重庆市区县2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含解析

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重庆市区县2018-2019学年高二下学期期末考试数学(理)试题 含解析

www.ks5u.com ‎2019年春高二(下)期末测试卷 理科数学 本试卷共23题,共150分,共4页。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1.己知复数z满足,则 A. B. C. 5 D. 25‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算复数再计算.‎ 详解】‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了复数的化简,复数的模,属于基础题型.‎ ‎2.设随机变量,若,则n=‎ A. 3 B. 6 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机变量,得到方程组,解得答案.‎ ‎【详解】随机变量,‎ 解得 ‎ 故答案选D ‎【点睛】本题考查了二项分布的期望和方差,属于常考基础题型.‎ ‎3.己知变量x,y的取值如下表:‎ x ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ 由散点图分析可知y与x线性相关,且求得回归方程为,据此预测:当时,y的值约为 A. 5.95 B. 6.65 C. 7.35 D. 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算数据的中心点,代入回归方程得到,再代入计算对应值.‎ ‎【详解】 ‎ 数据中心点为代入回归方程 当时,y的值为 ‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了数据的回归方程,计算数据中心点代入方程是解题的关键,意在考查学生的计算能力.‎ ‎4.设随机变量X服从正态分布,若,则=‎ A. 0.3 B. 0.6 C. 0.7 D. 0.85‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算,再根据正态分布的对称性得到 ‎【详解】随机变量X服从正态分布 故答案选A ‎【点睛】本题考查了正态分布的概率计算,正确利用正态分布的对称性是解题的关键,属于常考题型.‎ ‎5.己知命题P:单位向量的方向均相同,命题q:实数a的平方为负数。则下列说法正确的是 A. 是真命题 B. 是真命题 C. 是假命题 D. 是假命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断命题P,命题q均为假.再逐项判断每个选项的正误.‎ ‎【详解】命题P:单位向量的方向可以是任意的,假命题 命题q:实数a的平方为非负数,假命题 为假命题,A错误 为假命题,B错误 真命题,C错误 是假命题,D正确 故答案选D ‎【点睛】本题考查了命题的判断,正确判断命题的正误是解决此类题型的关键.‎ ‎6.己知一组样本数据恰好构成公差为5的等差数列,则这组数据的方差为 A. 25 B. 50 C. 125 D. 250‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算数据平均值,再利用方差公式得到答案.‎ ‎【详解】数据恰好构成公差为5的等差数列 ‎ ‎ ‎ ‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了数据的方差的计算,将平均值表示为是解题的关键,意在考查学生的计算能力.‎ ‎7.已知二项式的展开式中二项式系数之和为64,则该展开式中常数项为 A. -20 B. -15 C. 15 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项式系数之和为64解得,再利用二项式定理得到常数项.‎ ‎【详解】二项式的展开式中二项式系数之和为64 ‎ 当时,系数为15‎ 故答案选C ‎【点睛】本题考查了二项式定理,先计算出是解题的关键,意在考查学生的计算能力.‎ ‎8.已知函数在上单调递增,则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数在上单调递增,等价与导函数在大于等于0恒成立,即.‎ ‎【详解】函数在上单调递增 故答案选B ‎【点睛】本题考查了函数的单调性,转化为导数大于等于0是解题的关键,忽略掉等号是容易犯的错误.‎ ‎9.将4本不同的课外书全部分给3名同学,每名同学最多可分得2本,则不同的分配方法种数为 A. 32 B. 48 C. 54 D. 72‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意将情况分为:3个同学得到书和2个同学得到书两种情况,相加得到答案.‎ ‎【详解】当3名同学都得到书时有:‎ 当2名同学都得到书时有: ‎ 共有种情况 故答案选C ‎【点睛】本题考查了排列组合,将情况分为两种可以简化运算,其中容易忽略掉平均分组问题忘记除以.‎ ‎10.己知函数有三个不同的零点,则实数k的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得到得到函数的单调区间,只需满足解得答案案.‎ ‎【详解】‎ 在和上单增,在上单减,‎ 当时,,当时,,‎ 故要有三个零点,只需满,‎ 即 故答案选B ‎【点睛】本题考查了函数的零点问题,计算函数的单调区间得到函数简图是解题的关键,意在考查学生对于函数的导数的综合应用能力.‎ ‎11.将编号分别为1,2,3,4,5的5个小球分别放入3个不同的盒子中,每个盒子都不空,则每个盒子中所放小球的编号奇偶性均不相同的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断奇偶性不同则只能是2,2,1,再计算概率 ‎【详解】由题知,要求每个盒子都不空,则3个盒子中放入小球的个数可分别为3,1,1或2,2,1,‎ 若要求每个盒子中小球编号的奇偶性不同则只能是2,2,1,‎ 且放入同一盒子中的两个小球必须是编号为一奇一偶,‎ 故所求概率为 故答案选C ‎【点睛】本题考查了概率的计算,判断奇偶性不同则只能是2,2,1是解题的关键,意在考查学生的计算能力.‎ ‎12.己知函数,若对任意成立,则实数a的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 等价于,设,计算函数的最小值得到答案.‎ ‎【详解】,‎ 令,则,‎ 故在.上单减,在上单增,‎ ‎:.,故.‎ 故答案选B ‎【点睛】本题考查了恒成立问题,构造是解题的关键,将恒成立问题转化为最小值问题.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。‎ ‎13.复数(i为虚数单位)的共扼复数是________________‎ ‎【答案】i ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算复数 ,再计算其共轭复数.‎ ‎【详解】‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了共轭复数,属于基础题型.‎ ‎14.数列1,-2,2,-3,3,-3,4,-4,4,-4,5,-5,5,-5,5…的项正负交替,且项的绝对值为1的有1个,2的有2个,…,n的有n个,则该数列第30项是________。‎ ‎【答案】-8‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算,,第29个数为8,第30个数为-8.‎ ‎【详解】到个数共有数个 则 ‎ ‎ ‎ 则第29个数为8,第30个数为-8‎ 故答案为-8‎ ‎【点睛】本题考查了数列的项,先计算是解题的关键,意在考查学生对于数列知识的灵活运用.‎ ‎15.己知函数,其是的导函数,则曲线在点(1,)处的切线方程为____________________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导计算,再计算,根据切线公式得到答案.‎ ‎【详解】解析:,‎ 故,即,‎ ‎.切线方程为 即,‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查了切线问题,先计算出是解题的关键,属于常考题型.‎ ‎16.己知随机变量X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P a ‎2a b ‎,当最大时,=_______________。‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算,再计算,,当时最大,得到答案.‎ ‎【详解】由题知,‎ ‎,‎ 故当时最大,‎ 此时 故答案为 ‎【点睛】本题考查了期望和方差,意在考查学生的计算能力.‎ 三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题,考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题:共60分。‎ ‎17.已知二项式的展开式中,各项系数之和为243,其中实数a为常数 ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)求展开式中二项式系数最大的项。‎ ‎【答案】(1)(2)和 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)令,则有.‎ ‎(2)先计算最大项为第3项和第4项,再得到第3项和第4项.‎ ‎【详解】解:(1)令,则有.‎ ‎(2)的展开式中各项的二项式系数分别为;‎ 其中均为最大,‎ 故所求项为第3项和第4项.‎ ‎【点睛】本题考查了二项式展开式,属于常考基础题型.‎ ‎18.己知函数 ‎(1)求的单调递增区间;‎ ‎(2)求在区间[1,4]上的最大值和最小值。‎ ‎【答案】(1)的单调递增区间为(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求导取导数大于零解不等式得到答案.‎ ‎(2)根据(1)得到在[1,2)上单减,(2,4]上单增,得到函数的最大值和最小值.‎ ‎【详解】(1)‎ 所以的单调递增区间为:‎ ‎(2)由(1)知:在[1,2)上单减,(2,4]上单增,又 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性和最值,忽略边界值的大小比较是容易犯的错误.‎ ‎19.近年来,某市为响应国家号召,大力推行全民健身运动,加强对市内各公共体育运动设施的维护,几年来,经统计,运动设施的使用年限x(年)和所支出的维护费用y(万元)的相关数据如图所示,根据以往资料显示y对x呈线性相关关系。‎ ‎(1)求出y关于x的回归直线方程少 ‎(2)试根据(1)中求出的回归方程,预测使用年限至少为几年时,维护费用将超过100万元?‎ 参考公式:对于一组数据,其回归方程的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎【答案】(1)(2)预测至少为10年 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先计算,代入最小二乘估计公式得到答案.‎ ‎(2)解不等式得到答案.‎ ‎【详解】解:(1),所以,,‎ 所以回归直线方程为.‎ ‎(2),所以预测至少为10年,‎ ‎【点睛】本题考查了线性回归方程的计算和应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎20.为了解重庆市高中学生在面对新高考模式“3+1+2”的科目选择中,物理与历史的二选一是否与性别有关,某高中随机对该校50名高一学生进行了问卷调查得到相关数据如下列联表:‎ 选物理 选历史 合计 男生 ‎5‎ 女生 ‎10‎ 合计 己知在这50人中随机抽取1人,抽到选物理的人的概率为。‎ ‎(1)请将上面的列联表补充完整,并判断是否有99.5%的把握认为物理与历史的二选一与性别有关?‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.01‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式,其中为样本容量)‎ ‎(2)己知在选物理的10位女生中有3人选择了化学、地理,有5人选择了化学、生物,有2人选择了生物、地理,现从这10人中抽取3人进行更详细的学科意愿调查,记抽到的3人中选择化学的有X人,求随机变量X的分布列及数学期望。‎ ‎【答案】(1)填表见解析,有99.5%的把握认为二者有关;(2)见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)选物理的有30人,完善列联表,再计算得到答案.‎ ‎(2)X的可能取值为1,2,3,分别计算对应概率,得到分布列,计算数学期望.‎ ‎【详解】解:(1)由题意知选物理的有30人,则补充写列联表如右:‎ 选物理 选历史 合计 男生 ‎20‎ ‎5‎ ‎25‎ 女生 ‎10‎ ‎15‎ ‎25‎ 合计 ‎30‎ ‎20‎ ‎50‎ ‎,‎ 所以有99.5%的把握认为二者有关;‎ ‎(2)X的可能取值为:1,2,3‎ 则其分布列为:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎【点睛】本题考查了独立性检验,分布列及数学期望,意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎21.已知函数 ‎(1)求f(x)的单调区间和极值;‎ ‎(2)是否存在实数a使得不等式对都成立?若存在,求a的值;若不存在,请说明理由。‎ ‎【答案】(1)在上单增,在上单减,的极小值为,无极大值(2)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)求导,根据导数的正负得到单调区间,再计算极值.‎ ‎(2)分为两种情况,构造函数,判断函数的单调性,讨论得到.‎ ‎【详解】(1),由得即 在上单增,在上单减 的极小值为,无极大值;‎ ‎(2),:当时,,当时,,‎ 当时 当时,‎ 令,则 由题知即,‎ 故只需考虑.‎ 当时:‎ 若则即,.单调递增,,符合题意;‎ 若则故在上单减,上单增,,不合题意;‎ 当时:‎ 若则即单调递增, ,符合题意:‎ 若,则,故在.上单增,上单减, ,不合题意:‎ 综上所述,.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性,极值,函数的恒成立问题,本题综合性强,计算量大,意在考查学生的计算能力和对于函数,导数性质的灵活运用,其中构造函数可以简化运算,是解题的关键.‎ ‎(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。‎ ‎22.在平面直角坐标系,己知直线l的参数方程为(t为参数),以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为 ‎(1)求直线l的极坐标方程及曲线C的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线l与曲线C交于不同的两点A,B,求的面积。‎ ‎【答案】(1),(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)直接利用参数方程和极坐标方程公式得到答案.‎ ‎(2),联立方程得到代入式子得到答案.‎ ‎【详解】直线l的参数方程为 ‎(2) ‎ 设直线l与轴的交点为 ,则 ‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,将面积分为可以简化运算,是解题的关键.‎ ‎23.己知函数 ‎(1)求不等式的解集;‎ ‎(2)若不等式对任意成立,求实数a的取值范围。‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)将函数 去掉绝对值符号,化简为分段函数,分别解不等式得到答案.‎ ‎(2)分别画出的图像,得到且,解得答案.‎ ‎【详解】解:(1)‎ 当时,,即 当时,,即;‎ 当时,,即;‎ 综上,;‎ ‎(2)与的图像如下:‎ 由图知,要使恒成立,‎ 只需且,‎ 即且 即且 ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式,恒成立问题,利用函数图像解题可以简化运算,是解题的关键,意在考查学生对于绝对值不等式和绝对值函数的灵活运用.‎ ‎ ‎
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