高考理科数一轮复习高效演练分层突破：第四章 第5讲 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用
[基础题组练]
1．(2020·安徽蚌埠第二次数学质量检查)将函数f(x)＝sin x＋cos x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将函数的图象向左平移个单位后，得到的函数g(x)的解析式为( )
A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin D．g(x)＝sin
解析：选B.f(x)＝sin x＋cos x＝sin的图象y＝ sin的图象g(x)＝sin＝sin.故选B.
2．(2020·江西吉安期末教学质量检测)在平面直角坐标系xOy中，将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象经过原点，则φ的最小值为( )
A. B．
C. D．
解析：选B.将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象对应的解析式为y＝sin[3(x＋φ)＋]，因为其图象经过原点，所以sin＝0，所以3φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z，又φ>0，
所以φ的最小值为－＝，故选B.
3．(2020·湖南衡阳高中毕业联考(二))将函数f(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，得到函数g(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象．已知函数g(x)的部分图象如图所示，则( )
A．函数f(x)的最小正周期为π，最大值为2
B．函数f(x)的最小正周期为π，图象关于点中心对称
C．函数f(x)的最小正周期为π，图象关于直线x＝对称
D．函数f(x)的最小正周期为π，在区间上是减少的
解析：选D.对于g(x)，由题图可知，A＝2，T＝4＝，所以ω＝＝3，则g(x)＝2sin，又由g＝2可得φ＝－＋2kπ，k∈Z，而|φ|<，所以φ＝－.
所以g(x)＝2sin，所以f(x)＝2sin.
所以f(x)的最小正周期为π，选项A，C错误．
对于选项B，令2x＋＝kπ(k∈Z)，所以x＝－，k∈Z，所以函数f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，所以选项B是错误的；当x∈时，2x＋∈，所以f(x)在上是减函数，所以选项D正确．故选D.
4．设ω>0，函数y＝sin(ωx＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移个单位后，得到如图所示的图象，则ω，φ的值为( )
A．ω＝2，φ＝ B．ω＝2，φ＝－
C．ω＝1，φ＝－ D．ω＝1，φ＝
解析：选A.函数y＝sin(ωx＋φ)(－π<φ<π)的图象向左平移个单位后可得y＝sin(ωx＋
eq f(πω,3)＋φ)．由函数的图象可知，＝－(－)＝，所以T＝π.根据周期公式可得ω＝2，所以y＝sin(2x＋φ＋)．由图知当y＝－1时，x＝×(－)＝，所以函数的图象过(，－1)，
所以sin(＋φ)＝－1.因为－π<φ<π，所以φ＝.
故选A.
5．(2020·河南名校联盟联合调研)将函数g(x)＝2sin x＋1的图象向左平移个单位，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变)，得到函数f(x)的图象，若f(x1)＝f(x2)＝3，且－π≤x2
0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，已知x1，x2∈(，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝________.
解析：由题意可得A＝2，T＝×＝－＝π，所以ω＝2.
当x＝时，f(x)＝2，则ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
据此可得φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为0<φ<π，令k＝0可得φ＝，则f(x)＝2sin(2x＋)．当x∈(，π)时，<2x＋<，所以f(x)在此区间上的对称轴方程为x＝.由x1，x2∈(，π)，x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，可得x1＋x2＝，
则f()＝2sin(2×＋)＝2sin＝2×＝1.
答案：1
7．函数y＝cos(2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，与函数y＝sin的图象重合，则φ＝________．
解析：把函数y＝cos (2x＋φ)(0＜φ＜π)的图象向右平移个单位后，得到y＝cos (2x－π＋φ)的图象，
与函数y＝sin的图象重合，则cos (2x－π＋φ)＝sin，即sin＝sin，
所以－＋φ＝－，则φ＝，
答案：
8.(2020·武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最小正周期为2；
②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
③f(x)在(2k－，2k＋)，k∈Z上是减函数；
④f(x)的最大值为A.
则正确的结论为________．(填序号)
解析：由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×(－)＝2，故①正确；因为函数f(x)的图象过点(，0)和(，0)，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝(＋)＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故④不正确．
答案：①③
9．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的图象过点P(，0)，图象上与点P
最近的一个最高点是Q(，5)．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数f(x)的增区间．
解：(1)依题意得A＝5，
周期T＝4(－)＝π，
所以ω＝＝2.
故y＝5sin(2x＋φ)，
又图象过点P(，0)，
所以5sin(＋φ)＝0，
由已知可得＋φ＝kπ，k∈Z，
因为|φ|<，所以φ＝－，
所以y＝5sin(2x－)．
(2)由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
故函数f(x)的增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
10．(2020·济南模拟)已知函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1.
(1)若函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且ω∈[0，3]，求函数f(x)的增区间；
(2)在(1)的条件下，当x∈[0，]时，函数f(x)有且只有一个零点，求实数b的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝sin ωxcos ωx＋cos2ωx＋b＋1
＝sin 2ωx＋＋b＋1＝sin(2ωx＋)＋＋b.
因为函数f(x)的图象关于直线x＝对称，所以2ω·＋＝kπ＋，k∈Z，且ω∈[0，3]，所以ω＝1.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋＋b.
因为x∈[0，]，所以2x＋∈[，]．
当2x＋∈[，]，即x∈[0，]时，函数f(x)是增加的；当2x＋∈[，]，即x∈[，]时，函数f(x)是减少的．
又f(0)＝f()，所以当f()>0≥f()或f()＝0时，函数f(x)有且只有一个零点，即sin≤－b－0)的部分图象如图所示，其中M(m，0)，N(n，2)，P(π，0)，且mn<0，则f(x)在下列区间中具有单调性的是( )
A. B．
C. D．
解析：选B.因为mn<0，所以m、n异号，根据题意可得m<0，n>0，又P(π，0)，所以T>π且<π，即π0)的图象向左平移个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)的图象关于直线x＝ω对称且在区间内是增加的，则ω的值为( )
A. B．
C. D．
解析：选A.由题意得g(x)＝sin＝sin，因为函数g(x)的图象关于直线x＝ω对称且在区间(－ω，ω)内是增加的，所以ω2＋＝＋kπ，k∈Z，－＋2mπ≤－ω2＋，m∈Z，ω2＋≤＋2mπ，m∈Z，因此k≥0，kπ≤－2mπ，kπ≤2mπ，k，m∈Z，从而0≤－2mπ，0≤2mπ，m∈Z，即0≤m≤，m∈Z，所以m＝0，k＝0，ω＝，选A.
3．如图，将绘有函数f(x)＝sin(ωx＋)(ω>0)部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若A，B之间的空间距离为，则f(－1)＝________．
解析：由题设并结合图形可知，
AB＝＝
＝＝，得＝4，则ω＝，
所以f(－1)＝sin(－＋)＝sin ＝.
答案：
4．若在区间(n，m)上，函数f(x)＝2cos 2x的图象总在函数g(x)＝－7－4sin x的图象的上方，则m－n的最大值为________．
解析：根据题意，函数f(x)＝2cos 2x的图象总在函数g(x)＝－7－4sin x的图象的上方可以转化为2cos 2x>－7－4sin x恒成立，即2cos 2x＋7＋4sin x>0.根据二倍角公式化简为4sin2x－4sin x－9<0⇒－0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点(－，0)，求当m取得最小值时，g(x)在[－，]上的增区间．
解： (1)函数f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，
得函数f(x)的最小正周期为T＝2×＝，得ω＝1，
故函数f(x)的解析式为f(x)＝sin(2x＋)．
(2)将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)＝sin[2(x＋m)＋]＝sin(2x＋2m＋)的图象，根据g(x)的图象恰好经过点(－，0)，
可得sin(－＋2m＋)＝0，即sin(2m－)＝0，
所以2m－＝kπ(k∈Z)，m＝＋(k∈Z)，
因为m>0，
所以当k＝0时，m取得最小值，且最小值为.
此时，g(x)＝sin(2x＋)．
因为x∈[－，]，所以2x＋∈[，]．
当2x＋∈[，]，即x∈[－，－]时，g(x)是增加的，
当2x＋∈[，]，即x∈[，]时，g(x)是增加的．
综上，g(x)在区间[－，]上的增区间是
[－，－]和[，]．
