专题03因动点产生的直角三角形问题突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘原卷版

专题03因动点产生的直角三角形问题突破中考数学压轴之学霸秘笈大揭秘原卷版

‎【类型综述】‎ 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第三步解方程并验根．‎ 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程．‎ 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便．‎ 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起．‎ 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便．‎ ‎【方法揭秘】‎ 我们先看三个问题：‎ ‎1．已知线段AB，以线段AB为直角边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？‎ ‎2．已知线段AB，以线段AB为斜边的直角三角形ABC有多少个？顶点C的轨迹是什么？‎ ‎3．已知点A(4,0)，如果△OAB是等腰直角三角形，求符合条件的点B的坐标．‎ 图1 图2 图3‎ 如图1，点C在垂线上，垂足除外．如图2，点C在以AB为直径的圆上，A、B两点除外．如图3，以OA为边画两个正方形，除了O、A两点以外的顶点和正方形对角线的交点，都是符合题意的点B，共6个．‎ 如图4，已知A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形ABC的顶点C在y轴上，求点C的坐标．‎ 我们可以用几何的方法，作AB为直径的圆，快速找到两个符合条件的点C．‎ 如果作BD⊥y轴于D，那么△AOC∽△CDB．‎ 设OC＝m，那么．‎ 这个方程有两个解，分别对应图中圆与y轴的两个交点． ‎ ‎【典例分析】‎ 例1 如图1，已知抛物线E1：y＝x2经过点A(1,m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2)，点A、B关于y 轴的对称点分别为点A′、B′．‎ ‎（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；‎ ‎（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连结OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．‎ ‎ ‎ 图1 图2‎ 例2如图1，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与y轴交于点C，连结BC．动点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动，动点Q以每秒个单位长度的速度从点B向点C运动，P、Q两点同时出发，连结PQ，当点Q到达点C时，P、Q 两点同时停止运动．设运动的时间为t秒．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）如图1，当△BPQ为直角三角形时，求t的值；‎ ‎（3）如图2，当t＜2时，延长QP交y轴于点M，在抛物线上是否存在一点N，使得PQ的中点恰为MN的中点，若存在，求出点N的坐标与t的值；若不存在，请说明理由．‎ 图1 图2‎ 例3 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13，CD//AB，点E为射线CD上一动点（不与点C重合），联结AE交边BC于F，∠BAE的平分线交BC于点G． ‎ ‎（1）当CE＝3时，求S△CEF∶S△CAF的值；‎ ‎（2）设CE＝x，AE＝y，当CG＝2GB时，求y与x之间的函数关系式；‎ ‎（3）当AC＝5时，联结EG，若△AEG为直角三角形，求BG的长．‎ 图1 ‎ 例4如图1，二次函数y＝a(x2－2mx－‎3m2‎)（其中a、m是常数，且a＞0，m＞0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,－3)，点D在二次函数的图像上，CD//AB，联结AD．过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分∠DAE．‎ ‎（1）用含m的式子表示a；‎ ‎（2）求证：为定值；‎ ‎（3）设该二次函数的图像的顶点为F．探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由．‎ 图1‎ 例5如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．‎ ‎（1）求点A、B、C的坐标；‎ ‎（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；‎ ‎（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 图1 ‎ 例6如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．‎ ‎（1）求点A、B的坐标；‎ ‎（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；‎ ‎（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．‎ 图1 ‎ ‎【变式训练】‎ ‎1. （2017黑龙江齐齐哈尔第19题）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边在轴的正半轴上，且，以为直角边作第二个等腰直角三角形，以为直角边作第三个等腰直角三角形，则点的坐标为 ．‎ ‎2. （2017黑龙江绥化第21题）如图，顺次连接腰长为2 的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第个小三角形的面积为 ．‎ ‎3. （2017内蒙古通辽第26题）在平面直角坐标系中，抛物线过点，，与轴交于点.‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）若点在抛物线的对称轴上，求的周长的最小值；‎ ‎（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由.‎ ‎4. (2017山东潍坊第25题)（本题满分13分）如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.  （1）求抛物线的解析式；  （2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；  （3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. ‎ ‎5. (2017浙江温州第24题)（本题14分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P 是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．‎ ‎（1）当∠APB=28°时，求∠B和的度数；‎ ‎（2）求证：AC=AB。‎ ‎（3）在点P的运动过程中 ‎①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；‎ ‎②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．‎ ‎6.（2017湖北荆门市第24题）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，.若点是边上的一个动点（与点不重合），过点作交于点.‎ ‎（1）求点的坐标；‎ ‎（2）当的周长与四边形的周长相等时，求的长；‎ ‎（3）在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎7.（2017江苏淮安市第28题）如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A，B，C三点，其中点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（4，0），连接AC，BC．动点P从点A出发，在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动；同时，动点Q从点O出发，在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为t秒．连接PQ．‎ ‎（1）填空：b=　 　，c=　 　；‎ ‎（2）在点P，Q运动过程中，△APQ可能是直角三角形吗？请说明理由；‎ ‎（3）在x轴下方，该二次函数的图象上是否存在点M，使△PQM是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出运动时间t；若不存在，请说明理由；‎ ‎（4）如图②，点N的坐标为（﹣，0），线段PQ的中点为H，连接NH，当点Q关于直线NH的对称点Q′恰好落在线段BC上时，请直接写出点Q′的坐标．‎ ‎8. （2017郴州第26题）如图，是边长为的等边三角形，边在射线上，且，点从点出发，沿的方向以的速度运动，当不与点重合是，将绕点逆时针方向旋转得到，连接.‎ ‎ （1）求证：是等边三角形；‎ ‎ （2）当时，的周长是否存在最小值？若存在，求出的最小周长；‎ 若不存在，请说明理由.‎ ‎（3）当点在射线上运动时，是否存在以为顶点的三角形是直角三角形？‎ 若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎9. （2017湖南长沙第26题）如图，抛物线 与x轴交于A,B两点(点B在点A左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接OD、BD、AC、AD，延长AD交y轴于点E。‎ ‎（1）若为等腰直角三角形，求的值；‎ ‎（2）若对任意，两点总关于原点对称，求点的坐标（用含的式子表示）；‎ ‎（3）当点运动到某一位置时，恰好使得，且点为线段的中点，此时对于该抛物线上任意一点总有成立，求实数的最小值．‎ ‎10. （2017年山东省潍坊市第25题）（本题满分13分）如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.  （1）求抛物线的解析式；  （2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；  （3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由. ‎