【数学】重庆市沙坪坝区南开中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题（解析版）

【数学】重庆市沙坪坝区南开中学2019-2020学年高二上学期期末考试试题（解析版）

www.ks5u.com 重庆市沙坪坝区南开中学2019-2020学年 高二上学期期末考试试题 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.下列函数求导结果正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题,,,,,‎ 故选：D ‎2.已知a为实数，命题，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题,为存在性命题,则其命题的否定为：,‎ 故选：C ‎3.双曲线的渐近线方程是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题得双曲线的a=2,b=1,所以双曲线的渐近线方程为故答案为A 点睛：(1)本题主要考查双曲线的渐近线方程，意在考查学生对该基础知识的掌握能力.(2)‎ 双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为.‎ ‎4.已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的图象如图所示，则下列叙述正确的是(　　)‎ A. f(b)>f(c)>f(d) B. f(b)>f(a)>f(e)‎ C. f(c)>f(b)>f(a) D. f(c)>f(e)>f(d)‎ ‎【答案】C ‎【解析】导函数的图象可得：在上为正数，‎ 在上为增函数，所以f(c)>f(b)>f(a)．‎ 故选C.‎ ‎5.设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．‎ ‎6.已知抛物线的准线l过椭圆的左焦点，且l与椭圆交于P、Q两点，是椭圆的右焦点，则的周长为（ ）‎ A. 16 B. 8 C. 4 D. 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为抛物线的准线为,椭圆的左焦点为,‎ 所以,即,则椭圆方程为,即,‎ 所以的周长为,‎ 故选：B ‎7.如图，在正方体中，O是正方形的中心，E、F分别为棱AB、的中点，则（ ）‎ A. 直线EF与共面 B. ‎ C. 平面平面 D. OF与所成角为 ‎【答案】B ‎【解析】因为E、F分别为棱AB、的中点,所以,‎ 因为平面平面,平面,‎ 平面,,‎ 所以与平面只有一个交点,‎ 因为平面,,‎ 所以,所以与不共面,故A错误；‎ 以为原点,分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示, ‎ 设棱长为2,则,,,,‎ 则,,‎ 所以,则,故B正确；‎ 显然,平面即为平面,则易证平面,‎ 因为,,则是平面的法向量,‎ 因为,所以,故不是平面的法向量,‎ 则平面与平面不平行,故C错误；‎ 因为,所以,,‎ 所以,‎ 即OF与所成角的余弦值为,故D错误；‎ 故选：B ‎8.已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面积之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题,设圆柱与圆锥的底面半径为,则因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,‎ 所以圆锥的高为,圆锥的母线长为,‎ 则圆柱的表面积为,‎ 圆锥的表面积为,‎ 所以比值为,‎ 故选：A ‎9.已知椭圆，过点的直线交椭圆于A，B两点，若P为线段中点，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题,设,,因为为线段的中点,‎ 则,则,‎ 作差可得,‎ 即,即,‎ 则直线为,即,‎ 所以联立可得,则,‎ 所以,‎ 故选：D ‎10.已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，a 为半径的圆与它的一条渐近线相交于P、Q两点，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题,设过点且垂直于渐近线的直线与渐近线交于点,‎ 即,所以,‎ 由圆的性质可得为中点, ‎ 因为,所以,则,‎ 在中,,即,‎ 整理可得,所以,‎ 故选：A ‎11.在正四面体S-ABC中，P为侧面SBC内的动点，若点P到平面ABC的距离与到顶点S的距离相等，则动点P的轨迹为（ ）‎ A. 椭圆的一部分 B. 双曲线的一部分 ‎ C. 抛物线的一部分 D. 圆 ‎【答案】A ‎【解析】因为正四面体,所以平面不垂直于平面,‎ 过作平面,过作于,连接,如图所示,‎ 可得平面,所以,故为二面角的平面角,令其为,‎ 则在中,,又点到平面距离与到点的距离相等,‎ 即为,所以,又平面不垂直于平面,故为锐角,‎ 所以,所以在平面中,点到点的距离与定直线的距离之比为一个常数,即,故由椭圆定义知点的轨迹为椭圆在平面的一部分,‎ 故选：B ‎12.如图所示，直平行六面体的所有棱长都为2，，过体对角线的截面S与棱和分别交于点E、F，给出下列命题中：‎ ‎①四边形的面积最小值为；‎ ‎②直线EF与平面所成角的最大值为；‎ ‎③四棱锥的体积为定值；‎ ‎④点到截面S的距离的最小值为.‎ 其中，所有真命题的序号为（ ）‎ A. ①②③ B. ①③④ C. ①③ D. ②④‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题,因为过体对角线,则由对称性易得四边形是平行四边形, ‎ 连接,,且交于点,过点作的垂线,垂足为,‎ 则若四边形面积最小,即最小,‎ 即为棱到平面的距离,即为长,‎ 因为,则,‎ 所以,‎ 则,又,‎ 所以,此时为棱的中点,故①正确；‎ 过点的平面的垂线交平面于点,则即为点到平面的距离,‎ 根据底面菱形的性质,可得,‎ 若直线EF与平面所成角最大,则直线与直线的夹角最小,‎ 即最小,此时最大,即最小,‎ 即时,故,则,‎ 则直线EF与平面所成角最大为,故②错误；‎ 设点到平面,平面的距离分别为,‎ 即从点分别向作垂线即可,由菱形可得,‎ ‎,‎ 为定值,故③正确；‎ 因为四棱锥的体积为定值,‎ 所以若点到截面S的距离的最小,则截面的面积最大,即四边形面积最大,即最大,则当点与点重合,点与点重合时符合条件,此时在中,,‎ ‎,则,则,‎ 所以,此时,‎ 设点到截面S的距离为,则,所以,故④正确 ‎ 综上,①③④正确,‎ 故选：B 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎13.设是函数的导函数，若，则________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题,,‎ 所以当时,,‎ 故答案为：2‎ ‎14.设P是函数图象上的动点，则P到直线的距离的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题,,设,‎ 令,则,即,‎ 则此时点到直线的距离最小,为,‎ 故答案为：‎ ‎15.已知P是椭圆上一动点，A是C的左顶点，F是C的右焦点，则的最小值为________.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】由题,,,设,‎ 则,,‎ 则,‎ 因为点在椭圆上,所以,即,‎ 则,当时,的最小值为0，故答案为：0‎ ‎16.四面体ABCD中，，二面角A-CD-B的大小为 ‎，则该四面体外接球的体积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题可得二面角的平面角为,即是等边三角形,则可将四面体放入到一个三棱柱中,如图所示,设的外接圆圆心为,四面体的外接球球心为,如图所示,‎ 因为,则,,‎ 则在中,,即,‎ 所以球的体积为,‎ 故答案为：‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.如图，在四棱台中，平面底面ABCD，四边形ABCD为正方形，且，E为AB中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【解】（1）连接AD,由棱台性质知,,‎ 又E是AB的中点,且,所以且,‎ 故四边形是平行四边形,所以,‎ 又平面,平面,所以平面 ‎（2）作于H,因为平面底面ABCD,‎ 且平面底面,故平面ABCD,‎ 即三棱锥的高为,‎ 在等腰梯形中,,‎ 又，‎ 所以 ‎18.已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上，且.‎ ‎（1）求抛物线C的方程：‎ ‎（2）过点作直线l交C于A，B两点，求面积的最小值.‎ ‎【解】（1）由题意得：,解得,‎ 故抛物线C的方程为 ‎（2）由（1）可得焦点,显然直线l的斜率不为0,‎ 故设其方程为,代入得：‎ ‎,‎ 设,则,,‎ ‎，当且仅当,即轴时取等号,‎ 所以的面积的最小值为 ‎19.已知函数为的导函数，且.‎ ‎（1）求函数在点切线方程：‎ ‎（2）设函数，求函数的单调递增区间.‎ ‎【解】（1）,由题意,‎ 于是有，解得,‎ 所以,‎ 则,,‎ 故切线方程为,即 ‎（2）由（1）,定义域为R,‎ 所以,‎ 令,解得,故函数的单调选增区间为 ‎20.已知A，B是焦距为的椭圆的上、下顶点，P是椭圆上异于 顶点的任意一点，直线PA，PB的斜率之积为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若C，D分别是椭圆的左、右顶点，动点M满足，连接CM交椭圆于点E，试问：x轴上是否存在定点T，使得恒成立？若存在，求出点T坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎【解】（1）由题,,设,‎ 则,所以,‎ 所以,所以,‎ 又,所以,‎ 所以椭圆的方程为 ‎（2）存在,‎ 设其坐标为,由题,,‎ 法一：设,‎ 由C,E,M共线得,即,所以,‎ 由E在椭圆上,得,则,‎ 因为,,‎ 所以 恒成立,‎ 所以,即存在定点满足题意 法二：设直线,其中,‎ 令得,联立,‎ 得,故,所以,‎ 所以,,‎ 故恒成立,‎ 所以,即存在定点满足题意 ‎21.如图，在直角梯形SABC中，，D为边SC上的点，且，现将沿AD折起到达的位置（折起后点S记为P），并使得.‎ ‎（1）求证：平面ABCD；‎ ‎（2）设，‎ ‎①若点E在线段BP上，且满足，求平面EAC与平面PDC所成锐二面角的余弦值 ‎②设G是AD的中点，则在内（含边界）是否存在点F，使得平面PBC ‎？若存在，确定点F的位置，若不存在，请说明理由.‎ ‎【解】证明：（1）,平面PAD,‎ 平面PAD,,‎ ‎,,‎ ‎,平面ABCD ‎（2）由（1）知,故DA,DC,DP两两垂直,‎ 以D为原点,DA,DC,DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图,‎ 则,‎ 则,,,‎ ‎①设平面EAC与平面PDC所成的锐二面角为,‎ ‎,,‎ ‎,‎ 设是平面ACE的一个法向量,‎ 则,即，‎ 不妨取,得,‎ 因为平面PCD,则是平面PCD的一个法向量,‎ 则,‎ 故平面EAC与平面PDC所成的锐二面角的余弦值为 ‎②存在,点F为棱PB中点时,满足平面PBC,‎ 证明如下：‎ 当点F为棱PB中点时,取PC中点M,连结MD,MF,‎ 则且,‎ 四边形DGFM为平行四边形,,‎ 又等腰直角中,,,‎ 平面PDC,平面PDC,‎ ‎,又,‎ 平面PBC,平面PBC ‎22.已知抛物线，过焦点F的直线l与抛物线交于S，T，‎ 且.‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）设点P是x轴下方（不含x轴）一点，抛物线C上存在不同的两点A，B满足 ‎，其中为常数，且两点D，E均在C上，弦AB的中点为M.‎ ① 若点P坐标为，抛物线过点A，B的切线的交点为N，‎ 证明：点N在直线MP上；‎ ② 若直线PM交抛物线于点Q，求证；为定值（定值用表示）.‎ ‎【解】（1）由题,显然直线的斜率存在,‎ 设：,,‎ 联立得,,‎ 由韦达定理得,,‎ ‎,,‎ 即 则抛物线方程为 ‎（2）设,则,,‎ ‎①由,,得,‎ 点D在抛物线C上,故,‎ 即,则,‎ 由,所以,即,‎ 同理可得,‎ 即,是方程的两根,解得或,‎ 不妨,,则中点,直线 由,所以,得两切线,‎ 所以,解得,则,‎ 所以N在直线PM上 ‎②设,,‎ 由,得,‎ 代D入抛物线C,‎ 则,即,‎ 化简得：,‎ 同理将E代入抛物线C得：,‎ 即,为方程的两根,‎ 由韦达定理得,,,‎ 所以,,‎ 显然,所以设,‎ 所以,,‎ 故,为定值