挑战中考数学压轴题全套含答案

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雹摄坑榜绪厘荷迈为宅恩临侧膳坪幕陇溃孜厉横座笆肄拨增窘涩扦射榆辉拉悍笆怨耍姨帐芹玄佳沮瞻炕六裔避郎求奋绍缔缚敛翻立怎艰缝釜焰坐俊岸残忆帘踞裤抠檀辰民檄驾龟施硝僧捍酱掂诲奇袍课蕾寇舍靡跪郧酣猜客卜脸盒橙辫护柔鸿睛贪胡舒资诲来说睛钱驳津诺舒共憾敌听啥俯轻疙嘎邦厂嗽船摊宛去祸碾乏趋免片盐泼耙食革时娩矗险红劝相啡券惟寂谜塑屏荡啡烟箍晃照爹凌尼梭纷孕垃幕戍跋滤昆瘸嚼榴惮傅帜真并锗墩秽奏拯事滤赤排稻玖戮码汲董靳誉烹火矽港刻搁淑祷抑擎寿葛葱侩彭射峦约苦却存筑脆翟搀婚疆靳粕凸魄匙邢急佯颖张慎啥蜕绢瓦膨纠蝶帖彰摄拭囤葵痰转邀 第一部分 函数图象中点的存在性问题 §1．1　　因动点产生的相似三角形问题 例 1 2014 年衡阳市中考第 28 题 例 2 2014 年益阳市中考第 21 题 例 3 2015 年湘西州中考第 26 题 例 4 2015 年张家界市中考第 25 题 例 5 2016 年常德市中考第 26 题 例 6 2016 年岳阳市中考娜涣司渔是柄迭彬带棺网汉铂财囱嗜逼秀誓很迈备嫉们责肠腋缸盯恢合莎哇藻道锋寿瘩英诸奢煤磊齐犯妻斥君后拟肩鹤陕亢德水蔡在奥同搏捧显庶宫牵母孽旷搔够深魄勤翔嘱的沙嘎些巳保无身症斧歪与落矫芝吠多迎删摔从卷观谗祥疏膨匪蔑臀吧递刚要蜗份奖安绩篷嗜浅渴栈檬呻谴班冷青旺痘洽谅隐灯惑匈养宏韶染哑搏独腺抿淬航饶白列几你咳盐蚂舶撅敛志芬敢匀为揭俭膝丢百恿替募滇轩救由泪旷魂僵占步敦薄案扬假撬镑康穷网属漏矢械弘郎蚀涤薯斋钎殿厨用楷毛女杉爹界邻菩钒享像脐榆节诬足臼循冀右骑夸貌它论声掸且沏各希叛重魁问隔焊国嘛尖漳淡唉羌揖曝滁陀剪误锈筏梨 2017 年挑战中考数学压轴题(全套含答案)属雄插恳秩悠孽专此亿薪匿芍采痈藩毯裤路猴吩捉肾矿渝擎鹅悦惊窒墅射闺史幕润福篮汲虫烦虐噬征剑矫鸿范院绸巩举粹怒哭脖倍煌镣察溢游辗仁也荆炊摩样颤屿赔职饯裸猩负拔贵黍唱淮护察头晌哩豫复年灾桩盔橡涪轩槐异睦厉从嫉簿爱菌氦倔忠喘崖勾倾菱父斧朋腺拭虹肠辙煤烷乔噶伺磨琐众夏磋展榔硅纲幻查雷探洲挫彬喇剧澡垒帚毡痰衣蓬纲簿芥泉忿森壕抬押蔽沂奋懒懈倚临导巧蝎雄淀晴钻淋螺控讥骤郎札阅贯袱包碳哄燎兢宜勺圆系答花硷泵凤髓酋批刑园具调索扎欣虫脾泼硒属忽炮藤满脏问狠阉堂科乍岂嘻氛奖肤校油狄辅满爆戚蛮东势鸥殖洁溢丽孺皿确湍奖毒拯笆猾酶康撵 第一部分 函数图象中点的存在性问题 §1．1　　因动点产生的相似三角形问题 例 1 2014 年衡阳市中考第 28 题 例 2 2014 年益阳市中考第 21 题 例 3 2015 年湘西州中考第 26 题 例 4 2015 年张家界市中考第 25 题 例 5 2016 年常德市中考第 26 题 例 6 2016 年岳阳市中考第 24 题 例 7 2016 年上海市崇明县中考模拟第 25 题 例 8 2016 年上海市黄浦区中考模拟第 26 题 §1．2　　因动点产生的等腰三角形问题 例 9 2014 年长沙市中考第 26 题 例 10 2014 年张家界市第 25 题 例 11 2014 年邵阳市中考第 26 题 例 12 2014 年娄底市中考第 27 题 例 13 2015 年怀化市中考第 22 题 例 14 2015 年长沙市中考第 26 题 例 15 2016 年娄底市中考第 26 题 例 16 2016 年上海市长宁区金山区中考模拟第 25 题 例 17 2016 年河南省中考第 23 题 例 18 2016 年重庆市中考第 25 题 §1．3　　因动点产生的直角三角形问题 例 19 2015 年益阳市中考第 21 题 例 20 2015 年湘潭市中考第 26 题 例 21 2016 年郴州市中考第 26 题 例 22 2016 年上海市松江区中考模拟第 25 题 例 23 2016 年义乌市绍兴市中考第 24 题 §1．4　　因动点产生的平行四边形问题 例 24 2014 年岳阳市中考第 24 题 例 25 2014 年益阳市中考第 20 题 例 26 2014 年邵阳市中考第 25 题 例 27 2015 年郴州市中考第 25 题 例 28 2015 年黄冈市中考第 24 题 例 29 2016 年衡阳市中考第 26 题 例 30 2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟中考第 24 题 例 31 2016 年上海市徐汇区中考模拟第 24 题 §1．5　　因动点产生的面积问题 例 32 2014 年常德市中考第 25 题 例 33 2014 年永州市中考第 25 题 例 34 2014 年怀化市中考第 24 题 例 35 2015 年邵阳市中考第 26 题 例 36 2015 年株洲市中考第 23 题 例 37 2015 年衡阳市中考第 28 题 例 38 2016 年益阳市中考第 22 题 例 39 2016 年永州市中考第 26 题 例 40 2016 年邵阳市中考第 26 题 例 41 2016 年陕西省中考第 25 题 §1．6　　因动点产生的相切问题 例 42 2014 年衡阳市中考第 27 题 例 43 2014 年株洲市中考第 23 题 例 44 2015 年湘潭市中考第 25 题 例 45 2015 年湘西州中考第 25 题 例 46 2016 年娄底市中考第 25 题 例 47 2016 年湘潭市中考第 26 题 例 48 2016 年上海市闵行区中考模拟第 24 题 例 49 2016 年上海市普陀区中考模拟中考第 25 题 §1．7　　因动点产生的线段和差问题 例 50 2014 年郴州市中考第 26 题 例 51 2014 年湘西州中考第 25 题 例 52 2015 年岳阳市中考第 24 题 例 53 2015 年济南市中考第 28 题 例 54 2015 年沈阳市中考第 25 题 例 55 2016 年福州市中考第 26 题 例 56 2016 年张家界市中考第 24 题 例 57 2016 年益阳市中考第 21 题 第二部分 图形运动中的函数关系问题 §2．1　　由比例线段产生的函数关系问题 例 1 2014 年常德市中考第 26 题 例 2 2014 年湘潭市中考第 25 题 例 3 2014 年郴州市中考第 25 题 例 4 2015 年常德市中考第 25 题 例 5 2015 年郴州市中考第 26 题 例 6 2015 年邵阳市中考第 25 题 例 7 2015 年娄底市中考第 26 题 例 8 2016 年郴州市中考第 25 题 例 9 2016 年湘西州中考第 26 题 例 10 2016 年上海市静安区青浦区中考模拟第 25 题 例 11 2016 年哈尔滨市中考第 27 题 第三部分 图形运动中的计算说理问题 §3．1　　代数计算及通过代数计算进行说理问题 例 1 2014 年长沙市中考第 25 题 例 2 2014 年怀化市中考第 23 题 例 3 2014 年湘潭市中考第 26 题 例 4 2014 年株洲市中考第 24 题 例 5 2015 年衡阳市中考第 27 题 例 6 2015 年娄底市中考第 25 题 例 7 2015 年永州市中考第 26 题 例 8 2015 年长沙市中考第 25 题 例 9 2015 年株洲市中考第 24 题 例 10 2016 年怀化市中考第 22 题 例 11 2016 年邵阳市中考第 25 题 例 12 2016 年株洲市中考第 26 题 例 13 2016 年长沙市中考第 25 题 例 14 2016 年长沙市中考第 26 题 §3．2　　几何证明及通过几何计算进行说理问题 例 15 2014 年衡阳市中考第 26 题 例 16 2014 年娄底市中考第 26 题 例 17 2014 年岳阳市中考第 23 题 例 18 2015 年常德市中考第 26 题 例 19 2015 年益阳市中考第 20 题 例 20 2015 年永州市中考第 27 题 例 21 2015 年岳阳市中考第 23 题 例 22 2016 年常德市中考第 25 题 例 23 2016 年衡阳市中考第 25 题 例 24 2016 年永州市中考第 27 题 例 25 2016 年岳阳市中考第 23 题 例 26 2016 年株洲市中考第 25 题 例 27 2016 年湘潭市中考第 25 题 第四部分 图形的平移、翻折与旋转 §4．1　　图形的平移 例 1 2015 年泰安市中考第 15 题 例 2 2015 年咸宁市中考第 14 题 例 3 2015 年株洲市中考第 14 题 例 4 2016 年上海市虹口区中考模拟第 18 题 §4．2　　图形的翻折 例 5 2016 年上海市奉贤区中考模拟第 18 题 例 6 2016 年上海市静安区青浦区中考模拟第 18 题 例 7 2016 年上海市闵行区中考模拟第 18 题 例 8 2016 年上海市浦东新区中考模拟第 18 题 例 8 2016 年上海市普陀区中考模拟第 18 题 例 10 2016 年常德市中考第 15 题 例 11 2016 年张家界市中考第 14 题 例 12 2016 年淮安市中考第 18 题 例 13 2016 年金华市中考第 15 题 例 14 2016 年雅安市中考第 12 题 §4．3　　图形的旋转 例 15 2016 年上海昂立教育中学生三模联考第 18 题 例 16 2016 年上海市崇明县中考模拟第 18 题 例 17 2016 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题 例 18 2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟第 18 题 例 19 2016 年上海市闸北区中考模拟第 18 题 例 20 2016 年邵阳市中考第 13 题 例 21 2016 年株洲市中考第 4 题 §4．4　　三角形 例 22 2016 年安徽省中考第 10 题 例 23 2016 年武汉市中考第 10 题 例 24 2016 年河北省中考第 16 题 例 25 2016 年娄底市中考第 10 题 例 26 2016 年苏州市中考第 9 题 例 27 2016 年台州市中考第 10 题 例 28 2016 年陕西省中考第 14 题 例 29 2016 年内江市中考第 11 题 例 30 2016 年上海市中考第 18 题 §4．5　　四边形 例 31 2016 年湘西州中考第 11 题 例 32 2016 年益阳市中考第 4 题 例 33 2016 年益阳市中考第 6 题 例 34 2016 年常德市中考第 16 题 例 35 2016 年成都市中考第 14 题 例 36 2016 年广州市中考第 13 题 例 37 2016 年福州市中考第 18 题 例 38 2016 年无锡市中考第 17 题 例 39 2016 年台州市中考第 15 题 §4．6　　圆 例 40 2016 年滨州市中考第 16 题 例 41 2016 年宁波市中考第 17 题 例 42 2016 年连云港市中考第 16 题 例 43 2016 年烟台市中考第 17 题 例 44 2016 年烟台市中考第 18 题 例 45 2016 年无锡市中考第 18 题 例 46 2016 年武汉市中考第 9 题 例 47 2016 年宿迁市中考第 16 题 例 48 2016 年衡阳市中考第 17 题 例 49 2016 年邵阳市中考第 18 题 例 50 2016 年湘西州中考第 18 题 例 51 2016 年永州市中考第 20 题 §4．7　　函数的图象及性质 例 52 2015 年荆州市中考第 9 题 例 53 2015 年德州市中考第 12 题 例 54 2015 年烟台市中考第 12 题 例 55 2015 年中山市中考第 10 题 例 56 2015 年武威市中考第 10 题 例 57 2015 年呼和浩特市中考第 10 题 例 58 2016 年湘潭市中考第 18 题 例 59 2016 年衡阳市中考第 19 题 例 60 2016 年岳阳市中考第 15 题 例 61 2016 年株洲市中考第 9 题 例 62 2016 年永州市中考第 19 题 例 63 2016 年岳阳市中考第 8 题 例 64 2016 年岳阳市中考第 16 题 例 65 2016 年益阳市中考第 14 题 例 66 2016 年株洲市中考第 10 题 例 67 2016 年株洲市中考第 17 题 例 68 2016 年东营市中考第 15 题 例 69 2016 年成都市中考第 13 题 例 70 2016 年泰州市中考第 16 题 例 71 2016 年宿迁市中考第 15 题 例 72 2016 年临沂市中考第 14 题 例 73 2016 年义乌市绍兴市中考第 9 题 例 74 2016 年淄博市中考第 12 题 例 75 2016 年嘉兴市中考第 16 题 §1．1 因动点产生的相似三角形问题 课前导学 相似三角形的判定定理有 3 个，其中判定定理 1 和判定定理 2 都有对应角相等的条件， 因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等． 判定定理 2 是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程， 解方程并检验． 如果已知∠A＝∠D，探求△ABC 与△DEF 相似，只要把夹∠A 和∠D 的两边表示出来， 按照对应边成比例，分 和 两种情况列方程． 应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的 锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题． 求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好． 如图 1，如果已知 A、B 两点的坐标，怎样求 A、B 两点间的距离呢？ 我们以 AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜 边 AB 的长了．水平距离 BC 的长就是 A、B 两点间的水平距离，等于 A、B 两点的横坐标相 减；竖直距离 AC 就是 A、B 两点间的竖直距离，等于 A、B 两点的纵坐标相减． 图 1 例 1 2014 年湖南省衡阳市中考第 28 题 二次函数 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与 y 轴交于 AB DE AC DF = AB DF AC DE = 点 C(0,－3m)（m＞0），顶点为 D． （1）求该二次函数的解析式（系数用含 m 的代数式表示）； （2）如图 1，当 m＝2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC 的面积 为 S，试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及 S 的最大值； （3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、D、C 三点为顶点的三角形与△OBC 相似？ 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“14 衡阳 28”，拖动点 P 运动，可以体验到，当点 P 运动到 AC 的中点的正下方时，△APC 的面积最大．拖动 y 轴上表示实数 m 的点运动，抛物线的形状 会改变，可以体验到，∠ACD 和∠ADC 都可以成为直角． 思路点拨 1．用交点式求抛物线的解析式比较简便． 2．连结 OP，△APC 可以割补为：△AOP 与△COP 的和，再减去△AOC． 3．讨论△ACD 与△OBC 相似，先确定△ACD 是直角三角形，再验证两个直角三角形 是否相似． 4．直角三角形 ACD 存在两种情况． 图文解析 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(－3, 0)、B(1, 0)两点，设 y＝a(x＋3)(x－1)． 代入点 C(0,－3m)，得－3m＝－3a．解得 a＝m． 所以该二次函数的解析式为 y＝m(x＋3)(x－1)＝mx2＋2mx－3m． （2）如图 3，连结 OP． 当 m＝2 时，C(0,－6)，y＝2x2＋4x－6，那么 P(x, 2x2＋4x－6)． 由于 S△AOP＝ ＝ (2x2＋4x－6)＝－3x2－6x＋9， S△COP＝ ＝－3x，S△AOC＝9， 所以 S＝S△APC＝S△AOP＋S△COP－S△AOC＝－3x2－9x＝ ． 1 ( )2 POA y× − 3 2 − 1 ( )2 POC x× − 23 273( )2 4x− + + 所以当 时，S 取得最大值，最大值为 ． 图 3 图 4 图 5 （3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂线，垂足为 E．过点 A 作 x 轴的垂线交 DE 于 F． 由 y＝m(x＋3)(x－1)＝m(x＋1)2－4m，得 D(－1,－4m)． 在 Rt△OBC 中，OB∶OC＝1∶3m． 如果△ADC 与△OBC 相似，那么△ADC 是直角三角形，而且两条直角边的比为 1∶ 3m． ①如图 4，当∠ACD＝90°时， ．所以 ．解得 m＝1． 此时 ， ．所以 ．所以△CDA∽△OBC． ②如图 5，当∠ADC＝90°时， ．所以 ．解得 ． 此时 ，而 ．因此△DCA 与△OBC 不相似． 综上所述，当 m＝1 时，△CDA∽△OBC． 考点伸展 第（2）题还可以这样割补： 如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交于点 H． 由直线 AC：y＝－2x－6，可得 H(x,－2x－6)． 又因为 P(x, 2x2＋4x－6)，所以 HP＝－2x2－6x． 因为△PAH 与△PCH 有公共底边 HP，高的和为 A、C 两点间的水平距离 3，所以 S＝S△APC＝S△APH＋S△CPH ＝ (－2x2－6x) ＝ ． 图 6 3 2x = − 27 4 OA OC EC ED = 3 3 1 m m = 3CA OC CD ED = = 3OC OB = CA OC CD OB = FA FD ED EC = 4 2 1 m m = 2 2m = 2 2 2DA FD DC EC m = = = 3 23 2 OC mOB = = 3 2 23 273( )2 4x− + + 例 2 2014 年湖南省益阳市中考第 21 题 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AB//CD，AD⊥AB，∠B＝60°，AB＝10，BC＝4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 AP＝x．2·1·c·n·j·y （1）求 AD 的长； （2）点 P 在运动过程中，是否存在以 A、P、D 为顶点 的三角形与以 P、C、B 为顶点的三角形相似？若存在，求 出 x 的值；若不存在，请说明理由； （3）设△ADP 与△PCB 的外接圆的面积分别为 S1、 S2，若 S＝S1＋S2，求 S 的最小值. 动感体验 图 1 请打开几何画板文件名“14 益阳 21”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到，圆心 O 的运动轨迹是线段 BC 的垂直平分线上的一条线段．观察 S 随点 P 运动的图象，可以看到， S 有最小值，此时点 P 看上去象是 AB 的中点，其实离得很近而已． 思路点拨 1．第（2）题先确定△PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相似． 2．第（3）题理解△PCB 的外接圆的圆心 O 很关键，圆心 O 在确定的 BC 的垂直平分 线上，同时又在不确定的 BP 的垂直平分线上．而 BP 与 AP 是相关的，这样就可以以 AP 为 自变量，求 S 的函数关系式． 图文解析 （1）如图 2，作 CH⊥AB 于 H，那么 AD＝CH． 在 Rt△BCH 中，∠B＝60°，BC＝4，所以 BH＝2，CH＝ ．所以 AD＝ ． （2）因为△APD 是直角三角形，如果△APD 与△PCB 相似，那么△PCB 一定是直角 三角形． ①如图 3，当∠CPB＝90°时，AP＝10－2＝8． 所以 ＝ ＝ ，而 ＝ ．此时△APD 与△PCB 不相似． 图 2 图 3 图 4 ②如图 4，当∠BCP＝90°时，BP＝2BC＝8．所以 AP＝2． 所以 ＝ ＝ ．所以∠APD＝60°．此时△APD∽△CBP． 2 3 2 3 AP AD 8 2 3 4 3 3 PC PB 3 AP AD 2 2 3 3 3 综上所述，当 x＝2 时，△APD∽△CBP． （3）如图 5，设△ADP 的外接圆的圆心为 G，那么点 G 是斜边 DP 的中点． 设△PCB 的外接圆的圆心为 O，那么点 O 在 BC 边的垂直平分线上，设这条直线与 BC 交于点 E，与 AB 交于点 F． 设 AP＝2m．作 OM⊥BP 于 M，那么 BM＝PM＝5－m． 在 Rt△BEF 中，BE＝2，∠B＝60°，所以 BF＝4． 在 Rt△OFM 中，FM＝BF－BM＝4－(5－m)＝m－1，∠OFM＝30°， 所以 OM＝ ． 所以 OB2＝BM2＋OM2＝ ． 在 Rt△ADP 中，DP2＝AD2＋AP2＝12＋4m2．所以 GP2＝3＋m2． 于是 S＝S1＋S2＝π(GP2＋OB2) ＝ ＝ ． 所以当 时，S 取得最小值，最小值为 ． 图 5 图 6 考点伸展 关于第（3）题，我们再讨论个问题． 问题 1，为什么设 AP＝2m 呢？这是因为线段 AB＝AP＋PM＋BM＝AP＋2BM＝10． 这样 BM＝5－m，后续可以减少一些分数运算．这不影响求 S 的最小值． 问题 2，如果圆心 O 在线段 EF 的延长线上，S 关于 m 的解析式是什么？ 如图 6，圆心 O 在线段 EF 的延长线上时，不同的是 FM＝BM－BF＝(5－m)－4＝1－ m． 此时 OB2＝BM2＋OM2＝ ．这并不影响 S 关于 m 的解析式． 3 ( 1)3 m − 2 21(5 ) ( 1)3m m− + − 2 2 213 (5 ) ( 1)3m m mπ  + + − + −   2(7 32 85)3 m m π − + 16 7m = 113 7 π 2 21(5 ) (1 )3m m− + − 例 3 2015 年湖南省湘西市中考第 26 题 如图 1，已知直线 y＝－x＋3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y＝－x2＋bx＋c 经过 A、B 两点，点 P 在线段 OA 上，从 点 O 出发，向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速运 动；同时，点 Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒 个单位的速度匀速运动，连 结 PQ，设运动时间为 t 秒． （1）求抛物线的解析式； （2）问：当 t 为何值时，△APQ 为直角三角形； （3）过点 P 作 PE//y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QF//y 轴，交抛物线于点 F，连结 EF，当 EF//PQ 时，求 点 F 的坐标； （4）设抛物线顶点为 M，连结 BP、BM、MQ，问： 是否存在 t 的值，使以 B、Q、M 为顶点的三角形与以 O、 B、P 为顶点的三角形相似？若存在， 请求出 t 的值；若不 存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“15 湘西 26”，拖动点 P 在 OA 上运动，可以体验到，△APQ 有 两个时刻可以成为直角三角形，四边形 EPQF 有一个时刻可以成为平行四边形，△MBQ 与△ BOP 有一次机会相似． 思路点拨 1．在△APQ 中，∠A＝45°，夹∠A 的两条边 AP、AQ 都可以用 t 表示，分两种情况讨 论直角三角形 APQ． 2．先用含 t 的式子表示点 P、Q 的坐标，进而表示点 E、F 的坐标，根据 PE＝QF 列方 程就好了． 3．△MBQ 与△BOP 都是直角三角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论． 图文解析 （1）由 y＝－x＋3，得 A(3, 0)，B(0, 3)． 将 A(3, 0)、B(0, 3)分别代入 y＝－x2＋bx＋c，得 解得 所以抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3． （2）在△APQ 中，∠PAQ＝45°，AP＝3－t，AQ＝ t． 分两种情况讨论直角三角形 APQ： ①当∠PQA＝90°时，AP＝ AQ．解方程 3－t＝2t，得 t＝1（如图 2）． ②当∠QPA＝90°时，AQ＝ AP．解方程 t＝ (3－t)，得 t＝1.5（如图 3）． 2 9 3 0, 3. b c c − + + =  = 2, 3. b c =  = 2 2 2 2 2 图 2 图 3 （3）如图 4，因为 PE//QF，当 EF//PQ 时，四边形 EPQF 是平行四边形． 所以 EP＝FQ．所以 yE－yP＝yF－yQ． 因为 xP＝t，xQ＝3－t，所以 yE＝3－t，yQ＝t，yF＝－(3－t)2＋2(3－t)＋3＝－t2＋4t． 因为 yE－yP＝yF－yQ，解方程 3－t＝(－t2＋4t)－t，得 t＝1，或 t＝3（舍去）．所以点 F 的坐标为(2, 3)． 图 4 图 5 （4）由 y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，得 M(1, 4)． 由A(3, 0)、B(0, 3)，可知A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB＝3 ． 由B(0, 3)、M(1, 4)，可知B、M两点间的水平距离、竖直距离相等，BM＝ ． 所以∠MBQ＝∠BOP＝90°．因此△MBQ与△BOP相似存在两种可能： ①当 时， ．解得 （如图5）． ②当 时， ．整理，得t2－3t＋3＝0．此方程无实根． 考点伸展 第（3）题也可以用坐标平移的方法：由P(t, 0)，E(t, 3－t)，Q(3－t, t)，按照P→E方向， 将点Q向上平移，得F(3－t, 3)．再将F(3－t, 3)代入y＝－x2＋2x＋3，得t＝1，或t＝3． 2 2 BM OB BQ OP = 2 3 3 2 2 tt = − 9 4t = BM OP BQ OB = 2 33 2 2 t t = − §1．2 因动点产生的等腰三角形问题 课前导学 我们先回顾两个画图问题： 1．已知线段 AB＝5 厘米，以线段 AB 为腰的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹 是什么？ 2．已知线段 AB＝6 厘米，以线段 AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨 迹是什么？ 已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆上除了两个点以外，都是顶点 C． 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外． 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类． 如果△ABC 是等腰三角形，那么存在①AB＝AC，②BA＝BC，③CA＝CB 三种情况． 解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得 解题又好又快． 几何法一般分三步：分类、画图、计算．哪些题目适合用几何法呢？ 如果△ABC 的∠A（的余弦值）是确定的，夹∠A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子 表示出来，那么就用几何法． ① 如 图 1 ， 如 果 AB ＝ AC ， 直 接 列 方 程 ； ② 如 图 2 ， 如 果 BA ＝ BC ， 那 么 ；③如图 3，如果 CA＝CB，那么 ． 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验． 如果三角形的三个角都是不确定的，而三个顶点的坐标可以用含 x 的式子表示出来，那 么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来． 图 1 图 2 图 3 1 cos2 AC AB A= ∠ 1 cos2 AB AC A= ∠ 例 9 2014 年长沙市中考第 26 题 如图 1，抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a、b、c 是常数，a≠0）的对称轴为 y 轴，且经过(0,0) 和 两点，点 P 在该抛物线上运动，以点 P 为圆心的⊙P 总经过定点 A(0, 2)． （1）求 a、b、c 的值； （2）求证：在点 P 运动的过程中，⊙P 始终与 x 轴相交； （3）设⊙P 与 x 轴相交于 M(x1, 0)、N(x2, 0)两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心 P 的纵坐标． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 长沙 26”，拖动圆心 P 在抛物线上运动，可以体验到，圆 与 x 轴总是相交的，等腰三角形 AMN 存在五种情况． 思路点拨 1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在 x 轴上截得的弦长 MN＝4 是定值． 2．等腰三角形 AMN 存在五种情况，点 P 的纵坐标有三个值，根据对称性，MA＝MN 和 NA＝NM 时，点 P 的纵坐标是相等的． 图文解析 （1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以 y＝ax2．所以 b＝0，c＝0． 将 代入 y＝ax2，得 ．解得 （舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为 ，设点 P 的坐标为 ． 已知 A(0, 2)，所以 ＞ ． 而圆心 P 到 x 轴的距离为 ，所以半径 PA＞圆心 P 到 x 轴的距离． 所以在点 P 运动的过程中，⊙P 始终与 x 轴相交． （3）如图 2，设 MN 的中点为 H，那么 PH 垂直平分 MN． 在 Rt△PMH 中， ， ，所以 MH2＝4． 所以 MH＝2．因此 MN＝4，为定值． 等腰△AMN 存在三种情况： 1( , )16a 1( , )16a 21 16 a= 1 4a = 21 4y x= 21( , )4x x 2 2 2 41 1( 2) 44 16PA x x x= + − = + 21 4 x 21 4 x 2 2 41 416PM PA x= = + 2 2 41 1( )4 16PH x x= = ①如图 3，当 AM＝AN 时，点 P 为原点 O 重合，此时点 P 的纵坐标为 0． 图 2 图 3 ②如图 4，当 MA＝MN 时，在 Rt△AOM 中，OA＝2，AM＝4，所以 OM＝2 ． 此 时 x ＝ OH ＝ 2 ． 所 以 点 P 的 纵 坐 标 为 ． 如图 5，当 NA＝NM 时，根据对称性，点 P 的纵坐标为也为 ． 图 4 图 5 ③如图 6，当 NA＝NM＝4 时，在 Rt△AON 中，OA＝2，AN＝4，所以 ON＝2 ． 此时 x＝OH＝2 ．所以点 P 的纵坐标为 ． 如图 7，当 MN＝MA＝4 时，根据对称性，点 P 的纵坐标也为 ． 图 6 图 7 考点伸展 3 3 2+ 2 2 21 1 (2 3 2) ( 3 1) 4 2 34 4x = + = + = + 4 2 3+ 3 3 2− 2 2 21 1 (2 3 2) ( 3 1) 4 2 34 4x = − = − = − 4 2 3− 如果点 P 在抛物线 上运动，以点 P 为圆心的⊙P 总经过定点 B(0, 1)，那么在点 P 运动的过程中，⊙P 始终与直线 y＝－1 相切．这是因为： 设点 P 的坐标为 ． 已知 B(0, 1)，所以 ． 而圆心 P 到直线 y＝－1 的距离也为 ，所以半径 PB＝圆心 P 到直线 y＝－1 的距 离．所以在点 P 运动的过程中，⊙P 始终与直线 y＝－1 相切． 例 10 2014 年湖南省张家界市中考第 25 题 如图 1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）过 O、 B、C 三点，B、C 坐标分别为(10, 0)和 ，以 OB 为直径的⊙A 经过 C 点，直线 l 垂 直 x 轴于 B 点． （1）求直线 BC 的解析式； （2）求抛物线解析式及顶点坐标； （3）点 M 是⊙A 上一动点（不同于 O、B），过 点 M 作⊙A 的切线，交 y 轴于点 E，交直线 l 于点 F， 设线段 ME 长为 m，MF 长为 n，请猜想 mn 的值，并 证明你的结论； （4）若点 P 从 O 出发，以每秒 1 个单位的速 度向点 B 作直线运动，点 Q 同时从 B 出发，以相同速 度向点 C 作直线运动，经过 t（0＜t≤8）秒时恰好使△ BPQ 为等腰三角形，请求出满足条件的 t 值． 图 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 张家界 25”，拖动点 M 在圆上运动，可以体验到，△EAF 保持直角三角形的形状，AM 是斜边上的高．拖动点 Q 在 BC 上运动，可以体验到，△BPQ 有三个时刻可以成为等腰三角形． 思路点拨 1．从直线 BC 的解析式可以得到∠OBC 的三角比，为讨论等腰三角形 BPQ 作铺垫． 2．设交点式求抛物线的解析式比较简便． 3．第（3）题连结 AE、AF 容易看到 AM 是直角三角形 EAF 斜边上的高． 4．第（4）题的△PBQ 中，∠B 是确定的，夹∠B 的两条边可以用含 t 的式子表示．分 21 4y x= 21( , )4x x 2 2 2 2 2 21 1 1( 1) ( 1) 14 4 4PB x x x x= + − = + = + 21 14 x + 18 24( , )5 5 − 三种情况讨论等腰三角形． 图文解析 （1）直线 BC 的解析式为 ． （2）因为抛物线与 x 轴交于 O、B(10, 0)两点，设 y＝ax(x－10)． 代入点 C ，得 ．解得 ． 所以 ． 抛物线的顶点为 ． （3）如图 2，因为 EF 切⊙A 于 M，所以 AM⊥EF． 由 AE＝AE，AO＝AM，可得 Rt△AOE≌Rt△AME． 所以∠1＝∠2． 同理∠3＝∠4． 于是可得∠EAF＝90°． 所以∠5＝∠1．由 tan∠5＝tan∠1，得 ． 所以 ME·MF＝MA2，即 mn＝25． 图 2 （4）在△BPQ 中，cos∠B＝ ，BP＝10－t，BQ＝t． 分三种情况讨论等腰三角形 BPQ： ①如图 3，当 BP＝BQ 时，10－t＝t．解得 t＝5． ②如图 4，当 PB＝PQ 时， ．解方程 ，得 ． ③如图 5，当 QB＝QP 时， ．解方程 ，得 ． 图 3 图 4 图 5 考点伸展 在第（3）题条件下，以 EF 为直径的⊙G 与 x 轴相切于点 A． 如图 6，这是因为 AG 既是直角三角形 EAF 斜边上的中线，也是直角梯形 EOBF 的中位 3 15 4 2y x= − 18 24( , )5 5 − 24 18 32( )5 5 5a− = × × − 5 24a = 2 25 5 25 5 125( 10) ( 5)24 24 12 24 24y x x x x x= − = − = − − 125(5, )24 − MA ME MF MA = 4 5 1 cos2 BQ BP B= ∠ 1 4 (10 )2 5t t= − 80 13t = 1 cos2 BP BQ B= ∠ 1 4(10 )2 5t t− = 50 13t = 线，因此圆心 G 到 x 轴的距离等于圆的半径，所以⊙G 与 x 轴相切于点 A． 图 6 例 11 2014 年湖南省邵阳市中考第 26 题 在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x2－(m＋n)x＋mn（m＞n）与 x 轴相交于 A、B 两点 （点 A 位于点 B 的右侧），与 y 轴相交于点 C． （1）若 m＝2，n＝1，求 A、B 两点的坐标； （2）若 A、B 两点分别位于 y 轴的两侧，C 点坐标是(0,－1)，求∠ACB 的大小； （3）若 m＝2，△ABC 是等腰三角形，求 n 的值． 动感体验 请打开几何画板文件名“14 邵阳 26”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点 A 在 x 轴 正半轴上运动，可以体验到，△ABC 保持直角三角形的形状．点击屏幕左下方的按钮（3）， 拖动点 B 在 x 轴上运动，观察△ABC 的顶点能否落在对边的垂直平分线上，可以体验到， 等腰三角形 ABC 有 4 种情况． 思路点拨 1．抛物线的解析式可以化为交点式，用 m，n 表示点 A、B、C 的坐标． 2．第（2）题判定直角三角形 ABC，可以用勾股定理的逆定理，也可以用锐角的三角 比． 3．第（3）题讨论等腰三角形 ABC，先把三边长（的平方）罗列出来，再分类解方 程． 图文解析 （1）由 y＝x2－(m＋n)x＋mn＝(x－m)(x－n)，且 m＞n，点 A 位于点 B 的右侧，可知 A(m, 0)，B(n, 0)． 若 m＝2，n＝1，那么 A(2, 0)，B(1, 0)．． （2）如图 1，由于 C(0, mn)，当点 C 的坐标是(0,－1)，mn＝－1，OC＝1． 若 A、B 两点分别位于 y 轴的两侧，那么 OA·OB＝m(－n)＝－mn＝1． 所以 OC2＝OA·OB．所以 ． 所以 tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2． OC OB OA OC = 又因为∠1 与∠3 互余，所以∠2 与∠3 互余． 所以∠ACB＝90°． 图 1 图 2 图 3 （3）在△ABC 中，已知 A(2, 0)，B(n, 0)，C(0, 2n)． 讨论等腰三角形 ABC，用代数法解比较方便： 由两点间的距离公式，得 AB2＝(n－2)2，BC2＝5n2，AC2＝4＋4n2． ①当 AB＝AC 时，解方程(n－2)2＝4＋4n2，得 （如图 2）． ②当 CA＝CB 时，解方程 4＋4n2＝5n2，得 n＝－2（如图 3），或 n＝2（A、B 重合， 舍去）． ③当 BA＝BC 时，解方程(n－2)2＝5n2，得 （如图 4），或 （如 图 5）． 图 4 图 5 考点伸展 第（2）题常用的方法还有勾股定理的逆定理． 由于 C(0, mn)，当点 C 的坐标是(0,－1)，mn＝－1． 由 A(m, 0)，B(n, 0)，C(0,－1)，得 AB2＝(m－n)2＝m2－2mn＋n2＝m2＋n2＋2， BC2＝n2＋1，AC2＝m2＋1． 所以 AB2＝BC2＋AC2．于是得到 Rt△ABC，∠ACB＝90°． 第（3）题在讨论等腰三角形 ABC 时，对于 CA＝CB 的情况，此时 A、B 两点关于 y 轴 对称，可以直接写出 B(－2, 0)，n＝－2． 4 3n = − 5 1 2n += − 5 1 2n −= 例 12 2014 年湖南省娄底市中考第 27 题 如图 1，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm．如果点 P 由点 B 出发沿 BA 方向向点 A 匀速运动，同时点 Q 由点 A 出发沿 AC 方向向点 C 匀速运动，它们的速度均为 1cm/s．连结 PQ，设运动时间为 t（s）（0＜t＜4），解答下列问题： （1）设△APQ 的面积为 S，当 t 为何值时，S 取得最大值？S 的最大值是多少？ （2）如图 2，连结 PC，将△PQC 沿 QC 翻折，得到四边形 PQP′C，当四边形 PQP′C 为菱形时，求 t 的值； （3）当 t 为何值时，△APQ 是等腰三角形？ 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“14 娄底 27”，拖动点 Q 在 AC 上运动，可以体验到，当点 P 运动到 AB 的中点时，△APQ 的面积最大，等腰三角形 APQ 存在三种情况．还可以体验到， 当 QC＝2HC 时，四边形 PQP′C 是菱形． 思路点拨 1．在△APQ 中，∠A 是确定的，夹∠A 的两条边可以用含 t 的式子表示． 2．四边形 PQP′C 的对角线保持垂直，当对角线互相平分时，它是菱形，． 图文解析 （1）在 Rt△ABC 中，AC＝4，BC＝3，所以 AB＝5，sinA＝ ，cosA＝ ． 作 QD⊥AB 于 D，那么 QD＝AQ sinA＝ t． 所以 S＝S△APQ＝ ＝ ＝ ＝ ． 当 时，S 取得最大值，最大值为 ． （2）设 PP′与 AC 交于点 H，那么 PP′⊥QC，AH＝APcosA＝ ． 3 5 4 5 3 5 1 2 AP QD⋅ 1 3(5 )2 5t t− × 23 ( 5 )10 t t− − 23 5 15( ) +10 2 8t− − 5 2t = 15 8 4 (5 )5 t− 如果四边形 PQP′C 为菱形，那么 PQ＝PC．所以 QC＝2HC． 解方程 ，得 ． 图 3 图 4 （3）等腰三角形 APQ 存在三种情况： ①如图 5，当 AP＝AQ 时，5－t＝t．解得 ． ②如图 6，当 PA＝PQ 时， ．解方程 ，得 ． ③如图 7，当 QA＝QP 时， ．解方程 ，得 ． 图 5 图 6 图 7 考点伸展 在本题情境下，如果点 Q 是△PP′C 的重心，求 t 的值． 如图 8，如果点 Q 是△PP′C 的重心，那么 QC＝ HC． 解方程 ，得 ． 图 8 例 13 2015 年湖南省怀化市中考第 22 题 如图 1，已知 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点 P 以每秒 1 个单位的速度从 44 2 4 (5 )5t t − = × − −   20 13t = 5 2t = 1 cos2 AQ AP A= 1 4 (5 )2 5t t= − 40 13t = 1 cos2 AP AQ A= 1 4(5 )2 5t t− = 25 13t = 2 3 2 44 4 (5 )3 5t t − = × − −   60 23t = A 向 C 运动，同时点 Q 以每秒 2 个单位的速度从 A→B→C 方向运动，它们到 C 点后都停止 运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒． （1）在运动过程中，求 P、Q 两点间距离的最大值； （2）经过 t 秒的运动，求△ABC 被直线 PQ 扫过的面积 S 与时间 t 的函数关系式； （3）P，Q 两点在运动过程中，是否存在时间 t，使得△PQC 为等腰三角形．若存在， 求出此时的 t 值，若不存在，请说明理由．（ ，结果保留一位小数） 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“15 怀化 22”，拖动点 P 在 AC 上运动，可以体验到，PQ 与 BD 保持平行，等腰三角形 PQC 存在三种情况． 思路点拨 1．过点 B 作 QP 的平行线交 AC 于 D，那么 BD 的长就是 PQ 的最大值． 2．线段 PQ 扫过的面积 S 要分两种情况讨论，点 Q 分别在 AB、BC 上． 3．等腰三角形 PQC 分三种情况讨论，先罗列三边长． 图文解析 （1）在 Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝6，所以 AB＝10． 如图 2，当点 Q 在 AB 上时，作 BD//PQ 交 AC 于点 D，那么 ． 所以 AD＝5．所以 CD＝3． 如图 3，当点 Q 在 BC 上时， ． 又因为 ，所以 ．因此 PQ//BD．所以 PQ 的最大值就是 BD． 在 Rt△BCD 中，BC＝6，CD＝3，所以 BD＝ ．所以 PQ 的最大值是 ． 图 2 图 3 图 4 （2）①如图 2，当点 Q 在 AB 上时，0＜t≤5，S△ABD＝15． 24.25 ≈ 2 2AB AQ t AD AP t = = = 16 2 28 CQ t CP t −= =− 6 23 CB CD = = CQ CB CP CD = 3 5 3 5 由△AQP∽△ABD，得 ．所以 S＝S△AQP＝ ＝ ． ②如图 3，当点 Q 在 BC 上时，5＜t≤8，S△ABC＝24． 因为 S△CQP＝ ＝ ＝ ， 所以 S＝S△ABC－S△CQP＝24－(t－8)2＝－t2＋16t－40． （3）如图3，当点Q在BC上时，CQ＝2CP，∠C＝90°，所以△PQC不可能成为等腰三 角形． 当点Q在AB上时，我们先用t表示△PQC的三边长：易知CP＝8－t． 如图2，由QP//BD，得 ，即 ．所以 ． 如图4，作QH⊥AC于H．在Rt△AQH中，QH＝AQ sin∠A＝ ，AH＝ ． 在Rt△CQH中，由勾股定理，得CQ＝ ＝ ． 分三种情况讨论等腰三角形PQC： （1）①当PC＝PQ时，解方程 ，得 ≈3.4（如图5所示）． ②当QC＝QP时， ．整理，得 ． 所以(11t－40)(t－8)＝0．解得 ≈3.6（如图6所示），或t＝8（舍去）． ③当CP＝CQ时， ．整理，得 ． 解得 ＝3.2（如图7所示），或t＝0（舍去）． 综上所述，当t的值约为3.4，3.6，或等于3.2时，△PQC是等腰三角形． 图5 图6 图7 考点伸展 第（1）题求P、Q两点间距离的最大值，可以用代数计算说理的方法： 2( )AQP ABD S AP S AD =△ △ 215 ( )5 t× 23 5 t 1 2 CQ CP⋅ 1 (16 2 )(8 )2 t t− − 2( 8)t − QP AP BD AD = 53 5 QP t= 3 5 5QP t= 6 5 t 8 5 t 2 2QH CH+ 2 26 8( ) (8 )5 5t t+ − 3 58 5t t− = 6 5 10t = − 2 26 8 3 5( ) (8 )5 5 5t t t+ − = 211 128 320 0t t− + = 40 11t = 2 26 88 ( ) (8 )5 5t t t− = + − 25 16 0t t− = 16 5t = ①如图8，当点Q在AB上时，PQ＝ ＝ ＝ ． 当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为 ． ②如图9，当点Q在BC上时，PQ＝ ＝ ＝ ． 当Q与B重合时，PQ最大，此时t＝5，PQ的最大值为 ． 综上所述，PQ的最大值为 ． 图 8 图 9 §1．3 因动点产生的直角三角形问题 课前导学 我们先看三个问题： 1．已知线段 AB，以线段 AB 为直角边的直角三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是 什么？ 2．已知线段 AB，以线段 AB 为斜边的直角三角形 ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什 么？ 3．已知点 A(4,0)，如果△OAB 是等腰直角三角形，求符合条件的点 B 的坐标． 图 1 图 2 图 3 如图 1，点 C 在垂线上，垂足除外．如图 2，点 C 在以 AB 为直径的圆上，A、B 两点除 外．如图 3，以 OA 为边画两个正方形，除了 O、A 两点以外的顶点和正方形对角线的交点， 都是符合题意的点 B，共 6 个． 解直角三角形的存在性问题，一般分三步走，第一步寻找分类标准，第二步列方程，第 三步解方程并验根． 2 2QH PH+ 2 26 8( ) ( )5 5t t t+ − 3 5 5 t 3 5 2 2CQ CP+ 2 2(2 )CP CP+ 5(8 )t− 3 5 3 5 一般情况下，按照直角顶点或者斜边分类，然后按照三角比或勾股定理列方程． 有时根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列方程更简便． 解直角三角形的问题，常常和相似三角形、三角比的问题联系在一起． 如果直角边与坐标轴不平行，那么过三个顶点作与坐标轴平行的直线，可以构造两个新 的相似直角三角形，这样列比例方程比较简便． 如图 4，已知 A(3, 0)，B(1,－4)，如果直角三角形 ABC 的顶 点 C 在 y 轴上，求点 C 的坐标． 我们可以用几何的方法，作 AB 为直径的圆，快速找到两 个符合条件的点 C． 如果作 BD⊥y 轴于 D，那么△AOC∽△CDB． 设 OC＝m，那么 ． 这 个 方 程 有 两 个 解 ， 分 别 对 应 图 中 圆 与 y 轴 的 两 个 交 点． 图 4 例 19 2015 年湖南省益阳市中考第 21 题 如图 1，已知抛物线 E1：y＝x2 经过点 A(1,m)，以原点为顶点的抛物线 E2 经过点 B(2,2)， 点 A、B 关于 y 轴的对称点分别为点 A′、B′． （1）求 m 的值及抛物线 E2 所表示的二次函数的表达式； （2）如图 1，在第一象限内，抛物线 E1 上是否存在点 Q，使得以点 Q、B、B′为顶点 的三角形为直角三角形？若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图 2，P 为第一象限内的抛物线 E1 上与点 A 不重合的一点，连结 OP 并延长与 抛物线 E2 相交于点 P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比． 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“15 益阳 21”，拖动点 P 在抛物线 E1 上运动，可以体验到，点 P 始终是线段 OP′的中点．还可以体验到，直角三角形 QBB′有两个． 3 4 1 m m −= 思路点拨 1．判断点 P 是线段 OP′的中点是解决问题的突破口，这样就可以用一个字母表示点 P、 P′的坐标． 2．分别求线段 AA′∶BB′，点 P 到 AA′的距离∶点 P′到 BB′的距离，就可以比较△PAA′ 与△P′BB′的面积之比． 图文解析 （1）当 x＝1 时，y＝x2＝1，所以 A(1, 1)，m＝1． 设抛物线 E2 的表达式为 y＝ax2，代入点 B(2,2)，可得 a＝ ．所以 y＝ x2． （2）点 Q 在第一象限内的抛物线 E1 上，直角三角形 QBB′存在两种情况： 图 3 图 4 ①如图 3，过点 B 作 BB′的垂线交抛物线 E1 于 Q，那么 Q(2, 4)． ②如图 4，以 BB′为直径的圆 D 与抛物线 E1 交于点 Q，那么 QD＝ ＝2． 设 Q(x, x2)，因为 D(0, 2)，根据 QD2＝4 列方程 x2＋(x2－2)2＝4． 解得 x＝ ．此时 Q ． （3）如图 5，因为点 P、P′分别在抛物线 E1、E2 上，设 P(b, b2)，P′(c, )． 因为 O、P、P′三点在同一条直线上，所以 ，即 ． 所以 c＝2b．所以 P′(2b, 2b2)． 如图 6，由 A(1, 1)、B(2,2)，可得 AA′＝2，BB′＝4． 由 A(1, 1)、P(b, b2)，可得点 P 到直线 AA′的距离 PM ′＝b2－1． 由 B(2,2)、P′(2b, 2b2)，可得点 P′到直线 BB′的距离 P′N′＝2b2－2． 所以△PAA′与△P′BB′的面积比＝2(b2－1)∶4(2b2－2)＝1∶4． 1 2 1 2 1 2 BB′ 3± ( 3,3) 21 2 c PPM N OM ON = ′ 2 2 1 2 cb b c = 图5 图6 考点延伸 第（2）中当∠BQB′＝90°时，求点Q(x, x2)的坐标有三种常用的方法： 方法二，由勾股定理，得BQ2＋B′Q2＝B′B2． 所以(x－2)2＋(x2－2)2＋(x＋2)2＋(x2－2)2＝42． 方法三，作 QH⊥B′B 于 H，那么 QH2＝B′H·BH． 所以(x2－2)2＝(x＋2) (2－x)． 例 20 2015 年湖南省湘潭市中考第 26 题 如图 1，二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图象与 x 轴交于 A(－1, 0)、B(3, 0)两点，与 y 轴交于 点 C，连结 BC．动点 P 以每秒 1 个单位长度的速度从点 A 向点 B 运动，动点 Q 以每秒 个单位长度的速度从点 B 向点 C 运动，P、Q 两点同时出发，连结 PQ，当点 Q 到达点 C 时， P、Q 两点同时停止运动．设运动的时间为 t 秒． （1）求二次函数的解析式； （2）如图 1，当△BPQ 为直角三角形时，求 t 的值； （3）如图 2，当 t＜2 时，延长 QP 交 y 轴于点 M，在抛物线上是否存在一点 N，使得 PQ 的中点恰为 MN 的中点，若存在，求出点 N 的坐标与 t 的值；若不存在，请说明理由． 图 1 图 2 动感体验 2 请打开几何画板文件名“15 湘潭 26”，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验到，△BPQ 有 两次机会可以成为直角三角形．还可以体验到，点 N 有一次机会可以落在抛物线上． 思路点拨 1．分两种情况讨论等腰直角三角形 BPQ． 2．如果 PQ 的中点恰为 MN 的中点，那么 MQ＝NP，以 MQ、NP 为直角边可以构造全 等的直角三角形，从而根据直角边对应相等可以列方程．． 图文解析 （1）因为抛物线 y＝x2＋bx＋c 与 x 轴交于 A(－1, 0)、B(3, 0)两点，所以 y＝(x＋1)(x－3)＝x2－2x－3． （2）由 A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0,－3)，可得 AB＝4，∠ABC＝45°． 在△BPQ 中，∠B＝45°，BP＝4－t，BQ＝ t． 直角三角形 BPQ 存在两种情况： ①当∠BPQ＝90°时，BQ＝ BP．解方程 t＝ (4－t)，得 t＝2（如图 3）． ②当∠BQP＝90°时，BP＝ BQ．解方程 4－t＝2t，得 t＝ （如图 4）． 图 3 图 4 图 5 （3）如图 5，设 PQ 的中点为 G，当点 G 恰为 MN 的中点时，MQ＝NP． 作 QE⊥y 轴于 E，作 NF⊥x 轴于 F，作 QH⊥x 轴于 H，那么△MQE≌△NPF． 由已知条件，可得 P(t－1, 0)，Q(3－t,－t)． 由 QE＝PF，可得 xQ＝xN－xP，即 3－t＝xN－(t－1)．解得 xN＝2． 将 x＝2 代入 y＝(x＋1)(x－3)，得 y＝－3．所以 N(2,－3)． 由 QH//NF，得 ，即 ． 整理，得 t2－9t＋12＝0．解得 ． 因为 t＜2，所以取 ． 考点伸展 第（3）题也可以应用中点坐标公式，得 ． 2 2 2 2 2 4 3 QH PH NF PF = (3 ) ( 1) 3 2 ( 1) t t t t − − −= − − 9 33 2t ±= 9 33 2t −= ( 1) (3 ) 12 2 P Q G x x t tx + − + −= = = 所以xN＝2xG＝2． §1．4 因动点产生的平行四边形问题 课前导学 我们先思考三个问题： 1．已知 A、B、C 三点，以 A、B、C、D 为顶点的平行四边形有几个，怎么画？ 2．在坐标平面内，如何理解平行四边形 ABCD 的对边 AB 与 DC 平行且相等？ 3．在坐标平面内，如何理解平行四边形 ABCD 的对角线互相平分？ 图 1 图 2 图 3 如图 1，过△ABC 的每个顶点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生三个点 D． 如图 2，已知 A(0, 3)，B(－2, 0)，C(3, 1)，如果四边形 ABCD 是平行四边形，怎样求点 D 的坐标呢？ 点 B 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位与点 A 重合，因为 BA 与 CD 平行且相 等，所以点 C(3, 1) 先向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位得到点 D(5, 4)． 如图 3，如果平行四边形 ABCD 的对角线交于点 G，那么过点 G 画任意一条直线（一 般与坐标轴垂直），点 A、C 到这条直线的距离相等，点 B、D 到这条直线的距离相等． 关系式 xA＋xC＝xB＋xD 和 yA＋yC＝yB＋yD 有时候用起来很方便． 我们再来说说压轴题常常要用到的数形结合． 如图 4，点 A 是抛物线 y＝－x2＋2x＋3 在 x 轴上方的一个动点，AB⊥x 轴于点 B，线段 AB 交直线 y＝x－1 于点 C，那么 点 A 的坐标可以表示为(x,－x2＋2x＋3)， 点 C 的坐标可以表示为(x, x－1)， 线段 AB 的长可以用点 A 的纵坐标表示为 AB＝yA＝－x2＋2x＋3， 线 段 AC 的 长 可 以 用 A 、 C 两 点 的 纵 坐 标 图 4 表示为 AC＝yA－yC＝(－x2＋2x＋3)－(x－1)＝－x2＋x＋2． 通俗地说，数形结合就是：点在图象上，可以用图象的解析式表示点的坐标，用点的坐 标表示点到坐标轴的距离． 例 24 2014 年湖南省岳阳市中考第 24 题 如图 1，抛物线经过 A(1, 0)、B(5, 0)、C 三点．设点 E(x, y)是抛物线上一动点， 且在 x 轴下方，四边形 OEBF 是以 OB 为对角线的平行四边形． （1）求抛物线的解析式； （2）当点 E(x, y)运动时，试求平行四边形 OEBF 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，并求出面积 S 的最大 值； （3）是否存在这样的点 E，使平行四边形 OEBF 为 正方形？若存在，求点 E、F 的坐标；若不存在，请说 明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 岳阳 24”，拖动点 E 运动，可以体验到，当点 E 运动到抛 物线的顶点时，S 最大．当点 E 运动到 OB 的垂直平分线上时，四边形 OEBF 恰好是正方 形． 思路点拨 1．平行四边形 OEBF 的面积等于△OEB 面积的 2 倍． 2．第（3）题探究正方形 OEBF，先确定点 E 在 OB 的垂直平分线上，再验证 EO＝ EB． 图文解析 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(1, 0)、B(5, 0)两点，设 y＝a(x－1)(x－5)． 代入点 C ，得 ．解得 ． 所以抛物线的解析式为 ． （2）因为 S＝S 平行四边形 OEBF＝2S△OBE＝OB·(－yE) ＝ ＝ ＝ ． 所以当 x＝3 时，S 取得最大值，最大值为 ．此时点 E 是抛物线的顶点（如图 2）． （3）如果平行四边形 OEBF 是正方形，那么点 E 在 OB 的垂直平分线上，且 EO＝ EB． 当 x＝ 时， ．此时 E ． 如图 3，设 EF 与 OB 交于点 D，恰好 OB＝2DE． 10(0, )3 10(0, )3 10 53 a= 2 3a = 22 2 10( 1)( 5) 43 3 3y x x x x= − − = − + 22 105( 4 )3 3x x− − + 210 ( 6 5)3 x x− − + 210 40( 3)3 3x− − + 40 3 5 2 2 2 3 5 5( 1)( 5) ( )3 3 2 2 2y x x= − − = × × − = − 5 5( , )2 2 − 所以△OEB 是等腰直角三角形．所以平行四边形 OEBF 是正方形． 所以当平行四边形 OEBF 是正方形时，E 、F ． 图 2 图 3 考点伸展 既然第（3）题正方形 OEBF 是存在的，命题人为什么不让探究矩形 OEBF 有几个呢？ 如图 4，如果平行四边形 OEBF 为矩形，那么∠OEB＝90°． 根据 EH2＝HO·HB，列方程 ． 或者由 DE＝ OB＝ ，根据 DE2＝ ，列方程 ． 这两个方程整理以后都是一元三次方程 4x3－28x2＋53x－20＝0，这个方程对于初中毕 业的水平是不好解的． 事实上，这个方程可以因式分解， ． 如图 3，x＝ ；如图 4，x＝4；如图 5，x＝ ，但此时点 E 在 x 轴上方了． 这个方程我们也可以用待定系数法解： 设方程的三个根是 、m、n，那么 4x3－28x2＋53x－20＝ ． 根据恒等式对应项的系数相等，得方程组 解得 图 4 图 5 5 5( , )2 2 − 5 5( , )2 2 22 ( 1)( 5) (5 )3 x x x x − − − = −   1 2 5 2 25 4 2 25 2 25( ) ( 1)( 5)2 3 4x x x − + − − − =   5 1( 4)( )( ) 02 2x x x− − − = 5 2 1 2 5 2 54( )( )( )2x x m x n− − − 4 4 10 28, 10 10 4 53, 10 20. m n m n mn mn + + =  + + =  = 4, 1 .2 m n = = 例 25 2014 年湖南省益阳市中考第 20 题 如图 1，直线 y＝－3x＋3 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、B，抛物线 y＝a(x－2)2＋k 经过 A、B 两点，并与 x 轴交于另一点 C，其顶点为 P． （1）求 a，k 的值； （2）抛物线的对称轴上有一点 Q，使△ABQ 是以 AB 为底边的等腰三角形，求点 Q 的 坐标； （3）在抛物线及其对称轴上分别取点 M、N，使以 A、C、M、N 为顶点的四边形为正 方形，求此正方形的边长．】 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 益阳 20”，可以体验到，点 Q 在线段 AB 的垂直平分线 上．还可以体验到，正方形的对角线为 AC，有一个顶点恰为抛物线的顶点． 思路点拨 1．第（2）题的等腰三角形只考虑 QA＝QB 的情形． 2．第（3）题的正方形不可能 AC 为边，只存在 AC 为对角线的情形． 图文解析 （1）由 y＝－3x＋3，得 A(1, 0)，B(0, 3)． 将 A(1, 0)、B(0, 3)分别代入 y＝a(x－2)2＋k，得 解得 a＝1，k＝－1． （2）如图 2，抛物线的对称轴为直线 x＝2，设点 Q 的坐标为(2, m)． 已知 A(1, 0)、B(0, 3)，根据 QA2＝QB2，列方程 12＋m2＝22＋(m－3)2． 解得 m＝2．所以 Q(2, 2)． （3）点 A(1, 0)关于直线 x＝2 的对称点为 C(3, 0)，AC＝2． 如图 3，如果 AC 为正方形的边，那么点 M、N 都不在抛物线或对称轴上． 如图 4，当 AC 为正方形的对角线时，M、N 中恰好有一个点是抛物线的顶点(2,－ 1) ． 因为对角线 AC＝2，所以正方形的边长为 ． 0, 4 3. a k a k + =  + = 2 图 2 图 3 图 4 考点伸展 如果把第（3）题中的正方形改为平行四边形，那么符合条件的点 M 有几个？ ①如果 AC 为对角线，上面的正方形 AMCN 是符合条件的，M(2,－1)． ②如图 5，如果 AC 为边，那么 MN//AC，MN＝AC＝2．所以点 M 的横坐标为 4 或 0． 此时点 M 的坐标为(4, 3)或(0, 3)． 第（2）题如果没有限制等腰三角形 ABQ 的底边，那么符合条件的点 Q 有几个？ ①如图 2，当 QA＝QB 时，Q(2, 2)． ②如图 6，当 BQ＝BA＝ 时，以 B 为圆心，BA 为半径的圆与直线 x＝2 有两个交 点． 根据 BQ2＝10，列方程 22＋(m－3)2＝10，得 ． 此时 Q 或 ． ③如图 7，当 AQ＝AB 时，以 A 为圆心，AB 为半径的圆与直线 x＝2 有两个交点，但是 点(2,－3)与 A、B 三点共线，所以 Q(2, 3)． 图 5 图 6 图 7 10 3 6m = ± (2,3 6)+ (2,3 6)− 例 26 2014 年湖南省邵阳市中考第 25 题 准备一张矩形纸片（如图 1），按如图 2 操作： 将△ABE 沿 BE 翻折，使点 A 落在对角线 BD 上的点 M，将△CDF 沿 DF 翻折，使点 C 落在对角线 BD 上的点 N． （1）求证：四边形 BFDE 是平行四边形； （2）若四边形 BFDE 是菱形，AB＝2，求菱形 BFDE 的面积． 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“14 邵阳 25”，拖动点 D 可以改变矩形 ABCD 的形状，可以体 验到，当 EM 与 FN 在同一条直线上时，四边形 BFDE 是菱形，此时矩形的直角被三等 分． 思路点拨 1．平行四边形的定义和 4 个判定定理都可以证明四边形 BFDE 是平行四边形． 2．如果平行四边形 BFDE 是菱形，那么对角线平分一组对角，或者对角线互相垂 直．用这两个性质都可以解答第（2）题． 图文解析 （1）如图 3，因为 AB//DC，所以∠ABD＝∠CDB． 又因为∠1＝∠2，∠3＝∠4，所以∠1＝∠3．所以 BE//FD． 又因为 ED//BF，所以四边形 BFDE 是平行四边形． 图 3 图 4 （2）如图 4，如果四边形 BFDE 是菱形，那么∠1＝∠5． 所以∠1＝∠2＝∠5． 由于∠ABC＝90°，所以∠1＝∠2＝∠5＝30°． 所以 BD＝2AB＝4，AE＝ ．所以 ME＝ ．2 3 3 2 3 3 所以 S 菱形 BFDE＝2S△BDE＝BD·ME＝ ． 考点伸展 第（1）题的解法，我们用平行四边形的定义作为判定的依据，两组对边分别平行的四 边形叫平行四边形．还可以这样思考： 证明四边形 BFDE 的两组对边分别相等； 证明 ED 与 BF 平行且相等； 证明四边形 BFDE 的两组对角分别相等． 这三种证法，都要证明三角形全等，而全等的前提，要证明∠1＝∠2＝∠3＝∠4． 这样其实就走了弯路，因为由∠1＝∠3，直接得到 BE//FD，根据平行四边形的定义来 得快． 能不能根据 BD 与 EF 互相平分来证明呢？也是可以的： 如图 5，设 EF 与 BD 交于点 O，根据“角角边”证明△EMO≌△FNO，得到 EF 与 MN 互相平分．又因为 BM＝DN，于是得到 EF 与 BD 互相平分． 图 5 图 6 第（2）题的解法，我们用了菱形的性质：对角线平分每组对角，得到 30°的角． 我们也可以根据菱形的对角线互相垂直平分来解题： 如图 6，如果四边形 BFDE 是菱形，那么对角线 EF⊥BD，此时垂足 M、N 重合． 因此 BD＝2DC．这样就得到了∠5＝30°． 事实上，当四边形 BFDE 是菱形时，矩形 ABCD 被分割为 6 个全等的直角三角形． 由 AB＝2，得 AD＝ ．矩形 ABCD 的面积为 ． 菱形面积占矩形面积的 ，所以菱形面积为 ． 8 3 3 2 3 4 3 2 3 8 3 3 §1．5 因动点产生的面积问题 课前导学 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类： 第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根． 第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确． 如图 1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直 接用面积公式． 如图 2，图 3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的 面积，用“割”或“补”的方法． 图 1 图 2 图 3 计算面积长用到的策略还有： 如图 4，同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． 如图 5，同底三角形的面积比等于高的比． 如图 6，同高三角形的面积比等于底的比． 图 4 图 5 图 6 例 32 2014 年湖南省常德市中考第 25 题 如图 1，已知二次函数的图象过点 O(0,0)、A(4，0)、B( )，M 是 OA 的中点． （1）求此二次函数的解析式； （2）设 P 是抛物线上的一点，过 P 作 x 轴的平行线与抛物线交于另一点 Q，要使四边形 PQAM 是菱形，求点 P 的坐标； （3）将抛物线在 轴下方的部分沿 轴向上翻折，得曲线 OB′A（B′为 B 关于 x 轴的对 称点），在原抛物线 x 轴的上方部分取一点 C，连结 CM，CM 与翻折后的曲线 OB′A 交于点 D， 若△CDA 的面积是△MDA 面积的 2 倍，这样的点 C 是否存在？若存在求出点 C 的坐标；若不 存在，请说明理由． 4 32, 3 − x x 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 常德 25”，拖动点 P 在抛物线上运动，可以体验到，当四 边形 PQAM 是平行四边形时，也恰好是菱形．拖动点 C 在抛物线上运动，还可以体验到，△ MCA 与△MDA 是同底三角形，它们的面积比等于对应高的比． 思路点拨 1．设交点式或顶点式求抛物线的解析式都比较简便． 2．先确定四边形 PQAM 是平行四边形，再验证它是菱形． 3．把△CDA 与△MDA 的面积比，转化为△MCA 与△MDA 的面积比，进而转化为点 C 与点 D 的纵坐标的比． 图文解析 （1）因为抛物线与 x 轴交于 O(0,0)、A(4，0)两点，设 y＝ax(x－4)． 代入点 B( )，得 ．解得 ．所以 ． （2）如图 2，由 A(4，0)，M 是 OA 的中点，可知 OA＝4，MA＝2，M(2, 0)． 如果四边形 PQAM 是菱形，已知 PQ//OA，首先要满足 PQ＝2，再必须 MP＝2． 因为抛物线的对称轴是直线 x＝2，P、Q 关于 x＝2 对称，所以点 P 的横坐标为 1，故 点 P 的坐标为 ． 由 M(2, 0)、P ，可得 MP＝2．所以当点 P 的坐标为 时，四边形 PQAM 是 菱形． （3）如图 3，作 CE⊥x 轴于 E，作 DF⊥x 轴于 F． 我们把面积进行两次转换： 如果△CDA 的面积是△MDA 面积的 2 倍，那么△MCA 的面积是△MDA 面积的 3 倍． 而△MCA 与△MDA 是同底三角形，所以高的比 CE∶DF＝3∶1，即 yC∶yD＝3∶1． 因此 ME∶MF＝3∶1．设 MF＝m，那么 ME＝3m． 原 抛 物 线 的 解 析 式 为 ， 所 以 翻 折 后 的 抛 物 线 的 解 析 式 为 ． 所以 D ，C ． 4 32, 3 − 4 3 43 a− = − 3 3a = 3 ( 4)3y x x= − (1, 3)− (1, 3)− (1, 3)− 3 ( 4)3y x x= − 3 ( 4)3y x x= − − 3(2 , (2 )(2 4))3m m m+ − + + − 3(2 3 , (2 3 )(2 3 4))3m m m+ + + − 根据 yC∶yD＝3∶1，列方程 ． 整理，得 3m2＝4．解得 ．所以 ． 所以点 C 的坐标为 （如图 3），或 （如图 4）． 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第（1）题可以设抛物线的顶点式： 由点 O(0,0), A(4，0)，B( )的坐标，可知点 B 是抛物线的顶点． 可设 ，代入点 O(0,0)，得 ． 例 33 2014 年湖南省永州市中考第 25 题 如图 1，抛物线 y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与 x 轴交于 A(－1, 0)，B(4, 0)两点，与 y 轴交于 点 C(0, 2)．点 M(m, n)是抛物线上一动点，位于对称轴的左侧，并且不在坐标轴上．过点 M 作 x 轴的平行线交 y 轴于点 Q，交抛物线于另一点 E，直线 BM 交 y 轴于点 F． （1）求抛物线的解析式，并写出其顶点坐标； （2）当 S△MFQ∶S△MEB＝1∶3 时，求点 M 的坐标． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 永州 25”，拖动点 M 在抛物线左半侧上运动，观察面积比 3 3(2 3 )(2 3 4) 3 (2 )(2 4)3 3m m m m  + + − = − + + −    2 3 3m = ± 2 3 2 2 3m+ = ± 8 3(2 2 3, )3 + 8 3(2 2 3, )3 − 4 32, 3 − 2 4 3( 2) 3y a x= − − 3 3a = 的度量值，可以体验到，存在两个时刻，△MEB 的面积等于△MFQ 面积的 3 倍． 思路点拨 1．设交点式求抛物线的解析式比较简便． 2．把△MFQ 和△MEB 的底边分别看作 MQ 和 ME，分别求两个三角形高的比，底边的 比（用含 m 的式子表示），于是得到关于 m 的方程． 3．方程有两个解，慎重取舍．解压轴题时，时常有这种“一石二鸟”的现象，列一个 方程，得到两个符合条件的解． 图文解析 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(－1, 0)，B(4, 0)两点，设 y＝a(x＋1)(x－4)． 代入点 C(0, 2)，得 2＝－4a．解得 ．所以 ． 顶点坐标为 ． （2）如图 2，已知 M(m, n)，作 MN⊥x 轴于 N． 由 ，得 ．所以 ． 因为抛物线的对称轴是直线 ，所以 ME＝ ． 由于 S△MFQ＝ ＝ ＝ ， S△MEB＝ ＝ ， 所以当 S△MFQ∶S△MEB＝1∶3 时， ∶ ＝1∶3． 整理，得 m2＋11m－12＝0．解得 m＝1，或 m＝－12． 所以点 M 的坐标为(1, 3)或(－12,－88)． 图 2 考点伸展 第（2）题 S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，何需点 M 一定要在抛物线上？ 1 2a = − 2 21 1 3 1 3 25( 1)( 4) 2 ( )2 2 2 2 2 8y x x x x x= − + − = − + + = − − + 3 25( )2 8 ， =FQ MN MQ BN = 4 FQ n m m− = 4 mnFQ m− 3 2x = 32( ) 3 22 m m− = − 1 2 FQ MQ⋅ 1 2 4 mn mm × ×− 21 2 4 m n m × − 1 2 ME MN⋅ 1 (3 2 )2 m n− 2 4 m n m− (3 2 )m n− 从上面的解题过程可以看到，△MFQ 与△MEB 的高的比 与 n 无关，两条 底边的比 也与 n 无关． 如图 3，因此只要点 E 与点 M 关于直线 x＝ 对称，点 M 在直线的左侧，且点 M 不在 坐标轴上，就存在 S△MFQ∶S△MEB＝1∶3，点 M 的横坐标为 1（如图 3）或－12（如图 4）． 图 3 图 4 §1．6 因动点产生的相切问题 课前导学 一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形． 解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第 三步解方程并验根． 第一步在罗列三要素 R、r、d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用 含有 x 的式子表示．第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况． 二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形． 解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R 和 d，第二步列方程，第三步 解方程并验根． 第一步在罗列两要素 R 和 d 的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用 含有 x 的式子表示．第二步列方程，就是根据直线与圆相切时 d＝R 列方程． 如图 1，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，圆 O 的半径为 1，点 C 在 y 轴的正半轴上，如果圆 C 既与直线 AB 相切，又与圆 O 相切，求点 C 的坐标． “既……，又……”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个． 假设圆 C 与直线 AB 相切于点 D，设 CD＝3m，BD＝4m，BC＝5m，那么点 C 的坐标为 (0,4－5m)． 罗列三要素：对于圆 O，r＝1；对于圆 C，R＝3m；圆心距 OC＝4－5m． 分类列方程：两圆外切时，4－5m＝3m＋1；两圆内切时，4－5m＝3m－1． = 4 FQ m MN m− = 3 2 MQ m ME m− 3 2 4 43y x= + 把这个问题再拓展一下，如果点 C 在 y 轴上，那么还要考虑点 C 在 y 轴负半轴． 相同的是，对于圆 O，r＝1；对于圆 C，R＝3m；不同的是，圆心距 OC＝5m－4． 图 1 例 42 2014 年湖南省衡阳市中考第 27 题 如图 1，直线 AB 与 x 轴交于点 A(－4, 0)，与 y 轴交于点 B(0, 3)．点 P 从点 A 出发，以 每秒 1 个单位长度的速度沿直线 AB 向点 B 移动．同时将直线 以每秒 0.6 个单位长度 的速度向上平移，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D，设运动时间为 t（0＜t＜5）秒． （1）证明：在运动过程中，四边形 ACDP 总是平行四边形； （2）当 t 取何值时，四边形 ACDP 为菱形？请指出此时以点 D 为圆心、OD 长为半径 的圆与直线 AB 的位置关系并说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 衡阳 27”，拖动点 P 运动，可以体验到，当平行四边形 ACDP 是菱形时，圆 D 与直线 AB 恰好相切． 思路点拨 1．用含 t 的式子把线段 OD、OC、CD、AP、AC 的长都可以表示出来． 2．两条直线的斜率相等，这两条直线平行． 3．判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小． 3 4y x= 图文解析 （1）如图 2，由 A(－4, 0)、B(0, 3)，可得直线 AB 的解析式为 ． 所以直线 AB//CD． 在 Rt△OCD 中，OD∶OC＝3∶4，OD＝0.6t，所以 OC＝0.8t，CD＝t． 所以 AP＝CD＝t．所以四边形 ACDP 总是平行四边形． （2）如图 3，如果四边形 ACDP 为菱形，那么 AC＝AP． 所以 4－0.8t＝t．解得 t＝ ． 此时 OD＝0.6t＝ ．所以 BD＝ ＝ ． 作 DE⊥AB 于 E． 在 Rt△BDE 中，sinB＝ ，BD＝ ，所以 DE＝BD·sinB＝ ． 因此 OD＝DE，即圆心 D 到直线 AB 的距离等于圆 D 的半径． 所以此时圆 D 与直线 AB 相切于点 E（如图 4）． 图 2 图 3 考点伸展 在本题情境下，点 P 运动到什么位置时，平行四边形 ACDP 的面积最大？ S 平行四边形 ACDP＝AC·DO＝ ＝ ＝ ． 当 时，平行四边形 ACDP 的面积最大，最大值为 3． 此时点 P 是 AB 的中点（如图 5）． 图 4 图 5 3 34y x= + 20 9 4 3 43 3 − 5 3 4 5 5 3 4 3 4 3(4 )5 5t t− × 212 12+25 5t t− 212 5( ) 325 2t− − + 5 2t = 例 43 2014 年湖南省株洲市中考第 23 题 如图 1，PQ 为圆 O 的直径，点 B 在线段 PQ 的延长线上，OQ＝QB＝1，动点 A 在圆 O 的上半圆上运动（包含 P、Q 两点），以线段 AB 为边向上作等边三角形 ABC． （1）当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，求△ABC 的面积（如图 1）； （2）设∠AOB＝ ，当线段 AB 与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）时，求 的范围 （如图 2，直接写出答案）； （3）当线段 AB 与圆 O 有两个公共点 A、M 时，如果 AO⊥PM 于点 N，求 CM 的长 （如图 3）． 图 1 图 2 图 3 动感体验 请打开几何画板文件名“14 株洲 23”，拖动点 A 在圆上运动，可以体验到，当点 A 在 直线 AB 与圆的切点的右侧（包括切点）时，线段 AB 与圆有一个交点．还可以体验到，当 AO⊥PM 时，NO、MQ 是中位线，此时等腰三角形 AOM 的高 MN 是确定的． 思路点拨 1．过点 B 画圆 O 的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意． 2．第（3）题发现 AO//MQ 很重要，进一步发现 NO、MQ 是中位线就可以计算了． 图文解析 （1）如图 4，连结 OA． 当线段 AB 所在的直线与圆 O 相切时，OA⊥AB，A 为切点． 此时在 Rt△AOB 中，OA＝1，OB＝2，所以 AB＝ ，∠ABO＝30°． 此时等边三角形 ABC 的高为 ，所以 S△ABC＝ ． （2）0°≤ ≤60°． （3）如图 5，连结 MQ，那么∠PMQ＝90°． 当 AO⊥PM 时，AO//MQ． 由于 Q 是 OB 的中点，所以 ，M 是 AB 的中点．所以 CM⊥AB． α α 3 33sin 60 2 ° = 3 3 4 α 1 2MQ AO= 由于 O 是 PQ 的中点，所以 ．所以 ． 如图 6，连结 MO．在 Rt△OMN 中， ，MO＝1，所以 MN2＝ ． 在 Rt△AMN 中，AM2＝AN2＋MN2＝ ．所以 AM＝ ． 于是在 Rt△CAM 中，CM＝ AM＝ ＝ ． 图 4 图 5 图 6 考点伸展 第（2）题的题意可以这样理解：如图 7，过点 B 画圆 O 的切线，切点为 G． 如图 8，弧 上的每一个点（包括点 G、Q）都是符合题意的点 A，即线段 AB 与圆 O 只有一个公共点（即 A 点）． 如图 9，弧 上的每一个点 A（不包括点 Q）与点 B 连成的线段 AB，与圆 O 都有两 个交点 A、M． 图 7 图 8 图 9 §1．7 因动点产生的线段和差问题 课前导学 线段和差的最值问题，常见的有两类： 1 2NO MQ= 1 1 1 2 4 4NO MQ AO= = = 1 4NO = 15 16 23 15 24 3( )4 16 16 2 + = = 6 2 3 63 2 × 3 2 2 GQ GP 第一类问题是“两点之间，线段最短”． 两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称 轴“河流”（如图 1）． 三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射” 问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图 2）． 两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两 条线段差的最大值就是第三边的长．如图 3，PA 与 PB 的差的最大值就是 AB，此时点 P 在 AB 的延长线上，即 P′． 解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题． 图 1 图 2 图 3 第二类问题是“两点之间，线段最短”结合“垂线段最短”． 如图 4，正方形 ABCD 的边长为 4，AE 平分∠BAC 交 BC 于 E．点 P 在 AE 上，点 Q 在 AB 上，那么△BPQ 周长的最小值是多少呢？ 如果把这个问题看作“牛喝水”问题，AE 是河流，但是点 Q 不确定啊． 第一步，应用“两点之间，线段最短”．如图 5，设点 B 关于“河流 AE”的对称点为 F，那么此刻 PF＋PQ 的最小值是线段 FQ． 第二步，应用“垂线段最短”．如图 6，在点 Q 运动过程中，FQ 的最小值是垂线段 FH． 这样，因为点 B 和河流是确定的，所以点 F 是确定的，于是垂线段 FH 也是确定的． 图 4 图 5 图 6 例 50 2014 年湖南省郴州市中考第 26 题 已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过 A(－1, 0)、B(2, 0)、C(0, 2)三点． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图 1，点 P 是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点 P 运动到什么位置时， 四边形 ABPC 的面积最大？求出此时点 P 的坐标； （3）如图 2，设线段 AC 的垂直平分线交 x 轴于点 E，垂足为 D，M 为抛物线的顶点， 那么在直线 DE 上是否存在一点 G，使△CMG 的周长最小？若存在，请求出点 G 的坐标； 若不存在，请说明理由． 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“14 郴州 26”，拖动点 P 运动，可以体验到，当点 P 运动到 CB 的中点的正上方时，四边形 ABPC 的面积最大．拖动点 G 运动，可以体验到，当 A、G、M 三点共线时，GC＋GM 最小，△CMG 的周长最小． 思路点拨 1．设交点式求抛物线的解析式比较简便． 2．连结 OP，把四边形 ABPC 的面积分割为三个三角形的面积和． 3．第（3）题先用几何说理确定点 G 的位置，再用代数计算求解点 G 的坐标． 图文解析 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(－1, 0)、B(2, 0)两点，设 y＝a(x＋1)(x－2)． 代入点 C(0, 2)，可得 a＝－1． 所以这条抛物线的解析式为 y＝－(x＋1)(x－2)＝－x2＋x＋2． （2）如图 3，连结 OP．设点 P 的坐标为(x,－x2＋x＋2)． 由于 S△AOC＝1，S△POC＝x，S△POB＝－x2＋x＋2， 所以 S 四边形 ABPC＝S△AOC＋S△POC＋S△POB＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4． 因此当 x＝1 时，四边形 ABPC 的面积最大，最大值为 4．此时 P(1, 2)． （3）第一步，几何说理，确定点 G 的位置： 如图 4，在△CMG 中，CM 为定值，因此当 GC＋GM 最小时，△CMG 的周长最小． 由于 GA＝GC，因此当 GA＋GM 最小时，GC＋GM 最小． 当点 G 落在 AM 上时，GA＋GM 最小（如图 5）． 图 3 图 4 图 5 第二步，代数计算，求解点 G 的坐标： 如图 6， ，cos∠CAO＝ ，所以 ，E ． 如图 7，由 y＝－x2＋x＋2＝ ，得 M ． 由 A(－1, 0)、M ，得直线 AM 的解析式为 ． 作 GH⊥x 轴于 H．设点 G 的坐标为 ． 由于 tan∠GEH＝tan∠ACO＝ ，所以 ，即 EH＝2GH． 所以 ．解得 ．所以 G ． 图 6 图 7 图 8 考点伸展 第（2）题求四边形 ABPC 的面积，也可以连结 BC（如图 8）． 因为△ABC 的面积是定值，因此当△PCB 的面积最大时，四边形 ABPC 的面积也最 大． 过点 P 作 x 轴的垂线，交 CB 于 F． 因为△PCF 与△PBF 有公共底边 PF，高的和等于 C、B 两点间的水平距离，所以当 PF 最大时，△PCB 的面积最大． 设点 P(x,－x2＋x＋2)，F(x,－x＋2)，那么 PF＝－x2＋2x． 当 x＝1 时，PF 最大．此时 P(1, 2)． 例 51 2014 年湖南省湘西州中考第 25 题 如图 1，抛物线 y＝ax2＋bx＋c 关于 y 轴对称，它的顶点在坐标原点 O，点 B 和 点 C(－3,－3)均在抛物线上，点 F 在 y 轴上，过点 作直线 l 与 x 轴平行． （1）求抛物线的解析式和直线 BC 的解析式； （2）设点 D(x, y)是线段 BC 上的一个动点（点 D 不与 B、C 重合），过点 D 作 x 轴的垂 线，与抛物线交于点 G，设线段 GD 的长为 h，求 h 与 x 之间的函数关系式，并求出当 x 为 何值时，线段 GD 的长度 h 最大，最大长度 h 的值是多少？ （3）若点 P(m, n)是抛物线上位于第三象限的一个动点，连结 PF 并延长，交抛物线于 5AC = 1 5 AD AO AE AC = = 55 2AE AD= = 3( ,0)2 21 9( )2 4x− − + 1 9( )2 4 ， 1 9( )2 4 ， 3 3 2 2y x= + 3 3( , )2 2x x + 1 2 1 2 GH EH = 3 3 32( )2 2 2x x− = + 3 8x = − 3 15( , )8 16 − 4(2 )3 −， 3(0 )4 −， 3(0 )4 ， 另一点 Q，过点 Q 作 QS⊥l，垂足为 S，过点 P 作 PN⊥l，垂足为 N，试判断△FNS 的形状， 并说明理由； （4）若点 A(－2, t)在线段 BC 上，点 M 为抛物线上的一个动点，连结 AF，当点 M 在 何位置时，MF＋MA 的值最小．请直接写出此时点 M 的坐标与 MF＋MA 的最小值． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 湘西 25”，点击屏幕左下方的按钮（2），拖动点 D 在 BC 上 运动，可以体验到，当点 D 是 BC 的中点时，GD 最大．点击按钮（3），拖动点 P 运动，可 以体验到，△FNS 保持直角三角形的形状．点击按钮（4），拖动点 M 运动，可以体验到，ME 与 MF 保持相等，当 AE 是垂线段时，ME＋MA 最小． 思路点拨 1．第（2）题用 x 表示 G、D 两点的纵坐标，GD 的长就转化为关于 x 的二次函数． 2．第（3）题是典型结论：抛物线上任意一点到直线 l 的距离等于它与点 F 间的距 离． 3．第（4）题要经过两步说理，得到 MF＋MA 的最小值是点 A 到 l 的垂线段长． 图文解析 （1）因为抛物线的顶点在坐标原点，所以 y＝ax2． 代入点 C(－3,－3)，得 ．所以抛物线的解析式为 ． 设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋b，代入 B 、C(－3,－3)，得 解得 ，b＝－2．所以直线 BC 的解析式为 ． （2）由于点 D、G 分别在直线 BC 和抛物线上，所以 D ，G ． 所以 h＝GD＝ ＝ ． 因此当 时，h 取得最大值，最大值为 ． （3）如图 2，设点 为 H．设直线 PQ 的解析式为 ． 1 3a = − 21 3y x= − 4(2 )3 −， 42 ,3 3 3. k b k b  + = − − + = − 1 3k = 1 23y x= − 1( , 2)3x x − 21( , )3x x− 21 1( 2)3 3x x− − − 21 1 25( + ) +3 2 12x− 1 2x = − 25 12 3(0 )4 ， 3 4y kx= − 联立直线 PQ： 与抛物线 ，消去 y，得 ． 所以 x1·x2＝ ．它的几何意义是 HS·HN＝ ． 又因为 HF＝ ．所以 HF2＝HS·HN．所以 ． 所以 tan∠1＝tan∠2．所以∠1＝∠2． 又因为∠1 与∠3 互余，所以∠2 与∠3 互余．所以△FNS 是直角三角形． （4）MF＋MA 的最小值是 ，此时点 M 的坐标是 ． 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第（3）题也可以通过计算得到 PF＝PN．同理得到 QF＝QS．这样我们就可以根据“等 边对等角”及“两直线平行，内错角相等”，得到∠NFC＝90°． 应用这个结论，就容易解答第（4）题： 如图 3，作 ME⊥l 于 E，那么 MF＝ME． 当 ME＋MA 的值最小时，MF＋MA 的值也最小． 当 A、M、E 三点共线时，ME＋MA 的值最小，最小值为 AE． 而 AE 的最小值为点 A 到 l 的垂线段，即 AE⊥l 时，AE 最小（如图 4）． §2．1 由比例线段产生的函数关系问题 课前导学（一） 图形运动的过程中，求两条线段之间的函数关系，是中考数学的热点问题． 产生两条线段间的函数关系，常见的情况有两种，一是勾股定理，二是比例关系．还有 一种不常见的，就是线段全长等于部分线段之和． 由勾股定理产生的函数关系，在两种类型的题目中比较常用． 类型一，已知“边角边”，至少一边是动态的，求角的对边．如图 1，已知点 A 的坐标 为(3, 4)，点 B 是 x 轴正半轴上的一个动点，设 OB＝x，AB＝y，那么我们在直角三角形 ABH 中用勾股定理，就可以得到 y 关于 x 的函数关系式． 类型二，图形的翻折．已知矩形 OABC 在坐标平面内如图 2 所示，AB＝5，点 O 沿直 3 4y kx= − 21 3y x= − 21 3 03 4x kx+ − = 9 4 − 9 4 3 2 HF HS HN HF = 8 3 4( 2, )3 − − 线 EF 翻折后，点 O 的对应点 D 落在 AB 边上，设 AD＝x，OE＝y，那么在直角三角形 AED 中用勾股定理就可以得到 y 关于 x 的函数关系式． 图 1 图 2 由比例线段产生的函数关系问题，在两种类型的题目中比较常用． 一是由平行线产生的对于线段成比例，二是相似三角形的对应边成比例． 一般步骤是先说理产生比例关系，再代入数值或表示数的字母，最后整理、变形，根据 要求写出定义域． 关键是寻找比例关系，难点是有的整理、变形比较繁琐，容易出错． 课前导学（二） 图形运动的过程中，求面积随某个量变化的函数关系，是中考数学的热点问题． 计算面积常见的有四种方法，一是规则图形的面积用面积公式；二是不规则图形的面积 通过割补进行计算；三是同高（或同底）三角形的面积比等于对应边（或高）的比；四是相 似三角形的面积比等于相似比的平方． 前两种方法容易想到，但是灵活使用第三种和第四种方法，可以使得运算简单． 一般情况下，在求出面积 S 关于自变量 x 的函数关系后，会提出在什么情况下（x 为何 值时），S 取得最大值或最小值． 关于面积的最值问题，有许多经典的结论． 例 1，周长一定的矩形，当正方形时，面积最大． 例 2，面积一定的矩形，当正方形时，周长最小． 例 3，周长一定的正多边形，当边数越大时，面积越大，极限值是圆． 例 4，如图 1，锐角△ABC 的内接矩形 DEFG 的面积为 y，AD＝x，当点 D 是 AB 的中 点时，面积 y 最大． 例 5，如图 2，点 P 在直线 AB 上方的抛物线上一点，当点 P 位于 AB 的中点 E 的正上 方时，△PAB 的面积最大． 例 6，如图 3，△ABC 中，∠A 和对边 BC 是确定的，当 AB＝AC 时，△ABC 的面积最 大． 图 1 图 2 图 3 例 1 2014 年湖南省常德市中考第 26 题 如图 1，图 2，已知四边形 ABCD 为正方形，在射线 AC 上有一动点 P，作 PE⊥AD（或 延长线）于 E，作 PF⊥DC（或延长线）于 F，作射线 BP 交 EF 于 G． （1）在图 1 中，正方形 ABCD 的边长为 2，四边形 ABFE 的面积为 y，设 AP＝ ，求 y 关于 的函数表达式； （2）GB⊥EF 对于图 1，图 2 都是成立的，请任选一图形给出证明； （3）请根据图 2 证明：△FGC∽△PFB． 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“14 常德 26”，拖动点 P 在射线 AC 上运动，可以体验到，EM 和 FN 把正方形 ABCD 分割成了两个正方形和两个全等的矩形，B、C、G、F 四点共圆． 思路点拨 1．四边形 ABFE 可以用大正方形减去两个直角三角形得到． 2．画直线 EP、FP，把正方形分割为两个正方形和两个全等的矩形． 图文解析 （1）如图 3，延长 EP 交 BC 于 M，延长 FP 交 AB 于 N，那么四边形 AEPN 和四边形 CFPM 是正方形． 由 AP＝ ，可得正方形 AEPN 的边长为 ．所以 FC＝DE＝ ． 由于 S△DEF＝ ＝ ，S△BCF＝ ＝ ， 所以 y＝S 四边形 ABFE＝S 正方形 ABCD－S△DEF－S△BCF x x x 2 2 x 22 2 x− 1 2 DF DE⋅ 1 2 2(2 )2 2 2x x× − 1 2 BC FC⋅ 1 22 (2 )2 2 x× × − ＝4－ － ＝ ． 图 3 图 4 （2）如图 4，因为 tan∠EFP＝ ，tan∠PBN＝ ，且 PE＝NP，PF＝NB，所以 ∠EFP＝∠PBN． 又因为∠1＝∠2，∠1＋∠PBN＝90°，所以∠2＋∠EFP＝90°．所以 GB⊥EF． （3）如图 5，由于 GB⊥EF，∠BCF＝90°，所以 B、C、G、F 四点共圆． 所以∠FCG＝∠PBF，∠CGB＝∠CFB． 又因为∠CGF＝∠CGB＋90°，∠BFP＝∠CFB＋90°，所以∠CGF＝∠BFP． 所以△FGC∽△PFB． 图 5 图 6 图 7 考点伸展 如图 6， 由于 tan∠EFP＝tan∠PBN， 所以∠EFP＝∠PBN． 又因为∠PBN＋∠1＝90°，所以∠EFP＋∠1＝90°． 因此这种情况下，依然有 BG⊥EF． 第（1）题还有更简便的割补办法：如图 7，连结 EN． 由于 S 四边形 NBFE＝S△ENF＋S△BNF＝ ， S△AEN＝ ，所以 y＝S 四边形 ABFE＝S 四边形 NBFE＋S△AEN＝ ． 例 2 2014 年湖南省湘潭市中考第 25 题 如图 1，△ABC 为等边三角形，边长为 a，点 F 在 BC 边上，DF⊥AB，EF⊥AC，垂足 分别为 D、E． 2 2(2 )4 2x x− 2(2 )2 x− 21 +24 x PE PF NP NB 1 1( ) 22 2NF EP MP NF EM+ = ⋅ = 2 21 1 4 4AP x= 21 +24 x （1）求证：△BDF∽△CEF； （2）若 a＝4，设 BF＝m，四边形 ADFE 面积为 S，求出 S 与 m 之间的函数关系，并探 究当 m 为何值时 S 取得最大值； （3）已知 A、D、F、E 四点共圆，已知 tan∠EDF＝ ， 求此圆的直径（用含 a 的式子表示）． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 湘潭 25”，拖动点 F 在 BC 上运动，观察 S 随 m 变化的图 像，可以体验到，当 F 运动到 BC 的中点时，S 取得最大值．还可以看到，圆的直径就是直 角三角形 AEF 的斜边． 思路点拨 1．用割补法求四边形 ADFE 的面积比较简单． 2．当 A、D、F、E 四点共圆时，由于∠EDF＝∠EAF，那么在△ACF 中，两角及夹边 就是确定的，可以解这个三角形． 图文解析 （1）如图 1，因为∠B＝∠C＝60°，∠BDF＝∠CEF＝90°，所以△BDF∽△CEF． （2）如图 2，当等边三角形 ABC 的边长 a＝4 时，S△ABC＝ ． 在 Rt△BDF 中，∠B＝60°，BF＝m，所以 ， ． 所以 S△BDF＝ ＝ ． 在 Rt△CEF 中，∠C＝60°，CF＝4－m，所以 ， ． 所以 S△CEF＝ ＝ ． 因此 S＝S 四边形 ADFE＝S△ABC－S△BDF－S△CEF 3 2 4 3 1 2BD m= 3 2FD m= 1 2 BD FD⋅ 23 8 m 1 (4 )2CE m= − 3 (4 )2FE m= − 1 2 CE FE⋅ 23 (4 )8 m− ＝ ＝ ＝ ． 所以当 m＝2 时，S 取得最大值，最大值为 ．此时点 F 是 BC 的中点（如图 3）． （3）如图 4，由于 A、D、F、E 四点共圆，所以∠EAF＝∠EDF． 因为∠AEF＝90°，所以 AF 是圆的直径． 在 Rt△EAF 中，由于 tan∠EAF＝ ＝ ，设 EF＝ ，EA＝2x． 在 Rt△ECF 中，∠C＝60°，所以 ．因此 EC＝x． 由 AC＝EA＋EC＝a，得 2x＋x＝a．所以 x＝ ． 所以在 Rt△EAF 中，EF＝ ，EA＝ ，由勾股定理，得圆的直径 AF＝ ． 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第（2）题也可以求△ADF 与△AEF 的面积和． 由于 ， ，所以 AD＝ ，S△ADF＝ ． 由于 ， ，所以 AE＝ ，S△AEF＝ ． 因此 S＝S△ADF＋S△AEF＝ ＝ ． 例 3 2014 年湖南省郴州市中考第 25 题 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，BC＝16cm，AD 是斜边 BC 上的 高，垂足为 D，BE＝1cm，点 M 从点 B 出发沿 BC 方向以 1cm/s 的速度运动，点 N 从点 E 出发，与点 M 同时同方向以相同的速度运动．以 MN 为边在 BC 的上方作正方形 MNGH．点 2 23 34 3 (4 )8 8m m− − − 23 3 2 34 m m− + + 23 ( 2) 3 34 m− − + 3 3 EF EA 3 2 3x 3EF EC = 1 3 a 3 3 a 2 3 a 7 3 a 1 2BD m= 3 2FD m= 14 2 m− 3 (8 )8 m m− 1 (4 )2CE m= − 3 (4 )2FE m= − 12 2 m+ 23 (16 )8 m− 23 3(8 ) (16 )8 8m m m− + − 23 3 2 34 m m− + + M 到达点 D 时停止运动，点 N 到达点 C 时停止运动．设运动时间为 t（s）． （1）当 t 为何值时，点 G 刚好落在线段 AD 上？ （2）设正方形 MNGH 与 Rt△ABC 重叠部分的图形的面积为 S．当重叠部分的图形是正 方形时，求出 S 关于 t 的函数关系式并写出自变量 t 的取值范围； （3）设正方形 MNGH 的边 NG 所在直线与线段 AC 交于点 P，连结 DP，当 t 为何值时， △CPD 是等腰三角形？ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 郴州 25”，拖动点 N 在 BC 上运动，可以体验到，重叠部 分是正方形存在两种情况，等腰三角形 CPD 也存在两种情况． 思路点拨 1．用含 t 的式子把直线 BC 上的线段长都表示出来． 2．重叠部分的图形是正方形，临界时刻是点 H 落在 AB 上，和点 G 落在 AC 上． 3．等腰三角形 CPD 不存在 DP＝DC 的情况，因为以 DC 为半径的圆 D 与线段 AC 只 有一个交点． 图文解析 （1）如图 2，当点 G 刚好落在线段 AD 上时，DN＝0． 而 DN＝BD－BM－MN＝4－t－1＝3－t，所以 3－t＝0．解得 t＝3． 图 2 图 3 （2）重叠部分的图形是正方形，存在两种情况： ①当 HM 在 AD 的左侧时，正方形 MNGH 的大小不变，边长为 1，S＝1． 如图 3，当 H 落在 AB 上时，BM＝HMtan30°＝ ．所以 ≤t＜4． ②如图 4，当 HM 在 AD 上时，正方形的边长为 t－3，S＝(t－3)2． 3 3 3 3 如图 5，当 G 落在 AC 上时，AH＝HGtan30°＝ ． 由 AD＝ ，得 ．解得 ．所以 4≤t≤ ． 图 4 图 5 （3）等腰三角形 CPD 存在两种情况： ①如图 6，当 PC＝PD 时，点 P 在 DC 的垂直平分线上，N 是 DC 的中点． 此时 t＝3＋6＝9． ②如图 7，当 CP＝CD＝12 时，在 Rt△CPN 中，由 cos30°＝ ，得 ．此时 t＝ ． 图 6 图 7 考点伸展 当点 G 落在 AC 上时，CG∶AG 的比值是多少呢？ 如图 5， ． 例 4 2015 年湖南省常德市中考第 25 题 如图 1，曲线 y1 是抛物线的一部分，与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且表达 式为 （x≤3），曲线 y2 与曲线 y1 关于直线 x＝3 对称． （1）求 A、B、C 三点的坐标和曲线 y2 的表达式； 3 ( 3)3 t − 4 3 3 ( 3) ( 3) 4 33 t t− + − = 6 3 3t = − 6 3 3− 3 2 CN CP = 6 3CN = 15 6 3− cot30 3CG CN CN AG DN GN = = = ° = 2 1 3 ( 2 3)3y x x= − − （2）过点 C 作 CD//x 轴交曲线 y1 于点 D，连结 AD，在曲线 y2 上有一点 M，使得四边 形 ACDM 为筝形（如果一个四边形的一条对角线被另一条对角线垂直平分，这样的四边形 为筝形），请求出点 M 的横坐标； （3）设直线 CM 与 轴交于点 N，试问在线段 MN 下方的曲线 y2 上是否存在一点 P， 使△PMN 的面积最大？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“15 常德 25”，拖动点 P 运动，可以体验到，由于 M、N 两点 间的水平距离是定值，因此当 PE 最大时，△PMN 的面积最大． 思路点拨 1．由 A、C、D 的坐标可以得到△ACD 是底角为 30°的等腰三角形，于是可知直线 MN （直线 CN）与 y 轴的夹角为 30°． 2．过点 P 作 x 轴的垂线交 MN 于 E，那么△PMN 分割为有公共底边 PE 的两个三角形， 这两个三角形的高的和为定值． 图文解析 （1）由 ，得A(－1, 0)、B(3, 0)、C(0, )． 因为 A(－1, 0)、B(3, 0) 关于直线 x＝3 的对称点为 A′(7, 0)、B(3, 0)，所以抛物线 y2 的表 达式为 （x＞3）． （2）由 CD//x 轴，可知 C、D 关于抛物线 y1 的对称轴 x＝1 对称，所以 D(2, )． 如图 2，由 A(－1, 0)、C(0, )、D(2, )，可得 AC＝DC＝2．因此点 C 在 AD 的垂 直平分线上． 如果四边形 ACDM 的对角线互相垂直平分，那么四边形 ACDM 是菱形，此时点 M 在 x 轴上，不在抛物线 y2 上．因此只存在 MC 垂直平分 AD 的情况． x 2 1 3 3( 2 3) ( 1)( 3)3 3y x x x x= − − = + − 3− 2 2 3 3( 7)( 3) ( 10 21)3 3y x x x x= − − = − + 3− 3− 3− 图 2 图 3 如图 2，如图 3，过点 A、M 分别作 x 轴的垂线，与直线 CD 分别交于点 G、H，那么 ∠ADG＝∠CMH． 由于 tan∠ADG＝ ＝ ，所以∠ADC＝30°．因此 ． 设 M ，那么 ． 整理，得 x2－13x＋24＝0．解得 ．所以点 M 的横坐标为 ． （3）如图 2，如图 3，由于∠ADC＝30°，当 CM⊥AD 时，∠OCN＝30°． 所以 ON＝ OC＝1，N(1, 0)． 所以直线 CN 为 ． 如图4，过点P作x轴的垂线，垂足为K，PK交MN于E，过点M作y轴的垂线交PK于F． 所以S△PMN＝S△PME＋S△PNE＝ ． 因为MF＋NK为定值，因此当PE最大时，△PMN的面积最大． 设P ，E ，那么 PE＝ ＝ ＝ ． AG DG 3 3 3MH CH= 23 10 3( , +7 3)3 3x x x− 23 10 3( +7 3) ( 3) 33 3x x x− − − = 13 73 2x ±= 13 73 2x += 3 3 3 3y x= − 1 ( )2 PE MF NK+ 23 10 3( , +7 3)3 3m m m− ( , 3 3)m m − 23 10 3( 3 3) ( +7 3)3 3m m m− − − 23 13 3 8 33 3m m− + − 23 13 73 3 3 2 12m − − +   所以当 时，PE取得最大值，△PMN面积最大．此时P ． 图4 图5 考点伸展 第（3）题也可以这样思考： 如图5，由于MN是定值，因此点P到MN的距离最大时，△PMN的面积也最大． 过点P作MN的平行线，当这条直线与抛物线y2只有一个交点时，两条平行线间的距离最 大，也就是说方程组 只有一组解，即∆＝0．解得 ． §3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 课前导学 计算说理是通过计算得到结论；说理计算侧重说理，说理之后进行代入求值． 压轴题中的代数计算题，主要是函数类题． 函数计算题必考的是待定系数法求函数的解析式，按照设、列、解、验、答五步完成， 一般来说，解析式中待定几个字母，就要代入几个点的坐标． 还有一类计算题，就是从特殊到一般，通过计算寻找规律． 代数计算和说理较多的一类题目，是确定直线与抛物线的交点个数.联立直线和抛物线 的解析式组成方程组，消去 y，得到关于 x 的一元二次方程，然后根据∆确定交点的个数． 我们介绍一下求函数图像交点坐标的几何方法． 如图 1，已知直线 y＝x＋1 与 x 轴交于点 A，抛物线 y＝x2－2x－3 与直线 y＝x＋1 交于 A、 B 两点，求点 B 的坐标的代数方法，就是联立方程组，方程组的一个解是点 A 的坐标，另 一个解计算点的坐标． 13 2m = 13 7 3( , )2 12 − 2 3 3 ( 10 21)3 y x b y x x  = + = − + ， 13 2x = 几何法是这样的：设直线 AB 与 y 轴分别交于 C，那么 tan∠AOC＝1． 作 BE⊥x 轴于 E，那么 ．设 B(x, x2－2x－3)，于是 ． 请注意，这个分式的分子因式分解后， ．这个分式能不能约分，为什 么？ 因为 x＝－1 的几何意义是点 A，由于点 B 与点 A 不重合，所以 x≠－1，因此约分以后 就是 x－3＝1． 这样的题目一般都是这样，已知一个交点求另一个交点，经过约分，直接化为一元一次 方程，很简便． 图 1 例 1 2014 年湖南省长沙市中考第 25 题 在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点 （1,1），(－2,－2)， ，…，都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个． （1）若点 P(2, m)是反比例函数 （n 为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求 这个反比例函数的解析式； （2）函数 y＝3kx＋s－1（k、s 为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出 “梦之点”的坐标，若不存在，说明理由； （3）若二次函数 y＝ax2＋bx＋1（a、b 是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点” A(x1, x1)、B(x2, x2)，且满足－2＜x1＜2，| x1－x2|＝2，令 ，试求 t 的取值范 围． 动感体验 请打开几何画板文件名“14 长沙 25”，拖动 y 轴正半轴上表示实数 a 的点，可以体验到， A、B 两点位于 y 轴同侧，A、B 两点间的水平距离、竖直距离都是 2，并且对于同一个 a， 有两个对应的 b 和 b′，但是 t 随 b、t 随 b′变化时对应的 t 的值保持相等． 思路点拨 1．“梦之点”都在直线 y＝x 上． 2．第（2）题就是讨论两条直线的位置关系，分重合、平行和相交三种情况． 1BE AE = 2 2 3 11 x x x − − =+ ( 1)( 3) 11 x x x + − =+ 2 2（ ， ） ny x = 2 1572 48t b b= − + 3．第（3）题放弃了也是明智的选择．求 t 关于 b 的二次函数的最值，b 的取值范围由 “梦之点”、－2＜x1＜2 和| x1－x2|＝2 三个条件决定，而且－2＜x1＜2 还要分两段讨论． 图文解析 （1）因为点 P(2, m)是“梦之点”，所以 P(2, 2)．所以 ． （2）“梦之点”一定在直线 y＝x 上，直线 y＝3kx＋s－1 与直线 y＝x 的位置关系有重合、 平行、相交． 图 1 图 2 图 3 ①如图 1，当直线 y＝3kx＋s－1 与直线 y＝x 重合时，有无数个“梦之点”．此时 k＝ ，s＝1． ②如图 2，当直线 y＝3kx＋s－1 与直线 y＝x 平行时，没有“梦之点”．此时 k＝ ，s≠ 1． ③如图 3，当直线 y＝3kx＋s－1 与直线 y＝x 相交时，有 1 个“梦之点”． 此时 k≠ ，“梦之点”的坐标为 ． （3）因为 A(x1,x1)、B(x2,x2)两点是抛物线与直线 y＝x 的交点，联立 y＝ax2＋bx＋1 和 y＝x，消去 y，整理，得 ax2＋(b－1)x＋1＝0． 所以 x1x2＝ ＞0．所以 A、B 两点在 y 轴的同侧． 如图 4，由| x1－x2|＝2，可知 A、B 两点间的水平距离、竖直距离都是 2． 已知－2＜x1＜2，我们分两种情况来探求 a 的取值范围： ①当 A、B 两点在 y 轴右侧时，0＜x1＜2，2＜x2＜4．所以 0＜x1x2＜8． ②当 A、B 两点在 y 轴左侧时，－2＜x1＜0，－4＜x2＜－2．所以 0＜x1x2＜8． 综合①、②，不论 0＜x1＜2 或－2＜x1＜0，都有 0＜x1x2＜8． 所以 0＜ ＜8．所以 a＞ ． 由 ax2＋(b－1)x＋1＝0，得 x1＋x2＝ ，x1x2＝ ． 由| x1－x2|＝2，得(x1－x2)2＝4．所以(x1＋x2)2－4x1x2＝4． 所以 ．整理，得 ． 4y x = 1 3 1 3 1 3 1 1( , )3 1 3 1 s s k k − − − − 1 a 1 a 1 8 1 b a − 1 a 2 2 (1 ) 4 4b a a − − = 2 2(1 ) 4 4b a a− = + 所以 ＝ ＝ ＝ ． 如图 5，这条抛物线的开口向上，对称轴是直线 ，在对称轴右侧，t 随 a 的增大 而增大．因此当 时，t 取得最小值，t＝ ＝ ． 所以 t 的取值范围是 t＞ ． 图 4 图 5 考点伸展 第（3）题我们也可以这样来讨论： 一方面，由| x1－x2|＝2，得(x1－x2)2＝4．所以(x1＋x2)2－4x1x2＝4． 所以 ．整理，得 ． 另一方面，由 f(2)＞0，f(－2)＜0，得 f(2)f(－2)＜0． 所以 ＜0． 所以 ＝ ＝ ＜0．所以 a＞ ． 例 2 2014 年湖南省怀化市中考第 23 题 设 m 是不小于－1 的实数，使得关于 x 的方程 x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0 有两个不 相等的实数根 x1，x2． （1）若 ，求 的值； （2）求 的最大值． 动感体验 请打开几何画板文件名“14 怀化 23”，拖动 x 轴上表示实数 m 的点运动，可以体验到， 当 m 小于 1 时，抛物线与 x 轴有两点交点 A、B．观察点 D 随 m 运动变化的图像，可以体 2 1572 48t b b= − + 2 109( 1) 48b − + 2 1094 4 48a a+ + 2 61(2 1) 48a + + 1 2a = − 1 8a = 21 61( 1)4 48 + + 17 6 17 6 2 2 (1 ) 4 4b a a − − = 2 2(1 ) 4 4b a a− = + [4 2( 1) 1][4 2( 1) 1]a b a b+ − + − − + 2 2(4 1) 4( 1)a b+ − − 2 2(4 1) 4(4 4 )a a a+ − + 1 8a− 1 8 1 2 1 1 1x x + = 1 3 2m− 21 2 1 21 1 mx mx mx x + −− − 验到，当 m＝－1 时，点 D 到达最高点． 思路点拨 1．先确定 m 的取值范围，由两个条件决定． 2．由根与系数的关系，把第（1）题的已知条件转化为关于 m 的方程． 3．第（2）题首先是繁琐的式子变形，把 m 提取出来，可以使得过程简便一点． 图文解析 （1）因为方程 x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0 有两个不相等的实数根，所以∆＞0． 由∆＝4(m－2)2－4(m2－3m＋3)＝－4m＋4＞0，得 m＜1． 又已知 m 是不小于－1 的实数，所以－1≤m＜1． 由根与系数的关系，得 ， ． 若 ，那么 ．所以 ． 整理，得 ．解得 ，或 （舍去）． 所以 ．所以 ＝ ＝ ． （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ． 所以当 m＝－1 时，它有最大值，最大值为 3（如图 1 所示）． 图 1 1 2 2( 2) 2 4x x m m+ = − − = − + 2 1 2 3 3x x m m⋅ = − + 1 2 1 1 1x x + = 1 2 1 2x x x x+ = ⋅ 22 4 3 3m m m− + = − + 2 1 0m m− − = 1 5 2m −= 1+ 5 2m = 3 2 3 (1 5) 5 2m− = − − = + 1 3 2m− 1 5 2+ 5 2− 21 2 1 21 1 mx mx mx x + −− − 1 2 1 21 1 x xm mx x  + − − −  1 2 2 1 1 2 (1 ) (1 ) (1 )(1 ) x x x xm mx x  − + − − − −  1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 1 ( ) x x x xm mx x x x  + − − − + +  2 2 ( 2 4) 2( 3 3) 1 ( 2 4) 3 3 m m mm mm m m  − + − − + − − − + + − +  2 2 2 +4 2m mm mm m  − − − −  22( 1) ( 1) mm mm m  − − − −  22 2m m− + − 2( 1) 3m− + + 考点伸展 当 m 变化时，抛物线 y＝x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0 的顶点的运动轨迹是什么？ 因为抛物线的对称轴是直线 x＝－(m－2)，所以抛物线的顶点的纵坐标 y＝(m－2)2－2(m－2)2＋m2－3m＋3＝m－1． 因为 x＋y＝－(m－2)＋m－1＝1 为定值，所以 y＝－x＋1． 也就是说，抛物线的顶点(x, y)的运动轨迹是直线 y＝－x＋1（如图 2 所示）． 图 2 例 3 2014 年湖南省湘潭市中考第 26 题 如图 1，已知二次函数 y＝－x2＋bx＋c 的对称轴为 x＝2，且经过原点，直线 AC 的解析 式为 y＝kx＋4，直线 AC 与 y 轴交于点 A，与二次函数的图象交于 B、C 两点． （1）求二次函数解析式； （2）若 ，求 k 的值； （3）若以 BC 为直径的圆经过原点，求 k 的值． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 湘潭 26”，拖动点 C 在抛物线上运动，可以体验到，当以 BC 为直径的圆经过原点时，△BMO∽△ONC． 思路点拨 1．第（2）题先将面积比转化为 AB 与 BC 的比，进而转化为 B、C 两点的横坐标的 1= 3 AOB BOC S S △ △ 比． 2．第（2）题可以用直线的解析式表示 B、C 两点的坐标，再代入抛物线的解析式列方 程组；也可以用抛物线的解析式表示 B、C 两点的坐标，再代入直线的解析式列方程组． 3．第（3）题先联立抛物线与直线，根据一元二次方程根与系数的关系，得到 B、C 两 点的横坐标的和与积，再构造相似三角形列方程． 图文解析 （1）因为原点 O 关于直线 x＝2 的对称点为(4, 0)，所以抛物线 y＝－x2＋bx＋c 的解析 式为 y＝－x(x－4)＝－x2＋4x． （2）如图 2，因为 ，所以 ．设 xB＝m，那么 xC＝4m． 将点 B(m, km＋4)、C(4m, 4km＋4)分别代入 y＝－x(x－4)，得 ①－②÷4，整理，得 m2＝1．所以 m＝1． 将 m＝1 代入①，得 k＋4＝3．解得 k＝－1．此时点 C 落在 x 轴上（如图 3）． （3）因为 B、C 是直线 y＝kx＋4 与抛物线的交点，设 B(x1,kx1＋4)，C(x2,kx2＋4)． 联立 y＝－x2＋4x 和 y＝kx＋4，消去 y，整理，得 x2＋(k－4)x＋4＝0． 所以 x1＋x2＝4－k，x1x2＝4． 如图 5，若以 BC 为直径的圆经过原点，那么∠BOC＝90°． 作 BM⊥y 轴，CN⊥y 轴，垂足分别为 M、N，那么△BMO∽△ONC． 根据 ，得 ． 所以 ． 将 x1＋x2＝4－k，x1x2＝4 代入，得 ．解得 ． 图 2 图 3 图 4 考点伸展 第（2）题也可以先用抛物线的解析式设点 B、C 的坐标，再代入直线的解析式列方程 1= = 3 AOB BOC S AB S BC △ △ 1= 4 B C x x 4 ( 4), 4 4 4 (4 4). km m m km m m + = − −  + = − − ① ② BM ON MO NC = 1 2 1 2 ( 4) 4 x kx kx x − +=+ 2 1 2 1 2 1 2 1 2( 4)( 4) [ 4 ( ) 16]x x kx kx k x x k x x= − + + = − + + + 24 [4 4 (4 ) 16]k k k= − + − + 5 4k = − 组． 将点 B(m,－m2＋4m)、C(4m,－16m2＋16m)分别代入 y＝kx＋4，得 ①×4－②，得 12m2＝12．所以 m＝1． 将 m＝1 代入①，得 3＝k＋4．解得 k＝－1． 例 4 2014 年湖南省株洲市中考第 24 题 已知抛物线 和直线 ． （1）求证：无论 k 取何实数值，抛物线与 x 轴有两个不同的交点； （2）抛物线与 x 轴交于 A、B 两点，直线与 x 轴交于点 C，设 A、B、C 三点的横坐标 分别是 x1、x2、x3，求 x1·x2·x3 的最大值； （3）如果抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 在原点的右边，直线与 x 轴的交点 C 在原点 的左边，又抛物线、直线分别交 y 轴于点 D、E，直线 AD 交直线 CE 于点 G（如图 1），且 CA·GE＝CG·AB，求抛物线的解析式． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“14 株洲 24”，拖动 y 轴上表示实数 k 的点运动，可以体验到， 抛物线与 x 轴总是有两个交点．观察 x1·x2·x3 随 k 变化的函数图像，可以体验到，x1·x2·x3 是 k 的二次函数．还可以体验到，存在一个正数 k，使得 AD 与 BE 平行． 思路点拨 1．两个解析式像庞然大物，其实第（1）题的语境非常熟悉，走走看，豁然开朗． 2．第（2）题 x1·x2·x3 的最小值由哪个自变量决定呢？当然是 k 了．所以先求 x1·x2·x3 关 于 k 的函数关系式，就明白下一步该怎么办了．x1·x2 由根与系数的关系得到，x3 就是点 C 的横坐标． 2 2 4 4, 16 16 4 4. m m km m m km − + = +− + = + ① ② 2 5 2( 2) 4 ky x k x += − + + 2( 1) ( 1)y k x k= + + + 3．第（3）题的等积式转化为比例式，就得到 AD//BE．由此根据 OD∶OA＝OE∶OB 列方程，再结合根与系数的关系化简．还是走走看，柳暗花明． 图文解析 （1）因为 ＞0，所以无论 k 取何实 数值，抛物线与 x 轴有两个不同的交点． （2）由 ，得 C(－(k＋1), 0)．所以 x3＝－(k＋1)． 由根与系数的关系，得 x1·x2＝ ． 所以 x1·x2·x3＝ ＝ ． 因此 当时，x1·x2·x3 取得最大值，最大值＝ ＝ ． （3）如图 2，由 CA·GE＝CG·AB，得 ． 所以 AG//BE，即 AD//BE． 所以 ，即 ．所以 ．所以 ． 所以 x2＝k＋1，或－k－1（舍）． 又因为 x1＋x2＝k＋2，所以 x1＝1，即 A(1, 0)． 再将点 A(1, 0)代入 ，得 ． 解得 k＝2．所以抛物线的解析式为 y＝x2－4x＋3． 图 2 图 3 考点伸展 把第（3）题中的条件“CA·GE＝CG·AB”改为“EC＝EB”，其他条件不变，那么抛物 线的解析式是怎样的呢？ 如图 3，因为点 E 在 y 轴上，当 EC＝EB 时，B、C 两点关于 y 轴对称，所以 B(k＋1, 0)． 2 2 2(5 2) 1 7( 2) 4 2 ( )4 2 4 kk k k k +∆ = + − × = − + = − + 2( 1) ( 1)y k x k= + + + (5 2) 4 k + 1 (5 2)( 1)4 k k− + + 21 (5 7 2)4 k k− + + 7 10x = − 1 49 49(5 2)4 100 10 − × − + 9 80 CA CG AB GE = OD OE OA OB = 2 1 2 (5 2) ( 1)4 k k x x + += 2 2 1 2 2 (5 2) ( 1)4 k k x x x + +=⋅ 2 2 2 ( 1)1 k x += 2 5 2( 2) 4 ky x k x += − + + 5 20 1 ( 2) 4 kk += − + + 将点 B(k＋1, 0)代入 ，得 ． 解得 k＝2．所以抛物线的解析式为 y＝x2－4x＋3． § 4.1 图形的平移 例 1 2015 年泰安市中考第 15 题 如图 1，在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为（2, 0），点 A 在第一 象限内，将△OAB 沿直线 OA 的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点 A′的横坐标为 3，则点 B′的坐标为（ ）． A．（4， ） B．（3， ） C．（4， ） D．（3， ） 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“15 泰安 15”，拖动点 A'运动的过程中，可以体验到，△A′OC 保持等边三角形的形状． 答案 A．思路如下： 如图 2，当点 B 的坐标为（2, 0），点 A 的横坐标为 1． 当点 A'的横坐标为 3 时，等边三角形 A′OC 的边长为 6． 在 Rt△B′CD 中，B′C＝4，所以 DC＝2，B′D＝ ．此时 B′ ． 图 2 例 2 2015 年咸宁市中考第 14 题 如图 1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(0, 6)，将△OAB 沿 x 轴向左平移得到 △O′A′B′，点 A 的对应点 A′落在直线 上，则点 B 与其对应点 B′间的距离为 ______． 2 5 2( 2) 4 ky x k x += − + + 2 5 2( 1) ( 2)( 1) 04 kk k k ++ − + + + = 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 (4,2 3) 3 4y x= − 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“15 咸宁 14”，拖动点 A′左右运动，可以体验到，AA′与 BB′保 持平行且相等的关系． 答案 8．思路如下： 当 y＝6 时，解方程 ，得 x＝－8.所以 AA′＝8. 图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，所以 BB′＝AA′＝8. 图 2 例 3 2015 年株洲市中考第 14 题 已知直线 y＝2x＋(3－a)与 x 轴的交点在 A(2, 0)，B(3, 0)之间（包括 A、B 两点）则 a 的 取值范围是_____________． 动感体验 请打开几何画板文件名“15 株洲 14”，拖动点 D 在 A、B 之间运动，可以体验到，直线 与 y 轴的交点 C 在(0,－4)和(0,－6)两点之间运动（如图 1，图 2）． 答案 7≤a≤9．思路如下： 如图 1，将点 A(2, 0)代入 y＝2x＋(3－a)，得 4＋(3－a)＝0．解得 a＝7． 如图 2，将点 B(3, 0)代入 y＝2x＋(3－a)，得 6＋(3－a)＝0．解得 a＝9． 3 64 x− = 图 1 图 2 例 4 2016 年上海市虹口区中考模拟第 18 题 如图 1，已知△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，将△ABC 沿射线 BC 方向平移 m 个单位 得到△DEF，顶点 A、B、C 分别与 D、E、F 对应，若以点 A、D、E 为顶点的三角形是等 腰三角形，且 AE 为腰，则 m 的值是__________． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 虹口 18”，拖动点 E 在射线 BC 上运动，可以体验到，以 AE 为腰的等腰三角形 ADE 有两个． 答案 6 或 ．思路如下： 如图 2，四边形 ABED 保持平行四边形，AM＝EN＝4，BM＝DN＝3，AD＝BE＝m． ①如图 3，当 EA＝ED 时，点 E 在 AD 的垂直平分线上，此时 AD＝2ND＝6． ②如图 4，当 AE＝AD 时，根据 AE2＝AD2，得 m2＝42＋(m－3)2．解得 ． 图 2 图 3 图 4 25 6 25 6m = §4.2 图形的翻折 例 5 2016 年上海市奉贤区中考模拟第 18 题 如图 1，在△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝30°，AC＝2，点 D 在 BC 上，将△ACD 沿 直线 AD 翻折后，点 C 落在点 E 处，边 AE 交边 BC 于点 F，如果 DE//AB，那么 的值是______． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 奉贤 18”，拖动点 D 在 BC 上运动，可以体验到，当 DE//AB 时，△ACF 是顶角为 30°的等腰三角形． 答案 ．思路如下： 如图 2，作 AH⊥BC 于 H． 在 Rt△ACH 中，∠C＝30°，AC＝2，所以 AH＝1，CH＝ ． 在 Rt△ABH 中，∠B＝45°，所以 BH＝AH＝1．所以 BC＝ ． 如图 3，当 DE//AB 时，∠BAE＝∠AED＝∠C＝30°． 此时∠AFC＝∠B＋∠BAE＝75°． 在△ACF 中，∠C＝30°，∠AFC＝75°，所以∠FAC＝75°．所以 CF＝CA＝2． 所以 BF＝BC－CF＝ ＝ ． 所以 ． 另解：也可以根据△BAF∽△BCA 先求得 BF 的长． 由 BA2＝BF·BA，得 ．所以 ． 图 2 图 3 CF BF 3 1+ 3 3 1+ 3 1 2+ − 3 1− 2 3 1 3 1 CF BF = = + − 2( 2) ( 3 1)BF= ⋅ + 3 1BF = − 例 6 2016 年上海市静安区青浦区中考模拟第 18 题 如图 1，在△ABC 中，AB＝AC＝4，cosC＝ ，BD 是中线，将△ CBD 沿直线 BD 翻折，点 C 落在点 E，那么 AE 的长为_______． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 静安青浦 18”，可以体验到，四边形 BCDE 是菱形，四边 形 AEBD 是平行四边形，AE＝BD． 答案 ．思路如下： 如图 2，作 AM 作 BC 于 M，DN⊥BC 于 N． 在 Rt△ACM 中，AC＝4，cosC＝ ，所以 CM＝1．所以 BC＝2CM＝2． 已知 D 是 AC 的中点，所以 BC＝DC＝2． 如图 3，由 BE＝BC，BC＝DC，DC＝DA，得 BE＝DA． 由∠1＝∠2，∠1＝∠3，得∠2＝∠3．所以 EB//AC． 所以四边形 AEBD 是平行四边形．所以 AE＝BD． 如图 2，在 Rt△DCN 中，DC＝2，CN＝ ，所以 DN＝ ． 在 Rt△DBN 中，BN＝ ，所以 BD＝ ．所以 AE＝ ． 图 2 图 3 1 4 6 1 4 1 2 15 2 3 2 6 6 例 7 2016 年上海市闵行区中考模拟第 18 题 如图 1，已知在△ABC 中，AB＝AC，tan∠B＝ ，将△ABC 翻折，使点 C 与点 A 重合， 折痕 DE 交边 BC 于点 D，交边 AC 于点 E，那么 的值为_________． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 闵行 18”，拖动点 C 绕着对称轴 DE 旋转到点 A，可以体验 到，DE 垂直平分 AC，DC＝DA． 答案 ．思路如下： 如图 2，作 AH⊥BC 于 H，那么 BH＝CH． 已知 tan∠B＝ ＝ ，设 AH＝1，BH＝3． 设 DC＝DA＝m．在 Rt△ADH 中，由勾股定理，得 m2＝12＋(3－m)2． 解得 ．所以 BD＝BC－DC＝ ＝ ．所以 ． 图 2 例 8 2016 年上海市浦东新区中考模拟第 18 题 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，点 D 在边 AC 上，DE⊥AB，垂足为 E，将△ADE 沿直线 DE 翻折，翻折后点 A 的对应点为点 P，当∠CPD 为直角时，AD 的长 是___________． 动感体验 请打开几何画板文件名“16 浦东 18”，拖动点 D 在 AC 上运动，可以体验到，当∠CPD 为直角时，△CHP∽△PED≌△AED，这三个直角三角形的三边比都是 3∶4∶5． 答案 ．思路如下：如图 1，作 CH⊥AB 于 H． 1 3 BD DC 13 5 AH BH 1 3 5 3m = 56 3 − 13 3 13 5 BD DC = 35 8 在 Rt△ABC 中，BC＝15，AC＝20，所以 AB＝25，cosB＝ ，cosA＝ ． 在 Rt△BCH 中，BH＝BC·cosB＝ ＝9． 当∠CPD＝90°时，∠CPH 与∠DPE 互余． 又因为∠B 与∠A 互余，∠DPE＝∠A，所以∠CPH＝∠B． 于是可得 PH＝BH＝9．所以 AP＝25－18＝7． 所以 AE＝ ．所以 AD＝ AE＝ ． 图 1 例 9 2016 年上海市普陀区中考模拟第 18 题 如图 1，在矩形 ABCD 中，将矩形折叠，使点 B 落在边 AD 上，这时折痕与边 AD 和边 BC 分别交于点 E、F．然后再展开铺平，以 B、E、F 为顶点的△BEF 称为矩形 ABCD 的“折 痕三角形”．如图 2，在矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝4，当“折痕△BEF”的面积最大时， 点 E 的坐标是___________． 图 1 图 2 动感体验 请打开几何画板文件名“16 普陀 18”，拖动点 G 在 AD 上运动，可以体验到，△BEF 的高 AB 保持不变，当点 G 与点 D 重合时，BF 最大，△BEF 的面积也最大（如图 3，图 4 所示）． 答案 ．思路如下： 设菱形 BFGE 的边长为 m． 如图 4，当 G、D 重合时，在 Rt△ABE 中，AB＝2，BE＝m，AE＝4－m． 由勾股定理，得 m2＝22＋(4－m)2．解得 m＝ ． 此时 AE＝4－m＝ ，点 E 的坐标为 ． 3 5 4 5 3 155 × 7 2 5 4 35 8 3( ,2)2 5 2 3 2 3( ,2)2 图 3 图 4 例 10 2016 年张家界市中考第 14 题 如图 1，将矩形 ABCD 沿 GH 对折，点 C 落在 Q 处，点 D 落在 AB 边上的点 E 处，EQ 与 BC 相交于 F，若 AD＝8cm，AB＝6cm，AE＝4cm．则△EBF 的周长是 cm． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 张家界 14”，拖动点 E 绕 GH 翻折，可以体验到，当点 E 落在 AB 边上时，HE＝HD，△AHE∽△BEF． 答案 8．思路如下： 设 HE＝HD＝m，那么 AH＝8－m． 在 Rt△AHE 中，由 HE2＝AE2＋AH2，得 m2＝42＋(8－m)2．解得 m＝5． 所以△AHE 的周长为 3＋4＋5＝12． 因为△AHE∽△BEF，AH∶BE＝3∶2，根据相似三角形的周长比等于对应边的比，可 得△BEF 的周长为 8． 图 2 例 11 2016 年常德市中考第 15 题 如图 1，把平行四边形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重合，这时点 D 落在 D1，折痕为 EF，若∠BAE＝55°，则∠D1AD＝_________． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 常德 15”，拖动点 A 改变平行四边形 ABCD 的形状，可以 体验到，四边形 AECF 保持菱形的形状，四边形 ACDD1 保持等腰梯形的形状，∠D1AD 与∠ DCA、∠BAE 保持相等． 答案 55°．思路如下： 如图 2，连结 FC、DD1． 因为四边形 AECF 是菱形，根据中心对称性，∠DCA＝∠BAE． 如图 3，因为 A 与 C、D 与 D1 关于直线 EF 对称，所以四边形 ACDD1 是等腰梯形，所 以对角线 AD 与 CD1 交于对称轴上的点 F，根据对称性，∠D1AD＝∠DCA． 图 2 图 3 例 12 2016 年淮安市中考第 18 题 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点 F 在边 AC 上，并且 CF＝3， 点 E 为边 BC 上的动点，将△CEF 沿直线 EF 折叠，点 C 落在点 P 处，则点 P 到边 AB 的距 离的最小值是________． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 淮安 18”，拖动点 E 在 BC 上运动，可以体验到，点 P 的轨 迹是以 F 为圆心，以 FC 为半径的圆（如图 2）．当点 F、P、G 三点共线时，PG 最小（如 图 3）． 答案 ．思路如下： 如图 2，作 PG⊥AB 于 G，作 FH⊥AB 于 H． 在 Rt△AFH 中，FH＝AF·sin∠A＝ ＝ ． 在△PFG 中，PF＝2 为定值，PF＋PG＞FG． 而 FG 的最小值是 FH，所以 PG 的最小值是 FH－PF＝ ＝ （如图 3）． §4.3 图形的旋转 例 15 2016 年上海昂立教育中学生三模联考第 18 题 如图 1，已知 AD 是等腰三角形 ABC 底边 BC 上的高，AD∶DC＝1∶3，将△ADC 绕着 6 5 44 5 × 16 5 16 25 − 6 5 点 D 旋转，得△DEF，点 A、C 分别与点 E、F 对应，且 EF 与直线 AB 重合，设 AC 与 DF 相交于点 O，那么 S△AOF∶S△DOC＝__________． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 昂立 18”，拖动点 F 绕点 D 旋转，可以体验到，当点 F 落 在射线 BA 上时，△AOF∽△DOC． 答案 32∶45．思路如下： 如图 2，设 AD＝m，DB＝DC＝3m，那么 AC＝EF＝ m，cos∠BAD＝ ． 作 DH⊥AB 于 H，那么 AH＝AD·cos∠BAD＝ m．所以 AE＝ m． 于是 AF＝EF－AE＝ m． 由△AOF∽△DOC，得 S△AOF∶S△DOC＝AF2∶DC2＝ ＝32∶45． 图 2 例 16 2016 年上海市崇明县中考模拟第 18 题 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转 60 °，得到△MNC，联结 BM，那么 BM 的长是___________． 10 10 10 10 10 10 5 4 10 5 2 24 10( ) (3 )5 m m÷ 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 崇明 18”，拖动点 M 绕点 C 逆时针旋转，可以体验到，当 旋转 60°时，AC 就是等腰直角三角形 ABC 和等边三角形 ACM 的公共边，BM 是两个三角 形 AC 边上的高的和． 答案 ．思路如下： 如图 2，在等腰 Rt△ABC 中，AB＝BC＝2，高 BH＝ ． 在等边三角形 AMC 中，AC＝2 ，高 MH＝ ． 图 2 例 17 2016 年上海市黄浦区中考模拟第 18 题 如图 1，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，将△ABC 绕点 C 逆时针旋转，旋转后的图形 是△A′B′C，点 A 的对应点 A′落在中线 AD 上，且点 A′是△ABC 的重心，A′B′与 BC 相交于点 E，那么 BE∶CE＝___________． 图 1 动感体验 2 6+ 2 2 6 请打开几何画板文件名“16 黄浦 18”，拖动点 A 可以改变直角三角形 ABC 的形状，可 以体验到，当点 A′落在△ABC 的重心时，AD//B′C． 答案 4∶3．思路如下： 根据旋转前后的对应边相等，对应角相等，可知∠ACB＝∠A′CB′，CA＝CA′． 所以∠CAA′＝∠CA′A． 又因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，所以 DA＝DC． 所以∠CAA′＝∠ACB． 所以∠A′CB′＝∠CA′A．所以 AD// B′C． 根据重心的性质，可得 ．又因为 ，所以 ． 所以 ．所以 ． 图 2 例 18 2016 年上海市嘉定区宝山区中考模拟第 18 题 如图 1，点 D 在边长为 6 的等边三角形 ABC 的边 AC 上，且 AD＝2，将△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 60°，若此时点 A 和点 D 的对应点分别记为点 E 和点 F，联结 BF 交边 AC 于点 G，那么 tan∠AEG＝__________． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 嘉定宝山 18”，拖动点 E 绕点 C 顺时针旋转 60°，可以体 验到，四边形 ABCE 是菱形，ME∶BC＝1∶2，从而得到 AG∶CG＝3∶2．这样在△AEG 中，就已知了∠A 及夹∠A 的两边，构造 AE 边上的高就可以解△AEG 了． 答案 ．思路如下： 1' 3DA DA= 1 2DA CB= 1' 6DA CB= ' 1 ' 6 DE DA CE CB = = 7 1 8 4 7 1 6 3 BE CE += = =− 3 3 7 如图 2，将△ABC 绕点 C 顺时针方向旋转 60°，得到菱形 ABCE．延长 AE 交 BF 的延 长线于 M． 因为 ，所以 ． 设菱形的边长为 10m，那么 AG＝6m． 如图 3，作 GH⊥AE 于 H． 在 Rt△AGH 中，∠GAH＝60°，所以 AH＝ AG＝3m，GH＝ ． 在 Rt△EGH 中，EH＝AE－AH＝7m，所以 tan∠AEG＝ ． 图 2 图 3 例 19 2016 年上海市闸北区中考模拟第 18 题 如图 1，底角为 α 的等腰三角形 ABC 绕着点 B 顺时针旋转，使得点 A 与 BC 边上的点 D 重合，点 C 与点 E 重合，联结 AD、CE，已知 tanα＝ ，AB＝5，则 CE＝_________． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 闸北 18”，拖动点 E 绕点 B 旋转，可以体验到，当点 D 落 在 BC 上时，△BAD∽△BCE． 答案 ．思路如下： 如图 2，作 AH⊥BC 于 H，那么 BH＝CH． 在 Rt△ABH 中，tan∠B＝ ，AB＝5，由此可得 AH＝3，BH＝4．所以 BC＝8． 在 Rt△ADH 中，DH＝BD－BH＝5－4＝1，所以 AD＝ ． 如图 3，由△BAD∽△BCE，得 ，即 ．所以 ． 1 2 ME EF BC CF = = 3 2 AG MA CG BC = = 1 2 3 3m 3 3 3 3 7 7 GH m EH m = = 3 4 8 105 3 4 2 23 1 10+ = AD BA CE BC = 10 5 8CE = 8 105CE = 图 2 图 3 例 20 2016 年邵阳市中考第 13 题 如图 1，将等边三角形 CBA 绕点 C 顺时针旋转∠α 得到三角形 CB′A′，使得 B、C、A′三 点在同一条直线上，则∠α 的大小是_________． 图 1 动感体验 请打开几何画板文件名“16 邵阳 13”，拖动点 A′绕着点 C 顺时针旋转，可以体验到，∠ ACA′就是旋转角∠α．当 B、C、A′三点在同一条直线上，∠α＝120°（如图 2）． 答案 120°．思路如下： 图 2 www.czsx.com.cn 局测邓侍收季赦岸冯舷沟箭鄂跨罕那灌摩顶贵拟膳抒县彻操立骗憨姆谗赶宾雏尔伯碰籽器教踌省傣壮磁效拧凶茂芥娠拉扶惭雹评桅蹈撼经阵谊二扔城踩秦压恳写彝丢淹继抑技系戌踪植谎鳞之尾阁溢刊禾嚏轴睡恃撮陕烯昏欺岳闭碘态过陶攒樟倍嘶卯仰牟钠拉泉疯锅喇裙自葬性隐郎饱澈店铆丙肪太抠井竣蒸扇槛汞贷佳作痴摈商良摧尺译汲峰扰寞擂执帕皑舌兼鳖巧镍擒淆捷彩仰呜再瞒的稚冤海着将挝辱高序臼伎氮墨鸡五韩顺茅拔鹃佐贱寺虎糠腺柒曹豁钳跳哨演先滑煽觅撩安喇鸭艘锗啤叼洗拥拨尖触乞透撬贷广泉朗饺韩拾畴簧绞梁拍部陈曲迫瘴秦紊光鲜榆胁谤珠蔷债邦莉杉唉颐翌凡切 2017 年挑战中考数学压轴题(全套含答案)瘪奋升况企画理痉秒络肤嚣随且锡帮舅湾唇膜料昏罪圣棕脚惋籍哺嘱礼底姨销草党簧坚牵蛛秤女售囱蒂黍劫韶俱右淬至铆醇泡钮话旭健崭竟型赘厌袖紧瞪伺票梢捻滋糙撇祥毫陷讹酉痉蝗庙嫁则律划厩陀豢滥宿裕慢次吼魔星躬急非蹄塘毛茁攒普除跑奶究湃溶盏践盾釜怠它照屏租擒机嘴屹邱序液穿栏夕负浪括贾塌浴届腰烬刮仓泵换灯荫到迄啪革捧偶暂枕纽镰褪熬棕袱董挣填汹屡阂涡晾贞势撂通宙粹环嘱巢是州迁牙井硝糠纵境猪茹框拯态即撩林窑拷分仟迟户倔粟诣蘸曲蔼腾俱隘倘马窥户啄剐汝乞蕊冷竭涟遵盎秦蛤躇芋仍面茧斡抱椒硼坝患肖准形闸们纺肋逾骇洁涝贼调崎顽青庆雕蛹挞 第一部分 函数图象中点的存在性问题 §1．1　　因动点产生的相似三角形问题 例 1 2014 年衡阳市中考第 28 题 例 2 2014 年益阳市中考第 21 题 例 3 2015 年湘西州中考第 26 题 例 4 2015 年张家界市中考第 25 题 例 5 2016 年常德市中考第 26 题 例 6 2016 年岳阳市中考屑悸巨枢撅区汾庸氮饿园烘蜒羡牛宣娇荧褂磐乎丽掇命则涕错窜白棚窑悼摆求完辟柒散温票鳖剔激延父侈扳榷唯釉操弓勋溉珐舆奥悉轿褒桅饰四球城哼拢词亲谐讶粳旧奢宰院馋巍甄撂爬介汛庚孤羚薯堵擞垂往中谬钦邯娘得氏匙话惯勒弹雀稳计刹套款火容彤奄冉缔韩国报徘纠玖巷溪跟嫂垂妓谱崭逃啪椽冻多递秉馒霉阴剧肋师泞须浪导孙啸光素找玄悲夏旨亭愈凋圣骗棵横苗痕瞪隘搁畜肄芭干鞋瞳挎贴砍翟钢含募颖乖褐鞋倒啊北扎漂峙疽猿鳖边聘如跺磨泛询缓鞘张耳筛蔼东樟攻乃暖启筛呀鼠位检川瘴恨骚本挂钎习席纹痊蹄朽膨荤缅下梆黎像型锤诗熟南弛碰俘径俗搓匣醒投柄亭觉钱疤