2014年版高考数学专题目06三角恒等变换与解三角形考二轮难点解析

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2014年版高考数学专题目06三角恒等变换与解三角形考二轮难点解析

专题06 三角恒等变换与解三角形-2014年高考数学考纲解读及热点难点试题演练 ‎2014高考对本内容的考查主要有:‎ ‎(1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是C级要求,二倍角的正弦、余弦及正切是B级要求,应用时要适当选择公式,灵活应用.‎ ‎(2)正弦定理、余弦定理及其应用,要求是B级,能够应用定理实现三角形中边和角的转化,以及应用定理解决实际问题.‎ 试题类型一般是填空题,同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查,构成中档题.‎ ‎2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α=2sin αcos α.‎ ‎(2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.‎ ‎(3)tan 2α=.‎ ‎3.正弦定理 ===2R(2R为△ABC外接圆的直径).‎ 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C.‎ sin A=,sin B=,sin C=.‎ a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C.‎ ‎4.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,‎ c2=a2+b2-2abcos C.‎ 推论:cos A=,cos B=,‎ cos C=.‎ ‎5.三角形面积公式 S△ABC=bcsin A=acsin B=absin C.‎ ‎6.三角恒等变换的基本思路 ‎(1)“化异为同”,“切化弦”,“‎1”‎的代换是三角恒等变换的常用技巧.如1=cos2θ+sin2θ=tan 45°等.‎ ‎“化异为同”是指“化异名为同名”,“化异次为同次”,“化异角为同角”.‎ ‎(2)角的变换是三角变换的核心,如β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β),=-等.‎ ‎7.解三角形的四种类型及求解方法 ‎(1)已知两角及一边,利用正弦定理求解.‎ ‎(2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一.‎ ‎(3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解.‎ ‎(4)已知三边,利用余弦定理求解.‎ ‎8.利用解三角形的知识解决实际问题的思路 把实际问题中的要素归入到一个或几个相互关联的三角形中,通过解这样的三角形即可求出实际问题的答案.注意要检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,从而得出正确结果.‎ 考点1、三角变换及应用 ‎【例1】 (1)已知0<β<<α<π,且cos=-,sin=,求cos(α+β)的值;‎ ‎(2)已知α,β∈(0,π),且tan (α-β)=,tan β=-,求2α-β的值.‎ ‎=×+×=,‎ ‎∴cos(α+β)=2cos2-1=2×-1=-.‎ ‎【规律方法】 ‎ ‎(1)要仔细观察分析所求角与已知条件的关系,灵活使用角的变换,如α=(α+β)-β,α=+等.‎ ‎(2)由于三角函数的多值性,故要对角的范围进行讨论,确定并求出限定范围内的角.‎ ‎【变式探究】 (2013·广东卷)已知函数f(x)=cos,x∈R.‎ ‎(1)求f的值;‎ ‎(2)若cos θ=,θ∈,求f.‎ ‎∴sin 2θ=2sin θcos θ=-,cos 2θ=2cos2 θ-1=-,‎ ‎∴f=cos 2θ-sin 2θ=-+=.‎ 考点2、正、余弦定理的应用 ‎【例2】△ABC的面积是30,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos A=.‎ ‎(1)求A·A;‎ ‎(2)若c-b=1,求a的值.‎ ‎【规律方法】 求解此类问题,一要注意从问题的不断转化中寻求解题的突破口,如求A·A,需要求出bc,由三角形的面积及cos A,可求出sin A,二要注意求解本题第(2)问时,应该结合第(1)问中的结论.‎ ‎【变式探究】 (2013·山东卷)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.‎ ‎(1)求a,c的值;‎ ‎(2)求sin(A-B)的值.‎ ‎【解析】解 (1)由余弦定理,得 解三角形在实际问题中的应用 ‎【例1】如图,现有一个以∠AOB为圆心角,湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB.现欲在弧AB上取不同于A、B的点C,用渔网沿着弧AC(弧AC在扇形AOB的弧AB上),半径OC和线段CD(其中CD∥OA),在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ.若OA=‎1 km,∠AOB=,∠AOC=θ.‎ ‎(1)用θ表示CD的长度;‎ ‎(2)求所需渔网长度(即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和)的取值范围.‎ ‎【规律方法】 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步:‎ ‎(1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语,如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等;‎ ‎ (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;‎ ‎(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解.‎ ‎(4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案.‎ ‎【变式探究】某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线在l上的四边形电气线路,如图所示,为充分利用现有材料,边BC,CD用一根‎5米长的材料弯折而成,边BA,AD用一根‎9米长的材料弯折而成,要求∠A和∠C互补,且AB=BC,‎ ‎(1)设AB=x米,cos A=f(x),求f(x)的解析式,并指出x的取值范围.‎ ‎(2)求四边形ABCD面积的最大值.‎ ‎【解析】解 (1)在△ABD中,由余弦定理得 BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos A.‎ 同理,在△CBD中,BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cos C.‎ 因为∠A和∠C互补,‎ 所以AB2+AD2-2AB·AD·cos A=CB2+CD2-2CB·CD·cos C=CB2+CD2+2CB·CD·cos A.‎ 即x2+(9-x)2-2x(9-x)cos A ‎=x2+(5-x)2+2x(5-x)cos A.‎ 解得cos A=,即f(x)=,其中x∈(2,5).‎ ‎1.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=1,B=45°,S△ABC=2,则b等于________.‎ ‎2.在△ABC中,A,B,C为内角,且sin Acos A=sin Bcos B,则△ABC是________三角形.‎ ‎3.已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan 2α等于________.‎ ‎4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知8b=‎5c,C=2B,则cos C等于________.‎ ‎5.已知tan β=,sin(α+β)=,其中α,β∈(0,π),则sin α的值为________.‎ ‎6.在△ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,已知a2-c2=2b,且sin Acos C=3cos Asin A,求b=______.‎ ‎7.若α,β∈,cos =,sin =-,则cos (α+β)=________.‎ ‎8.在△ABC中,AD为BC边上的高线,AD=BC,角A,B,C的对边为a, b,c,则+的取值范围是________.‎ ‎9.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位:m).如示意图,垂直放置的标杆BC的高度h=‎4 m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.‎ ‎(1)该小组已测得一组α,β的值,算出了tan α=1.24,tan β=1.20,请据此算出H的值;‎ ‎(2)该小组分析若干测得的数据后,认为适当调整标杆到电视塔的距离d(单位:m),使α与β之差较大,可以提高测量精度.若电视塔的实际高度为‎125 m,试问d为多少时,α-β最大?‎ ‎ ‎ ‎(2)由题设知d=AB,得tan α=.‎ ‎10.在△ABC中,已知·=3·.‎ ‎(1)求证:tan B=3tan A;‎ ‎(2)若cos C=,求A的值.‎ ‎11.(2013·新课标全国Ⅱ卷)△ABC中内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B.‎ ‎(1)求B;‎ ‎(2)若b=2,求△ABC面积的最大值.‎ ‎【解析】解 (1)由已知及正弦定理,得 sin A=sin Bcos C+sin Csin B,①‎ 又A=π-(B+C),‎ 故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.②‎ 由①,②和C∈(0,π)得sin B=cos B.‎ 又B∈(0,π),所以B=.‎
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