，‎ 即为．‎ 点评：‎ 归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．‎ ‎11．（5分）‎ 考点：‎ 基本不等式．4664233‎ 分析：‎ 由x﹣2y+3z=0可推出，代入中，消去y，再利用均值不等式求解即可．‎ 解答：‎ 解：∵x﹣2y+3z=0，‎ ‎∴，‎ ‎∴=，当且仅当x=3z时取“=”．‎ 故答案为3．‎ 点评：‎ 本小题考查了二元基本不等式，运用了消元的思想，是高考考查的重点内容．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）‎ 考点：‎ 椭圆的简单性质．4664233‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 抓住△OAP是等腰直角三角形，建立a，c的关系，问题迎刃而解．‎ 解答：‎ 解：设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，‎ 故，‎ 解得，‎ 故答案为．‎ 点评：‎ 本题考查了椭圆的离心率，有助于提高学生分析问题的能力．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）‎ 考点：‎ 三角形中的几何计算．4664233‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 设BC=x，根据面积公式用x和sinB表示出三角形的面积，再根据余弦定理用x表示出sinB，代入三角形的面积表达式，进而得到关于x的三角形面积表达式，再根据x的范围求得三角形面积的最大值．‎ 解答：‎ 解：设BC=x，则AC=x，‎ 根据面积公式得S△ABC=AB•BCsinB ‎=×2x，‎ 根据余弦定理得cosB=‎ ‎==，‎ 代入上式得 S△ABC=x=，‎ 由三角形三边关系有，‎ 解得2﹣2＜x＜2+2．‎ 故当x=2时，S△ABC取得最大值2．‎ 点评：‎ 本题主要考查了余弦定理和面积公式在解三角形中的应用．当涉及最值问题时，可考虑用函数的单调性和定义域等问题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）‎ 考点：‎ 利用导数求闭区间上函数的最值．4664233‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 这类不等式在某个区间上恒成立的问题，可转化为求函数最值的问题，本题要分三类：①x=0，②x＞0，③x＜0等三种情形，当x=0时，不论a取何值，f（x）≥0都成立；当x＞0时有a≥，可构造函数g（x）=，然后利用导数求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同理可得x＜0时的a的范围，从而可得a的值．‎ 解答：‎ 解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≥0都成立；‎ 当x＞0即x∈（0，1]时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≥‎ 设g（x）=，则g′（x）=，‎ 所以g（x）在区间（0，]上单调递增，在区间[，1]上单调递减，‎ 因此g（x）max=g（）=4，从而a≥4；‎ 当x＜0即x∈[﹣1，0）时，f（x）=ax3﹣3x+1≥0可化为：a≤，‎ g（x）=在区间[﹣1，0）上单调递增，‎ 因此g（x）min=g（﹣1）=4，从而a≤4，综上a=4．‎ 答案为：4‎ 点评：‎ 本题考查的是含参数不等式的恒成立问题，考查分类讨论，转化与化归的思想方法，利用导数和函数的单调性求函数的最大值，最小值等知识与方法．在讨论时，容易漏掉x=0的情形，因此分类讨论时要特别注意该问题的解答．‎ 二、解答题（共12小题，满分90分）‎ ‎15．（15分）‎ 考点：‎ 两角和与差的正切函数．4664233‎ 分析：‎ ‎（1）先由已知条件得；再求sinα、sinβ进而求出tanα、tanβ；‎ 最后利用tan（α+β）=解之．‎ ‎（2）利用第一问把tan（α+2β）转化为tan[（α+β）+β]求之，再根据α+2β的范围确定角的值．‎ 解答：‎ 解：（1）由已知条件即三角函数的定义可知，‎ 因为α为锐角，则sinα＞0，从而 同理可得，‎ 因此．‎ 所以tan（α+β）=；‎ ‎（2）tan（α+2β）=tan[（α+β）+β]=，‎ 又，故，‎ 所以由tan（α+2β）=﹣1得．‎ 点评：‎ 本题主要考查正切的和角公式与转化思想．‎ ‎　‎ ‎16．（15分）‎ 考点：‎ 直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．4664233‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据线面平行关系的判定定理，在面ACD内找一条直线和直线EF平行即可，根据中位线可知EF∥AD，EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，满足定理条件；‎ ‎（2）需在其中一个平面内找一条直线和另一个面垂直，由线面垂直推出面面垂直，根据线面垂直的判定定理可知BD⊥面EFC，而BD⊂面BCD，满足定理所需条件．‎ 解答：‎ 证明：（1）∵E，F分别是AB，BD的中点．‎ ‎∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，‎ ‎∵EF⊄面ACD，AD⊂面ACD，∴直线EF∥面ACD；‎ ‎（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，‎ ‎∵CB=CD，F是BD的中点，∴CF⊥BD 又EF∩CF=F，∴BD⊥面EFC，‎ ‎∵BD⊂面BCD，∴面EFC⊥面BCD 点评：‎ 本题主要考查线面平行的判定定理，以及面面 垂直的判定定理．考查对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力．‎ ‎17．（15分）‎ 考点：‎ 在实际问题中建立三角函数模型．4664233‎ 分析：‎ ‎（1）（i）根据题意知PQ垂直平分AB，在直角三角形中由三角函数的关系可推得OP，从而得出y的函数关系式，注意最后要化为最简形式，确定自变量范围．（ii）已知OP，可得出OQ的表达式，由勾股定理推出OA，易得y的函数关系式．‎ ‎（2）欲确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短也就是最小值问题，（1）中已求出函数关系式，故可以利用导数求解最值，注意结果应与实际情况相符合．‎ 解答：‎ 解：（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），‎ 则，故，又OP=10﹣10tanθ，‎ 所以，‎ 所求函数关系式为 ‎②若OP=x（km），则OQ=10﹣x，所以OA=OB=‎ 所求函数关系式为 ‎（Ⅱ）选择函数模型①，‎ 令y′=0得sin，因为，所以θ=，‎ 当时，y′＜0，y是θ的减函数；当时，y′＞0，y是θ的增函数，所以当θ=时，．这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边km处．‎ 点评：‎ 本小题主要考查函数最值的应用．‎ ‎①生活中的优化问题，往往涉及到函数的最值，求最值可利用单调性，也可直接利用导数求最值，要掌握求最值的方法和技巧．‎ ‎②在求实际问题中的最大值或最小值时，一般先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数最值的方法求解，注意结果应与实际情况相符合．用导数求解实际问题中的最大（小）值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点也就是最值点．‎ ‎18．（15分）‎ 考点：‎ 二次函数的图象；圆的标准方程．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ ‎（1）由题意知，由抛物线与坐标轴有三个交点可知抛物线不过原点即b不等于0，然后抛物线与x轴有两个交点即令f（x）=0的根的判别式大于0即可求出b的范围；‎ ‎（2）设出圆的一般式方程，根据抛物线与坐标轴的交点坐标可知：令y=0得到与f（x）=0一样的方程；令x=0得到方程有一个根是b即可求出圆的方程；‎ ‎（3）设圆的方程过定点（x0，y0），将其代入圆的方程得x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0，因为x0，y0不依赖于b得取值，所以得到1﹣y0=0即y0=1，代入x02+y02+2x0﹣y0=0中即可求出定点的坐标．‎ 解答：‎ 解：．（1）令x=0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；‎ 令f（x）=x2+2x+b=0，由题意b≠0且△＞0，解得b＜1且b≠0．‎ ‎（2）设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0‎ 令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程，故D=2，F=b．‎ 令x=0得y2+Ey+F=0，方程有一个根为b，代入得出E=﹣b﹣1．‎ 所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣（b+1）y+b=0．‎ ‎（3）圆C必过定点，证明如下：‎ 假设圆C过定点（x0，y0）（x0，y0不依赖于b），将该点的坐标代入圆C的方程，‎ 并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b（1﹣y0）=0（*）‎ 为使（*）式对所有满足b＜1（b≠0）的b都成立，必须有1﹣y0=0，结合（*）式得x02+y02+2x0﹣y0=0，解得 经检验知，（﹣2，1）均在圆C上，因此圆C过定点．‎ 点评：‎ 本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．是一道综合题．‎ ‎19．（15分）‎ 考点：‎ 等差数列的性质；等比关系的确定；等比数列的性质．4664233‎ 专题：‎ 探究型；分类讨论；反证法．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意，对n=4，n=5时数列中各项的情况逐一讨论，利用反证法结合等差数列的性质进行论证，进而推广到n≥4的所有情况．‎ ‎（2）利用反证法结合等差数列的性质进行论证即可．‎ 解答：‎ 解：（1）①当n=4时，a1，a2，a3，a4中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0．‎ 若删去a2，则a32=a1•a4，即（a1+2d）2=a1•（a1+3d）化简得a1+4d=0，得 若删去a3，则a22=a1•a4，即（a1+d）2=a1•（a1+3d）化简得a1﹣d=0，得 综上，得或．‎ ‎②当n=5时，a1，a2，a3，a4，a5中同样不可能删去a1，a2，a4，a5，否则出现连续三项．‎ 若删去a3，则a1•a5=a2•a4，即a1（a1+4d）=（a1+d）•（a1+3d）化简得3d2=0，因为d≠0，所以a3不能删去；‎ 当n≥6时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列a1，a2，a3，…，an﹣2，an﹣1，an中，由于不能删去首项或末项，‎ 若删去a2，则必有a1•an=a3•an﹣2，这与d≠0矛盾；‎ 同样若删去an﹣1也有a1•an=a3•an﹣2，这与d≠0矛盾；‎ 若删去a3，，an﹣2中任意一个，则必有a1•an=a2•an﹣1，这与d≠0矛盾．（或者说：当n≥6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项）‎ 综上所述，n=4．‎ ‎（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列b1，b2，bn，其中bx+1，by+1，bz+1（0≤x＜y＜z≤n﹣1）为任意三项成等比数列，则b2y+1=bx+1•bz+1，即（b1+yd）2=（b1+xd）•（b1+zd），化简得（y2﹣xz）d2=（x+z﹣2y）b1d（*）‎ 由b1d≠0知，y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0或同时不为0‎ 当y2﹣xz与x+z﹣2y同时为0时，有x=y=z与题设矛盾．‎ 故y2﹣xz与x+z﹣2y同时不为0，所以由（*）得 因为0≤x＜y＜z≤n﹣1，且x、y、z为整数，所以上式右边为有理数，从而为有理数．‎ 于是，对于任意的正整数n（n≥4），只要为无理数，相应的数列就是满足题意要求的数列．‎ 例如n项数列1，，，，满足要求．‎ 点评：‎ 本题是一道探究性题目，考查了等差数列和等比数列的通项公式，以及学生的运算能力和推理论证能力．‎ ‎20．（15分）‎ 考点：‎ 指数函数综合题．4664233‎ 专题：‎ 计算题；压轴题；分类讨论．‎ 分析：‎ ‎（1）根据题意，先证充分性：由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）对所有实数成立，等价于f1（x）≤f2（x）对所有实数x成立等价于，即对所有实数x均成立，分析容易得证；再证必要性：对所有实数x均成立等价于，即|p1﹣p2|≤log32，‎ ‎（2）分两种情形讨论：①当|p1﹣p2|≤log32时，由中值定理及函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度；②当|p1﹣p2|＞log32时，a，b是两个实数，满足a＜b，且p1，p2∈（a，b）．若f（a）=f（b），根据图象和函数的单调性得到函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度．‎ 解答：‎ 解：（1）由f（x）的定义可知，f（x）=f1（x）（对所有实数x）等价于f1（x）≤f2（x）（对所有实数x）这又等价于，即对所有实数x均成立．（*）‎ 由于|x﹣p1|﹣|x﹣p2|≤|（x﹣p1）﹣（x﹣p2）|=|p1﹣p2|（x∈R）的最大值为|p1﹣p2|，‎ 故（*）等价于，即|p1﹣p2|≤log32，这就是所求的充分必要条件 ‎（2）分两种情形讨论 ‎（i）当|p1﹣p2|≤log32时，由（1）知f（x）=f1（x）（对所有实数x∈[a，b]）‎ 则由f（a）=f（b）及a＜p1＜b易知，‎ 再由的单调性可知，‎ 函数f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度 为（参见示意图）‎ ‎（ii）|p1﹣p2|＞log32时，不妨设p1＜p2，，则p2﹣p1＞log32，于是 当x≤p1时，有，从而f（x）=f1（x）；‎ 当x≥p2时，有 从而f（x）=f2（x）；当p1＜x＜p2时，，及，由方程 解得f1（x）与f2（x）图象交点的横坐标为（1）‎ 显然，‎ 这表明x0在p1与p2之间．由（1）易知 综上可知，在区间[a，b]上，（参见示意图）‎ 故由函数f1（x）及f2（x）的单调性可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度之和为（x0﹣p1）+（b﹣p2），由于f（a）=f（b），即，得p1+p2=a+b+log32（2）‎ 故由（1）、（2）得 综合（i）（ii）可知，f（x）在区间[a，b]上的单调增区间的长度和为．‎ 点评：‎ 考查学生理解充分必要条件的证明方法，用数形结合的数学思想解决问题的能力，以及充分必要条件的证明方法．‎ ‎21．（2008•江苏）‎ 考点：‎ 与圆有关的比例线段；二阶行列式与逆矩阵；简单曲线的极坐标方程；不等式的证明．4664233‎ 分析：‎ 根据已知EA是圆的切线，AC为过切点A的弦得两个角相等，再结合角平分线条件，从而得到△EAD是等腰三角形，再根据切割线定理即可证得．‎ 解答：‎ 证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，‎ 所以∠CAE=∠CBA．‎ 又因为AD是ÐBAC的平分线，所以∠BAD=∠CAD 所以∠DAE=∠DAC+∠EAC=∠BAD+∠CBA=∠ADE 所以，△EAD是等腰三角形，所以EA=ED．‎ 又EA2=EC•EB，‎ 所以ED2=EB•EC．‎ 点评：‎ 此题主要是运用了弦切角定理的切割线定理．注意：切线长的平方应是EB和EC的乘积．‎ ‎22．（2008•江苏）‎ 考点：‎ 圆的标准方程；矩阵变换的性质．4664233‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 由题意先设椭圆上任意一点P（x0，y0），根据矩阵与变换的公式求出对应的点P′（x0′，y0′），得到两点的关系式，再由点P在椭圆上代入化简．‎ 解答：‎ 解：设P（x0，y0）是椭圆上任意一点，‎ 则点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′（x0′，y0′）‎ 则有，即，所以 又因为点P在椭圆上，故4x02+y02=1，从而（x0′）2+（y0′）2=1‎ 所以，曲线F的方程是x2+y2=1‎ 点评：‎ 本题主要考查了矩阵与变换的运算，结合求轨迹方程得方法：代入法求解；是一个较综合的题目．‎ ‎23．（2008•江苏）‎ 考点：‎ 椭圆的参数方程．4664233‎ 专题：‎ 计算题；转化思想．‎ 分析：‎ 先根据椭圆的标准方程进行三角代换表示椭圆上任意一点，然后利用三角函数的辅助角公式进行化简，即可求出所求．‎ 解答：‎ 解：因椭圆的参数方程为（ϕ为参数）‎ 故可设动点P的坐标为，其中0≤ϕ＜2π．‎ 因此 所以，当时，S取最大值2．‎ 点评：‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质及参数方程的问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．‎ ‎24．（2008•江苏）‎ 考点：‎ 平均值不等式；不等式的证明．4664233‎ 专题：‎ 证明题．‎ 分析：‎ 先根据平均值不等式证明 ，再证 ．‎ 解答：‎ 证明：因为a，b，c为正实数，由平均不等式可得 ，‎ 即 ，‎ 所以，，‎ 而 ，‎ 所以，‎ 点评：‎ 本题考查平均值不等式的应用，n个正数的算术平均数 大于或等于它们的几何平均数 ．‎ ‎　‎ ‎25．（2008•江苏）‎ 考点：‎ 用空间向量求直线间的夹角、距离．4664233‎ 专题：‎ 计算题；压轴题．‎ 分析：‎ 由题意易知∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于，即，再将用关于λ的字母表示，根据向量数量积的坐标运算即可 解答：‎ 解：由题设可知，以、、为单位正交基底，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系D﹣xyz，‎ 则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）‎ 由，得，所以 显然∠APC不是平角，所以∠APC为钝角等价于，则等价于 即（1﹣λ）（﹣λ）+（﹣λ）（1﹣λ）+（λ﹣1）2=（λ﹣1）（3λ﹣1）＜0，得 因此，λ的取值范围是 点评：‎ 本题考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎26．（2008•江苏）请先阅读：‎ 考点：‎ 微积分基本定理；二项式定理；类比推理．4664233‎ 专题：‎ 证明题；综合题；压轴题．‎ 分析：‎ ‎（1）对二项式定理的展开式两边求导数，移项得到恒等式．‎ ‎（2）（i）对（1）中的x 赋值﹣1，整理得到恒等式．‎ ‎（ii）对二项式的定理的两边对x求导数，再对得到的等式对x两边求导数，给x赋值﹣1化简即得证．‎ ‎（iii）对二项式定理的两边求定积分；利用微积分基本定理求出两边的值，得到要证的等式．‎ 解答：‎ 证明：（1）在等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2++Cnnxn两边对x求导得n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x++（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1‎ 移项得（*）‎ ‎（2）（i）在（*）式中，令x=﹣1，整理得 所以 ‎（ii）由（1）知n（1+x）n﹣1=Cn1+2Cn2x+…+（n﹣1）Cnn﹣1xn﹣2+nCnnxn﹣1，n≥3‎ 两边对x求导，得n（n﹣1）（1+x）n﹣2=2Cn2+3•2Cn3x+…+n（n﹣1）Cnnxn﹣2‎ 在上式中，令x=﹣1，得0=2Cn2+3•2Cn3（﹣1）+…+n（n﹣1）Cn2（﹣1）n﹣2‎ 即，‎ 亦即（1）‎ 又由（i）知（2）‎ 由（1）+（2）得 ‎（iii）将等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+…+Cnnxn两边在[0，1]上对x积分 由微积分基本定理，得 所以 点评：‎ 本题考查导数的运算法则、考查通过赋值求系数和问题、考查微积分基本定理．‎ ‎　‎