高考数学理热点题型数列含答案
数列
热点一 等差数列、等比数列的综合问题
解决等差、等比数列的综合问题时，重点在于读懂题意，灵活利用等差、等比数列的定义、通项公式及前n项和公式解决问题，求解这类问题要重视方程思想的应用.
【例1】已知首项为的等比数列{an}不是递减数列，其前n项和为Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝Sn－(n∈N*)，求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值.
解 (1)设等比数列{an}的公比为q，
因为S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差数列，
所以S5＋a5－S3－a3＝S4＋a4－S5－a5，即4a5＝a3，
于是q2＝＝.
又{an}不是递减数列且a1＝，所以q＝－.
故等比数列{an}的通项公式为an＝×
＝(－1)n－1·.
(2)由(1)得Sn＝1－＝
当n为奇数时，Sn随n的增大而减小，
所以1
Sn－≥S2－＝－＝－.
综上，对于n∈N*，总有－≤Sn－≤.
所以数列{Tn}最大项的值为，最小项的值为－.
【类题通法】解决等差数列与等比数列的综合问题，既要善于综合运用等差数列与等比数列的相关知识求解，更要善于根据具体问题情境具体分析，寻找解题的突破口.
【对点训练】已知数列{an}是公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5－2a2＝25，且a1，a4，a13恰为等比数列{bn}的前三项.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)设Tn是数列的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由.
解 (1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，
∴
解得a1＝3，d＝2，∴an＝2n＋1.
∵b1＝a1＝3，b2＝a4＝9，
∴等比数列{bn}的公比q＝3，∴bn＝3n.
(2)不存在.理由如下：
∵＝＝，
∴Tn＝
＝，
∴1－2Tk＝＋(k∈N*)，
易知数列为单调递减数列，
∴<1－2Tk≤，又＝∈，
∴不存在k∈N*，使得等式1－2Tk＝成立.
热点二 数列的通项与求和
数列的通项与求和是高考必考的热点题型，求通项属于基本问题，常涉及与等差、等比的定义、性质、基本量运算.求和问题关键在于分析通项的结构特征，选择合适的求和方法.常考求和方法有：错位相减法、裂项相消法、分组求和法等.
【例2】设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，等比数列{bn}的公比为q，已知b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)当d>1时，记cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.
(1)解 由题意有
即
解得或
故或
(2)解 由d>1，知an＝2n－1，bn＝2n－1，
故cn＝，
于是Tn＝1＋＋＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋＋＋…＋.②
①－②可得
Tn＝2＋＋＋…＋－
＝3－，
故Tn＝6－.
【类题通法】用错位相减法解决数列求和的模板
第一步：(判断结构)
若数列{an·bn}是由等差数列{an}与等比数列{bn}(公比q)的对应项之积构成的，则可用此法求和.
第二步：(乘公比)
设{an·bn}的前n项和为Tn，然后两边同乘以q.
第三步：(错位相减)
乘以公比q后，向后错开一位，使含有qk(k∈N*)的项对应，然后两边同时作差.
第四步：(求和)
将作差后的结果求和，从而表示出Tn.
【对点训练】设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，n∈N*.
(1)证明：an＋2＝3an；
(2)求S2n.
(1)证明 由条件，对任意n∈N*，有an＋2＝3Sn－Sn＋1＋3，
因而对任意n∈N*，n≥2，有an＋1＝3Sn－1－Sn＋3.
两式相减，得an＋2－an＋1＝3an－an＋1，
即an＋2＝3an，n≥2.又a1＝1，a2＝2，
所以a3＝3S1－S2＋3＝3a1－(a1＋a2)＋3＝3a1，
故对一切n∈N*，an＋2＝3an.
(2)解 由(1)知，an≠0，所以＝3.于是数列{a2n－1}是首项a1＝1，
公比为3的等比数列；数列{a2n}是首项a2＝2，公比为3的等比数列.
因此a2n－1＝3n－1，a2n＝2×3n－1.
于是S2n＝a1＋a2＋…＋a2n
＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)
＝(1＋3＋…＋3n－1)＋2(1＋3＋…＋3n－1)
＝3(1＋3＋…＋3n－1)＝(3n－1).
热点三 数列的综合应用
热点3.1 数列与函数的综合问题
数列是特殊的函数，以函数为背景的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点，该类综合题的知识综合性强，能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力，因而一直是高考命题者的首选.
【例3－1】 设等差数列{an}的公差为d，点(an，bn)在函数f(x)＝2x的图象上(n∈N*).
(1)若a1＝－2，点(a8，4b7)在函数f(x)的图象上，求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若a1＝1，函数f(x)的图象在点(a2，b2)处的切线在x轴上的截距为2－，求数列的前n项和Tn.
解 (1)由已知，b7＝2a7，b8＝2a8＝4b7，
有2a8＝4×2a7＝2a7＋2，解得d＝a8－a7＝2.
所以，Sn＝na1＋d＝－2n＋n(n－1)＝n2－3n.
(2)函数f(x)＝2x在(a2，b2)处的切线方程为y－2a2＝(2a2ln 2)(x－a2)，
它在x轴上的截距为a2－.
由题意知，a2－＝2－，
解得a2＝2.
所以，d＝a2－a1＝1.从而an＝n，bn＝2n，
所以Tn＝＋＋＋…＋＋，
2Tn＝＋＋＋…＋
因此，2Tn－Tn＝1＋＋＋…＋－
＝2－－＝.
所以，Tn＝.
热点3.2 数列与不等式的综合问题
数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时，如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题，要使用不等式的各种不同解法，如数轴法、因式分解法.
【例3－2】 在等差数列{an}中，a2＝6，a3＋a6＝27.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列{an}的前n项和为Sn，且Tn＝，若对于一切正整数n，总有Tn≤m成立，求实数m的取值范围.
解 (1)设公差为d，由题意得：
解得∴an＝3n.
(2)∵Sn＝3(1＋2＋3＋…＋n)＝n(n＋1)，
∴Tn＝，Tn＋1＝，
∴Tn＋1－Tn＝－
＝，
∴当n≥3时，Tn>Tn＋1，且T1＝1
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