2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第九章　3 第3讲　圆的方程

2021届浙江新高考数学一轮复习高效演练分层突破：第九章　3 第3讲　圆的方程

‎[基础题组练]‎ ‎1．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程是(　　)‎ A．x2＋(y－2)2＝1　　 　　 B．x2＋(y＋2)2＝1‎ C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1‎ 解析：选A.设圆心为(0，a)，‎ 则＝1，‎ 解得a＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.‎ ‎2．方程|x|－1＝所表示的曲线是(　　)‎ A．一个圆 B．两个圆 C．半个圆 D．两个半圆 解析：选D.由题意得即或 故原方程表示两个半圆．‎ ‎3．(2020·金华十校联考)已知圆(x－2)2＋(y＋1)2＝16的一条直径通过直线x－2y＋3＝0被圆所截弦的中点，则该直径所在的直线方程为(　　)‎ A．3x＋y－5＝0 B．x－2y＝0‎ C．x－2y＋4＝0 D．2x＋y－3＝0‎ 解析：选D.直线x－2y＋3＝0的斜率为，已知圆的圆心坐标为(2，－1)，该直径所在直线的斜率为－2，所以该直径所在的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋y－3＝0.故选D.‎ ‎4．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程是(　　)‎ A．(x＋1)2＋y2＝2 B．(x＋1)2＋y2＝8‎ C．(x－1)2＋y2＝2 D．(x－1)2＋y2＝8‎ 解析：选A.直线x－y＋1＝0与x轴的交点为即(－1，0)．‎ 根据题意，圆心为(－1，0)．‎ 因为圆与直线x＋y＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离，即r＝d＝＝，‎ 则圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.故选A.‎ ‎5．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2距离的最大值是(　　)‎ A．1＋ B．2‎ C．1＋ D．2＋2 解析：选A.将圆的方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心坐标为(1，1)，半径为1，则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，故圆上的点到直线x－y＝2距离的最大值为d＋1＝＋1，选A.‎ ‎6．(2020·杭州八校联考)圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，则＋的最小值是(　　)‎ A．2 B. C．4 D. 解析：选D.由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，因为圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a>0，b>0)对称，所以该直线经过圆心(－1，3)，即－a－3b＋3＝0，所以a＋3b＝3(a>0，b>0)．所以＋＝(a＋3b)＝≥＝，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.‎ ‎7．圆C的圆心在x轴上，并且经过点A(－1，1)，B(1，3), 若M(m，)在圆C内，则m的取值范围为________．‎ 解析：设圆心为C(a，0)，由|CA|＝|CB|得 ‎(a＋1)2＋12＝(a－1)2＋32，所以a＝2.‎ 半径r＝|CA|＝＝.‎ 故圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.‎ 由题意知(m－2)2＋()2<10，解得00得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5.‎ ‎(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y；将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.因为OM⊥ON，所以·＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×＋16＝0，解得m＝.‎ ‎(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝(x1＋x2)＝，b＝(y1＋y2)＝，半径r＝|OC|＝，所以所求圆的方程为＋＝.‎ ‎6．已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O和点A，与y轴交于点O和点B，其中O为坐标原点．‎ ‎(1)求证：△OAB的面积为定值；‎ ‎(2)设直线y＝－2x＋4与圆C交于点M，N，若OM＝ON，求圆C的方程．‎ 解：(1)证明：因为圆C过原点O，所以OC2＝t2＋.‎ 设圆C的方程是 (x－t)2＋＝t2＋，‎ 令x＝0，得y1＝0，y2＝；‎ 令y＝0，得x1＝0，x2＝2t，‎ 所以S△OAB＝OA·OB＝×|2t|×||＝4，‎ 即△OAB的面积为定值．‎ ‎(2)因为OM＝ON，CM＝CN，‎ 因为OC垂直平分线段MN.‎ 因为kMN＝－2，所以kOC＝.‎ 所以＝t，解得t＝2或t＝－2.‎ 当t＝2时，圆心C的坐标为(2，1)，OC＝，‎ 此时，C到直线y＝－2x＋4的距离d＝<，圆C与直线y＝－2x＋4相交于两点．‎ 符合题意，此时，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ 当t＝－2时，圆心C的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时C到直线y＝－2x＋4的距离 d＝>.圆C与直线y＝－2x＋4不相交，‎ 所以t＝－2不符合题意，舍去．‎ 综上圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎