高考数学 数列专题复习
专题一 数列
【知识框架】
【知识要点1】
一、数列的概念
1. 数列是按一定顺序排列的一列数，记作a1,a2,a3……an,……简记{an}.
2. 数列{an}的第n项an与项数n的关系若用一个公式an=f(n)给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。
3. 如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任何一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个式子来表示，即an =f（an-1）或an =f（an-1，an-2），那么这个式子叫做数列{an}的递推公式.
4. 数列可以看做定义域为N*（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。
二、数列的表示方法：
列举法、图示法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。
三、数列的分类
1. 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。
2. 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列。
3. 从函数角度考虑分：（考点）
①递增数列：对于任何n∈ N+，均有an+1 > an
②递减数列：对于任何n∈ N+，均有an+1 < an
③摆动数列：例如:1，-1，1，-1，1，-1…L---
④常数数列：例如:6，6，6，6，6，6…
⑤有界数列：存在正数M，使an
M
S1 (n=1)
Sn-Sn-1 (n≥2)
四、an与Sn的关系：（考点）
1. Sn = a1+a2+a3+…+an= 2. an=
【例题1】已知数列{an}是递增数列,其通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3…） ,则实数λ的取值范围 。
[解析]：
∵数列{an}的通项公式为an=n2+λn（n=1，2，3…） 数列是递增数列
∴an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)- n2-λn
=2n+1+λ>0 恒成立
∵2n+1+λ的最小值是3+λ ∴3+λ>0 ∴λ>-3 实数λ的取值范围是（-3，+∞）
【例题2】数列{an}的通项公式为an=3n2-28n,则数列各项中最小项是（ B ）
A．第４项 B．第５项 C．第６项 D．第７项
[解析1]：an=f(n)= 3n2-28n，f(n)是一元二次函数，其图像开口向上，有最低点，最低点是
由于n∈ N+，故取n=4和n=5代入，得到a4=-64，a5=-65，故选择B
an≥an-1
an≤an+1
3n2-28n≥3(n-1)2-28(n-1)
3n2-28n≤3(n+1)2-28(n+1)
[解析2]：
设an为数列的最小项，则有 代入化简得到
解得： 故n=5
【练习1】在数列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中，x的值为（ Ｄ ）
-2 (n=1)
2n-5 (n≥2)
A．10 B．11 C．12 D．13
【练习2】数列{an}的前n项和Sn=n2-4n+1，则an an=
【知识要点2等差数列】
1. 定义：如果数列{an}从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。即an-an-1=d（n∈N+，且n≥2），或者an+1-an=d（n∈N+）
2. 通项公式：
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d (公式的变形) an=an+b 其中a=d，b= a1-d
3. 前n项和公式：
(公式的变形) Sn=An2+Bn 其中A= B=
4. 性质：
（1）公式变形
（2）如果A=,那么A叫做a和b的等差中项.
（3）若{}为等差数列，且有k+l=m+n, 则
（4）若为等差数列则{是等差数列，其中p,q均为常数
（5）若{}为等差数列，则（k,m）组成公差为md的等差数列.
（6）若分别为{}的前n项，前2m项，前3m项的和，则,,成等差数列.
（7）若{}设等差数列，则是等差数列，其首项与{}首项相同，公差是{}公差的
（7）非零等差数列奇数项与偶数项的性质
若项数为2n,则S偶-S奇=nd， 若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an，S奇=nan，
5. 判断：
①定义法：an+1-an=d（n∈N+）
② 中项法： 2an+1=an+ an+2 +=Û {}为等差数列。
③通项公式法：an=an+b（a,b为常数）Û{ }
④前n项和公式法：Sn=An2+Bn（A,B为常数）Û{}
【例题1】已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ B ）
（A） （B） （C） （D）
[解析]：∵ d=1 ∴S8=8a1+28 S4=4a1+6
∵S8=4 S4 ∴ a1=0.5 an=a1+(n-1)d ∴a10=
【例题2】在等差数列中，若，则= 10 .
[解析]：因为是等差数列，所以，即，所以，故应填入．
【知识要点3等比数列】
1. 定义：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个不为零的常熟，那么这个数列就叫做等比数列.这个常熟叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，及
2. 通项公式：
na1 (q=1)
或 (q≠1)
如果等比数列的公比为q，那么它的通项公式为.
3. 前n项和公式：
设等比数列{}的公比为q，其前n项和=
4. 性质：
（1）
等比数列{}满足或时，{}是递增数列；
满足或时，{}是递减数列.
当q=1时，{}为常数数列；
当q<0时，{}为摆动数列，且所有奇数项与同号，所有偶数项与异号.
（2）对于正整数m,n,p,q,若m+n=p+q,则在等比数列{}中，的关系为:
（3）若{},{}为等比数列（项数相同），则{}(≠0),{},{},{},{}仍是等比数列.
（4）如果a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，且G=±√ab。不是任何两数都有等比中项，只
有同号两数才存在等比中项，且有两个等比中项。
【例题1】已知数列是递增的等比数列，，则数列的前项和等于 .
[解析]：由题意解得：a1=1，a4=8， q=2，那么
【例题2】数列中为的前n项和，若，则 6 .
[解析]：∵an+1=2an ∴数列是等比数列，q=2
∵Sn= =126 其中a1=2 ∴n=6
【知识要点4】★（大题）
一、考点1：求an：
1. 归纳法（由特殊到一般即找规律）
由于归纳法求解通项的题目一般在选择填空常见，较少出现在大题中。
2. 利用Sn与an的关系求通项公式
由Sn求an时，要分n=1和n≥2两种情况讨论，然后验证两种情况能否用统一的式子表示。若不能，则分段表示.
2. 由递推关系求数列的通项公式【累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法】
1.累加法：若已知且则，即.
2.累乘法：若已知且则 ,即
3.换元法：若已知且且p）则令,可得{}（其中）为等比数列，其中可用待定系数法求出.
【例题1】已知数列满足，求数列的通项公式。（累加法）
解：由得则
所以数列的通项公式为。
【例题2】已知数列满足，求数列的通项公式。（累乘法）
解：因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
二、考点2：求Sn：
1.公式法：直接用等差、等比数列的求和公式求解
2.倒序相加法：在数列{}中，与首末两端等“距离”的两项和相等或可构成能求和的新数列，可用倒序相加法求此数列的前n项和。（此法在实际解体过程中并不常用，例子：等差数列前n项和公式推导）
3.错位相减法：在数列{}中，{}是等差数列，{}是等比数列，可用错位相减法求此数列的前n项和.
4.裂项相消法：把数列的每一项拆成两项之差，求和时有些部分可以相互抵消，从而达到求和的目的.
5.分组转化求和法：
若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减。即把复杂的通项公式求和的任务转化为简单的等差和等比的求和。
6.并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如类型，可采用两项合并求解.
【例题1】设数列满足 ，（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和。（错位相减法）
[解析]：（1）由已知，当n≥1时，
。 而 所以数列{}的通项公式为。
（2）由知
①
从而
②
① -②得
即
【例题2】求数列的前n项和。（裂项相消法）
[解析]：设 （裂项）
则 （裂项求和）
＝
＝
