2019-2020学年湖南省株洲市高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年湖南省株洲市高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年湖南省株洲市高二上学期期中数学（理）试题 一、单选题 ‎1．复数在复平面内，所对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】计算复数，求出它的代数形式，看它的实部和虚部的正负，即可判定所对应的点在第几象限．‎ ‎【详解】‎ 解：，‎ 因为，，故所对应的点在第二象限．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数几何意义，考查基本求解能力，是基础题．‎ ‎2．如图是导函数的图象，那么函数在下面哪个区间是减函数（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据导函数的图象，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．‎ ‎【详解】‎ 解：若函数单调递减，则， ‎ 由图象可知，时，， ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎3．有一段“三段论”推理是这样的：对于可导函数，如果，那么是函数的极值点．因为函数在处的导数值，所以是函数的极值点．以上推理中（ ）‎ A．小前提错误 B．大前提错误 C．推理形式错误 D．结论正确 ‎【答案】B ‎【解析】大前提：如果f′(x0)＝0，那么x＝x0是函数f(x)的极值点，错误．‎ ‎4．9件产品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，现在要从中抽出4件产品来检查，至少有两件一等品的种数是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：有两件一等品的种数，有三件一等品的种数，有四件一等品的种数, 所以至少有两件一等品的种数是，故选D．‎ ‎【考点】组合的应用．‎ ‎5．的展开式中，含的项的系数（　　）‎ A． B．121 C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得含的项的系数．‎ ‎【详解】‎ 解：的展开式中，‎ 含的项的系数为，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎6．函数在处有极值10，则点为（　　）‎ A． B．‎ C．或 D．不存在 ‎【答案】B ‎【解析】【详解】试题分析：，则，解得或，当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，舍去.当,,为极小值点,符合,故选B ‎【考点】1.用导数研究函数的极值；2.函数在某一点取极值的条件.‎ ‎【易错点睛】‎ 本题主要考查用导数研究函数的极值问题，要求掌握可导函数取得有极值的条件，是函数取得极值的必要不充分条件.求解之后要注意检验，本题中，当时，，此时在定义域上为增函数，无极值，不符合题意，舍去.本题容易错选A，认为两组解都符合，一定要注意检验.‎ ‎7．随机变量服从二项分布，且，则等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,所以,解得.即等于.故选B.‎ ‎8．，则（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】先利用积分定理即可求出用表示的定积分，再列出等式即可求得值．‎ ‎【详解】‎ 解：∵ ． ‎ 由题意得：， ‎ ‎∴． ‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本小题主要考查直定积分的简单应用、定积分、利用导数研究原函数等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．‎ ‎9．函数，若函数在上有3个零点，则的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将函数零点，可转化为两个函数的图象交点，通过求解函数的单调性与极值，结合研究出函数的图象的特征，由图象求出的取值范围即可．‎ ‎【详解】‎ 解：函数在上有3个零点，‎ 即函数，与两个函数的图象有三个交点，‎ 下研究函数图形的性质：‎ 由题意，‎ 令解得或，‎ 又，‎ 故在与上是增函数，在上是减函数，‎ 时，函数值对应为2，9，，9，‎ 其图象如图，‎ 可得，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根的存在性及根的个数的判断，正确解答本题，关键是将函数有零点的问题转化为两个函数有交点的问题，此转化的好处是转化后的两个函数的中有一个函数是确定的，实现了由不定到定的转化变，方便了研究问题，即求参数的范围．熟练利用导数研究函数的单调性也是解本题的关键，‎ ‎10．从5名志愿者中选出4人分别到、、、四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到、二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有（　　）‎ A．120种 B．24种 C．18种 D．36种 ‎【答案】D ‎【解析】根据题意，分两种情况讨论：①、甲、乙中只有1人被选中，②、甲、乙两人都被选中，根据分类计数原理可得 ‎【详解】‎ 解：根据题意，分两种情况讨论： ‎ ‎①、甲、乙中只有1人被选中，需要从甲、乙中选出1人，到，‎ 中的一个部门，其他三人到剩余的部门，有种选派方案． ‎ ‎②、甲、乙两人都被选中，安排到，部门，从其他三人中选出2人，到剩余的部门，有种选派方案， ‎ 综上可得，共有24+12=36中不同的选派方案， ‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，属于中档题．‎ ‎11．曲线，和直线围成的图形面积是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据题意画出区域，作图如下，‎ 由解得交点为（0，1），‎ ‎∴所求面积为：‎ ‎【考点】定积分及其应用 ‎12．已知函数在区间上是减函数，那么（ ）‎ A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由f（x）在[-1，2]上是减函数，知f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈[-1，2]，‎ 则f′(-1)=3-2b+c≤0,且f′(2)=12+4b+c≤0，⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤-，故选D.‎ ‎【考点】‎ 本题主要考查了函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．‎ 点评：解决该试题的关键是先对函数f（x）求导，然后令导数在[-1，2]小于等于0即可求出b+c的关系，得到答案．‎ 二、填空题 ‎13．随机变量服从正态分布，若，则______．‎ ‎【答案】0.6‎ ‎【解析】根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是，且，依据正态分布对称性，即可求得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是， ‎ 利用正态分布的对称性可得， ‎ 所以 ‎ 故答案为：0.6‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．‎ ‎14．曲线上的点到直线的最短距离是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵曲线y=ln(2x−1)，‎ ‎∴y′=,分析知直线2x−y+8=0与曲线y=ln(2x−1)相切的点到直线2x−y+8=0的距离最短 y′═=2,解得x=1,把x=1代入y=ln(2x−1)，‎ ‎∴y=0,∴点(1,0)到直线2x−y+8=0的距离最短，‎ ‎∴d==，‎ 故答案为：.‎ ‎15．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以和表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）。‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③事件与事件相互独立；‎ ‎④是两两互斥的事件；‎ ‎⑤的值不能确定，因为它与中空间哪一个发生有关 ‎【答案】‎ ‎【解析】16．一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）.‎ ‎○●○○●○○○●○○○○…‎ 若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2019个圆中有________个实心圆.‎ ‎【答案】62‎ ‎【解析】依次解出空心圆个数，…时对应圆的总个数．再根据规律求结果．‎ ‎【详解】‎ 解：∵时，圆的总个数是2； ‎ 时，圆的总个数是5，即； ‎ 时，圆的总个数是9，即； ‎ 时，圆的总个数是14，即； ‎ ‎…； ‎ ‎∴时，圆的总个数是． ‎ ‎∵， ‎ ‎， ‎ ‎∴在前2019个圆中，共有62个实心圆． ‎ 故答案为：62‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理，解答关键是从圆的个数的变化规律中寻求规律，后建立数列模型解决问题．‎ 三、解答题 ‎17．已知，，‎ ‎（1）求：，，的值；‎ ‎（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明.‎ ‎【答案】（1），， （2），证明见解析 ‎【解析】(1)根据递推式依次计算;‎ ‎(2)先验证时情况,假设时猜想成立,证明时结论正确即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎;‎ ‎（2）猜 ‎ 证明：下面用数学归纳法证明.‎ ‎①时，易证 ‎②假设时，（k≥1，k∈N），即： ‎ 则 由①，②可知，对任意，都成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是数列递推关系的应用及数学归纳法的应用，是基础题.‎ ‎18．用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数．‎ ‎（Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数；‎ ‎（Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；‎ ‎（Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数．‎ ‎【答案】（Ⅰ）共有30个符合题意的三位偶数。‎ ‎（Ⅱ）共有20个符合题意的“凹数 ‎（Ⅲ）共有28个符合题意的五位数 ‎【解析】试题分析：在正自然数中，零不能处在最高位，（1）偶数的个位数为偶数，所以只能为0，2，4，根据排列公式求出偶数个数即可；（2）由题意可知十位数可为0，1，2，分别从剩余的数字中取两个进行排列；（3）5个数字中只有两个奇数，所以可将1，3以及夹在中间的偶数看作整体，并与剩余的两个偶数进行排列计算．‎ 试题解析：（1）将所有的三位偶数分为两类：‎ ‎（i）若个位数为，则共有（个）；‎ ‎（ii）若个位数为或，则共有（个），‎ 所以，共有个符合题意的三位偶数．‎ ‎（2）将这些“凹数”分为三类：‎ ‎（i）若十位数字为，则共有（个）；‎ ‎（ii）若十位数字为，则共有（个）；‎ ‎（iii）若十位数字为，则共有（个），‎ 所以，共有个符合题意的“凹数”．‎ ‎（3）将符合题意的五位数分为三类：‎ ‎（i）若两个奇数数字在一、三位置，则共有（个）；‎ ‎（ii）若两个奇数数字在二、四位置，则共有（个）；‎ ‎（iii）若两个奇数数字在三、五位置，则共有（个），‎ 所以，共有个符合题意的五位数．‎ ‎【考点】排列的运用.‎ ‎19．在某校组织的高二女子排球比赛中，有、两个球队进入决赛，决赛采用7局4胜制．假设、两队在每场比赛中获胜的概率都是．并记需要比赛的场数为．‎ ‎（Ⅰ）求大于4的概率；‎ ‎（Ⅱ）求的分布列与数学期望．‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）依题意可知，的可能取值最小为4．当时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着连胜4场，或连胜4场，于是，由对立事件的概率计算公式，可得的概率为．（Ⅱ）的可能取值为4，5，6，7，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．‎ ‎【详解】‎ 解：（Ⅰ）依题意可知，的可能取值最小为4．‎ 当时，整个比赛只需比赛4场即结束，这意味着连胜4场，或连胜4场，于是，由互斥事件的概率计算公式，可得．‎ ‎∴．‎ 即的概率为．                                  ‎ ‎（Ⅱ）∵的可能取值为4，5，6，7，可得 ‎，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为：‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ 的数学期望为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎20．已知函数 ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（3）求证：对任意的正数与，恒有．‎ ‎【答案】（1）单调增区间 ，单调减区间；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）单调增区间 ，单调减区间；（2）切线方程为 ；（3）所证不等式等价为，，由（1）可知，，所以成立。‎ 试题解析：‎ ‎（1）单调增区间 ，单调减区间 ‎（2）切线方程为 ‎ ‎（3）所证不等式等价为而，设则，由（1）结论可得，由此，所以即，记代入得证.‎ 点睛：本题考查导数的综合应用。在证明，等价证明，利用减元思想，记，构造函数，通过求导得到，即，得证。‎ ‎21．在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：‎ 作物产量(kg)‎ ‎300‎ ‎500‎ 概率 ‎0.5‎ ‎0.5‎ 作物市场价格(元/kg)‎ ‎6‎ ‎10‎ 概率 ‎0.4‎ ‎0.6‎ ‎（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；‎ ‎（2）若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2000元的概率．‎ ‎【答案】（1）的分布列为 X ‎ ‎4000 ‎ ‎2000 ‎ ‎800 ‎ P ‎ ‎0．3 ‎ ‎0．5 ‎ ‎0．2 ‎ ‎ ‎ ‎（2）．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据条件中的表格可知，作物产量与市场价的可能的组合总共有四种情况：产量，市场价元；产量，市场价元；产量，市场价元；产量，市场价元；因此作物的利润的计算也应分四种情况进行计算：，，，，若设表示事件“作物产量为”，表示事件“作物市场价格为元”，则取到各个值的概率为：，‎ ‎，‎ ‎，即可知的分布列；（2）由（1）可知，事件等价于事件或，因此，而所求事件的概率等价于季的利润都不少于元或季当中有季利润不少于元，根据二项分布的相关内容，可知所求概率为．‎ 试题解析：（1）设表示事件“作物产量为”，表示事件“作物市场价格为元/kg”，‎ 由题设知，，（注：基本事件叙述各1分）2分 ‎∵利润＝产量×市场价格－成本，‎ ‎∴所有可能的取值为：‎ ‎，，‎ ‎，， 4分 ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴的分布列为 X ‎ ‎4000 ‎ ‎2000 ‎ ‎800 ‎ P ‎ ‎0．3 ‎ ‎0．5 ‎ ‎0．2 ‎ ‎ ‎ ‎（2）设表示事件“第季利润不少于元”， 8分 由题意知，，相互独立，由（1）知，‎ ‎，‎ ‎∴这季中至少有季的利润不少于元的概率为 ‎． 12分 ‎【考点】1．相互独立事件的概率乘法公式；2．离散型随机变量及其分布列．‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）讨论的单调性；‎ ‎（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先求得再根据1,0,2a的大小进行分类确定的单调性；（Ⅱ）借助第（Ⅰ）问的结论,通过分类讨论函数的单调性,确定零点个数,从而可得a的取值范围为.‎ 试题解析：（Ⅰ）‎ ‎（Ⅰ）设，则当时，；当时，.‎ 所以f（x）在单调递减，在单调递增.‎ ‎（Ⅱ）设，由得x=1或x=ln（-2a）.‎ ‎①若，则，所以在单调递增.‎ ‎②若，则ln（-2a）＜1,故当时，；‎ 当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ ‎③若，则，故当时，，当时，，所以在单调递增，在单调递减.‎ ‎（Ⅱ）（Ⅰ）设，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.‎ 又，取b满足b＜0且，‎ 则，所以有两个零点.‎ ‎（Ⅱ）设a=0，则，所以只有一个零点.‎ ‎（iii）设a＜0，若，则由（Ⅰ）知，在单调递增.‎ 又当时，＜0，故不存在两个零点；若，则由（Ⅰ）知，在单调递减，在单调递增.又当时＜0，故不存在两个零点.‎ 综上，a的取值范围为.‎ ‎【考点】函数单调性，导数应用 ‎【名师点睛】本题第（Ⅰ）问是用导数研究函数单调性,对含有参数的函数单调性的确定,通常要根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简；第（Ⅱ）问是求参数取值范围,由于这类问题常涉及导数、函数、不等式等知识,越来越受到高考命题者的青睐,解决此类问题的思路是构造适当的函数,利用导数研究函数的单调性或极值破解.‎