北京各区高考数学模拟题压轴题含答案

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1（2017 海淀二模）对于无穷数列 ，记 ，若数列 满足： “存在 ，使得只要 （ 且 ），必有 ”，则 称数列 具有性质 . （Ⅰ）若数列 满足 判断数列 是否具有性质 ？是否具有性 质 ？ （Ⅱ）求证：“ 是有限集”是“数列 具有性质 ”的必要不充分条件； （Ⅲ）已知 是各项为正整数的数列，且 既具有性质 ，又具有性质 ，求 证：存在整数 ，使得 是等差数列. 2（2017 海淀一模）已知含有 个元素的正整数集 具有性质 ：对任意不大于 (其中 )的正整数 存在数集 的 一个子集，使得该子集所有元素的和等于 . （Ⅰ）写出 的值； （Ⅱ）证明：“ 成等差数列”的充要条件是“ ”； （Ⅲ）若 ，求当 取最小值时， 的最大值. 3（2017 西城二模）设集合 ．如果对于 的每一个含有 个元素的子集 ， 中必有 个元素的和等于 ，称正整数 为集合 的一个“相关数”． { }na { | , }j iT x x a a i j= = − < { }na t T∈ m ka a t− = *,m k ∈N m k> 1 1m ka a t+ +− = { }na ( )P t { }na 2 , 2, 2 5, 3,n n na n n ≤=  − ≥ { }na (2)P (4)P T { }na (0)P { }na { }na (2)P (5)P N 1 2, , , , ,N N N N ka a a a+ + +  n 1 2{ , , , }nA a a a= ⋅⋅⋅ 1 2( , 3)na a a n< < ⋅⋅⋅ < ≥ P ( )S A 1 2( ) nS A a a a= + + ⋅⋅⋅ + ,k A k 1 2,a a 1 2, , , na a a ( 1)( ) 2 n nS A += ( ) 2017S A = n na * 2 {1,2,3, ,2 } ( , 2)nA n n n= ∈N ≥ 2nA ( 4)m m≥ P P 4 4 1n + m 2nA （Ⅰ）当 时，判断 5 和 6 是否为集合 的“相关数”，说明理由； （Ⅱ）若 为集合 的“相关数”，证明： ； （Ⅲ）给定正整数 ．求集合 的“相关数” 的最小值． 4（2017 西城一模）如图，将数字 全部填入一个 行 列的表格中，每 格填一个数字．第一行填入的数字依次为 ，第二行填入的数字依次为 ． 记 ． （Ⅰ）当 时，若 ， ， ，写出 的所有可能的取值； （Ⅱ）给定正整数 ．试给出 的一组取值，使得无论 填写的顺 序如何， 都只有一个取值，并求出此时 的值； （Ⅲ）求证：对于给定的 以及满足条件的所有填法， 的所有取值的奇偶性相 同． 5（2017 东城二模）对于 维向量 ，若对任意 均有 或 ，则称 为 维 向量.对于两个 维 向量 ，定义 . （Ⅰ）若 ， ，求 的值. （ Ⅱ ） 现 有 一 个 维 向 量 序 列 ： ， 若 且 满 足 ： ， .求证：该序列中不存在 维 向量 . （ Ⅲ ） 现 有 一 个 维 向 量 序 列 ： ， 若 且 满 足 ： ， ， ， 若 存 在 正 整 数 使 得 ， 为 维 向量序列中的项，求出所有的 . 6（2017 东城一模）已知集合 ，并且 ．定义 1 2 3, , ,A A A  1 2 3, , ,A A A  3n = 6A m 2nA 3 0m n− − ≥ n 2nA m 1,2,3, ,2 ( 3)n n ≥ 2 n 1 2, , , na a a 1 2, , , nb b b 1 1 2 2 1 | | | | | | | | n n i i n n i S a b a b a b a b = = − = − + − + + −∑  3n = 1 1a = 2 3a = 3 5a = 3S n 1 2, , , na a a 1 2, , , nb b b nS nS n nS n 1 2( , , , )nA a a a=  {1,2, , }i nÎ  0ia = 1ia = A n T n T ,A B 1 ( , ) | | n i i i d A B a b = = -å (1,0,1,0,1)A = (0,1,1,1,0)B = ( , )d A B 5 T 1 (1,1,1,1,1)A = 1( , ) 2i id A A + = *iÎ N 5 T (0,0,0,0,0) 12 T 1 12 (1,1, ,1)A 个 = 1( , )i id A A m+ = *mÎ N 1,2,3,i =  j 12 (0,0, ,0)jA 个 = jA 12 T m 1 2{ , , , }, 1,2, ,n iA a a a a ,i nR= ∈ =  2n ≥ （ 例 如 ： ）． （ Ⅰ ） 若 ， ， 集 合 的 子 集 满 足 ： ，且 ，求出一个符合条件的 ； （Ⅱ）对于任意给定的常数 以及给定的集合 ，求证：存在集合 ，使得 ，且 . （ Ⅲ ） 已 知 集 合 满 足 ： ， ， ， ，其中 为给定的常数，求 的取值范围． 7（2017 朝阳二模）各项均为非负整数的数列 同时满足下列条件： ① ； ② ； ③ 是 的 因 数 （ ）． （Ⅰ）当 时，写出数列 的前五项； （Ⅱ）若数列 的前三项互不相等，且 时， 为常数，求 的值； （Ⅲ）求证：对任意正整数 ，存在正整数 ，使得 时， 为常数． 8（2017 朝阳一模）对于正整数集合 （ ， ），如果去掉其 中任意一个元素 （ ）之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集 为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合 为“和谐集”. （Ⅰ）判断集合 是否是“和谐集”（不必写过程）； （Ⅱ）求证：若集合 是“和谐集”，则集合 中元素个数为奇数； （Ⅲ）若集合 是“和谐集”，求集合 中元素个数的最小值. 9（2017 丰台二模）若无穷数列 满足： ，对于 ，都有 （其中 为常数），则称 具有性质“ ”. （Ⅰ）若 具有性质“ ”，且 ， ， ，求 ； 1 ( ) | |j i i j n T A a a ≤ < ≤ = −∑ 2 1 3 1 3 2 1 3 | | | | | | | |j i i j a a a a a a a a £ < £ - = - + - + -å {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = {1,2,3,4,5}M = A N N M¹ ( ) ( )T M T N= N C 1 2{ , , , }nA a a a=  1 2{ , , , }nB b b b=  ( ) ( )T B T A= 1 n i i b C = =∑ 1 2 2{ , , , }mA a a a=  1i ia a +< 1,2, ,2 1i m= − 2m ³ 1 2, ma a a b= = ,a bÎ R ( )T A }{ na ma =1 ( )Nm∈ * 1na n≤ − ( 2)n ≥ n 1 2 na a a+ + + 1n ≥ 5=m }{ na }{ na 3≥n na m m M n M≥ na 1 2{ , , , }nA a a a=  n ∗∈N 3n ³ ia 1,2, ,i n=  A {1,2,3,4,5} A A A A { }na k∃ ∈ *N 0 0( )n n n∀ ≥ ∈ *N n k na a d+ − = d { }na 0( )P k n d, , { }na (3 2 0)P , , 2 3a = 4 5a = 6 7 8 18a a a+ + = 3a （Ⅱ）若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为正数的等比数列， ， ， ，判断 是否具有性质“ ”，并说明理由； （Ⅲ）设 既具有性质“ ”，又具有性质“ ”，其中 ， ， 互质，求证： 具有性质“ ”. 10（2017 丰台一模）对于 ，若数列 满足 ，则称这个数列为“K 数列”． （Ⅰ）已知数列：1，m+1，m2 是“K 数列”，求实数 的取值范围； （Ⅱ）是否存在首项为-1 的等差数列 为“K 数列”，且其前 n 项和 满足 ？若存在，求出 的通项公式；若不存在，请说明理由； （Ⅲ）已知各项均为正整数的等比数列 是“K 数列”，数列 不是“K 数 列”，若 ，试判断数列 是否为“K 数列”，并说明理由． 11（2017 昌平二模）设集合 ， .对数列 ，规定： ① 若 ,则 ； ② 若 ，则 . 例如：当 ， 时， . (I)已知等比数列 ， ，且当 时， ，求数列 的通 项公式； (II) 已 知 数 列 ， 证 明 ： 对 于 任 意 的 ， 且 ， 存 在 ，使 ； (III)已知集合 , ， ．设 中最大元素为 ， 中最大元素为 ，求证： . { }1,2, 100U = … ， T U⊆ { }( )na n ∈ *N T = ∅ 0TS = { }1 2 kT n ,n , n= … ， 1 2 + kT n n nS a a a= + + 2na n= { }= 1,3,5T 1 3 5 2 6 10 18= + + = + + =TS a a a { }( )na n ∈ *N 1 1a = ={2, 3}T =12TS { }na 1 2, 1, 2 , 2n n na n− ==  ≥ 1 100≤ ≤k ∈ *Nk ⊆T U 1T kS a += , ,A U B U A B⊆ ⊆ = ∅ 13n na −= A BS S≥ A m B r 1m r≥ + { }nb { }nc 1 3 2b c= = 3 1 8b c= = n n na b c= + { }na (2 1 0)P , , { }na 1( 2 )P i d, , 2( 2 )P j d, , i j∈ *N， i j< i j, { }na 1( 2 )j iP j i i di −− +, , *N∀ ∈n { }nx 1 1+ − >n nx x m { }na nS 2 *1 ( N )2 < − ∈nS n n n { }na { }na 1 2 na    1 1 n n ab n += + { }nb 12（2017.1 石景山期末）集合 的若干个子集的集合称为集合 的一个子集族．对于集 合 的一个子集族 满足如下条件：若 ，则 ，则称 子集族 是“向下封闭”的． （Ⅰ）写出一个含有集合 的“向下封闭”的子集族 并计算此时 的值（其 中 表示集合 中元素的个数，约定 ； 表示对子集族 中所有成员 求和）； （Ⅱ） 是集合 的任一“向下封闭的”子集族，对 ,记 ， （其中 max 表示最大值）， （ⅰ）求 ； （ⅱ）若 是偶数，求 ． 1（2017 海淀二模）（Ⅰ）数列 不具有性质 ；具有性质 . （Ⅱ）（不充分性）对于周期数列 ， 是有限集，但是由于 ， 所以不具有性质 ； （必要性）因为数列 具有性质 ， 所以一定存在一组最小的 且 ，满足 ，即 由性质 的含义可得 所以数列 中，从第 k 项开始的各项呈现周期性规律： 为一个周期 中的各项， 所以数列 中最多有 个不同的项， M M {1,2,3 }n D ,A D B A∈ ⊆ B D∈ D {1,2} D ( 1) A A D∈ −∑ A A 0φ = A D∈ ∑ D A D {1,2,3 }n A D∀ ∈ maxk A= ( ) max ( 1) A A D f k ∈ = −∑ (2)f k ( )f k { }na (2)P (4)P 1,1,2,2,1,1,2,2,L { 1,0,1}T = − 2 1 3 20, 1a a a a− = − = (0)P { }na (0)P *,m k ∈N m k> 0m ka a− = m ka a= (0)P 1 1 2 2 2 1 1 2, , , , ,m k m k m k m m k ma a a a a a a a+ + + + − − − −= = = =L L { }na 1 1, , ,k k ma a a+ −L { }na 1m − 所以 最多有 个元素，即 是有限集. （Ⅲ）因为数列 具有性质 ，数列 具有性质 ， 所以存在 ，使得 ， ，其中 分别是满足上述 关系式的最小的正整数， 由性质 的含义可得 ， ， 若 ，则取 ，可得 ； 若 ，则取 ，可得 . 记 ， 则 对 于 ， 有 ， ， 显 然 ， 由性质 的含义可得 ， ， 所以 所以 .所以 ， 又 是满足 ， 的最小的正整数， 所以 ， ， 所以 ， ， 所 以 ， ， ， 取 ，则 ， 所以，若 是偶数，则 ； 若 是奇数，则 ， 所以 ， T 2 1mC − T { }na (2)P { }na (5)P *', 'M N ∈N ' ' 2M p Ma a+ − = ' ' 5N q Na a+ − = ,p q (2), (5)P P k∀ ∈N ' ' ' '2, 5M p k M k N q k N ka a a a+ + + + + +− = − = ' 'M N< ' 'k N M= − ' ' 2N p Na a+ − = ' 'M N> ' 'k M N= − ' ' 5M q Ma a+ − = max{ ', '}M M N= Ma 2M p Ma a+ − = 5M q Ma a+ − = p q≠ (2), (5)P P k∀ ∈N 2, 5M p k M k N q k N ka a a a+ + + + + +− = − = ( 1) ( 1) ( 2)( ) ( ) ( ) 2M qp M M qp M q p M q p M q p M p Ma a a a a a a a q+ + + − + − + − +− = − + − + + − =L ( 1) ( 1) ( 2)( ) ( ) ( ) 5M qp M M pq M p q M p q M p q M q Ma a a a a a a a p+ + + − + − + − +− = − + − + + − =L 2 5M qp M Ma a q a p+ = + = + 2 5q p= ,p q 2M p Ma a+ − = 5M q Ma a+ − = 5, 2q p= = 2 52, 5M M M Ma a a a+ +− = − = k∀ ∈N 2 52, 5M k M k M k M ka a a a+ + + + + +− = − = k∀ ∈N 2 2( 1) 2 2M k M k Ma a a k+ + −= + = = +L 5 5( 1) 5 5M k M k Ma a a k+ + −= + = = +L 5N M= + k∀ ∈N k N k Na a k+ = + k 5 ( 5) 5 ( 5) 5 ( 5)N k N k N N Na a a k a k a k+ + + − += = + − = + + − = + k∀ ∈N N k Na a k+ = + 所以 是公差为 1 的等差数列. 2（2017 海淀一模）解：（Ⅰ） . （Ⅱ）先证必要性 因为 ，又 成等差数列，故 ，所以 ； 再证充分性 因为 ， 为正整数数列，故有 , 所以 , 又 ，故 ，故 为等差数列. （Ⅲ）先证明 . 假设存在 ，且 为最小的正整数. 依题意 ,则 ，又因为 , 故当 时， 不能等于集合 的任何一个子集所有元素的和. 故假设不成立，即 成立. 因此 , 即 ，所以 . 因为 ，则 ， 若 时，则当 时，集合 中不可能存在若干不同元 素的和为 ， 故 ，即 . 此时可构造集合 . 因为当 时， 可以等于集合 中若干个元素的和， 1 2, , , , ,N N N N ka a a a+ + +  1 21, 2a a= = 1 21, 2a a= = 1 2, , , na a a na n= ( 1)( ) 2 n nS A += 1 2 na a a< < ⋅⋅⋅ < 1 2, , , na a a 1 2 3 41, 2, 3, 4, , na a a a a n= = ≥ ≥ ⋅⋅⋅ ≥ 1 2( ) nS A a a a= + + ⋅⋅⋅ + (1 )1 2 2 n nn +≥ + + ⋅⋅⋅ + = ( 1)( ) 2 n nS A += ma m= ( 1,2, , )m n=  1 2, , , na a a 12 ( 1,2, , )m ma m n−∀ ≤ = ⋅⋅⋅ 12 p pa −> p 3p ≥ 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1p p pa a a − − −+ + ⋅⋅⋅ + ≤ + + ⋅⋅⋅ + = − 1 2 na a a< < < 1(2 1, )p pk a−∈ − k A 12 ( 1,2, , )m ma m n−∀ ≤ = ⋅⋅⋅ 1 1 22017 1 2 2 2 1n n na a a −= + +⋅⋅⋅+ ≤ + +⋅⋅⋅+ = − 2 2018n ≥ 11n ≥ 2017S = 1 2 1 2017n na a a a−+ + ⋅⋅⋅ = − 2017 1n na a− < − (2017 , )n nk a a∈ − A k 2017 1n na a− ≥ − 1009na ≤ {1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}A = {2,2 1}k ∈ + k {1,2} 故当 时， 可以等于集合 中若干不同元素的和， …… 故当 时， 可以等于集合 中若干不同元 素的和， 故当 时， 可以等于集合 中若干 不同元素的和， 故 当 时 ， 可 以 等 于 集 合 中若干不同元素的和， 所以集合 满足题设， 所以当 取最小值 11 时， 的最大值为 1009. 3（2017 西城二模）解：（Ⅰ）当 时， ， ．[ 1 分] ①对于 的含有 个元素的子集 ， 因为 ， 所以 不是集合 的“相关数”．……[ 2 分] ② 的含有 个元素的子集只有 ， 因为 ， 所以 是集合 的“相关数”．……[ 3 分] （Ⅱ）考察集合 的含有 个元素的子集 ．[ 4 分] 中任意 个元素之和一定不小于 ． 所以 一定不是集合 的“相关数”．……[ 6 分] 所以当 时， 一定不是集合 的“相关数”．……[ 7 分] 因此若 为集合 的“相关数”，必有 ． 即若 为集合 的“相关数”，必有 ．……[ 8 分] 2 2 2 2{2 ,2 1,2 2,2 3}k ∈ + + + k 2{1,2,2 } 8 8 8 8{2 ,2 1,2 2, ,2 255}k ∈ + + + k 8{1,2, ,2 } {497 3,497 4, ,497 511}k ∈ + + + k 8{1,2, ,2 ,497} {1009,1009 1,1009 2, ,1009 1008}k ∈ + + + k 8{1,2, ,2 ,497,1009} {1,2,4,8,16,32,64,128,256,497,1009}A = n na 3n = 6 {1,2,3,4,5,6}A = 4 1 13n + = 6A 5 {2,3,4,5,6} 2 3 4 5 13+ + + > 5 6A 6A 6 {1,2,3,4,5,6} 1 3 4 5 13+ + + = 6 6A 2nA 2n + { 1, , 1, ,2 }B n n n n= − +  B 4 ( 1) ( 1) ( 2) 4 2n n n n n− + + + + + = + 2n + 2nA 2m n +≤ m 2nA m 2nA 3m n +≥ m 2nA 3 0m n− − ≥ （Ⅲ）由（Ⅱ）得 ． 先将集合 的元素分成如下 组： ． 对 的任意一个含有 个元素的子集 ，必有三组 同属于集合 ． ⋯⋯[10 分] 再将集合 的元素剔除 和 后，分成如下 组： ． 对于 的任意一个含有 个元素的子集 ，必有一组 属于集合 ．⋯⋯ [11 分] 这一组 与上述三组 中至少一组无相同元素， 不妨设 与 无相同元素． 此时这 个元素之和为 ．[12 分] 所以集合 的“相关数” 的最 4（2017 西城一模）解：（Ⅰ） 的所有可能的取值为 3，5，7，9. [ 3 分] （Ⅱ） 令 ，则无论 填写的顺序如何，都有 ． [ 5 分] 因为 ， 所以 ， ． [ 6 分] 因为 ， 所以 ． [ 8 分] 注： ，或 均满足条 件． 3m n +≥ 2nA n ( ,2 1 ) (1 )i i nC i n i= + − ≤ ≤ 2nA 3n + P 1 2 3 , ,i i iC C C P 2nA n 2n 1n − 1( ,2 ) (1 )j j nD j n j −= − ≤ ≤ 2nA 3n + P 4jD P 4jD 1 2 3 , ,i i iC C C 4jD 1iC 4 1 1 4 4[ (2 1 ) [ (2 )] 4 1i n i j n j n+ + − + + − = + 2nA m 3S ia i= ( 1,2, , )i n=  1 2, , , nb b b 2 nS n= ia i= { 1, 2, ,2 }ib n n n∈ + +  ( 1,2, , )i n=  i ia b< ( 1,2, , )i n=  2 2 1 1 1 1 1 1 | | ( ) n n n n n n n i i i i i i i i i i i n i S a b b a b a i i n = = = = = + = = − = − = − = − =∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 1 2{ , , , } {1,2, , }na a a n=  1 2{ , , , } { 1, 2, ,2 }na a a n n n= + +  （Ⅲ）解法一：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的 的值不变． 不妨设 ，记 ， ，其中 ． 则 ． [ 9 分] 因为 ， 所以 与 具有相同的奇偶性． [11 分] 又因为 与 具有相同的奇偶性， 所以 与 的奇偶性相同， 所以 的所有可能取值的奇偶性相同． [13 分] 解法二：显然，交换每一列中两个数的位置，所得的 的值不变． 考虑如下表所示的任意两种不同的填法， ， ，不 妨设 ， ，其中 ． [ 9 分] ． 对于任意 ， ① 若在两种填法中 都位于同一行， 则 在 的 表 达 式 中 或 者 只 出 现 在 中 ， 或 只 出 现 在 中，且出现两次， 则对 而言，在 的结果中得到 ． [11 分] nS i ia b> 1 n i i A a = = ∑ 1 n i i B b = = ∑ 1,2, ,i n=  1 1 1 1 | | ( ) n n n n n i i i i i i i i i i S a b a b a b A B = = = = = − = − = − = −∑ ∑ ∑ ∑ 2 1 2 (2 1) (2 1)2 n i n nA B i n n = ++ = = = +∑ A B+ n A B+ A B− nS A B= − n nS nS 1 | | n n i i i S a b = = −∑ 1 | | n n i i i S a b = ′ ′ ′= −∑ i ia b< i ia b′ ′< 1,2, ,i n=  1a 2a  na 1a ′ 2a ′  na ′ 1b 2b  nb 1b ′ 2b ′  nb ′ 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n n n i i i i i i i i i i i i i i S S b a b a b b a a = = = = = = ′ ′ ′ ′ ′+ = − + − = + − +∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ {1,2, ,2 }k n∈  k k n nS S′+ 1 1 n n i i i i b b = = ′+∑ ∑ 1 1 n n i i i i a a = = ′+∑ ∑ k n nS S′+ 2k± ② 若在两种填法中 位于不同行， 则 在 的表达式中在 与 中各出现一次， 则对 而言，在 的结果中得到 ． 由 ① ② 得，对于任意 ， 必为偶数． 所以，对于表格的所有不同的填法， 所有可能取值的奇偶性相同． [13 分] 5 （ 2017 东 城 二 模 ） 解 ： （ Ⅰ ） 由 于 ， ， 由 定 义 ，可得 . …………4 分 （Ⅱ）反证法：若结论不成立，即存在一个含 维 向量序列 ， 使得 ， . 因为向量 的每一个分量变为 ，都需要奇数次变化， 不妨设 的第 个分量 变化了 次之后变成 ， 所以将 中所有分量 变为 共需要 次，此数为奇数. 又因为 ，说明 中的分量有 个数值发生改变， 进而变化到 ，所以共需要改变数值 次，此数为偶数，所以矛盾. 所以该序列中不存在 维 向量 . ……………9 分 （Ⅲ）此时 . ……………13 分 易见当 为 12 的因子 时，给 (1 分). 答出 给(1 分). 答出 中任一个给(1 分)，都对给(2 分) 6（2017 东城一模）解：（Ⅰ）由于 ， ， 所以 ， ， ， ，回答其中之一即可 ………3 分 （Ⅱ）若集合 ，如果集合 中每个元素加上同一个常数 ，形成新 T 1 2 3, , , , mA A A A iA 2 1iA + 2( 1)m − 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12m = m 1,2,3,4,6,12 5,8,10m = 7,9,11m = k k n nS S′+ 1 1 n n i i i i b b = = ′+∑ ∑ 1 1 n n i i i i a a = = ′+∑ ∑ k n nS S′+ 0 {1,2, ,2 }k n∈  n nS S′+ nS (1,0,1,0,1)A = (0,1,1,1,0)B = 1 ( , ) | | n i i i d A B a b = = -å ( , ) 4d A B = 5 1 (1,1,1,1,1)A = (0,0,0,0,0)mA = 1 (1,1,1,1,1)A = 0 1A ( 1,2,3,4,5)i i = 1 2 1in - 0 1A 1 0 1 2 3 4 5(2 1) (2 1) (2 1) (2 1) (2 1)n n n n n- + - + - + - + - 1 2 3 4 52( 2) 1n n n n n= + + + + - - * 1( , ) 2,i id A A i+ = Î N 5 T (0,0,0,0,0) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}A = {1,2,3,4,5}M = {6,7,8,9,10}N = {5,6,7,8,9}N = {4,5,6,7,8}N = {3,4,5,6,7}N = {2,3,4,5,6}N = 1 2{ , , , }nA a a a=  A t 的集合 . ……………5 分 根据 定义可以验证： . ……………6 分 取 ，此时 . 通过验证，此时 ，且 . ……………8 分 （Ⅲ）由于 ………11 分 由于 ， ， ， . 所以 .………13 分 7（2017 朝阳二模）解：（Ⅰ）5，1，0，2，2. …………3 分 （Ⅱ）因为 ，所以 ， 又数列 的前 3 项互不相等， （1）当 时， 1 2{ , , , }nM a t a t a t= + + + 1 ( ) | |j i i j n T A a a ≤ < ≤ = −∑ ( ) ( )T M T A= 1 n i i C a t n = − = ∑ 1 1 1 1 2{ , , , } n n n i i i i i i n C a C a C a B a a an n n = = = − − − = − − − ∑ ∑ ∑  ( ) ( )T B T A= 1 n i i b C = =∑ 2m ³ 2 1 3 1 4 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )mT A a a a a a a a a= − + − + − + + − 3 2 4 2 2 2( ) ( ) ( )ma a a a a a+ − + − + + − 4 3 2 3( ) ( )ma a a a+ − + + −  2 2 1( )m ma a −+ − 1 2 1 2 1 2= (2 1) (2 3) (2 3) (2 1)m m m mm a m a a a m a m a+ −− − − − − − + + + − + −  2 1 2 1 2 1=(2 1)( ) (2 3)( ) ( )m m m mm a a m a a a a− +− − + − − + + − 2 1 2 1=(2 1)( ) (2 3)( ) ( )m m mm b a m a a a a− +− − + − − + + − 2 1 20 ma a b a−< − < − 2 2 30 ma a b a−< − < − 2 3 40 ma a b a−< − < −  10 m ma a b a+< − < − 2(2 1)( ) ( ) ( )m b a T A m b a− − < < − 10 −≤≤ nan 20,10 32 ≤≤≤≤ aa }{ na 02 =a 若 ，则 ， 且对 ， 都为整数，所以 ； 若 ，则 ， 且对 ， 都为整数，所以 ； （2）当 时， 若 ，则 ，且对 ， 都为整 数，所以 ，不符合题意； 若 ，则 ， 且对 ， 都为整数，所以 ； 综上， 的值为 . ………8 分 （Ⅲ）对于 ，令 ， 则 . 又对每一个 ， 都为正整数，所以 ，其中“ ”至 多出现 个.故存在正整数 ，当 时，必有 成立. 当 时，则 . 从而 . 由题设知 ，又 及 均为整数， 所以 ，故 常数. 从而 常数. 13 =a 3 4 5 1a a a= = = = 3≥n 12)2(0 +−=−++ n m n nm 2=m 23 =a 3 4 5 2a a a= = = = 3≥n 24)2(20 +−=−++ n m n nm 4=m 12 =a 03 =a 3 4 5 0a a a= = = = 3≥n n m n nm 1)2(01 +=−⋅++ 1−=m 23 =a 3 4 5 2a a a= = = = 3≥n 23)2(21 +−=−++ n m n nm 3=m m 2,3,4 1≥n 1 2n nS a a a= + + + 11 111 +=+≤+=<+ +++ n S n nS n aS n S n S nnnnnn n n Sn 1 1 + + n Sn mS n Sn =≤≤≤ 1... 1 < 1−m M m> n M> n S n S nn =+ + 1 1 n S n S nn =+ + 1 1 n SSn SnSSa n n n nnn =−+=−= ++ )1( 11 22 )1( 22 12 1 12122 + −+=+ ++=+ ++=+ ++ + +++++ n aaan ana n Saa n S nn n nnnnnn 12 1 2 || 12 <+ +≤+ − ++ n n n aa nn 2 2 + + n Sn 1+na =+ + 2 2 n Sn =+1na 1 1 += + n S n S nn 1 2 1 2 n n nS S S n n n + += = = =+ +  ==−+=−= ++ n SSn SnSSa n n n nnn )1( 11 故存在正整数 ，使得 时， 为常数. ………13 分 8（2017 朝阳一模）解：（Ⅰ）集合 不是“和谐集”. ……………3 分 （Ⅱ）设集合 所有元素之和为 . 由题可知， （ ）均为偶数， 因此 （ ）的奇偶性相同. （ⅰ）如果 为奇数，则 （ ）也均为奇数， 由于 ，所以 为奇数. （ⅱ）如果 为偶数，则 （ ）均为偶数， 此时设 ，则 也是“和谐集”. 重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“和谐集”. 此时各项之和也为奇数，集合 中元素个数为奇数. 综上所述，集合 中元素个数为奇数. …………………8 分 （Ⅲ）由（Ⅱ）可知集合 中元素个数为奇数， 当 时，显然任意集合 不是“和谐集”. 当 时，不妨设 ， 将集合 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有 ①，或者 ②； 将集合 分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等， 则有 ③，或者 ④. 由①、③，得 ，矛盾；由①、④，得 ，矛盾； 由②、③，得 ，矛盾；由②、④，得 ，矛盾. 因此当 时，集合 一定不是“和谐集”. M n M≥ na {1,2,3,4,5} 1 2{ , , , }nA a a a= M iM a- 1,2, ,i n=  ia 1,2, ,i n=  M ia 1,2, ,i n=  1 2 nM a a a= + + + n M ia 1,2, ,i n=  2i ia b= 1 2{ , , , }nb b b A A A 3n = 1 2 3{ , , }a a a 5n = 1 2 3 4 5a a a a a< < < < 1 3 4 5{ , , , }a a a a 1 5 3 4a a a a+ = + 5 1 3 4a a a a= + + 2 3 4 5{ , , , }a a a a 2 5 3 4a a a a+ = + 5 2 3 4a a a a= + + 1 2a a= 1 2a a=- 1 2a a=- 1 2a a= 5n = A 当 时，设 ， 因为 ， ， ， ， ， ， 所以集合 是“和谐集”. 集合 中元素个数 的最小值是 7. ………………13 分 9（2017 丰台二模）解 ：（Ⅰ）因为 具有性质“ ”，所以 ， . 由 ，得 ，由 ，得 . …………2 分 因为 ，所以 ，即 . …………4 分 （Ⅱ） 不具有性质“ ”. …………5 分 设等差数列 的公差为 ，由 ， ， 得 ，所以 ，故 . …………6 分 设等比数列 的公比为 ，由 ， ， 得 ，又 ，所以 ，故 ， …………7 分 所以 . 若 具有性质“ ”，则 ， . 因为 ， ，所以 ，故 不具有性质“ ”. ……8 分 （Ⅲ）因为 具有性质“ ”，所以 ， .① 因为 具有性质“ ”，所以 ， .② 因为 ， ， 互质， 所以由①得 ；由②，得 ， …………9 分 7n = {1,3,5,7,9,11,13}A = 3 5 7 9 11 13+ + + = + 1 9 13 5 7 11+ + = + + 9 13 1 3 7 11+ = + + + 1 3 5 11 7 13+ + + = + 1 9 11 3 5 13,+ + = + + 3 7 9 1 5 13+ + = + + 1 3 5 9 7 11+ + + = + {1,3,5,7,9,11,13}A = A n { }na (3,2,0)P 3 0n na a+ − = 2n ≥ 2 3a = 5 8 3a a= = 4 5a = 7 5a = 6 7 8 18a a a+ + = 6 10a = 3 10a = { }na (2,1,0)P { }nb d 1 2b = 3 8b = 2 8 2 6d = − = 3d = 3 1nb n= − { }nc q 3 2c = 1 8c = 2 1 4q = 0q > 1 2q = 42 n nc −= 43 1 2 n na n −= − + { }na (2,1,0)P 2 0n na a+ − = 1n ≥ 2 9a = 4 12a = 2 4a a≠ { }na (2,1,0)P { }na 1( ,2, )P i d 1n i na a d+ − = 2n ≥ { }na 2( ,2, )P j d 2n j na a d+ − = 2n ≥ *Ni j∈, i j< i j, 1m ji ma a jd+ = + 2m ij ma a id+ = + 所以 ，即 . …………10 分 ②-①，得 ， ， …………11 分 所以 ， ， ……………12 分 所以 具有性质“ ”. ………13 分 10（2017 丰台一模）解：（Ⅰ）由题意得 ，① ，② 解①得 ； 解②得 或 ． 所以 ，故实数 的取值范围是 ． …………4 分 （Ⅱ）假设存在等差数列 符合要求，设公差为 ，则 ， 由 ，得 ， 由题意，得 对 均成立，即 ①当 时， ; ②当 时， ， 因为 ，所以 ，与 矛盾，故这样的等差数列 不存 在． …………8 分 （Ⅲ）设数列 的公比为 ，则 ， 因为 的每一项均为正整数，且 ， 所以 ，且 . 因为 ， 所以在 中，“ ”为最小项． 同理，在 中，“ ”为最小项． 由 为“K 数列”，只需 ， 即 ， 又因为 不是“K 数列”， 且“ ”为最小项，所以 ， 1 2m ma jd a id+ = + 2 1 jd di = 2 1 1n j n i j ia a d d di+ + −− = − = 2n ≥ 1n j i n j ia a di+ − −− = 2n i≥ + { }na 1( , 2, )j iP j i i di −− + ( 1) 1 1m + − > 2 ( 1) 1m m− + > 1m > 1m < − 2>m 2>m m 2>m { }na d 1>d 1 1= −a ( 1) 2 −= − +n n nS n d 2( 1) 1 2 2 −− + < −n nn d n n ∗∈n N ( 1)n d n− < 1n = d R∈ 1n > 1 < − nd n 1=1+ 11 1 n n n >− − 1d ≤ 1d > { }na { }na q 1 1 −= n na a q { }na 1 ( 1) 1 0+ − = − = − > >n n n n na a a q a a q 1 0>a 1>q 1 1 1( )+ − −− = − > −n n n n n na a q a a a a 1{ }−−n na a 2 1 −a a 1 1 1{ }2 2n na a −− 2 1 1 1 2 2a a− { }na 2 1 1− >a a 1( 1) 1− >a q 1{ }2 na 2 1 1 1 2 2a a− 2 1 1 1 12 2a a− ≤ 即 ， 由数列 的每一项均为正整数，可得 ， 所以 或 . ① 当 时， ， 则 ， 令 ，则 ， 又 ， 所以 为递增数列，即 ， 所以 ． 因为 ， 所以对任意的 ，都有 ，即数列 为“K 数列”． ② 当 时， ，则 ．因为 ， 所以数列 不是“K 数列”． 综上：当 时，数列 为“K 数列”， 当 时，数列 不是“K 数列” ． …………13 分 11（2017 昌平二模） 解：（I） 设 ， 由题意 ，化简得 ，即 ，或 ． 所以数列 的通项公式为 ，或 ． ………………4 分 （II）当 时， ，令 ，有 ； 当 ， 时， ， 令 ，则 ． 所以 ， ， ，使 ． ………8 分 （III）当 时， 因为 中最大元素为 ，得 ， 中最大元素为 ，得 1n na q −= 2 3 12a a+ = 2 12 0q q+ − = 4= −q 3=q { }na 1( 4)n na −= − 13n na −= 1k = 2 2=a {1}T = 1 22= = =TS a a 2 100≤ ≤k ∈ *Nk 1 2+ = k ka { }1,2,T k= … ， 1 2 1( + ) 2 += + + = =k T k kS a a a a k∀ ∈ *N 1 100k≤ ≤ ∃ ⊆T U 1T kS a += 1≥ +m r A m 13 −≥ = m A mS a B r 1( 1) 2− ≤a q { }na 1( 1) 2− =a q 1 1, 3= =a q 1 2, 2= =a q 1 1, 3= =a q 13 −= n na 3 1 n nb n = + * 1 ( )n n nc b b n N+= − ∈ 13 3 2 132 1 ( 1)( 2) n n n n nc n n n n + += − = ⋅+ + + + 1 2 3 2 13 3( 2)( 3) ( 1)( 2) n nn n n n n n + + +⋅ − ⋅+ + + + 23 4 8 6 02 ( 1)( 3) + += ⋅ >+ + + n n n n n n { }nc 1 2 1n n nc c c c− −> > > > 1 1 1 2 2 1n n n n n nb b b b b b b b+ − − −− > − > − > > − 2 1 3 33 12 2b b− = − = > *∈n N 1 1n nb b+ − > { }nc 1 2, 2= =a q 2= n na 12 1 n nb n + = + 2 1 2 13b b− = ≤ { }nb 13 −= n na { }nb 2= n na { }nb ， 所以 ，即 符合题意. 当 ， 时,即 又 ，所以 即 时. ， ， 所以 ，与已知矛盾，故 不合题意． 综上， ． ………………13 分 12（2017.1 石景山期末）解：（Ⅰ）含有集合 的“向下封闭”的子集族 　……2 分 此时 …………4 分 （Ⅱ）设 的所有不超过 个元素的子集族为 （ⅰ）易知当 时， 达到最大值， 所以 　…6 分 （ⅱ）设 是使得 的任一个“向下封闭”的子集族，记 ， 其中 为不超过 元的子集族， 为 元或 元的子集 则 = 　………8 分 现设 有 （ ）个 的 元子集，由于一个 元子集至多出 现在 个 的 元子集中，而一个 元子集中有 个 元子集， 1 1 1 2 3 1+ 1 3 9 +3 (3 1) 3 32 − −≤ + + + = + + + = − < ≤r r r m B rS a a a a  ≥A BS S 1≥ +m r 1< +m r ∈ *Nm .m r≤ = ∅A B .m r≠ 1≤ −m r 1 1 1 2 3 1+ 1 3 9 +3 (3 1) 3 32 − −≤ + + + = + + + = − < ≤m m m r A mS a a a a  13 −≥ = r B rS a

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