2020高中数学 第3章 不等式组与简单的线性规划问题1 不等式表示的平面区域学案 苏教版必修5

2020高中数学 第3章 不等式组与简单的线性规划问题1 不等式表示的平面区域学案 苏教版必修5

二元一次不等式表示的平面区域 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 二元一次不等式的平面区域 ‎1. 了解二元一次不等式的几何意义；‎ ‎2. 会画二元一次不等式表示的平面区域。‎ 选择题 填空题 渗透“直线定界，特殊点定域”的思想，帮助学生用集合的观点和语言来分析和描述结合图形的问题，使问题更清晰和准确。‎ 二、重难点提示 重点：用二元一次不等式表示平面区域。‎ 难点：二元一次不等式表示的平面区域的确定，即如何确定不等式Ax＋By＋C>0（或<0）表示直线Ax＋By＋C＝0的哪一侧区域。‎ 考点：二元一次不等式表示的平面区域 ‎1. 二元一次不等式及其解的含义 含有两个未知数，且未知数的次数都是一次的不等式叫做二元一次不等式。使不等式成立的未知数的值叫做它的解。所有二元一次不等式的解构成由很多有序数对构成的集合，因此，它的解集不能用数轴上的一个区间表示，而应是平面上的一个区域。‎ ‎2. 二元一次不等式表示的平面区域 一般地，二元一次不等式，在平面直角坐标系中，表示某一侧所有点组成的平面区域，我们则把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线。在画所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线。‎ 由于对在同一侧的所有点，实数的符号相同，所以只需在直线的某一侧取一个特殊点，从的正负即可判断表示直线哪一侧的平面区域。特殊地，当时，常把原点作为特殊点。‎ 技巧点拨：“同侧同号，异侧异号；要知是哪侧，取点一试就知道。”‎ ‎【随堂练习】已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点（x，y）共有________个。‎ 答案：满足条件的点依次为（0，0），（0，1），（1，0），（1，1），（0，2），（2，0），共6个。‎ 思路分析：由题知，分别取代入求出的范围，再求出非负整数y。‎ 技巧点拨：注意列举法的应用。‎ 例题1 （画二元一次不等式表示的平面区域）‎ 画出下列不等式表示的平面区域。‎ 3‎ ‎（1）2x＋y－6＜0；（2）y≤－2x＋3。‎ 思路分析：‎ 答案：（1）画出直线2x＋y－6＝0（画成虚线），‎ 取原点（0，0），代入2x＋y－6。‎ ‎∵2×0＋0－6＝－6＜0，‎ ‎∴原点在2x＋y－6＜0表示的平面区域内，‎ ‎∴不等式2x＋y－6＜0表示的平面区域如图（1）所示。‎ 图（1）　　　　　　　 　　　　图（2）‎ ‎（2）将y≤－2x＋3变形为2x＋y－3≤0，‎ 画出直线2x＋y－3＝0（画成实线），‎ 取原点（0，0），代入2x＋y－3，‎ ‎∵2×0＋0－3＜0，‎ ‎∴原点在2x＋y－3≤0表示的平面区域内，‎ ‎∴不等式y≤－2x＋3表示的平面区域如图（2）所示。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 画二元一次不等式表示的平面区域时，一定要注意不等号是否含有相等的情形，若含，边界画为实线，若不含，画为虚线。‎ ‎2. 画二元一次不等式Ax＋By＋C＞0（或＜0，≥0，≤0）表示平面区域的步骤：‎ ‎（1）画直线Ax＋By＋C＝0；‎ ‎（2）进行选点法检验，若直线不过原点，一般选原点进行检验；‎ ‎（3）画出所求区域，若包括边界用实线，若不包括边界用虚线。‎ 例题2 （由平面区域求不等式）‎ 将下图中阴影部分表示的平面区域用不等式表示出来。‎ ‎ （1）　　　　　　　　 （2）　　　　　　　　 （3）‎ 思路分析：求直线方程→选点代入定符号→检查边界虚实→得不等式。‎ 答案：由图（1）知，其边界所在的直线在x轴和y轴上的截距均为1，故边界所在的直线方程为x＋y－1＝0，‎ 将原点（0，0）代入直线方程x＋y－1＝0的左边，得0＋0－1＜0，‎ 3‎ 故所求的不等式为x＋y－1≤0；‎ 由图（2）知，其边界所在的直线方程为＋＝1，‎ 即x－2y＋2＝0，‎ 将原点（0，0）代入直线方程x－2y＋2＝0的左边，得0－2×0＋2＞0，‎ 故所求的不等式为x－2y＋2≤0；‎ 由图（3）知，可设其边界所在的直线方程为y＝kx，将（2，－1）代入，得－1＝2k，即k＝－，‎ 所以边界所在的直线方程为y＝－x，即x＋2y＝0。‎ 将（1，0）代入直线方程x＋2y＝0的左边，得1＋2×0＞0，故所求的不等式为x＋2y≥0。‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 本题中写不等式一定要注意边界的虚实，若边界为实线，则有相等情形；若边界为虚线，则无相等情形。‎ ‎2. 由平面区域写二元一次不等式的步骤如下：‎ ‎（1）求边界直线方程；‎ ‎（2）在区域内选点代入方程，确定不等号；‎ ‎（3）根据边界虚实，确定等号是否保留。‎ ‎【满分训练】‎ 已知点（3，1）和（－4，6）在直线3x－2y＋a＝0的两侧，求a的取值范围。‎ 思路分析：两点在直线的两侧，把点代入3x－2y＋a，使其结果的符号相反。‎ 答案：将（3，1）和（－4，6）分别代入3x－2y＋a，使其结果的符号相反，即（9－2＋a）×（－12－12＋a）＜0，解得a的取值范围是（－7，24）。　‎ 技巧点拨：‎ ‎1. 本题中，由不等式表示平面区域的特点，利用符号法则转化成不等式求出结果。‎ ‎2. 如果两点在直线的同侧，那么把两点坐标代入直线所对应的整式，所得结果的符号相同；如果两点在直线的两侧，那么把两点坐标代入直线所对应的整式，所得结果的符号相反。‎ 3‎