高考试题——数学理四川卷解析版

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高考试题——数学理四川卷解析版

‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)‎ 数 学(理工农医科)‎ 第Ⅰ卷 本试卷共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ 参考公式:‎ 如果事件互斥,那么 球的表面积公式 ‎ ‎ 其中表示球的半径 如果事件相互独立,那么 球的体积公式 ‎ ‎ 其中表示球的半径 ‎ ‎ 一、选择题:‎ ‎1.设集合则 A. B.  C. D.‎ ‎【考点定位】本小题考查解含有绝对值的不等式、一元二次不等式,考查集合的运算,基础题。‎ 解析:由题,故选择C。‎ 解析2:由故,故选C.‎ ‎2.已知函数连续,则常数的值是 A.2   B.3    C.4    D.5w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查函数的连续性,考查分段函数,基础题。‎ 解析:由题得,故选择B。‎ 解析2:本题考查分段函数的连续性.由,,由函数的连续性在一点处的连续性的定义知 ‎,可得.故选B.‎ ‎3.复数的值是 A.-1  B.1     C.- D.‎ ‎【考点定位】本小题考查复数的运算,基础题。‎ 解析:,故选择A。‎ ‎4.已知函数,下面结论错误的是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上是增函数 C.函数的图像关于直线对称 D.函数是奇函数 ‎【考点定位】本小题考查诱导公式、三角函数的奇偶性、周期、单调性等,基础题。(同文4)‎ 解析:由函数的可以得到函数是偶函数,所以选择D.‎ ‎5.如图,已知六棱锥的底面是正六边形,,则下列结论正确的是 A.   B.平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ C. 直线∥平面 D.‎ ‎【考点定位】本小题考查空间里的线线、线面关系,基础题。(同文6)‎ 解:由三垂线定理,因AD与AB不相互垂直,排除A;作于,‎ 因面面ABCDEF,而AG在面ABCDEF上的射影在AB上,而AB与BC不相互垂直,故排除B;由,而EF是平面PAE的斜线,故排除C,故选择D。‎ 解析2:设低面正六边形边长为,则,由平面可知,且,所以在中有直线与平面所成的角为,故应选D。‎ ‎6.已知为实数,且。则“”是“”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【考点定位】本小题考查不等式的性质、简单逻辑,基础题。(同文7)‎ 解析:推不出;但,故选择B。‎ 解析2:令,则;由可得,因为,则,所以。故“”是“”的必要而不充分条件。‎ ‎7.已知双曲线的左右焦点分别为,其一条渐近线方程为,点在该双曲线上,则=‎ A. B. C .0 D. 4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义,基础题。(同文8)‎ 解析:由题知,故,‎ ‎∴,故选择C。‎ 解析2:根据双曲线渐近线方程可求出双曲线方程,则左、右焦点坐标分别为,再将点代入方程可求出,则可得,故选C。‎ ‎8.如图,在半径为3的球面上有三点,,球心到平面的距离是,则两点的球面距离是 A. B. C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查球的截面圆性质、球面距,基础题。(同文9)‎ 解析:由知截面圆的半径 ‎,故,所以两点的球面距离为,故选择B。‎ 解析2:过球心作平面的垂线交平面与,,则在直线上,由于,,所以,由为等腰直角三角形可得,所以为等边三角形,则两点的球面距离是。‎ ‎9.已知直线和直线,抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是 A.2 B‎.3 C. D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,综合题。‎ 解析:直线为抛物线的准线,由抛物线的定义知,P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离,故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小,最小值为到直线的距离,即,故选择A。‎ 解析2:如下图,由题意可知 ‎10.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨。销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨,B原料不超过18吨,那么该企业可获得最大利润是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A. 12万元 B. 20万元 C. 25万元 D. 27万元w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查简单的线性规划,基础题。(同文10)‎ 解析:设甲、乙种两种产品各需生产、吨,可使利润最大,故本题即 已知约束条件,求目标函数的最大值,可求出最优解为,故,故选择D。‎ ‎11.3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且只有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A. 360 B. ‎188 C. 216 D. 96 ‎ ‎【考点定位】本小题考查排列综合问题,基础题。‎ 解析:6位同学站成一排,3位女生中有且只有两位女生相邻的排法有种,其中男生甲站两端的有,符合条件的排法故共有188‎ 解析2:由题意有,选B。‎ ‎ 12.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数,且对任意实数都有,则的值是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ A.0 B. C.1 D. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 【考点定位】本小题考查求抽象函数的函数值之赋值法,综合题。(同文12)‎ 解析:令,则;令,则 由得,所以 ‎,故选择A。‎ ‎2009年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)‎ 数 学(理科)‎ 第Ⅱ卷 考生注意事项:‎ ‎ 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,在试题卷上书写作答无效.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.‎ ‎13.的展开式的常数项是 (用数字作答)w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查二项式展开式的特殊项,基础题。(同文13)‎ 解析:由题知的通项为,令得,故常数项为。‎ ‎14.若⊙与⊙相交于A、B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是 w ‎ ‎【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识,综合题。‎ 解析:由题知,且,又,所以有,∴。‎ ‎15.如图,已知正三棱柱的各条棱长都相等,是侧 棱的中点,则异面直线所成的角的大小是 。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎【考点定位】本小题考查异面直线的夹角,基础题。‎ 解析:不妨设棱长为2,选择基向量,则 ‎,故填写。‎ 法2:取BC中点N,连结,则面,∴是在面上的射影,由几何知识知,由三垂线定理得,故填写。‎ ‎16.设是已知平面上所有向量的集合,对于映射,记的象为。若映射满足:对所有及任意实数都有,则称为平面上的线性变换。现有下列命题:‎ ①设是平面上的线性变换,则 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ②对设,则是平面上的线性变换;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ③若是平面上的单位向量,对设,则是平面上的线性变换;‎ ④设是平面上的线性变换,,若共线,则也共线。‎ 其中真命题是 (写出所有真命题的序号)‎ ‎【考点定位】本小题考查新定义,创新题。‎ 解析:令,由题有,故①正确;‎ 由题,,即 ‎,故②正确;‎ 由题,,即 ‎,故③不正确;‎ 由题,,即也共线,故④正确;‎ 三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17. (本小题满分12分)‎ 在中,为锐角,角所对应的边分别为,且 ‎(I)求的值;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎(II)若,求的值。‎ 本小题主要考查同角三角函数间的关系,两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。‎ 解:(Ⅰ)、为锐角,,‎ 又,‎ ‎,,‎ ‎ ‎ ‎ …………………………………………6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知,.‎ ‎ 由正弦定理得 ‎,即, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ,‎ ‎ ,‎ ‎ ……………………………………12分 ‎18. (本小题满分12分)‎ 为振兴旅游业,四川省2009年面向国内发行总量为2000万张的熊猫优惠卡,向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡),向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)。某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中是省外游客,其余是省内游客。在省外游客中有持金卡,在省内游客中有持银卡。‎ ‎(I)在该团中随机采访3名游客,求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率;‎ ‎(II)在该团的省内游客中随机采访3名游客,设其中持银卡人数为随机变量,求 的分布列及数学期望。‎ 本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算,考察运用概率只是解决实际问题的能力。‎ ‎ 解:(Ⅰ)由题意得,省外游客有27人,其中9人持金卡;省内游客有9人,其中6人持银卡。设事件为“采访该团3人中,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”,‎ ‎ 事件为“采访该团3人中,1人持金卡,0人持银卡”,‎ ‎ 事件为“采访该团3人中,1人持金卡,1人持银卡”。 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 所以在该团中随机采访3人,恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率是。‎ ‎…………………………………………………………6分 ‎(Ⅱ)的可能取值为0,1,2,3‎ ‎ , ‎ ‎ ,,‎ ‎ 所以的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎ 所以, ……………………12分 ‎ ‎19(本小题满分12分)如图,正方形 所在平面与平面四边形所在平面互相垂直,△是等腰直角三角形,‎ ‎(I)求证:;‎ ‎(II)设线段的中点为,在直线上是否存在一点,使得?若存在,请指出点的位置,并证明你的结论;若不存在,请说明理由;‎ ‎(III)求二面角的大小。‎ 本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角 等基础知识,考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识,考察应用向量知识解决数学问题的能力。‎ 解法一:‎ ‎(Ⅰ)因为平面⊥平面,平面,‎ 平面平面,‎ 所以⊥平面 所以⊥.‎ 因为为等腰直角三角形, ,‎ 所以 又因为,‎ 所以,‎ 即⊥,‎ 所以⊥平面。 ……………………………………4分 ‎ (Ⅱ)存在点,当为线段AE的中点时,PM∥平面 ‎ 取BE的中点N,连接AN,MN,则MN∥=∥=PC ‎ 所以PMNC为平行四边形,所以PM∥CN ‎ 因为CN在平面BCE内,PM不在平面BCE内,‎ ‎ 所以PM∥平面BCE ……………………………………8分 ‎ (Ⅲ)由EA⊥AB,平面ABEF⊥平面ABCD,易知,EA⊥平面ABCD 作FG⊥AB,交BA的延长线于G,则FG∥EA。从而,FG⊥平面ABCD 作GH⊥BD于G,连结FH,则由三垂线定理知,BD⊥FH 因此,∠AEF为二面角F-BD-A的平面角 因为FA=FE, ∠AEF=45°,‎ 所以∠AFE=90°,∠FAG=45°.‎ 设AB=1,则AE=1,AF=. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ FG=AF·sinFAG=‎ 在Rt△FGH中,∠GBH=45°,BG=AB+AG=1+=,‎ GH=BG·sinGBH=·=‎ 在Rt△FGH中,tanFHG= = ‎ 故二面角F-BD-A的大小为arctan. ………………………………12分 解法二:‎ ‎(Ⅰ)因为△ABE为等腰直角三角形,AB=AE,‎ 所以AE⊥AB.‎ 又因为平面ABEF⊥平面ABCD,AE平面ABEF,‎ 平面ABEF∩平面ABCD=AB,‎ 所以AE⊥平面ABCD.‎ 所以AE⊥AD.‎ 因此,AD,AB,AE两两垂直,以A为坐标原点,建立 如图所示的直角坐标系A-xyz.‎ 设AB=1,则AE=1,B(0,1,0),D (1, 0, 0 ) ,‎ E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).‎ 因为FA=FE, ∠AEF = 45°,‎ 所以∠AFE= 90°.‎ 从而,.‎ 所以,,.‎ ‎,.‎ 所以EF⊥BE, EF⊥BC.‎ 因为BE平面BCE,BC∩BE=B ,‎ 所以EF⊥平面BCE.‎ ‎ (Ⅱ) M(0,0,).P(1, ,0).‎ 从而=(,).‎ 于是 所以PM⊥FE,又EF⊥平面BCE,直线PM不在平面BCE内,‎ 故PM∥平面BCE. ………………………………8分 ‎(Ⅲ) 设平面BDF的一个法向量为,并设=(x,y,z)‎ ‎=(1,1,0),‎ ‎ 即 去y=1,则x=1,z=3,从=(0,0,3)‎ 取平面ABD的一个法向量为=(0,0,1)‎ 故二面角F-BD-A的大小为. ……………………………………12分 ‎20(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的左右焦点分别为,离心率,右准线方程为。‎ ‎(I)求椭圆的标准方程;‎ ‎(II)过点的直线与该椭圆交于两点,且,求直线的方程。‎ 本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。‎ ‎ 解:(Ⅰ)有条件有,解得。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎ 。‎ ‎ 所以,所求椭圆的方程为。…………………………………4分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知、。‎ ‎ 若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1.‎ ‎ 将x=-1代入椭圆方程得。‎ ‎ 不妨设、,‎ ‎ .‎ ‎ ,与题设矛盾。‎ ‎ 直线l的斜率存在。‎ ‎ 设直线l的斜率为k,则直线的方程为y=k(x+1)。‎ 设、,‎ 联立,消y得。‎ 由根与系数的关系知,从而,‎ 又,,‎ ‎。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎。‎ 化简得 解得 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ ‎21. (本小题满分12分)‎ 已知函数。‎ ‎(I)求函数的定义域,并判断的单调性;‎ ‎(II)若 ‎(III)当(为自然对数的底数)时,设,若函数的极值存在,求实数的取值范围以及函数的极值。‎ 本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。‎ 解:(Ⅰ)由题意知 当 当 当….(4分)‎ ‎(Ⅱ)因为 由函数定义域知>0,因为n是正整数,故0‎ 对一切大于1的奇数n恒成立 只对满足的正奇数n成立,矛盾。‎ 另一方面,当时,对一切的正整数n都有 事实上,对任意的正整数k,有 ‎ ‎ ‎ ‎ 当n为偶数时,设 则 ‎ < w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ‎ 当n为奇数时,设 则 ‎<‎ 对一切的正整数n,都有 综上所述,正实数的最小值为4………………………….14分
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