重庆市2020届高三上学期12月联考数学（理）试题 Word版含解析

重庆市2020届高三上学期12月联考数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com 重庆市高三联考理科数学 注意事项：‎ ‎1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.‎ ‎2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.‎ ‎3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1.命题“”的否定是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用全称命题的否定解答.‎ ‎【详解】因为全称量词命题的否定是特称量词命题，‎ 所以命题“”的否定是“”.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎2.设集合，集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ - 19 -‎ ‎【分析】‎ 先求出,再求得解.‎ ‎【详解】因为，.‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查集合的补集和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎3.设，则在复平面内对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再求得解.‎ ‎【详解】因为.所以，‎ 所以点位于第一象限.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数，考查复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎4.设向量，且，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，解方程即得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ - 19 -‎ 解之得.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查向量垂直的数量积表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎5.抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得，即得焦点坐标.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以抛物线的焦点坐标为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6.已知，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出a,b,c的范围，即得解.‎ ‎【详解】因为，.‎ 所以 故选：B - 19 -‎ ‎【点睛】本题主要考查指数对数函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎7.已知函数在上不单调，则的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 原命题等价于在上有解，再利用零点定理分析解答得解.‎ ‎【详解】.因为在上不单调.‎ 所以在上有解，‎ 又在上单调递减，‎ 所以，，‎ 故.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和零点定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎8.已知，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，再利用诱导公式化简求值.‎ - 19 -‎ ‎【详解】.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查诱导公式化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎9.函数在的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出函数为奇函数，再通过特殊值确定答案.‎ ‎【详解】函数的定义域关于原点对称.‎ 因为，‎ 所以为奇函数.‎ 又因为..，‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题主要考查图象的确定问题，考查函数奇偶性的判定，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎10.若函数图像的一条对称轴方程为，则（ ）‎ A. B. ‎ - 19 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，解方程即得解.‎ ‎【详解】由题得，‎ 所以，‎ 所以 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎11.在中，，，，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，，再利用数量积公式即得解.‎ ‎【详解】因为.‎ 所以.‎ 因为.‎ 所以.‎ 所以 - 19 -‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查向量的运算法则和数量积的计算，考查向量的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎12.双曲线的渐近线于圆相切，且该双曲线过点，则该双曲线的虚轴长为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 的渐近线与圆相切等价于圆心到渐近线的距离等于半径，推出的方程，结合点在双曲线上，求解，然后求解双曲线的虚轴长．‎ ‎【详解】双曲线的一条渐近线．‎ 圆的圆心，半径．‎ 渐近线与圆相切，，即，①‎ 该双曲线过点，‎ ‎， ②‎ 解①②可得，，‎ 双曲线，该双曲线的虚轴长为8．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】熟练掌握双曲线的渐近线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、离心率的计算公式是解题的关键，是中档题．‎ - 19 -‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.在中，角所对的边分别为，若，，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理即得求解.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎14.设满足约束条件，则的最小值为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．‎ ‎【详解】由约束条件作出可行域如图，‎ - 19 -‎ 化目标函数为，‎ 由图可知，当直线过时，有最小值为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．‎ ‎15.函数的图像在点处的切线垂直于直线，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，再解方程即得解.‎ ‎【详解】因为.所以.‎ 因.‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查求导和导数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎16.对于等差数列等比数列，我国古代很早就有研究成果.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题.现有一堆货物，从上向下查，第一层有个货物，第二层比第一层多个，第三层比第二层多个，依此类推，记第层货物的个数为，则数列的通项公式_______.‎ - 19 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得，利用等差数列化简即得解.‎ ‎【详解】由题得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查等差数列求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ 三、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）‎ ‎17.已知函数是定义在上的奇函数，当时，‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）求不等式的解集.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)若，则，先求出时函数的解析式，即得函数的解析式；（2）解不等式组或即得解.‎ ‎【详解】(1)若，则，‎ 因为当时，所以.‎ 因为是奇函数，所以.‎ 因为是定义在上的奇函数，所以.‎ - 19 -‎ 故.‎ ‎(2)因为，所以或 解得或.‎ 故不等式的解集为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，考查分段函数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎18.已知数列是递增的等比数列，，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）解方程组即得数列的首项和公比，即得数列的通项公式；（2）利用分组求和求数列的前项和.‎ ‎【详解】(1)，或(舍).‎ 又，，或(舍)，‎ ‎，‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项的求法，考查等差数列和等比数列的求和问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎19.中，角所对的边分别为，已知 ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得，解三角方程即得解；（2）先求出，再求的面积.‎ ‎【详解】（1）因为所以，‎ 因 所以 所以，‎ 因为，‎ 所以.‎ ‎（2）由题得 所以，‎ 所以的面积为.‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角恒等变换，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20.已知椭圆的半焦距为，圆与椭圆有且仅有两个公共点，直线与椭圆只有一个公共点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于两点，试问：轴上是否存在定点，使得为定值?若存在，求出该定值和点的坐标；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）在轴上存在点，使得为定值 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知求出即得椭圆的标准方程；（2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点R也满足前面的结论，即得解.‎ ‎【详解】(1)依题意，得，‎ 则，‎ 故椭圆的标准方程为.‎ 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，‎ 代人椭圆的方程，可得 设，，则，‎ 设，则 - 19 -‎ 若为定值，则，解得 此时 点的坐标为 ‎②当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代人，得 不妨设，若，则 综上所述，在轴上存在点，使得为定值 ‎【点睛】本题主要考查椭圆的方程的求法，考查椭圆中的定点定值问题，意在考查学生对这些知识的 理解掌握水平.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，证明：；‎ ‎（2）当时，若在上为增函数，求的取值范围；‎ ‎（3），试比较与的大小，并进行证明.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）（3）,证明见解析 ‎【解析】‎ - 19 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数求出即得证；（2）即在上恒成立，‎ 再求的最大值即得解；（3）由(1)知，令，得，利用放缩法和等比数列的前n项和即得证.‎ ‎【详解】(1)证明:当时，，所以 令，得；令，得.‎ 所以上单调递增，在上单调递减，‎ 所以，‎ 故.‎ ‎(2)当时，，‎ 所以在上恒成立，‎ 即在上恒成立.‎ 令 显然当时，；当时，.‎ 而当时，‎ 所以在上单调递增，‎ 所以 所以，即a的取值范围是.‎ - 19 -‎ 证明:由(1)知，‎ 令，得，‎ 所以，‎ 所以，‎ 即，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 ‎（1）求和的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1）曲线的直角坐标方程为,的直角坐标方程为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 19 -‎ ‎（1）利用消参求出曲线C的直角坐标方程，利用极直互化的公式求出直线的直角坐标方程；（2）先求出直线的参数方程，再利用参数的几何意义求解.‎ ‎【详解】解:(1)由(为参数)，‎ 得曲线的直角坐标方程为.‎ 由，得，‎ 则的直角坐标方程为.‎ ‎(2)易知点在直线上，直线的参数方程可写为(为参数)，‎ 代入.得.‎ 设对应的参数分别为，‎ 则 故 ‎【点睛】本题主要考查极坐标、参数方程和直角坐标方程的互化，考查直线参数方程中参数的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎23.已知函数的最小值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若为正数，且，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ - 19 -‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先化简函数，再求函数的最小值得解；（2）先求出 ‎，再利用基本不等式求最大值.‎ ‎【详解】(1)‎ 当时，;‎ 当时，；‎ 当时，‎ 可知，即.‎ ‎(2)由(1)可得，所以 因为.所以，‎ 当且仅当，即时等号成立 所以的最大值为.‎ ‎【点睛】本题主要考查分段函数的最值的计算，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ - 19 -‎ ‎ ‎ - 19 -‎