高中数学第二章平面解析几何2-3-3直线与圆的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册
2
.
3
.
3
直线与圆的位置关系
核心
素养
1
.
能熟练地解二元方程组
,
并能运用解方程或方程组来解决直线与圆的位置关系问题
.
(
数学抽象
)
2
.
能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系
.
(
逻辑推理
)
3
.
掌握求圆的切线方程的方法
,
并会求与圆有关的最值问题
.
(
数学运算
,
直观想象
)
思维脉络
激趣诱思
知识点拨
如图是一个休闲娱乐广场
,
广场的中心是一块圆形区域的场地
,
旁边被绿化植物包围
,
小路贯穿其中
,
旁边的马路也与广场相望
.
把圆形区域看成圆面
,
道路看成直线
,
人看成点
.
1
.
如果一个小孩在广场里玩
,
他也恰好处在一条小路上
,
该小路穿越中心圆形区域
,
你觉得这个小孩在圆形区域内吗
?
2
.
如果一个小孩在圆形区域里玩
,
他也恰好处在一条小路上
,
该小路穿过圆形区域吗
?
3
.
如果一个人在圆形区域里玩
(
不在圆心
),
假设此人的坐标为
(
a
,
b
),
圆形区域的方程为
x
2
+y
2
≤
r
2
,
另有一条小路对应的直线方程为
ax+by=r
2
,
该小路与圆形区域有何位置关系
?
激趣诱思
知识点拨
直线与圆的位置关系
直线
l
:
Ax+By+C=
0(
A
2
+B
2
≠0),
圆
C
:(
x-a
)
2
+
(
y-b
)
2
=r
2
(
r>
0),
设圆心
(
a
,
b
)
到直线的距离是
d
,
位置
关系
几何特征
代数特征
(
方程联立
)
公共点
个数
相离
d>r
无实数解
(Δ<0)
0
相切
d=r
一组实数解
(Δ=0)
1
相交
d
0)
2
激趣诱思
知识点拨
微练习
直线
y=x+
1
与圆
x
2
+y
2
=
1
的位置关系是
(
)
A.
相切
B.
相交但直线不过圆心
C.
直线过圆心
D
.
相离
∴
直线与圆
x
2
+y
2
=
1
相交
,
又
(0,0)
不在
y=x+
1
上
,
∴
直线不过圆心
.
答案
:
B
激趣诱思
知识点拨
微思考
(1)
过圆上一点有几条切线
?
过圆外一点有几条切线
?
若点
(
x
0
,
y
0
)
是圆
x
2
+y
2
=r
2
上的点
,
你能得出过点
(
x
0
,
y
0
)
的圆的切线方程吗
?
提示
:
过圆上一点一定有
1
条切线
,
过圆外一点一定有
2
条切线
.
过圆上一点
(
x
0
,
y
0
)
的切线方程为
x
0
x+y
0
y=r
2
.
(2)
过圆
C
内一点
P
(
不同于圆心
)
的所有弦中
,
何时弦最长
?
何时弦最短
?
提示
:
过圆内一点
P
的所有弦中
,
当弦经过圆心
C
时弦最长
,
等于直径的长
;
当弦与过点
P
的直径垂直时弦最短
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
直线与圆的位置关系的判断
例
1
求实数
m
的取值范围
,
使直线
x-my+
3
=
0
与圆
x
2
+y
2
-
6
x+
5
=
0
分别满足
:
①
相交
;
②
相切
;
③
相离
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
直线与圆的位置关系的判断方法
(1)
几何法
:
由圆心到直线的距离
d
与圆的半径
r
的大小关系判断
.
(2)
代数法
:
根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断
.
(3)
直线系法
:
若直线恒过定点
,
可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系
.
但有一定的局限性
,
必须是过定点的直线系
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1
(1)(
多选
)
已知
ab
≠0,
O
为坐标原点
,
点
P
(
a
,
b
)
是圆
x
2
+y
2
=r
2
外一点
,
过点
P
作直线
l
⊥
OP
,
直线
m
的方程是
ax+by=r
2
,
则下列结论正确的是
(
)
A.
m
∥
l
B.
m
⊥
l
C.
m
与圆相离
D.
m
与圆相交
答案
:
AD
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)
已知直线
l
:
x-
2
y+
5
=
0
与圆
C
:(
x-
7)
2
+
(
y-
1)
2
=
36,
判断直线
l
与圆
C
的位置关系
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
求切线方程
例
2
(1)
由直线
y=x+
1
上任一点向圆
(
x-
3)
2
+y
2
=
1
引切线
,
则该切线长的最小值为
(
)
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)
过点
M
(2,4)
向圆
(
x-
1)
2
+
(
y+
3)
2
=
1
引切线
,
求切线的方程
.
分析
先明确点
M
(2,4)
与圆的关系
,
再利用
d=r
列式来刻画相切这一条件
.
本题若使用点斜式设切线方程
,
一定要检验斜率不存在的情况
.
解
:
由于
(2
-
1)
2
+
(4
+
3)
2
=
50
>
1,
故点
M
在圆外
.
当切线斜率存在时
,
设切线方程是
y-
4
=k
(
x-
2),
即
kx-y+
4
-
2
k=
0,
所以
切线方程为
24
x-
7
y-
20
=
0
.
又当切线斜率不存在时
,
直线
x=
2
与圆相切
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
求圆的切线方程的三种方法
(1)
几何法
:
设出切线方程
,
利用圆心到直线的距离等于半径
,
求出未知量
,
此种方法需要注意斜率不存在的情况
,
要单独验证
,
若符合题意
,
则直接写出切线方程
.
(2)
代数法
:
设出切线方程后与圆的方程联立消元
,
利用判别式等于零
,
求出未知量
,
若消元后的方程为一元一次方程
,
则说明要求的切线中
,
有一条切线的斜率不存在
,
可直接写出切线方程
.
(3)
设切点坐标
:
先利用切线的性质解出切点坐标
,
再利用直线的两点式写出切线方程
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
(1)
本例
(2)
中
,
若所给点
M
的坐标是
(1,
-
4),
圆的方程不变
,
求切线方程
.
(2)
本例
(2)
条件不变
,
试求切线长
.
解
:
(1)
由于
(1
-
1)
2
+
(
-
4
+
3)
2
=
1,
故点
(1,
-
4)
在圆上
,
又圆心为
(1,
-
3),
所以切线斜率为
0,
所以切线方程为
y=-
4,
即
y+
4
=
0
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
2
(1)(
多选
)
在平面直角坐标系
xOy
中
,
圆
C
的方程为
x
2
+y
2
-
4
x=
0
.
若直线
y=k
(
x+
1)
上存在一点
P
,
使过
P
所作的圆的两条切线相互垂直
,
则实数
k
的取值可以是
(
)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)
过点
P
(2,3)
且与圆
(
x-
1)
2
+
(
y-
2)
2
=
1
相切的直线的方程
为
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(2)
P
(2,3)
在圆
(
x-
1)
2
+
(
y-
2)
2
=
1
外
,
∴
过点
P
(2,3)
与圆
(
x-
1)
2
+
(
y-
2)
2
=
1
相切的直线有两条
.
当斜率存在时
,
设切线的斜率为
k
,
则切线方程为
y-
3
=k
(
x-
2),
即
kx-y+
3
-
2
k=
0,
当
斜率不存在时
,
切线方程为
x=
2
.
答案
:
(1)AB
(2)
x=
2
或
y=
3
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
与圆有关的最值
问题
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
1
.
与圆有关的最值问题
,
可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置
,
再进行计算
.
有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心
,
有时注意考虑表达式中字母的几何意义
,
如两点间距离公式、斜率公式、在
y
轴上的截距等
.
2
.
对于本题而言
,
解决的关键是理解
m
和
b
的几何意义
,
同时要借助分界线探求参数的取值范围
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
3
直线
y=x-
1
上的点与圆
x
2
+y
2
+
4
x-
2
y+
4
=
0
上的点的距离的最小值为
(
)
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
思想方法
——
用代数法和几何法研究弦长问题
案例
1
过点
(3,1)
作圆
(
x-
2)
2
+
(
y-
2)
2
=
4
的弦
,
其中最短弦长为
.
解析
:
设点
A
(3,1),
易知圆心
C
(2,2),
半径
r=
2
.
当弦过点
A
(3,1)
且与
CA
垂直时为最短弦
,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)
求圆
C
的方程
;
(2)
若直线
3
x-y+
1
=
0
与圆
C
相交于
A
,
B
两点
,
求线段
AB
的长
;
(3)
设过点
(
-
1,0)
的直线
l
与圆
C
相交于
M
,
N
两点
,
试问
:
是否存在直线
l
,
使得以
MN
为直径的圆经过原点
O
?
若存在
,
求出直线
l
的方程
;
若不存在
,
请说明理由
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(3)
存在直线
l
满足题意
.
理由如下
,
设
M
(
x
1
,
y
1
),
N
(
x
2
,
y
2
),
由题意
,
知
OM
⊥
ON
,
且
OM
,
ON
的斜率均存在
,
②
当直线
l
的斜率存在时
,
可设直线
l
的方程为
y=k
(
x+
1),
代入
(
x-
1)
2
+
(
y+
2)
2
=
9,
得
(1
+k
2
)
x
2
+
(2
k
2
+
4
k-
2)
x+k
2
+
4
k-
4
=
0,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
2
.
若涉及直线和圆相交的问题
,
除了借助平面几何知识进行分析
,
还经常利用联立方程
,
用解方程组的思路来讨论有关弦长和垂直等问题
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1
.
直线
3
x+
4
y-
25
=
0
与圆
x
2
+y
2
=
9
的位置关系为
(
)
A.
相切
B.
相交
C.
相离
D.
相离或相切
答案
:
C
2
.
对任意的实数
k
,
直线
y=kx+
1
与圆
x
2
+y
2
=
2
的位置关系一定是
(
)
A.
相离
B.
相切
C.
相交但直线不过圆心
D.
相交且直线过圆心
解析
:
直线
y=kx+
1
恒过定点
(0,1),
由定点
(0,1)
在圆
x
2
+y
2
=
2
内
,
知直线
y=kx+
1
与圆
x
2
+y
2
=
2
一定相交
.
又直线
y=kx+
1
不过圆心
(0,0),
则位置关系是相交但直线不过圆心
,
故选
C
.
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3
.
若直线
x-y+
1
=
0
与圆
(
x-a
)
2
+y
2
=
2
有公共点
,
则实数
a
的取值范围是
(
)
A.[
-
3,
-
1]
B
.[
-
1,3]
C.[
-
3,1]
D
.(
-∞
,
-
3]
∪
[1,
+∞
)
答案
:
C
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4
.
已知直线
l
:
mx+y-
3
=
0
与圆
(
x-
1)
2
+
(
y-
2)
2
=
4
交于
A
,
B
两点
,
过
A
,
B
分别做
l
的垂线与
x
轴交于
C
,
D
两点
,
若
|AB|=
4,
则
|CD|=
.
解析
:
圆
(
x-
1)
2
+
(
y-
2)
2
=
4,
圆心
(1,2),
半径
r=
2,
∵
|AB|=
4,
∴
直线
l
:
mx+y-
3
=
0
过圆心
(1,2),
∴
m+
2
-
3
=
0,
∴
m=
1,
∴
直线
l
:
x+y-
3
=
0,
倾斜角为
135
°
,
∵
过
A
,
B
分别做
l
的垂线与
x
轴交于
C
,
D
两点
,
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5
.
记
x
2
+y
2
≤
1
表示的平面区域为
W
,
点
O
为原点
,
点
P
为直线
y=
2
x-
2
上的一个动点
,
若区域
W
上存在点
Q
,
使得
|OQ|=|PQ|
,
试求
|OP|
的最大值
.
解
:
画出直线
y=
2
x-
2
与平面区域
W
,
如图所示
,
易知
|OQ|
≤
1,
在
△
OQP
中
,
|OQ|+|QP|>|OP|
,
当且仅当
O
,
Q
,
P
三点共线时
,
有
|OQ|+|QP|=|OP|.
所以当
|OQ|=
1
时
,
|OP|
取最大值
2
.
