【数学】2021届一轮复习人教A版（理）第十章第二讲双曲线作业
第二讲 双曲线
1.[2020惠州市一调]设双曲线的一条渐近线为直线y=2x,且一个焦点与抛物线y2=4x的焦点相同,则此双曲线的方程为( )
A.54x2-5y2=1 B.5y2-54x2=1 C.5x2-54y2=1 D.54y2-5x2=1
2.[2020陕西省部分学校摸底检测]设双曲线x24-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线l交双曲线左支于A,B两点,则|AF2|+|BF2|的最小值为( )
A.13 B.12 C.11 D.10
3.[2020南昌市测试]圆C:x2+y2-10y+16=0上有且仅有两点到双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的距离为1,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.(2,5) B.(53,52) C.(54,52) D.(5,2+1)
4.[2019安徽示范高中高三测试]已知F1,F2是双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点M在双曲线E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=14,则双曲线E的离心率为( )
A.153 B.32 C.132 D.2
5.[2020江西红色七校第一次联考]双曲线C:x2-y23=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在C上且tan∠F1PF2=43,O为坐标原点,则|OP|= .
6.[2020四川五校联考]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过原点的直线与双曲线C交于A,B两点,若∠AF2B=60°,△ABF2的面积为3a2,则双曲线的渐近线方程为 .
7.[2020陕西省百校第一次联考]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1与l2,A与B为l1上关于坐标原点对称的两点,M为l2上一点且kAM·kBM=e(e为双曲线C的离心率),则e的值为( )
A.5 B.5+12 C.2 D.2
8.[2020成都高三摸底考试]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),点N(-c,3b22a).若双曲线C左支上的任意一点M均满足|MF2|+|MN|>4b,则双曲线C的离心率的取值范围为( )
A.(133,5) B.(5,13) C.(1,133)∪(5,+∞) D.(1,5)∪(13,+∞)
9.[2020洛阳市第一次联考]已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),A,B是圆(x+c)2+y2=4c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点,且F1A∥F2B,则双曲线C的离心率为( )
A.2+73 B.4+73C.3+174 D.5+174
10.[2019河北廊坊省级示范高中联考]已知点F2为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,直线y=kx交双曲线C于A,B两点,若∠AF2B=2π3,S△AF2B=23,则双曲线C的虚轴长为 .
11.[2020惠州市二调][新定义题]我们把焦点相同,离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1,F2是一对相关曲线的焦点,P是椭圆和双曲线在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是( )
A.3 B.2 C.233 D.2
12.[新角度题]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,c为椭圆C的半焦距,过A1的直线与圆x2+y2=c2切于点N,与双曲线E:x2c2-y2b2=1在第一象限交于点M,满足MA1⊥MA2,若椭圆C的离心率为e1,双曲线E的离心率为e2,则e2+1e1的值为( )
A.165 B.5 C.655 D.25
13.[双空题]在平面直角坐标系中,若双曲线的渐近线方程为2x±y=0,且该双曲线经过点(54,32),则该双曲线的标准方程为 ,焦点坐标为 .
第二讲 双曲线
1.C 抛物线y2=4x的焦点为点(1,0),则双曲线的一个焦点为点(1,0),设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由题意可得ba=2,12=a2+b2,得a2=15,b2=45,所以双曲线的方程为5x2 - 54y2=1,故选C.
2.C 由题意得双曲线的实半轴长a=2,虚半轴长b=3.根据双曲线的定义得|AF2| - |AF1|=2a=4 ①,|BF2| - |BF1|=2a=4 ②,①+②得|AF2|+|BF2|=|AF1|+|BF1|+8=|AB|+8.易得|AB|min=2b2a=3,所以|AF2|+|BF2|的最小值为11,故选C.
3.C 不妨设该渐近线经过第二、四象限,则该渐近线的方程为bx+ay=0.因为圆C:x2+(y - 5)2=9,所以圆C的圆心为(0,5),半径为3,所以2<|5a|a2+b2<4,结合a2+b2=c2,得54
1,所以双曲线E的离心率为153.故选A.
【解题关键】 解决本题的关键是将齐次方程15c2 - 15a2 - 2ac=0转化为关于e的一元二次方程.
5.5 因为tan∠F1PF2=43,所以sin∠F1PF2=437,cos∠F1PF2=17.
由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2 - 2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2,
所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-27·|PF1|·|PF2|=16,
又||PF1| - |PF2||=2,所以|PF1|·|PF2|=7,
则△F1PF2的面积为12·|PF1|·|PF2|·sin∠F1PF2=23.
设P(x0,y0),因为△F1PF2的面积为12·2c·|y0|=23,所以|y0|=3,代入x2 - y23=1得x02=2,所以|OP|=x02+y02=2+3=5.
6.y=±3x 解法一 如图D 10 - 2 - 2,连接AF1,BF1,则四边形AF2BF1是平行四边形,设|AF2|=x,则|BF1|=x,|BF2|=x+2a,S△ABF2=12·|AF2|·|BF2|·sin∠AF2B=12x·(x+2a)·32=3a2,解得x=(5 - 1)a,则|BF2|=(5+1)a.在△BF1F2中,由余弦定理得4c2=(5 - 1)2a2+(5+1)2a2 - 2(5 - 1)(5+1)a2·( - 12),化简得c2=4a2,又c2=a2+b2,故b2=3a2,ba=±3,所以双曲线的渐近线方程为y=±3x.
图D 10 - 2 - 2
解法二 如图D 10 - 2 - 2,连接AF1,BF1,则四边形AF2BF1是平行四边形,因为∠AF2B=60°,所以∠F1AF2=120°,易知S△ABF2=12S四边形AF2BF1=S△AF1F2=b2tan60°=3a2,故b2a2=3,ba=±3,所以双曲线的渐近线方程为y=±3x.
7.B 设M(x0,y0),A(x1,y1),则B( - x1, - y1).不妨设l1:y=bax,l2:y= - bax,则y0= - bax0,y1=bax1,所以kAM·kBM=y0 - y1x0 - x1·y0+y1x0+x1=y02 - y12x02 - x12=b2a2.因为kAM·kBM=e,所以b2a2=e,即c2 - a2a2=e,整理得e2 - e - 1=0,解得e=1±52.又e>1,所以e=1+52,故选B.
8.C 由双曲线定义知|MF2| - |MF1|=2a,所以|MF2|=|MF1|+2a,因为|MF2|+|MN|>4b恒成立,所以|MF1|+|MN|>4b - 2a恒成立,即(|MF1|+|MN|)min>4b - 2a.由题意易知点N在双曲线左支的上方,由平面几何知识知,当MF1⊥x轴且点M在x轴上方时,|MF1|+|MN|取得最小值3b22a,所以3b22a>4b - 2a,即3·(ba)2 - 8·ba+4>0,解得02.又e=ca=1+(ba)2,所以e∈(1,133)∪(5,+∞),故选C.
9.C 如图D 10 - 2 - 3,连接BF1,AF2,由双曲线的定义知,|AF2| - |AF1|=2a,|BF1| - |BF2|=2a,由|BF1|=|AF1|=2c,可得|AF2|=2a+2c,|BF2|=2c - 2a,在△AF1F2中,由余弦定理可得cos∠AF1F2=4c2+4c2 - (2a+2c)22·2c·2c=c2 - 2ac - a22c2,在△BF1F2中,由余弦定理可得cos∠BF2F1=4c2+(2c - 2a)2 - 4c22·2c·(2c - 2a)=c - a2c,由F1A∥F2B,可得∠BF2F1+∠AF1F2=π,则有cos∠BF2F1+cos∠AF1F2=0,即c2 - 2ac - a22c2+c - a2c=0,整理得2c2 - 3ac - a2=0,可化为2e2 - 3e - 1=0,解得e=3+174或e=3 - 174(舍去),所以双曲线C的离心率为3+174.故选C.
图D 10 - 2 - 3
10.22 设双曲线C的左焦点为F1,连接AF1,BF1,由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形,所以S△AF1B=23,∠F1AF2=π3.设|AF1|=r1,|AF2|=r2,由余弦定理得4c2=r12+r22 - 2r1r2cos π3.又|r1 - r2|=2a,所以r1r2=4b2.又S△AF1B=12r1r2sin π3=23,所以b2=2,则该双曲线的虚轴长为22.
11.A 设椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,椭圆的长半轴长为a1,椭圆的半焦距为c,双曲线的实半轴长为a2,|PF1|=x,|PF2|=y,x>y.
由椭圆、双曲线的定义得x+y=2a1,x - y=2a2,∴x=a1+a2,y=a1 - a2.在△PF1F2中,由余弦定理得cos∠F1PF2=x2+y2 - (2c)22xy=cos 60°,∴2(a12+a22) - 4c22(a12 - a22)=12,∴a12+3a22=4c2.∵e1·e2=ca1·ca2=1,∴c2=a1a2,∴a12+3a22=4a1a2,即(a1 - a2)(a1 - 3a2)=0,∴a1=3a2,∴3a22=c2,∴e2=ca2=3,即双曲线的离心率为3.故选A.
12.D 如图D 10 - 2 - 4,
图D 10 - 2 - 4
由已知得,a2=b2+c2,则A1,A2分别为双曲线E:x2c2-y2b2=1的左、右焦点.连接ON,由直线A1M与圆x2+y2=c2切于点N,得|ON|=c,ON⊥MA1,又MA1⊥MA2,所以ON∥A2M,从而|A1N|=b,|A1M|=2b,|A2M|=2|ON|=2c.由双曲线的定义得|A1M| - |A2M|=2c,即2b - 2c=2c,b=2c,从而椭圆的离心率e1=ca=15,双曲线的离心率e2=ac=5,所以e2+1e1=25,故选D.
【技巧点拨】 在解决有关圆的问题时,要多注意结合几何图形,充分利用圆的几何性质;涉及双曲线定义的题目,要抓住“双曲线上任意一点到两焦点的距离之差的绝对值等于2a(a为双曲线的实半轴长)”这个特征;涉及椭圆定义的题目,要抓住“椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2m(m为椭圆的长半轴长)”这个特征.
【素养落地】 试题将椭圆、双曲线、直线与圆等知识有机结合起来,引导考生要抓住解析几何问题的本质,在剖析问题本质的基础上,建立“数”与“形”的联系,体现了直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.
13.x2 - y24=1 (±5,0) 解法一 (1)设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由双曲线的渐近线方程为2x±y=0,知b=2a,由b=2a,2516a2 - 94b2=1,得a2=1,b2=4,所以双曲线的标准方程为x2 - y24=1,焦点坐标为(±5,0).
(2)设双曲线的标准方程为y2a2-x2b2=1(a>0,b>0),由双曲线的渐近线方程为2x±y=0,知a=2b,由a=2b,94a2 - 2516b2=1,得b2= - 1,不合题意,舍去.
综上,双曲线的标准方程为x2 - y24=1,焦点坐标为(±5,0).
解法二 因为点(54,32)在渐近线y=2x的下方,所以双曲线的焦点在x轴上,设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由双曲线的渐近线方程为2x±y=0,知b=2a,由b=2a,2516a2 - 94b2=1,得a2=1,b2=4,所以双曲线的标准方程为x2 - y24=1,焦点坐标为(±5,0).
解法三 由双曲线的渐近线方程为2x±y=0,设双曲线的方程为4x2 - y2=λ,再将(54,32)代入双曲线的方程,得λ=4,所以双曲线的标准方程为x2 - y24=1,焦点坐标为(±5,0).
