高考数学答题模板可以让你拿高分
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模板1 三角函数的性质问题
例1 已知函数f(x)＝cos2，g(x)＝1＋sin 2x.
(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；
(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．
审题破题 (1)由x＝x0是y＝f(x)的对称轴可得g(x0)取到f(x)的最值；(2)将h(x)化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式．
解 (1)f(x)＝，
因为x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，
所以2x0＋＝kπ (k∈Z)，
即2x0＝kπ－ (k∈Z)．
所以g(x0)＝1＋sin 2x0＝1＋sin，k∈Z.
当k为偶数时，g(x0)＝1＋sin＝1－＝.
当k为奇数时，g(x0)＝1＋sin ＝1＋＝.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)
＝[1＋cos]＋1＋sin 2x
＝＋
＝sin＋.
当2kπ－≤2x＋≤2kπ＋ (k∈Z)，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，
函数h(x)＝sin＋是增函数．
故函数h(x)的单调递增区间为
(k∈Z)．
第一步：三角函数式的化简，一般化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式，即化为“一角、
一次、一函数”的形式；
第二步：由y＝sin x、y＝cos x的性质，将ωx＋φ看做一个整体，解不等式，求角的
范围或函数值的范围；
第三步：得到函数的单调性或者角、函数值的范围，规范写出结果；
第四步：反思回顾，检查公式使用是否有误，结果估算是否有误．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝2cos x·sin－sin2x＋sin xcos x＋1.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的最大值及最小值；
(3)写出函数f(x)的单调递增区间．
解 f(x)＝2cos x－sin2x＋sin x·cos x＋1
＝2sin xcos x＋(cos2x－sin2x)＋1
＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝2sin＋1.
(1)函数f(x)的最小正周期为＝π.
(2)∵－1≤sin≤1，
∴－1≤2sin＋1≤3.
∴当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最大值3；
当2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z时，f(x)取得最小值－1.
(3)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．
模板2 三角函数与向量、三角形
例2 在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且(tan A－tan B)＝1＋tan A·tan B，又已知向量m＝(sin A，cos A)，n＝(cos B，sin B)，求|3m－2n|的取值范围．
审题破题 由已知A，B关系式化简，利用向量的数量积求出|3m－2n|并化简为一个角的三角函数形式．
解 因为(tan A－tan B)＝1＋tan A·tan B，
所以＝，即tan(A－B)＝，
又△ABC为锐角三角形，则0
0，且a≠1)的图象上的一点．等比数列{an}的
前n项和为f(n)－c.数列{bn} (bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋ (n≥2)．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)若数列的前n项和为Tn，问满足Tn>的最小正整数n是多少？
解 (1)∵f(1)＝a＝，∴f(x)＝x.
由题意知，a1＝f(1)－c＝－c，
a2＝[f(2)－c]－[f(1)－c]＝－，
a3＝[f(3)－c]－[f(2)－c]＝－.
又数列{an}是等比数列，
∴a1＝＝＝－＝－c，∴c＝1.
又公比q＝＝，∴an＝－·n－1
＝－2·n (n∈N*)．
∵Sn－Sn－1＝(－)(＋)
＝＋ (n≥2)．
又bn>0，>0，∴－＝1.
∴数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，
＝1＋(n－1)×1＝n，即Sn＝n2.
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，
当n＝1时，b1＝1也适合此通项公式．
∴bn＝2n－1 (n∈N*)．
(2)Tn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝×＋×＋×＋…＋×
＝×＝.
由Tn＝>，得n>，
∴满足Tn>的最小正整数n的值为101.
模板6 概率与统计问题
例6 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,
140,110,160,220,140,160.
(1)完成下列频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
审题破题 (1)直接根据已知数据计算频率填表；(2)将频率视为概率，将所求事件写成几个互斥事件的和，然后根据概率加法公式计算．
解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，160毫米的有7个，200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)由题意知，当X＝70时，Y＝460；
X每增加10，Y增加5，
故Y＝460＋5×＝＋425.
P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
＝P(Y<490或Y>530)＝P(X<130或X>210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝＋＋＝.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为.
第一步：理解题目中的数据和变量的意义，完成频率分布表；
第二步：利用互斥事件的概率公式求概率、作答.
跟踪训练6 (2013·陕西)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
(1)为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
6
(2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评 委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解 (1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
150
50
抽取人数
3
6
9
9
3
(2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：
由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
模板7 圆锥曲线的定点问题
例7 已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为－1，离心率为e＝.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点(1,0)作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使·
为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
审题破题 (1)利用待定系数法求E的方程；(2)探求定点可以先根据特殊情况找出点，再对一般情况进行证明．
解 (1)设椭圆E的方程为＋＝1(a>b>0)，
由已知得解得
所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
(2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝(x1－m，y1)，＝(x2－m，y2)，·＝(x1－m)(x2－m)＋y1y2＝x1x2－m(x1＋x2)＋m2＋y1y2.
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，
由得x2＋2k2(x－1)2－2＝0，
即(2k2＋1)x2－4k2x＋2k2－2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝－，
所以·＝－m·＋m2－
＝.
因为对于任意的k值，·为定值，
所以2m2－4m＋1＝2(m2－2)，得m＝.
所以M，此时，·＝－.
②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
则x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－，
由m＝，得·＝－.
综上，符合条件的点M存在，且坐标为.
第一步：引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是
直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；
第二步：列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程；
第三步：探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y－y0＝
k(x－x0)的形式，则k∈R时直线恒过定点(x0，y0)；若是动态的曲线方程，将动态的
曲线方程转化成f(x，y)＋λg(x，y)＝0的形式，则λ∈R时曲线恒过的定点即是f(x，
y)＝0与g(x，y)＝0的交点；
第四步：下结论；
第五步：回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是
以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.
跟踪训练7 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0)．
(1)若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
(2)设A，B为抛物线上的两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值．
(1)解 由已知得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，由题意知抛物线的焦点坐标为(1,0)，
因为点F到直线l的距离为，所以＝，
解得k＝±，所以直线l的斜率为±.
(2)证明 设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线AB不与x轴垂直，所以AB斜率存在，
所以直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，
直线AB的方程为y－y0＝(x－x0)，
联立方程得
消去x，得y2－y0y＋y＋x0(x0－4)＝0，
所以y1＋y2＝，
因为N为线段AB的中点，
所以＝y0，即＝y0，
所以x0＝2.即线段AB中点的横坐标为定值2.
模板8 圆锥曲线中的范围、最值问题
例8 已知双曲线－＝1(a>1，b>0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
审题破题 用a，b表示s可得关于a，b，c的不等式，进而转化成关于e的不等式，求e的范围．
解 设直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝，
同理可得点(－1,0)到直线l的距离为d2＝，
于是s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2，
可得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，
解得≤e2≤5.
由于e>1，故所求e的取值范围是.
第一步：提取.从题设条件中提取不等关系式；
第二步：解不等式.求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；
第三步：下结论.根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参
数的取值范围；
第四步：回顾反思.根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲
线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线的定义中的a，b，c的大小关
系等.
跟踪训练8 椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P(0，m)，与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)求m的取值范围．
解 (1)设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
设c>0，c2＝a2－b2，
由题意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.
故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1.
(2)设直线l的方程为y＝kx＋m(k≠0)，l与椭圆C的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(k2＋2)x2＋2kmx＋(m2－1)＝0，
Δ＝(2km)2－4(k2＋2)(m2－1)＝4(k2－2m2＋2)>0，(*)
x1＋x2＝，x1x2＝.
因为＝3，所以－x1＝3x2，
所以
所以3(x1＋x2)2＋4x1x2＝0.
所以3·2＋4·＝0.
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，
即k2(4m2－1)＋(2m2－2)＝0.
当m2＝时，上式不成立；
当m2≠时，k2＝，
由(*)式，得k2>2m2－2，
又k≠0，所以k2＝>0.
解得－10}．
f′(x)＝－＋1 (x>0)．
根据题意，有f′(1)＝－2，所以2a2－a－3＝0，解得a＝－1或a＝.
(2)解 f′(x)＝－＋1＝
＝ (x>0)．
①当a>0时，因为x>0，
由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>a；
由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得00，
由f′(x)>0得(x－a)(x＋2a)>0，解得x>－2a；
由f′(x)<0得(x－a)(x＋2a)<0，解得00，使得|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．
审题破题 (1)先求出f(x)，再求g(x)，然后讨论g(x)的单调区间，最值；(2)可构造函数h(x)＝g(x)－g，通过g(x)的单调性比较g(x)，g的大小；(3)对任意x>0若不存在x0，只需取一特殊值即可；若存在x0，一般利用最值解决．
解 (1)由题设易知f(x)＝ln x，
g(x)＝ln x＋，∴g′(x)＝，令g′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(0,1)时，g′(x)<0，
故(0,1)是g(x)的单调减区间，
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0.
故(1，＋∞)是g(x)的单调增区间，
因此，x＝1是g(x)的唯一极值点，且为极小值点，
从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.
(2)g＝－ln x＋x，
设h(x)＝g(x)－g＝2ln x－x＋，
则h′(x)＝－，
当x＝1时，h(1)＝0，即g(x)＝g，
当x∈(0,1)∪(1，＋∞)时，h′(x)<0，h′(1)＝0，
因此，h(x)在(0，＋∞)内单调递减，
当0h(1)＝0，即g(x)>g，
当x>1时，h(x)0，使|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立，即对任意x>0，
有ln x0，使|g(x)－g(x0)|<对任意x>0成立．
第一步：构造函数h(x)＝g(x)－g；
第二步：根据求单调性、极值的步骤探求函数h(x)的单调性；
第三步：根据h(x)的单调性比较h(x)和0的大小；
第四步：下结论，反思回顾.
跟踪训练10 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c＋ln x.
(1)当a＝b时，若函数f(x)在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围；
(2)设函数f(x)在x＝，x＝1处取得极值，且f(1)＝－1，若对任意的x∈，f(x)≤m恒成立，求m的取值范围．(参考数据：e≈2.7)
解 (1)∵a＝b时，f(x)＝ax2＋ax＋c＋ln x，
∴f′(x)＝2ax＋a＋＝ (x>0)．
当a＝0时，f′(x)＝>0，此时f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，∵x>0，∴2ax2＋ax＋1>0，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a<0时，设g(x)＝2ax2＋ax＋1，函数g(x)在上单调递减，且g(0)＝1>0，故在(0，＋∞)上，函数g(x)的符号不确定，即此时f′(x)的符号不确定，∴函数f(x)在
(0，＋ ∞)上不单调．
综上可知，a的取值范围是[0，＋∞)．
(2)∵f(x)在x＝，x＝1处取得极值，
∴f′(1)＝f′＝0，
即，∴，
即f′(x)＝＝，
且f(x)＝x2－3x＋c＋ln x.
又∵f(1)＝－1，∴1－3＋c＝－1，得c＝1，
∴f(x)＝x2－3x＋1＋ln x.
∵当x∈时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在上单调递增；
∵当x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在上单调递减；
∵当x∈(1,2]时，f′(x)>0，
∴函数f(x)在(1,2]上单调递增．
∴f(x)极大值＝f＝－＋1＋ln ＝－－ln 2，
而f(2)＝－1＋ln 2，f(2)－f＝－＋ln 4
＝ln 4－ln e ，由于4>e>e ，故f(2)>f，
∴f(x)max＝－1＋ln 2，∴m≥－1＋ln 2.
