专题 突破两类解三角形问题第二篇高考数学压轴题命题区间探究与突破解析

专题 突破两类解三角形问题第二篇高考数学压轴题命题区间探究与突破解析

一．方法综述 解三角形问题是高考高频考点，命题主要有两类，一是解三角形的“基本问题”----求角、求边、求面积；二是解三角形中的综合问题----最值与范围问题.对于第一类问题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意三者的关系.对于第二类问题，要注意运用三角形中的不等关系：（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少；（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：‎ ‎，其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效.‎ 本专题举例说明解答两类解三角形问题的方法、技巧.‎ 二．解题策略 类型一 三角形中求边、求角、求面积问题 ‎【例1】【2018届河北省衡水金卷一模】已知的内角的对边分别为，且，，点是的重心，且，则的外接圆的半径为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】A ‎∴，化简，‎ 得，由余弦定理，得 由正弦定理得，△ABC的外接圆半径R.‎ 故选：A ‎【指点迷津】‎ ‎1.解三角形问题中，边角的求解是所有问题的基本，通常有以下两个解题策略：‎ ‎(1)边角统一化：运用正弦定理和余弦定理化角、化边，通过代数恒等变换求解；‎ ‎(2)几何问题代数化：通过向量法、坐标法将问题代数化，借用函数与方程来求解，对于某些问题来说此法也是极为重要的．学科#网 ‎2. 解三角形的常用方法：‎ ‎（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解 ‎（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解 ‎【举一反三】‎ ‎【2018届山东省潍坊市高三二模】在中， , , 分别是角， ， 的对边，且，则=（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 故选C.‎ 类型二 三角形中的最值、范围问题 ‎【例2】【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形中，，设与面积分别为，则的最大值为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【例3】【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ 由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.‎ ‎【指点迷津】‎ 三角形中的最值、范围的求法 ‎（1）目标函数法：根据已知和所求最值、范围，选取恰当的变量，利用正弦定理与余弦定理建立所求的目标函数，然后根据目标函数解析式的结构特征求解最值、范围．学科#网 ‎（2）数形结合法：借助图形的直观性，利用所学平面图形中的相关结论直接判断最值、范围．‎ ‎（3）利用均值不等式求得最值 ‎【举一反三】‎ ‎1.【【衡水金卷】2018届四省名校第三次大联考】如图，在中，已知，为上一点，且满足，若的面积为，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎2.【衡水金卷信息卷三】已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由的三边分别为，，可得：‎ ‎，‎ 可知：‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 可知 可知当时，‎ 学科&网 则的最大值的取值范围为 三．强化训练 ‎1.【2018届东莞市高三第二次考试】在中，若，则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎2．【2018届湖南省衡阳市高三二模】在中，已知为的面积)，若,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】 ，，，，又 ，，，，故选C.‎ ‎3．【2018届四川省绵阳市高三三诊】四边形中， ， ，设、的面积分别为、，则当取最大值时， __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设, ‎ ‎,当时,取得最大值,故填.学科!网 ‎4．【2018届广东省肇庆市高三第三次模拟】已知的角对边分别为，若，且的面积为，则的最小值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题得因为的面积为，所以因为，所以故填.‎ ‎5．【2018届辽宁省辽南协作校高三下学期一模】设的内角所对的边分别为且+,则的范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎6．【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知锐角的内角的对边分别为,且,则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 由题意，根据正弦定理化简得，‎ ‎ 又由，则，‎ ‎ 所以，‎ ‎ 整理得，又，所以，‎ ‎ 又由余弦定理得，‎ 则，当且仅当时等号成立，‎ 即，所以的最大值为．‎ ‎7．【2018届安徽省“皖南八校”高三第三次（4月）联考】四边形中，,当边 最短时，四边形的面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当边最短时，就是时，连接，应用余弦定理可以求得，并且可以求得，从而求得，从而求得，利用平方关系求得，从而求得，，所以四边形的面积，故答案是.学科&网 ‎8.【2018届浙江省杭州市高三第二次检测】在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c．若对任意λ∈R，不等式恒成立，则的最大值为_____．‎ ‎【答案】2‎ ‎9. 【2018届百校联盟高三TOP20四月联考全国一卷】如图，在中，分别为的中点，，若，则______. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由正弦定理可得，结合向量垂直的充要条件和向量的线性运算法则可得，据此结合余弦定理可得.‎ 详解：设，‎ 由可得：，‎ 由可得：，‎ 整理可得：，‎ 即，即，‎ ‎，‎ ‎，‎ 据此可得：.学科！网 ‎10．【2018年辽宁省部分重点中学协作体高三模拟】在中，角所对的边分别为.若，，若，则角的大小为__________．‎ ‎【答案】‎