天津市部分区2020届高考二模数学试题 Word版含解析

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天津市部分区2020年高三质量调查试卷(二)‎ 一､选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设集合，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出集合，再利用交集的定义可求得集合.‎ ‎【详解】集合，，,‎ ‎，.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查交集与并集的运算，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎2.已知命题，，则命题的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据特称命题的否定，改变量词，否定结论，可得出命题的否定.‎ ‎【详解】命题为特称命题，其否定为，.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查特称命题的否定的改写，要注意量词和结论的变化，属于基础题.‎ ‎3.已知为虚数单位，若复数的实部为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 22 -‎ ‎【分析】‎ 由题意结合复数的运算法则可得，进而可得，求得后，由复数模的概念即可得解.‎ ‎【详解】由题意，‎ 所以复数的实部为，解得，‎ 所以，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了复数的运算、复数实部的概念以及复数模的概念，属于基础题.‎ ‎4.函数是定义在上的奇函数，且当时，(为常数)，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合奇函数的性质可得，可得当时，，利用即可得解.‎ ‎【详解】函数是定义在上的奇函数，当时，，‎ ‎，解得，当时，，‎ ‎.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.‎ ‎5.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 22 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，进而可得，代入即可得解.‎ ‎【详解】，，‎ 又，即，‎ ‎.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，考查了运算求解能力，属于基础题.‎ ‎6.设等差数列的前项和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合等差数列前n项和公式得，解得，再由等差数列的通项公式即可得解.‎ ‎【详解】设等差数列首项为，公差为，‎ ‎，，‎ ‎，解得，‎ ‎.‎ - 22 -‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n项和公式的基本量运算，考查了运算求解能力，属于基础题.‎ ‎7.已知，，，则，，的大小关系是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合指数函数、对数函数的单调性可知，即可得解.‎ ‎【详解】由题意，，，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查了指数式、对数式的大小比较，考查了指数函数、对数函数单调性的应用，属于基础题.‎ ‎8.若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意结合余弦函数的单调区间可得，由余弦函数的零点可得，即可得解.‎ ‎【详解】当时，，‎ 又，，‎ - 22 -‎ 函数()在区间上单调递减，‎ ‎，即，解得；‎ 令，则，即，‎ 由，可得当且仅当时，，‎ 又函数()在区间上存在零点，‎ ‎，解得；‎ 综上，的取值范围是.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了余弦函数图象与性质的应用，考查了运算求解能力，属于中档题.‎ ‎9.已知函数 函数.若关于的方程有个互异的实数根，则实数的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意作出函数图象，转化条件为要使直线与函数的图象有三个交点，分别考虑直线与函数在y轴右侧、左侧的图象的交点个数，即可得解.‎ ‎【详解】由题意作出函数的图象，如图：‎ - 22 -‎ ‎ ‎ 要使关于的方程有个互异的实数根，‎ 则要使直线与函数的图象有三个交点，‎ 易知点，，‎ 由图象可知，当时，不合题意；‎ 当时，若直线与函数在y轴右侧的图象相切，设切点为，‎ 由可得，解得，，切点恰为点，‎ 所以当时，直线与函数在y轴右侧的图象只有一个交点；‎ 若直线与函数在y轴左侧的图象相切，设切点为，‎ 由，所以，‎ 解得（舍去）或，，‎ 当直线过点时，，‎ - 22 -‎ 所以当时，直线与函数在y轴左侧的图象有两个交点；‎ 综上，要使直线与函数的图象有三个交点，则.‎ 即实数的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了导数几何意义的应用、导数的计算与数形结合思想，属于中档题.‎ 二､填空题：本大题共6小题， 共30分；答题直接填写结果，不必写计算或推证过程.‎ ‎10.双曲线的右焦点为，且一条渐近线方程是，则该双曲线的方程是______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的渐近线方程和焦点坐标可得出关于、的方程组，求出这两个量的值，由此可得出该双曲线的方程.‎ ‎【详解】由题意可得，解得，因此，双曲线的方程是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线方程的求解，根据题意建立方程组是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎11.若的展开式中的常数项为，则实数______________.‎ ‎【答案】‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二项式定理计算得到答案 ‎【详解】展开式的通项为：，‎ 取得到常数项为，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据二项式定理中常数项求参数，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎12.已知点P在直线上，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：点代入直线得，所以最小值为 考点：均值不等式求最值 ‎13.在中，内角，，所对的边分别为，，.若，则______________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，利用正弦定理将边转化为角得到，，再利用三角恒等变换化简得到，根据，求得角，从而得解.‎ - 22 -‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 即，‎ 即，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角恒等变换及解三角形，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎14.如图，点是长方体的中心，，，，分别为其所在棱的中点，且.记棱的长度为，点到平面的距离为，则______________；若该长方体的体积为，则四棱锥的体积为______________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据长方体，得到平面，则 A到平面距离为 - 22 -‎ ‎，由点是长方体的中心，得到到平面的距离.根据长方体的体积为，求得，再由，，，分别为其所在棱的中点，得到，然后利用锥体体积公式求解.‎ ‎【详解】在长方体中，‎ 平面，，‎ 所以A到平面的距离为，‎ 因为点是长方体的中心，‎ 所以到平面的距离为 所以 因为长方体的体积为，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为，，，分别为其所在棱的中点，‎ 所以，‎ 所以四棱锥的体积为.‎ 故答案为：①2②10‎ ‎【点睛】本题主要考查长方体的几何特征以及点到面的距离，柱体、锥体的体积，还考查了空间想象，运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎15.在梯形中，，，，，若点在线段上，则的最小值为______________.‎ ‎【答案】‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，，，，建立平面直角坐标系，设，得到，再求得的坐标，利用数量积的坐标运算求解.‎ ‎【详解】建立如图所示平面直角坐标系：‎ 因为，，，，‎ 所以，，，设，‎ 所以 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ ‎，‎ 当时，的最小值为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ 三､解答题：本大题共5个小题，共75分；解答应写出必要的文字说明､推证过程或演算步骤.‎ - 22 -‎ ‎16.天津市某中学为全面贯彻“五育并举，立德树人”的教育方针，促进学生各科平衡发展，提升学生综合素养.该校教务处要求各班针对薄弱学科生成立特色学科“兴趣学习小组”(每位学生只能参加一个小组)，以便课间学生进行相互帮扶.已知该校某班语文､数学､英语三个兴趣小组学生人数分别为10人､10人､15人.经过一段时间的学习，上学期期中考试中，他们的成绩有了明显进步.现采用分层抽样的方法从该班的语文，数学，英语三个兴趣小组中抽取7人，对期中考试这三科成绩及格情况进行调查.‎ ‎（1）应从语文，数学，英语三个兴趣小组中分别抽取多少人？‎ ‎（2）若抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格.现从这7人中随机抽取4人做进一步的调查.‎ ‎①记表示随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数，求随机变量的分布列和数学期望；‎ ‎②设为事件“抽取的4人中，有人成绩不全及格”，求事件发生的概率.‎ ‎【答案】（1）语文､数学､英语三个兴趣小组中分别抽取人､人､人.（2）①分布列答案见解析，数学期望，②概率为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由语文､数学､英语三个兴趣小组的人数之比为，利用分层抽样方法确定抽取的人数.‎ ‎（2）①根据抽取的7人中恰好有5人三科成绩全部及格，其余2人三科成绩不全及格.得到随机抽取4人中，语文，数学，英语三科成绩全及格的人数可能人，再求得相应概率，列出分布列，再求期望.②设事件为“抽取的人中，三科成绩全及格的有人，三科成绩不全及格的有人”；事件为“抽取的人中，三科成绩全及格的有人，三科成绩不全及格的有人”.有，且与互斥，根据①利用互斥事件的概率求解.‎ ‎【详解】（1）因为数学､英语三个兴趣小组学生人数分别为10人､10人､15人，‎ 所以语文､数学､英语三个兴趣小组的人数之比为，‎ 因此，采用分层抽样方法从中抽取人，‎ 应从语文､数学､英语三个兴趣小组中分别抽取人､人､人. ‎ ‎（2）①依题意，得随机变量的所有可能取值为.‎ - 22 -‎ 所以，. ‎ 因此，所求随机变量的分布列为 ‎.‎ ‎②依题意，设事件为“抽取的人中，三科成绩全及格的有人，三科成绩不全及格的有人”；事件为“抽取的人中，三科成绩全及格的有人，三科成绩不全及格的有人”.‎ 则有，且与互斥.‎ 由①知，，‎ 所以 ‎ 故事件发生的概率为.‎ ‎【点睛】本题主要考查分层抽样，离散型随机变量的分布列与期望以及互斥事件的概率，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎17.已知各项均为正数的数列，满足().‎ ‎（1）求证：为等比数列，并写出其通项公式；‎ ‎（2）设()，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，.（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可得，然后两式相减得，然后求出即可 ‎（2）利用错位相减法求出即可.‎ ‎【详解】（1）因为()， ①‎ - 22 -‎ 所以，当时，有，② ‎ ‎①-②得，‎ 即，所以(，).‎ 所以数列是公比为的等比数列. ‎ 又由①得，所以. ‎ 所以.‎ ‎（2）由题意及（1）得 ‎ 所以，③‎ 所以， ④ ‎ ‎③-④，得 ‎ ‎， ‎ 故.‎ ‎【点睛】常见数列的求和方法：公式法（等差等比数列）、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.‎ ‎18.如图，四棱锥中，底面四边形是直角梯形，底面，，，，，为的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.‎ - 22 -‎ ‎【答案】（1）证明见解析，（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先利用条件证明，然后结合即可证明平面 ‎（2）由平面可得是直线与平面所成的角，然后算出，然后以点为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，算出平面的法向量即可.‎ ‎【详解】（1）证明：因为，，所以.‎ 又因为，所以是等腰直角三角形，‎ 所以，. ‎ 又因为，，‎ 所以，即.‎ 因为底面，平面，所以.‎ 又，所以平面. ‎ ‎（2）在中， ，，所以.‎ 由（1）知，平面，‎ 所以是直线与平面所成的角，则. ‎ 在中， ，‎ 所以. ‎ 以点为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系. ‎ - 22 -‎ 则.‎ 因为为的中点，所以，‎ 所以. ‎ 设平面法向量为，‎ 则 即 令，得.所以. ‎ 由平面，则为平面的一个法向量.‎ 所以.‎ 故所求二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法.‎ ‎19.已知，分别是椭圆的左､右焦点，其焦距为，过的直线与交于，两点，且的周长是.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）若是上的动点，从点(是坐标系原点)向圆 - 22 -‎ 作两条切线，分别交于，两点.已知直线，的斜率存在，并分别记为，.‎ ‎（ⅰ）求证：为定值；‎ ‎（ⅱ）试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）.（2）①证明见解析；②是，定值为.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆的焦距为，根据其焦距为，求得，直线过的焦点，且的周长是，可得，即可求得的方程；‎ ‎（2）（ⅰ）设直线：，直线：，直线与圆相切，可得，化简得；同理可得.根据是一元二次方程，的两实数根，即可求得的值；（ⅱ）设.联立方程组，根据韦达定理和已知条件可得：的值；‎ ‎【详解】（1）设椭圆的焦距为()，‎ 则，‎ 故：. ‎ 直线过焦点，且的周长是，‎ ‎，‎ ‎. ‎ - 22 -‎ ‎.‎ 椭圆的方程是. ‎ ‎（2）（ⅰ）从点(是坐标系原点)向圆作两条切线，分别交于，两点.已知直线，的斜率存在，并分别记为，‎ 直线：，直线：.‎ 直线与圆相切，‎ 根据点到直线距离公式可得：‎ 化简得；‎ 同理可得.‎ 是一元二次方程的两实数根， ‎ 则有 ‎ 又点在上，‎ ‎，即，‎ ‎(定值). ‎ ‎（ⅱ）是定值，且定值为. ‎ 理由如下：‎ 设.‎ 联立方程组 ‎ - 22 -‎ ‎ 解得 ‎ ‎. ‎ 同理可得. ‎ 由（ⅰ）知，‎ ‎，‎ ‎(定值).‎ ‎【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和椭圆中的定值问题，解题关键是掌握是圆锥曲线与直线交点问题时，通常用直线和圆锥曲线联立方程组，通过韦达定理建立起目标的关系式，采用“设而不求法”并进行一系列的数学运算，从而使问题得以解决．‎ ‎20.已知函数，函数，其中是自然对数的底数.‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）设函数()，讨论的单调性；‎ ‎（3）若对任意，恒有关于的不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）.（2）答案见解析.（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）由函数，求导得到， 再求得，，写出切线方程.‎ ‎（2）易得，由在上恒成立，根据，分，讨论求解. ‎ ‎（3）根据对任意，恒有关于的不等式成立，转化为，对任意恒成立，设(，用导数法求其最小值即可.‎ ‎【详解】（1）因为 所以， ‎ 所以. ‎ 因为，‎ 所以，‎ 即所求曲线在点处的切线方程为. ‎ ‎（2）易知，函数的定义域为，，‎ 且有 ‎. ‎ 因为在上恒成立，‎ 所以①当时，在上恒成立，此时，‎ 所以，在区间上单调递增. ‎ ‎②当时，由，即，解得；‎ 由，即，解得.‎ - 22 -‎ 所以，在区间上单调递减；‎ 在区间上单调递增. ‎ ‎（3）因为对任意，恒有关于的不等式成立，‎ 所以 ，对任意恒成立，‎ 设().‎ 易得，.‎ 令，，‎ 所以.‎ 显然，当时，恒成立.‎ 所以函数在上单调递减，所以，‎ 即在恒成立. ‎ 所以，函数在单调递减.‎ 所以有，‎ 所以.‎ 故所求实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，导数与函数的单调性，导数与不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于难题.‎ - 22 -‎ - 22 -‎