【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程作业

【数学】2020届一轮复习（文理合用）第8章第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程作业

对应学生用书[练案54理][练案50文]‎ 第八章　解析几何 第一讲　直线的倾斜角、斜率与直线的方程 A组基础巩固 一、选择题 ‎1．(2019·秦皇岛模拟 )倾斜角为120°，在x轴上的截距为－1的直线方程是(　D　)‎ A．x－y＋1＝0　　　 B．x－y－＝0‎ C．x＋y－＝0　　　 D．x＋y＋＝0‎ ‎[解析]　由于倾斜角为120°，故斜率k＝－.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y＝－(x＋1)，即x＋y＋＝0.‎ ‎2．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、二、四象限，则a，b，c应满足(　A　)‎ A．ab>0，bc<0　　　 B．ab>0，bc>0‎ C．ab<0，bc>0　　　 D．ab<0，bc<0‎ ‎[解析]　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－x－.‎ 易知－<0，且－>0，故ab>0，bc<0.‎ ‎3．(2019·济宁模拟)直线xsin＋ycos＝0的倾斜角是(　D　)‎ A．－　　　 B．　　　‎ C．　　　 D． ‎[解析]　由题意得直线方程为y＝－tan·x，‎ ‎∴k＝－tan＝tan.∵0≤α<π，∴α＝.‎ ‎4．已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　D　)‎ A．1　　　 B．－2‎ C．－2或－1　　　 D．－2或1‎ ‎[解析]　由题意可知a≠0.当x＝0时，y＝a＋2；当y＝0时，x＝，∴＝a＋2，解得a＝－2或a＝1.‎ ‎5．(2019·太原质检)若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为(　B　)‎ A．　　　 B．－　　　‎ C．－　　　 D． ‎[解析]　依题意，设点P(a,1)，Q(7，b)，则有解得a＝－5，b＝－3，从而可知直线l的斜率为＝－.‎ ‎6．(2019·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　B　)‎ ‎[解析]　当a>0，b>0时，－a<0，－b<0.结合选项知B符合，其他均不符合．‎ ‎7．(2019·重庆巴蜀中学诊断)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　B　)‎ A．[0，]　　　 B．[，π)‎ C．[0，]∪(，π)　　　 D．[，]∪[，π)‎ ‎[解析]　k＝－∈[－1,0)，因此倾斜角的取值范围[，π)，选B． ‎ ‎8．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的斜率的取值范围是(　B　)‎ A．[，)　　　 B．(，＋∞)‎ C．(，＋∞)　　　 D．(，1]‎ ‎[解析]　本题主要考查直线的倾斜角．直线l恒过定点(0，－)，如图所示．因为当直线l经过点(3,0)时，其斜率为＝，所以当两直线的交点位于第一象限时，直线l的斜率的取值范围应为(，＋∞)．故选B．‎ 二、填空题 ‎9．(2019·重庆模拟)若过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是__－20，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为__16___.‎ ‎[解析]　根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，又C(－2，－2)在该直线上，故＋＝1，所以－2(a＋b)＝ab.又ab>0，故a<0，b<0.‎ 根据均值不等式得ab＝－2(a＋b)≥4，从而≤0(舍去)或≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时等号成立．即ab的最小值为16.‎ 三、解答题 ‎13.如图，在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求这个三角形三边所在直线的方程．‎ ‎[解析]　设M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，‎ ‎∵A(5，－2)，B(7,3)，‎ 又M是AC的中点，∴5＋m＝0，m＝－5，‎ N是BC的中点，‎ ‎∴3＋n＝0，n＝－3，‎ ‎∴点C的坐标为(－5，－3)，‎ 由直线方程的两点式，得 AB边所在直线方程为＝，‎ 整理得5x－2y－29＝0；‎ AC边所在直线方程为＝，‎ 整理得x－10y－25＝0；‎ BC边所在直线方程为＝，‎ 整理得x－2y－1＝0.‎ ‎14．(2019·镇江模拟)为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外△EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？‎ ‎[解析]　‎ 如图所示，建立平面直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，‎ 所以直线EF的方程为＋＝1(0≤x≤30)．‎ 易知当矩形草坪的一个顶点在EF上时，可取最大值，‎ 在线段EF上取点P( m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，‎ 则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)．‎ 又＋＝1(0≤m≤30)，所以n＝20－m.‎ 所以S＝(100－m)(80－20＋m)‎ ‎＝－(m－5)2＋(0≤m≤30)．‎ 所以当m＝5时，S有最大值，这时＝51.‎ 所以当矩形草坪的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分有向线段EF成51时，草坪面积最大．‎ B组能力提升 ‎1．(2019·苏州模拟)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是(　D　)‎ A．(－1，)‎ B．(－∞，)∪(1，＋∞)‎ C．(－∞，1)∪(，＋∞)‎ D．(－∞，－1)∪(，＋∞)‎ ‎[解析]　设直线的斜率为k，如图，过定点A的直线经过点B时，直线l在x轴上的截距为3，此时k＝－1；过定点A的直线经过点C时，直线l在x轴上的截距为－3，此时k＝，满足条件的直线l的斜率范围是(－∞，－1)∪(，＋∞)．‎ ‎2．设点A(－2,3)，B(3,2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是(　B　)‎ A．(－∞，－]∪[，＋∞)‎ B．(－，)‎ C．[－，]‎ D．(－∞，－]∪[，＋∞)‎ ‎[解析]　直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，‎ ‎∵kMA＝＝－，kMB＝＝，‎ 结合题意可知－a>－，且－a<，‎ ‎∴a∈(－，)．‎ ‎3．(2019·武汉模拟)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是__5___.‎ ‎[解析]　易知A(0,0)，B(1,3)，且PA⊥PB，‎ ‎∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，‎ ‎∴|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立)．‎ ‎4．在平面直角坐标系中，设点P(x，y)，定义[OP]＝|x|＋|y|，其中O为坐标原点，则满足[OP]＝1的点P的轨迹围成的图形的面积为__2___.‎ ‎[解析]　本题考查直线和方程的应用及数形结合思想．当[OP]＝1时，根据新定义得|x|＋|y|＝1，满足条件的图形如图所示．由图，可知四边形ABCD为边长是的正方形，其面积为2.‎ ‎5．(2019·福建期末)已知直线l：y＝(1－m)x＋m(m∈R)．‎ ‎(1)若直线l的倾斜角α∈[，]，求实数m的取值范围；‎ ‎(2)若直线l分别与x轴，y轴的正半轴交于A，B两点，O是坐标原点，求△AOB面积的最小值及此时直线l的方程．‎ ‎[解析]　(1)由已知直线l斜率k＝1－m，‎ ‎∵倾斜角α∈[，]，‎ 由k＝tanα可得1≤k≤，‎ ‎∴1≤1－m≤，解得1－≤m≤0.‎ ‎(2)在直线l：y＝(1－m)x＋m中，‎ 令x＝0可得y＝m，‎ ‎∴点B(0，m)，令y＝0可得x＝，‎ ‎∴点A(，0)，由题设可知m>1，‎ ‎∴△AOB面积S＝|OA|·|OB|＝·m·＝ ‎＝[(m－1)＋＋2]≥‎ [2＋2]＝2，‎ 当且仅当m－1＝，‎ 即m＝2时S取得最小值2，‎ 此时直线l的方程为：x＋y－2＝0.‎