高考数学平面解析几何时直线与圆的位置关系更多资料关注微博高中学习资料库

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第九章 平面解析几何第5课时　直线与圆的位置关系 ‎1. 已知圆O：x2＋y2＝4，则过点P(2，4)与圆O相切的切线方程为________________．‎ 答案：3x－4y＋10＝0或x＝2‎ 解析：∵ 点P(2，4)不在圆O上，∴ 切线PT的直线方程可设为y＝k(x－2)＋4.根据d＝r，∴ ＝2，解得k＝，所以y＝(x－2)＋4，即3x－4y＋10＝0.因为过圆外一点作圆的切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为x＝2.‎ ‎2. (必修2P115练习1改编)已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是________．‎ 答案：相交 解析：由题意知圆心(1，－2)到直线2x＋y－5＝0的距离d＝，0＜d＜，故该直线与圆相交但不过圆心．‎ ‎3. (必修2P115练习4改编)若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围是________．‎ 答案：(－，)‎ 解析：由题意知＞1，解得－＜k＜.‎ ‎4. 过直线x＋y－2＝0上点P作圆x2＋y2＝1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是__________．‎ 答案：(，)‎ 解析：本题主要考查数形结合的思想，设P(x，y)，则由已知可得PO(O为原点)与切线的夹角为30°，则|PO|＝2，由可得 ‎5. (必修2P107习题4改编)以点(2，－2)为圆心并且与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相外切的圆的方程是________．‎ 答案：(x－2)2＋(y＋2)2＝9‎ 解析：设所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，此圆与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，即(x＋1)2＋(y－2)2＝4相外切，所以＝2＋r，解得r＝3.所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9.‎ ‎1. 直线与圆的位置关系 ‎(1) 直线与圆相交，有两个公共点；‎ ‎(2) 直线与圆相切，只有一个公共点；‎ ‎(3) 直线与圆相离，无公共点．‎ ‎2. 直线与圆的位置关系的判断方法 直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断方法：‎ ‎(1)几何方法：‎ 圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离为d，‎ dr直线与圆相离．‎ ‎(2) 代数方法：‎ 由Ax＋By＋C＝0，(x－a)2＋(y－b)2＝r2，消元，得到的一元二次方程的判别式为Δ，则 Δ>0直线与圆相交；‎ Δ＝0直线与圆相切；‎ Δ<0直线与圆相离．‎ ‎3. 圆与圆的位置关系及判断方法 ‎(1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．‎ ‎(2) 判断两圆位置关系的方法 两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r12(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)的圆心距为d，则 d>r1＋r2两圆外离；‎ d＝r1＋r2两圆外切；‎ ‎|r1－r2|r，即b<－5－3或b>5－3时，直线与圆相离．‎ 题型2　直线与圆相交的弦的问题 例2　已知圆C：x2＋(y－3)2＝4，一动直线l过A(－1，0)与圆C相交于P、Q两点，‎ M是PQ中点，l与直线m：x＋3y＋6＝0相交于N.‎ ‎(1) 求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；‎ ‎(2) 当PQ＝2时，求直线l的方程；‎ ‎(3) 探索·是否与直线l的倾斜角有关？若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．‎ ‎(1) 证明：∵ l与m垂直，且km＝－，‎ ‎∴ kl＝3.又kAC＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C.‎ ‎(2) 解：①当直线l与x轴垂直时， 易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时， 设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因为PQ＝2 ，所以CM＝＝1，则由CM＝＝1，得k＝，∴ 直线l：4x－3y＋4＝0. 从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.‎ ‎(3) 解：∵ CM⊥MN，∴ ·＝(＋)·＝·＋·＝· .‎ ‎①当l与x轴垂直时，易得N，则＝.又＝(1，3)，∴ ·＝·＝－5；②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由 得N，则＝.‎ ‎∴ ·＝·＝＋＝－5.‎ 综上，·与直线l的斜率无关，且·＝－5.‎ 另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知AC⊥m，又CM⊥l，∴ 四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得·＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5. ‎ 已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l1过定点A(1，0)．‎ ‎(1) 若l1与圆相切，求l1的方程；‎ ‎(2) 若l1与圆相交于P、Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x＋2y＋2＝0的交点为N，判断AM·AN是否为定值？若是，则求出定值；若不是，请说明理由．‎ 解：(1) ①若直线l1的斜率不存在，即直线是x＝1，符合题意．‎ ‎②若直线l1斜率存在，设直线l1为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.‎ 由题意知，圆心(3，4)到已知直线l1的距离等于半径2，即＝2，解得k＝.‎ ‎∴所求直线方程是x＝1或3x－4y－3＝0.‎ ‎(2) (解法1)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.‎ 由得N.‎ 又直线CM与l1垂直，‎ 由得M.‎ ‎∴ AM·AN＝·‎ ‎ ‎＝·＝6为定值．‎ 故AM·AN是定值，且为6.‎ ‎(解法2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx－y－k＝0.‎ 由得N.‎ 再由 得(1＋k2)x2－(2k2＋8k＋6)x＋k2＋8k＋21＝0.‎ ‎∴x1＋x2＝，得M.‎ 以下同解法1.‎ ‎(解法3)用几何法 连结CA并延长交l2于点B，kAC＝2，kl2＝－，‎ ‎∴CB⊥l2.如图所示，△AMC∽△ABN，则＝，‎ 可得AM·AN＝AC·AB＝2·＝6，是定值．‎ 题型3　圆的切线问题 例3　求半径为4，与圆x2＋y2－4x－2y－4＝0相切，且和直线y＝0相切的圆的方程．‎ 解：由题意，设所求圆的方程为圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.‎ 圆C与直线y＝0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a，4)或C2(a，－4)．又已知圆x2＋y2－4x－2y－4＝0的圆心A的坐标为(2，1)，半径为3.若两圆相切，则|CA|＝4＋3＝7或|CA|＝4－3＝1.‎ ‎① 当C1(a，4)时，有(a－2)2＋(4－1)2＝72或(a－2)2＋(4－1)2＝12(无解)，故可得a＝2±2.∴ 所求圆方程为(x－2－2)2＋(y－4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y－4)2＝42.‎ ‎② 当C2(a，－4)时，(a－2)2＋(－4－1)2＝72或(a－2)2＋(－4－1)2＝12(无解)，故a＝2±2.‎ ‎∴ 所求圆的方程为(x－2－2)2＋(y＋4)2＝42或(x－2＋2)2＋(y＋4)2＝42.‎ 自点A(－3，3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切．求：‎ ‎(1) 光线l和反射光线所在的直线方程；‎ ‎(2) 光线自A到切点所经过的路程．‎ 解：根据对称关系，首先求出点A的对称点A′的坐标为，其次设过A′的圆C的切线方程为 y＝k－3.‎ 根据d＝r，即求出圆C的切线的斜率为k＝或k＝，‎ 进一步求出反射光线所在的直线的方程为 ‎4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0.‎ 最后根据入射光与反射光关于x轴对称，‎ 求出入射光所在直线方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0.‎ 光路的距离为，可由勾股定理求得 ＝－＝7.‎ ‎【示例】　(本题模拟高考评分标准，满分14分)‎ 直线l过点(－4，0)且与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25交于A，B两点，如果AB＝8，求直线l的方程．‎ 学生错解：解：设直线l的方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，即＝3，解得k＝－，此时直线方程为5x＋12y＋20＝0.‎ 审题引导： (1) 如何设过定点的直线的方程？(2) 圆中弦长的问题，通常作怎样的辅助线构造直角三角形来解决？‎ 规范解答： 解：过点(－4，0)的直线若垂直于x轴，经验证符合条件，即方程为x＋4＝0满足题意；(4分)‎ 若存在斜率，设其直线方程为y＝k(x＋4)，由被圆截得的弦长为8，可得圆心(－1，2)到直线y＝k(x＋4)的距离为3，‎ 即＝3，解得k＝－，(10分)‎ 此时直线方程为5x＋12y＋20＝0，(12分)‎ 综上直线方程为5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0.(14分)‎ 错因分析： 1. 解答本题易误认为斜率k一定存在从而漏解.2. 对于过定点的动直线设方程时，可结合题意或作出符合题意的图形分析斜率k是否存在，以避免漏解．‎ ‎1. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是____________．‎ 答案： 解析：∵ 圆C的方程可化为(x－4)2＋y2＝1，∴ 圆C的圆心为(4，0)，半径为1.由题意知，直线y＝kx－2上至少存在一点A(x0，kx0－2)，以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴ 存在x0∈R，使得AC≤1＋1成立，即ACmin≤2.‎ ‎∵ ACmin即为点C到直线y＝kx－2的距离，‎ ‎∴ ≤2，解得0≤k≤.∴ k的最大值是.‎ ‎2. 已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是________．‎ 答案： 解析：易知圆心坐标是(1，0)，圆的半径是1，直线l的方程是y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0，根据点到直线的距离公式得＜1，即k2＜，解得－＜k＜.‎ ‎3. 直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若MN≥2，则k的取值范围是________．‎ 答案： 解析：设圆心C(2，3)到直线y＝kx＋3的距离为d，若MN≥2，则d2＝r2－≤4－3＝1，即≤1，‎ 解得－≤k≤.‎ ‎4. 若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是________．‎ 答案：4‎ 解析：依题意得OO1＝＝5，且△OO1A是直角三角形，S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝＝4.‎ ‎5. 如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，右焦点为F.若C的右准线l的方程为x＝4，离心率e＝.‎ ‎(1) 求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2) 设点P为准线l上一动点，且在x轴上方．圆M经过O、F、P三点，求当圆心M到x轴的距离最小时圆M的方程．‎ 解：(1) 由题意，设椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，则解得a＝2，c＝2.从而b2＝a2－c2＝4.所以所求椭圆C的标准方程为＋＝1.‎ ‎(2) (解法1)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0.‎ 线段OF的垂直平分线方程为x＝1.①‎ 因为线段FP的中点为，斜率为，‎ 所以FP的垂直平分线方程为y－＝－(x－3)，即y＝－x＋＋.②‎ 联立①②，解得即圆心M.‎ 因为t>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即t＝2时，圆心M到x轴的距离最小，此时圆心为M(1，2)，半径为OM＝3.故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝9.‎ ‎(解法2)由(1)知F(2，0)．由题意可设P(4，t)，t>0.因为圆M过原点O，故可设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＝0.将点F、P的坐标代入得解得 所以圆心M的坐标为，即(1，＋)．因为t>0，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即t＝2时，圆心M到x轴的距离最小，此时E＝－4.故所求圆M的方程为x2＋y2－2x－4y＝0.‎ ‎6. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M、N均在直线x＝5上．圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为r1＝13；圆弧C2过点A(29，0)．‎ ‎(1) 求圆弧C2所在圆的方程；‎ ‎(2) 曲线C上是否存在点P，满足PA＝PO？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由；‎ ‎(3) 已知直线l：x－my－14＝0与曲线C交于E、F两点，当EF＝33时，求坐标原点O到直线l的距离．‎ 解：(1) 由题意得，圆弧C1所在圆的方程为x2＋y2＝169.令x＝5，解得M(5，12)，N(5，－12)，又C2过点A(29，0)，设圆弧C2所在圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，‎ 则　解得 所以圆弧C2所在圆的方程为x2＋y2－28x－29＝0.‎ ‎(2) 假设存在这样的点P(x，y)，则由PA＝PO，得(x－29)2＋y2＝30(x2＋y2)，即x2＋y2＋2x－29＝0.‎ 由 解得x＝－70(舍去)；‎ 由 解得x＝0(舍去)．所以这样的点P不存在．‎ ‎(3) 因为圆弧C1、C2所在圆的半径分别为r1＝13，r2＝15，因为EF>2r1，EF>2r2，所以E、F两点分别在两个圆弧上．设点O到直线l的距离为d，因为直线l恒过圆弧C2所在圆的圆心(14，0)，所以EF＝15＋＋，‎ 即＋＝18，解得d2＝，所以点O到直线l的距离为.‎ ‎1. 已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么·的最小值为________．‎ 答案：－3＋2 解析：设∠APB＝2θ，||＝x，则·＝||·||·cos2θ＝||2cos2θ＝(||2－1)·(1－2sin2θ)＝(x2－1)·＝x2－2－1＋≥－3＋2，当且仅当x2＝，即x＝时取等号．‎ ‎2. 若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，则b的取值范围是________．‎ 答案：[1－2，3]‎ 解析：y＝3－变形为(x－2)2＋(y－3)2＝4(0≤x≤4，1≤y≤3)，表示以(2，3)为圆心，2为半径的下半圆，如图所示．‎ 若直线y＝x＋b与曲线y＝3－有公共点，只需直线y＝x＋b在图中两直线之间(包括图中两条直线)，y＝x＋b与下半圆相切时，圆心到直线y＝x＋b的距离为2，即＝2，解得b＝1－2或b＝1＋2(舍去)，‎ ‎∴b的取值范围为1－2≤b≤3.‎ ‎3. 已知圆C过点P(1，1)，且与圆M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r＞0)关于直线x＋y＋2＝0对称．‎ ‎(1) 求圆C的方程；‎ ‎(2) 过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A、B，且直线PA和直线PB的倾斜角互补，O为坐标原点，试判断直线OP和AB是否平行？请说明理由．‎ 解：(1) 设圆心C(a，b)，则 解得则圆C的方程为x2＋y2＝r2，将点P的坐标代入得r2＝2，‎ 故圆C的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎(2) 由题意知，直线PA和直线PB的斜率存在，且互为相反数，故可设PA：y－1＝k(x－1)，‎ PB：y－1＝－k(x－1)，由得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0.因为点P的横坐标x＝1一定是该方程的解，故可得xA＝.同理可得xB＝，所以kAB＝＝＝＝1＝kOP，‎ 所以，直线AB和OP一定平行．‎ ‎4. 已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点．‎ ‎(1) 求证：△AOB的面积为定值；‎ ‎(2) 设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M、N，若|OM|＝|ON|，求圆C的方程；‎ ‎(3) 在(2)的条件下，设P、Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C的动点，求|PB|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．‎ 解：(1) 由题设知，圆C的方程为(x－t)2＋＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则A(2t，0)；当x＝0时，y＝0或，则B， ‎ ‎∴ SΔAOB＝|OA|·|OB|＝|2t|·＝4为定值．‎ ‎(2) ∵ |OM|＝|ON|，则原点O在MN的中垂线上，设MN的中点为H，则CH⊥MN，∴ C、H、O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，∴ t＝2或t＝－2，‎ ‎∴ 圆心C(2，1)或C(－2，－1)∴ 圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2‎ ‎＋(y＋1)2＝5，由于当圆方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去. ‎ ‎∴ 圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5‎ ‎(3) 点B(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－r＝－＝3－＝2. ‎ 所以|PB|＋|PQ|的最小值2，直线B′C的方程为y＝x，则直线B′C与直线x＋y＋2＝0的交点P的坐标为.‎ ‎1. 两圆位置关系的判断常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．‎ ‎2. 圆的弦长的常用求法：‎ ‎(1) 几何法：设圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则＝r2－d2；‎ ‎(2) 代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：‎ AB＝|x1－x2|＝.‎