湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

湖南省长沙市长郡中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题

www.ks5u.com 长郡中学2019-2020学年度高一第一学期期中考试数学 一、选择题：本大题共15个小题，每小题3分，共45分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解一元二次不等式求得集合，由此求得.‎ ‎【详解】由，解得，所以.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.‎ ‎【详解】依题意，，解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，主要是偶次方根的被开方数为非负数，分式分母不为零，属于基础题.‎ ‎3.若函数f（x）＝在R上是增函数，则a的取值范围为（　　）‎ A. （﹣∞，2) B. （0，2） C. （0，] D. [，2）‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数f（x）＝在R上是增函数，等价于当时，是增函数，当时，是增函数；另外还要满足在分界点处，左边的函数值小于等于右边的函数值，即，通过解不等式组，可确定的取值范围.‎ ‎【详解】由时，是增函数，得，即；由时，是增函数，得；又的定义域为R，所以在应有，即，综上，实数的取值范围是，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,容易忽略对分界点左右两边的函数值大小关系进行讨论.‎ ‎4.下列函数既是偶函数，又在（0，+∞）上为增函数的是（　　）‎ A. B. y＝ C. y＝|x| D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 逐一判断每个函数的奇偶性和单调性，可得正确答案.‎ ‎【详解】对于A， ，为奇函数，不符合题意；对于B，，为偶函数，在上单调递减，不符合题意；对于C， ，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意；对于D，，为奇函数，不符合题意；故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查常见函数的单调性和奇偶性的判断，较基础.‎ ‎5.函数的最大值与最小值之和 （ ）‎ A. 1.75 B. 3.75 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的对称轴，判断其在上的单调性，根据单调性求出最值，即可得出结果。‎ ‎【详解】解：函数的对称轴为，其在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查二次函数在给定区间上的单调性及最值，是基础题。‎ ‎6.已知定义在R上的奇函数满足：当时，，则（ ）‎ A. -1 B. 1 C. -2 D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据求得，然后根据函数的奇偶性求得的值.‎ ‎【详解】由于函数是定义在上的奇函数，所以，而当时，，所以，所以当时，，故.由于为奇函数，故.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求参数的值、求函数值，属于基础题.‎ ‎7.下列不等式成立的是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指数函数与对数函数的单调性，即可得到判定，得出答案.‎ ‎【详解】由题意，指数函数时，函数是增函数，所以不正确，是正确的，‎ 又由对数函数是增函数，所以不正确；‎ 对数函数是减函数，所以不正确，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了指数函数以及对数函数的单调性的应用，其中熟记指数函数与对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎8.设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为，，，故，所以选D.‎ ‎9.函数的单调递增区间是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数的定义域，然后将复合函数分解为内、外函数，分别讨论内外函数的单调性，进而根据复合函数单调性“同增异减”的原则，得到函数y=log3（x2-2x）的单调递增区间 ‎【详解】函数y=log5（x2-2x）的定义域为（-∞，0）∪（2，+∞）， ‎ 令t=x2-2x，则y=log5t， ‎ ‎∵y=log5t为增函数， ‎ t=x2-2x在（-∞，0）上为减函数，在（2，+∞）为增函数， ‎ ‎∴函数y=log5（x2-2x）的单调递增区间为（2，+∞）， ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是复合函数的单调性，二次函数的性质，对数函数的单调性，其中复合函数单调性“同增异减”是解答本题的关键．‎ ‎10.已知幂函数的图象过点，则的值为　　‎ A. B. 2 C. 4 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据幂函数的定义和待定系数法，求出幂函数的表达式，即可求值．‎ ‎【详解】设幂函数为，的图象过点，‎ ‎．，，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求函数解析式，同时考查了幂函数的概念，属于基础题.‎ ‎11.已知函数f（x）=loga（x+1）（其中a＞1），则f（x）＜0的解集为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为已知a的取值范围，直接根据根据对数函数的单调性和定点解出不等式即可。‎ ‎【详解】因为，‎ 所以在单调递增，‎ 所以 所以，解得 故选D。‎ ‎【点睛】在比较大小或解不等式时，灵活运用函数的单调性以及常数和对指数之间的转化。‎ ‎12.若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意有，所以，而，所以有是函数的零点，故选A．‎ 考点：函数的零点的定义．‎ ‎13.若函数只有一个零点，则实数取值范围是 A. 或 B. ‎ C. 或 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，原题等价于，再讨论即可得到结论．‎ ‎【详解】由题 ，故函数有一个零点 等价于即 当时，，,符合题意；‎ 当，时，令，满足解得,‎ 综上的取值范围是或 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点，对数函数的性质，二次函数根的分布问题，考查了分类讨论思想，属于中档题．‎ ‎14.若方程有一个正根和一个负根，则实数的取值范围是（ ）‎ A. 或 B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据方程根的特点可知：方程对应的函数有即可，并注意真数大于零，利用不等式组求范围.‎ ‎【详解】设,图象如图所示：‎ 根据条件，由图可知：只需满足即，解得：或，‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查一元二次方程根的分布，难度较易.处理根的分布问题，最好可以图象分析，这样可以更直观的得到需要满足的不等式组.‎ ‎15.函数的图象如图所示，则方程的实数根个数为（ ）‎ A. 3 B. 6 C. 9 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 令，，先由图象知方程有三个根，再根据u的值确定t个数，最后根据t的值与个数确定结果.‎ ‎【详解】令，，则由，有，由图象知有三个根 ‎，，，分别令，，，由图象知有9个不同的t符合方程，而为单调递增函数，所以相应x的根的个数为9个，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象的关系以及数形结合思想的应用，合理换元，逐层分析方程的根的情况是解决本题的关键.‎ 二、填空题：本大题共5个小题．每小题3分，共15分，将答案填在答题纸上．‎ ‎16.设集合，则满足，的集合___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的元素，求得集合.‎ ‎【详解】依题意，由于，故，由于，故，所以.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据集合的交集和并集所包含的元素，求集合，属于基础题.‎ ‎17.已知函数 ，且，则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：令2x+2=a，则 所以 解得.故答案为 ‎18.已知，，且，则实数的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求函数的导数，判断函数的单调性和奇偶性，将不等式转化进行求解即可。‎ ‎【详解】函数的导数 ，则函数在上为增函数；‎ ‎ ‎ 函数是奇函数；‎ 则等价于；即，解得： ‎ 故实数的取值范围是 ‎【点睛】本题考查不等式的求解，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题。‎ ‎19.某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质36%，若要使水中杂质减少到原来的5%以下，则至少需要过滤_____次．（参考数据：）‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 借助指数函数模型列不等式，解不等式求得至少需要过滤的次数.‎ ‎【详解】设原有杂质为，过滤一次剩余杂质为，过滤次，剩余杂质为，依题意令，即，两边取以为底的对数得，即，故至少需要过滤次.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查指数函数模型在实际生活中运用，考查指数不等式的解法，考查对数运算，属于中档题.‎ ‎20.若规定集合的子集为 的第个子集，其中，例如是的第5个子集，则的第25个子集是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，而互不相等，求得的值，进而求得的第个子集.‎ ‎【详解】根据集合元素的互异性可知互不相等，而，只有符合，即，故的第个子集是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查新定义概念的理解和运用，考查集合元素的互异性，考查分析思考与解决问题的能力，属于中档题.‎ 三、解答题：本大题共5个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21.计算：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）已知，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据对数运算公式，化简所求表达式；‎ ‎（2）利用平方的方法，先求得，再求得的值，进而求得表达式的值.‎ ‎【详解】（1）原式.‎ ‎（2）由于，两边平方并化简得，两边平方并化简得，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查对数运算，考查代数式的变换，考查完全平方公式，属于基础题.‎ ‎22.已知lg2=a，lg3=b，试用a，b表示log125=______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接由对数的运算性质计算即可．‎ ‎【详解】∵lg2＝a，lg3＝b，‎ ‎∴log125．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算性质及运算法则，是基础题．‎ ‎23.科学家发现某种特别物质的温度（单位：摄氏度）随时间（时间：分钟）的变化规律满足关系式：（，）.‎ ‎（1）若，求经过多少分钟，该物质的温度为摄氏度；‎ ‎（2）如果该物质温度总不低于摄氏度，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）经过分钟，该物质的温度为摄氏度；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入函数解析式，令，结合解出的值；‎ ‎（2）令，换元，于是得出，由参变量分离法得出，然后求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）由题意，当，令，‎ 时，解得，因此，经过分钟时间，该物质的温度为摄氏度；‎ ‎（2）由题意得对一切恒成立，‎ 则由，得出，令，则，且，‎ 构造函数，‎ 所以当时，函数取得最大值，则.‎ 因此，实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查给定函数模型的应用，考查指数方程的求解以及指数不等式恒成立问题的求解，在含单一参数的不等式问题中，通常利用参变量分离法转化为函数最值来求解，考查化归与转化思想，属于中等题.‎ ‎24.已知集合，且，若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将转化为方程在区间上有解，构造函数，根据在区间上有两等根、有一根、有两不等根进行分类讨论，由此求得的取值范围.‎ ‎【详解】，即在上有解，‎ 即方程在区间上有解，‎ 令，‎ 则在上，若：‎ ‎①两等根：，；‎ ‎②有一根：；‎ ‎③有两不等根：．‎ 综上，．‎ ‎【点睛】本小题主要考查交集的概念理解，考查一元二次方程在给定区间上存在零点的问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎25.已知函数，对于任意的，都有，当时，，且．‎ ‎（1）求，的值；‎ ‎（2）当时，求函数的最大值和最小值．‎ ‎【答案】（1），；（2），．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用赋值法，求得的值.‎ ‎（2）判断出函数的奇偶性和单调性，由此求得函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【详解】（1）令得，‎ 令得，令得，故，．‎ ‎（2）令，则，‎ ‎，奇函数，‎ 任取，且，，则，‎ ‎，‎ 所以在R上为减函数，‎ 故，‎ ‎．‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据抽象函数表达式求函数值，考查抽象函数奇偶性和单调性，考查函数在闭区间上最值的求法，属于中档题.‎ ‎ ‎