高考数学 数列专题复习

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

高考数学 数列专题复习

专题一 数列 ‎【知识框架】‎ ‎【知识要点1】‎ 一、数列的概念 ‎1. 数列是按一定顺序排列的一列数,记作a1,a2,a3……an,……简记{an}. ‎ ‎2. 数列{an}的第n项an与项数n的关系若用一个公式an=f(n)给出,则这个公式叫做这个数列的通项公式。 ‎ ‎3. 如果已知数列{an}的第一项(或前几项),且任何一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即an =f(an-1)或an =f(an-1,an-2),那么这个式子叫做数列{an}的递推公式.‎ ‎4. 数列可以看做定义域为N*(或其子集)的函数,当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值,它的图像是一群孤立的点。‎ 二、数列的表示方法:‎ 列举法、图示法、解析法(用通项公式表示)和递推法(用递推关系表示)。‎ 三、数列的分类 ‎1.  按照数列的项数分:有穷数列、无穷数列。 ‎ ‎2.  按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分:有界数列、无界数列。 ‎ ‎3.  从函数角度考虑分:(考点)‎ ‎①递增数列:对于任何n∈ N+,均有an+1 > an ‎②递减数列:对于任何n∈ N+,均有an+1 < an ‎③摆动数列:例如:1,-1,1,-1,1,-1…L--- ‎ ‎④常数数列:例如:6,6,6,6,6,6…‎ ‎⑤有界数列:存在正数M,使an M S1 (n=1)‎ Sn-Sn-1 (n≥2)‎ 四、an与Sn的关系:(考点)‎ ‎1. Sn = a1+a2+a3+…+an= 2. an= ‎ ‎【例题1】已知数列{an}是递增数列,其通项公式为an=n2+λn(n=1,2,3…) ,则实数λ的取值范围 。‎ ‎[解析]: ‎ ‎∵数列{an}的通项公式为an=n2+λn(n=1,2,3…) 数列是递增数列 ‎∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)- n2-λn ‎ =2n+1+λ>0 恒成立 ‎∵2n+1+λ的最小值是3+λ ∴3+λ>0 ∴λ>-3 实数λ的取值范围是(-3,+∞)‎ ‎【例题2】数列{an}的通项公式为an=3n2-28n,则数列各项中最小项是( B )‎ A.第4项   B.第5项   C.第6项   D.第7项 ‎[解析1]:an=f(n)= 3n2-28n,f(n)是一元二次函数,其图像开口向上,有最低点,最低点是 由于n∈ N+,故取n=4和n=5代入,得到a4=-64,a5=-65,故选择B an≥an-1‎ an≤an+1 ‎ ‎3n2-28n≥3(n-1)2-28(n-1)‎ ‎3n2-28n≤3(n+1)2-28(n+1) ‎ ‎[解析2]:‎ 设an为数列的最小项,则有 代入化简得到 解得: 故n=5‎ ‎【练习1】在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x的值为(  D  )‎ ‎-2 (n=1)‎ ‎2n-5 (n≥2)‎ A.10       B.11      C.12        D.13 ‎ ‎【练习2】数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+1,则an an=‎ ‎【知识要点2等差数列】‎ ‎1. 定义:如果数列{an}从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫等差数列的公差。即an-an-1=d(n∈N+,且n≥2),或者an+1-an=d(n∈N+)‎ ‎2. 通项公式:‎ an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d (公式的变形) an=an+b 其中a=d,b= a1-d ‎3. 前n项和公式:‎ ‎ (公式的变形) Sn=An2+Bn 其中A= B=‎ ‎4. 性质:‎ ‎(1)公式变形 ‎(2)如果A=,那么A叫做a和b的等差中项.‎ ‎(3)若{}为等差数列,且有k+l=m+n, 则 ‎(4)若为等差数列则{是等差数列,其中p,q均为常数 ‎(5)若{}为等差数列,则(k,m)组成公差为md的等差数列.‎ ‎(6)若分别为{}的前n项,前2m项,前3m项的和,则,,成等差数列.‎ ‎(7)若{}设等差数列,则是等差数列,其首项与{}首项相同,公差是{}公差的 ‎(7)非零等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为2n,则S偶-S奇=nd, 若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan, ‎ ‎5. 判断:‎ ‎①定义法:an+1-an=d(n∈N+)  ‎ ‎② 中项法: 2an+1=an+ an+2 +=Û {}为等差数列。  ‎ ‎③通项公式法:an=an+b(a,b为常数)Û{ } ‎④前n项和公式法:Sn=An2+Bn(A,B为常数)Û{} ‎【例题1】已知是公差为1的等差数列,为的前项和,若,则( B )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎[解析]:∵ d=1 ∴S8=8a1+28 S4=4a1+6 ‎ ‎ ∵S8=4 S4 ∴ a1=0.5 an=a1+(n-1)d ∴a10=‎ ‎【例题2】在等差数列中,若,则= 10 .‎ ‎[解析]:因为是等差数列,所以,即,所以,故应填入.‎ ‎【知识要点3等比数列】‎ ‎1. 定义:如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个不为零的常熟,那么这个数列就叫做等比数列.这个常熟叫做等比数列的公比,通常用字母q表示,及 ‎2. 通项公式:‎ na1 (q=1)‎ ‎ 或 (q≠1)‎ 如果等比数列的公比为q,那么它的通项公式为.‎ ‎3. 前n项和公式:‎ 设等比数列{}的公比为q,其前n项和= ‎4. 性质:‎ ‎(1)‎ 等比数列{}满足或时,{}是递增数列;‎ 满足或时,{}是递减数列.‎ 当q=1时,{}为常数数列;‎ 当q<0时,{}为摆动数列,且所有奇数项与同号,所有偶数项与异号.‎ ‎(2)对于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等比数列{}中,的关系为:‎ ‎(3)若{},{}为等比数列(项数相同),则{}(≠0),{},{},{},{}仍是等比数列.‎ ‎(4)如果a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项,且G=±√ab。不是任何两数都有等比中项,只 有同号两数才存在等比中项,且有两个等比中项。‎ ‎【例题1】已知数列是递增的等比数列,,则数列的前项和等于 .‎ ‎[解析]:由题意解得:a1=1,a4=8, q=2,那么 ‎【例题2】数列中为的前n项和,若,则 6 .‎ ‎[解析]:∵an+1=2an ∴数列是等比数列,q=2 ‎ ‎∵Sn= =126 其中a1=2 ∴n=6‎ ‎【知识要点4】★(大题)‎ 一、考点1:求an:‎ ‎1. 归纳法(由特殊到一般即找规律)‎ 由于归纳法求解通项的题目一般在选择填空常见,较少出现在大题中。‎ 2. 利用Sn与an的关系求通项公式 由Sn求an时,要分n=1和n≥2两种情况讨论,然后验证两种情况能否用统一的式子表示。若不能,则分段表示. 2. 由递推关系求数列的通项公式【累加法、累乘法、待定系数法、阶差法(逐差法)、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法(目的是去递推关系式中出现的根号)、数学归纳法、不动点法(递推式是一个数列通项的分式表达式)、特征根法】‎ ‎1.累加法:若已知且则,即.‎ ‎2.累乘法:若已知且则 ,即 ‎3.换元法:若已知且且p)则令,可得{}(其中)为等比数列,其中可用待定系数法求出.‎ ‎【例题1】已知数列满足,求数列的通项公式。(累加法)‎ 解:由得则 所以数列的通项公式为。‎ ‎【例题2】已知数列满足,求数列的通项公式。(累乘法)‎ 解:因为,所以,则,故 所以数列的通项公式为 二、考点2:求Sn:‎ ‎1.公式法:直接用等差、等比数列的求和公式求解 ‎2.倒序相加法:在数列{}中,与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的新数列,可用倒序相加法求此数列的前n项和。(此法在实际解体过程中并不常用,例子:等差数列前n项和公式推导)‎ ‎3.错位相减法:在数列{}中,{}是等差数列,{}是等比数列,可用错位相减法求此数列的前n项和. ‎ ‎4.裂项相消法:把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,从而达到求和的目的.‎ ‎5.分组转化求和法:‎ 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成,则求和时可用分组转化法分别求和再相加减。即把复杂的通项公式求和的任务转化为简单的等差和等比的求和。‎ ‎6.并项求和法:一个数列的前n项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如类型,可采用两项合并求解.‎ ‎【例题1】设数列满足 ,(1)求数列的通项公式;(2)令,求数列的前n项和。(错位相减法)‎ ‎[解析]:(1)由已知,当n≥1时,‎ ‎。 而 所以数列{}的通项公式为。‎ ‎(2)由知 ‎ ①‎ 从而 ‎ ②‎ ① ‎-②得 ‎ 即 ‎ ‎【例题2】求数列的前n项和。(裂项相消法)‎ ‎[解析]:设 (裂项)‎ 则 (裂项求和)‎ ‎ =‎ ‎ =‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档