江苏高考函数与导数汇编文

江苏高考函数与导数汇编文

‎2010~2018年函数与试题汇编 ‎1、考纲要求：函数的概念B函数的基本性质B指数与对数B指数、对数函数的图像与性质B幂函数A函数与方程B函数模型及其应用B导数的概念A导数的几何意义B导数的运算B利用导数研究函数的单调性与极值B导数在实际问题中的应用B ‎2、高考解读：函数是高考的重头戏，所占分值比较高，难度系数一般比较大，通常会有两到三个填空题，一道解答题，在其他解答题中还有出现的可能。主要考查分类讨论的思想，分析问题的能力，逻辑思维能力和综合应用能力。‎ 江苏卷对函数在解答题上基本不考“抽象函数”，2013年第20题，考查函数的单调性、零点个数问题；2014年第19题，考查函数与不等式；2015年第19题，讨论函数的单调性及函数零点确定参数值；2016年第19题，考查函数与不等式、零点问题，2017年第20题，考查函数与导数、函数的极值、零点问题.题目难度较大，多体现分类讨论思想.‎ 一、函数的性质 ‎★5．（5分）（2010•江苏）设函数f（x）=x（ex+ae﹣x）（x∈R）是偶函数，则实数a=　 　．‎ ‎★2．（5分）（2011•江苏）函数f（x）=log5（2x+1）的单调增区间是　 　．‎ ‎★5．（5分）（2012•江苏）函数f（x）=的定义域为　 　．‎ ‎★★10．（5分）（2012•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，f（x）=其中a，b∈R．若=，则a+3b的值为　 　．‎ ‎★5．（5分）（2016•江苏）函数y=的定义域是　 　．‎ ‎★★11．（5分）（2016•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1）上，f（x）=，其中a∈R，若f（﹣）=f（），则f（5a）的值是　 　．‎ ‎★5．（5分）（2018•江苏）函数f（x）=的定义域为　 　．‎ ‎★★9．（5分）（2018•江苏）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为　 　．‎ 二、函数与不等式 ‎★★11．（5分）（2010•江苏）已知函数，则满足不等式f（1﹣x2）＞f（2x）的x的范围是　 　．‎ ‎★★★13．（5分）（2012•江苏）已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b∈R）的值域为[0，+∞），若关于x的不等式f（x）＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为　 　．‎ ‎★★11．（5分）（2013•江苏）已知f（x）是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f（x）=x2﹣4x，则不等式f（x）＞x的解集用区间表示为　 　．‎ ‎★★10．（5分）（2014•江苏）已知函数f（x）=x2+mx﹣1，若对于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，则实数m的取值范围是　 　．‎ ‎★★★11．（5分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3﹣2x+ex﹣，其中e是自然对数的底数．若f（a﹣1）+f（2a2）≤0．则实数a的取值范围是　 　．‎ 三、函数与方程 ‎★★★13．（5分）（2014•江苏）已知f（x）是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3）时，f（x）=|x2﹣2x+|，若函数y=f（x）﹣a在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），则实数a的取值范围是　 　．‎ ‎★★★13．（5分）（2015•江苏）已知函数f（x）=|lnx|，g（x）=，则方程|f（x）+g（x）|=1实根的个数为　 　．‎ ‎★★★14．（5分）（2017•江苏）设f（x）是定义在R上且周期为1‎ 的函数，在区间[0，1）上，f（x）=，其中集合D={x|x=，n∈N*}，则方程f（x）﹣lgx=0的解的个数是　 　．‎ ‎★★11．（5分）（2018•江苏）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为　 　．‎ 四、函数与导数 ‎★★★14．（5分）（2010•江苏）将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则S的最小值是　 　．‎ ‎★★8．（5分）（2011•江苏）在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数的图象交于P、Q两点，则线段PQ长的最小值是　 　．‎ ‎★★11．（5分）（2011•江苏）已知实数a≠0，函数f（x）=，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为　 　．‎ ‎★★★12．（5分）（2011•江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知P是函数f（x）=ex（x＞0）的图象上的动点，该图象在点P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是　 　．‎ ‎★★9．（5分）（2013•江苏）抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D（包含三角形内部和边界）．若点P（x，y）是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是　 　．‎ ‎★★★13．（5分）（2013•江苏）在平面直角坐标系xOy中，设定点A（a，a），P是函数y=（x＞0）图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为2，则满足条件的实数a的所有值为　 　．‎ ‎★★★11．（5分）（2014•江苏）在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=ax2+‎ ‎（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b的值是　 　．‎ 五、导数的综合应用 ‎★★★★20．（16分）（2010•江苏）设f（x）是定义在区间（1，+∞）上的函数，其导函数为f′（x）．如果存在实数a和函数h（x），其中h（x）对任意的x∈（1，+∞）都有h（x）＞0，使得f′（x）=h（x）（x2﹣ax+1），则称函数f（x）具有性质P（a），设函数f（x）=，其中b为实数．‎ ‎（1）①求证：函数f（x）具有性质P（b）；‎ ‎②求函数f（x）的单调区间．‎ ‎（2）已知函数g（x）具有性质P（2），给定x1，x2∈（1，+∞），x1＜x2，设m为实数，α=mx1+（1﹣m）x2，β=（1﹣m）x1+mx2，α＞1，β＞1，若|g（α）﹣g（β）|＜|g（x1）﹣g（x2）|，求m的取值范围．‎ ‎★★★★19．（16分）（2011•江苏）已知a，b是实数，函数f（x）=x3+ax，g（x）=x2+bx，f′（x）和g′（x）是f（x），g（x）的导函数，若f′（x）g′（x）≥0在区间I上恒成立，则称f（x）和g（x）在区间I上单调性一致 ‎（1）设a＞0，若函数f（x）和g（x）在区间[﹣1，+∞）上单调性一致，求实数b的取值范围；‎ ‎（2）设a＜0，且a≠b，若函数f（x）和g（x）在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a﹣b|的最大值．‎ ‎★★★17．（14分）（2012•江苏）如图，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y=kx﹣（1+k2）x2（k＞0）表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．‎ ‎（1）求炮的最大射程；‎ ‎（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．‎ ‎★★★★18．（16分）（2012•江苏）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．‎ ‎（1）求a和b的值；‎ ‎（2）设函数g（x）的导函数g′（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；‎ ‎（3）设h（x）=f（f（x））﹣c，其中c∈[﹣2，2]，求函数y=h（x）的零点个数．‎ ‎★★★★20．（16分）（2013•江苏）设函数f（x）=lnx﹣ax，g（x）=ex﹣ax，其中a为实数．‎ ‎（1）若f（x）在（1，+∞）上是单调减函数，且g（x）在（1，+∞）上有最小值，求a的取值范围；‎ ‎（2）若g（x）在（﹣1，+∞）上是单调增函数，试求f（x）的零点个数，并证明你的结论．‎ ‎★★★★19．（16分）（2014•江苏）已知函数f（x）=ex+e﹣x，其中e是自然对数的底数．‎ ‎（1）证明：f（x）是R上的偶函数；‎ ‎（2）若关于x的不等式mf（x）≤e﹣x+m﹣1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；‎ ‎（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0）＜a（﹣x03+3x0）成立，试比较ea﹣1与ae﹣1的大小，并证明你的结论．‎ ‎★★★★17．（14分）（2015•江苏）某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y=（其中a，b为常数）模型．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t．‎ ‎①请写出公路l长度的函数解析式f（t），并写出其定义域；‎ ‎②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．‎ ‎★★★★19．（16分）（2015•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）．‎ ‎（1）试讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）若b=c﹣a（实数c是与a无关的常数），当函数f（x）有三个不同的零点时，a的取值范围恰好是（﹣∞，﹣3）∪（1，）∪（，+∞），求c的值．‎ ‎★★★★19．（16分）（2016•江苏）已知函数f（x）=ax+bx（a＞0，b＞0，a≠1，b≠1）．‎ ‎（1）设a=2，b=．‎ ‎①求方程f（x）=2的根；‎ ‎②若对于任意x∈R，不等式f（2x）≥mf（x）﹣6恒成立，求实数m的最大值；‎ ‎（2）若0＜a＜1，b＞1，函数g（x）=f（x）﹣2有且只有1个零点，求ab的值．‎ ‎★★★★20．（16分）（2017•江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．‎ ‎（Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；‎ ‎（Ⅱ）证明：b2＞3a；‎ ‎（Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求实数a的取值范围．‎ ‎★★★★19．（16分）（2018•江苏）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．‎ ‎（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；‎ ‎（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；‎ ‎（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．‎