高考数学总复习系列——高中数学必修四

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高考数学总复习系列——高中数学必修四

2011 高考数学复习必修 4 第一章 基本初等函数 II 一、基础知识(理解去记) 定义 1 角,一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向,则角为正角,若 旋转方向为顺时针方向,则角为负角,若不旋转则为零角。角的大小是任意的。 定义 2 角度制,把一周角 360 等分,每一等价为一度,弧度制:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 一弧度。360 度=2π弧度。若圆心角的弧长为 L,则其弧度数的绝对值|α|= r L ,其中 r 是圆的半径。 定义 3 三角函数,在直角坐标平面内,把角α的顶点放在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,在角的终边 上任意取一个不同于原点的点 P,设它的坐标为(x,y),到原点的距离为 r,则正弦函数 sinα= r y ,余弦函数 cosα= r x ,正切函数 tanα= x y ,余切函数 cotα= y x ,正割函数 secα= x r ,余割函数 cscα= .y r 定理 1 同角三角函数的基本关系式: 倒数关系:tanα= cot 1 ,sinα= csc 1 ,cosα= sec 1 ; 商数关系:tanα=    sin coscot,cos sin  ; 乘积关系:tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα; 平方关系:sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α. 定理 2 诱导公式(Ⅰ)sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;(Ⅱ)sin(- α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; (Ⅲ)sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π- α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; (Ⅳ)sin       2 =cosα, cos       2 =sinα, tan       2 =cotα(记法: 奇变偶不变,符号看象限)。 定理 3(根据图像去记) 正弦函数的性质:根据图象可得 y=sinx(x∈R)的性质如下。单调区间:在区 间      22,22  kk 上为增函数,在区间       2 32,22 kk 上为减函数,最小正周期为 2 . 奇偶 数. 有界性:当且仅当 x=2kx+ 2  时,y 取最大值 1,当且仅当 x=3k - 2  时, y 取最小值-1。对称性:直线 x=k + 2  均为其对称轴,点(k , 0)均为其对称中心,值域为[-1,1]。这里 k∈Z. 定理 4(根据图像去记)余弦函数的性质:根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调区间:在区间[2kπ, 2kπ+π] 上单调递减,在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性:偶函数。对称性:直线 x=kπ均为 其对称轴,点       0,2 k 均为其对称中心。有界性:当且仅当 x=2kπ时,y 取最大值 1;当且仅当 x=2kπ-π 时,y 取最小值-1。值域为[-1,1]。这里 k∈Z. 定理 5 (根据图像去记) 正切函数的性质:由图象知奇函数 y=tanx(x  kπ+ 2  )在开区间(kπ- 2  , kπ+ 2  )上 为增函数, 最小正周期为π,值域为(-∞,+∞),点(kπ,0),(kπ+ 2  ,0)均为其对称中心。 定理 6 两角和与差的基本关系式:cos(α  β)=cosαcosβ  sinαsinβ,sin(α  β)=sinαcosβ  cosαsin β; tan(α  β)= .)tantan1( )tan(tan     定理 7 和差化积与积化和差公式: sinα+sinβ=2sin       2  cos       2  ,sinα-sinβ=2sin       2  cos       2  , cosα+cosβ=2cos       2  cos       2  , cosα-cosβ=-2sin       2  sin       2  , sinαcosβ= 2 1 [sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ= 2 1 [sin(α+β)-sin(α-β)], cosαcosβ= 2 1 [cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=- 2 1 [cos(α+β)-cos(α-β)]. 口诀记忆: 积化和差: 2 1 前系数:“有余为正,无余为负”“前和后差”“同名皆余,异名皆正”“余后为和,正后 为差” 和差化积:正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦 定理 8 倍角公式(常考):sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, tan2α= .)tan1( tan2 2    定理 9 半角公式:sin      2  = 2 )cos1(  ,cos      2  = 2 )cos1(  , tan      2  = )cos1( )cos1(     = .sin )cos1( )cos1( sin      定理 10 万能公式:            2tan1 2tan2 sin 2    ,            2tan1 2tan1 cos 2 2    , . 2tan1 2tan2 tan 2               定理 11 ****【必考】辅助角公式:如果 a, b 是实数且 a2+b2  0,则取始边在 x 轴正半轴,终边经过点(a, b)的一个角为β,则 sinβ= 22 ba b  ,cosβ= 22 ba a  ,对任意的角α. asinα+bcosα= )( 22 ba  sin(α+β). 定理 12 正弦定理:在任意△ABC 中有 RC c B b A a 2sinsinsin  ,其中 a, b, c 分别是角 A,B,C 的 对边,R 为△ABC 外接圆半径。 定理 13 余弦定理:在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA,其中 a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边。 定理 14 图象之间的关系:y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象;经左右平移得 y=sin(x+ )的图 象(相位变换);纵坐标不变,横坐标变为原来的  1 ,得到 y=sin x ( 0 )的图象(周期变换);横坐 标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变换);y=Asin( x+ )( >0)的图象(周期 变换);横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到 y=Asinx 的图象(振幅变换);y=Asin( x+ )( ,  >0)(|A| 叫作振幅)的图象向右平移   个单位得到 y=Asin x 的图象。 定义 4 函数 y=sinx           2,2 x 的反函数叫反正弦函数,记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1]),函数 y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数,记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数 y=tanx           2,2 x 的反函数叫反正切函 数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数,记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]). 定理 15 三角方程的解集,如果 a∈(-1,1),方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程 cosx=a 的解集是{x|x=2kx  arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R,方程 tanx=a 的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式: arcsina+arccosa= 2  ;arctana+arccota= 2  . 定理 16 若      2,0 x ,则 sinx-1,所以 cos     0,2 x , 所以 sin(cosx) ≤0,又 00, 所以 cos(sinx)>sin(cosx). 若      2,0 x ,则因为 sinx+cosx= 2cos2 2sin2 22        xx (sinxcos 4  +sin 4  cosx)= 2 sin(x+ 4  ) ≤ 2 < 2  , 所以 0cos( 2  -cosx)=sin(cosx). 综上,当 x∈(0,π)时,总有 cos(sinx)0,求证: .2sin cos sin cos           xx     【证明】 若α+β> 2  ,则 x>0,由α> 2  -β>0 得 cosαsin( 2  -β)=cosβ, 所以 0<   sin cos <1, 所以 .2sin cos sin cos sin cos sin cos 00                            xx 若α+β< 2  ,则 x<0,由 0<α< 2  -β< 2  得 cosα>cos( 2  -β)=sinβ>0, 所以   sin cos >1。又 01, 所以 2sin cos sin cos sin cos sin cos 00                            xx ,得证。 注:以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式,值得注意的是角的讨论。 3.最小正周期的确定。 例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。 【解】 首先,T=2π是函数的周期(事实上,因为 cos(-x)=cosx,所以 co|x|=cosx);其次,当且仅当 x=kπ+ 2  时,y=0(因为|2cosx|≤2<π), 所以若最小正周期为 T0,则 T0=mπ, m∈N+,又 sin(2cos0)=sin2  sin(2cosπ),所以 T0=2π。 4.三角最值问题。 例 5 已知函数 y=sinx+ x2cos1 ,求函数的最大值与最小值。 【解法一】 令 sinx=        4 304sin2cos1,cos2 2 x , 则有 y= ).4sin(2sin2cos2   因为  4 304  ,所以   42 , 所以 )4sin(0   ≤1, 所以当  4 3 ,即 x=2kπ- 2  (k∈Z)时,ymin=0, 当 4   ,即 x=2kπ+ 2  (k∈Z)时,ymax=2. 例 6 设 0< <π,求 sin )cos1(2   的最大值。 【解】因为 0< <π,所以 220   ,所以 sin 2  >0, cos 2  >0. 所以 sin 2  (1+cos )=2sin 2  ·cos2 2  = 2cos2cos2sin22 222   ≤ 3 222 3 2cos2cos2sin2 2              = .9 34 27 16  当且仅当 2sin2 2  =cos2 2  , 即 tan 2  = 2 2 ,  =2arctan 2 2 时,sin 2  (1+cos )取得最大值 9 34 。 例 7 若 A,B,C 为△ABC 三个内角,试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。 【解】 因为 sinA+sinB=2sin 2 BA  cos 2sin22 BABA  , ① sinC+sin 2 3sin22 3cos2 3sin23       CCC , ② 又因为 3sin24 3cos4 3sin22 3sin2sin        CBACBACBA ,③ 由①,②,③得 sinA+sinB+sinC+sin 3  ≤4sin 3  , 所以 sinA+sinB+sinC≤3sin 3  = 2 33 , 当 A=B=C= 3  时,(sinA+sinB+sinC)max= 2 33 . 注:三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数 的单调性等是解三角最值的常用手段。 5.换元法的使用。 例 8 求 xx xxy cossin1 cossin  的值域。 【解】 设 t=sinx+cosx= ).4sin(2cos2 2sin2 22        xxx 因为 ,1)4sin(1  x 所以 .22  t 又因为 t2=1+2sinxcosx, 所以 sinxcosx= 2 12 t ,所以 2 1 1 2 12    t t x y , 所以 .2 12 2 12  y 因为 t  -1,所以 12 1 t ,所以 y  -1. 所以函数值域为 .2 12,11,2 12              y 例 9 已知 a0=1, an= 1 1 121    n n a a (n∈N+),求证:an> 22 n  . 【证明】 由题设 an>0,令 an=tanan, an∈      2,0  ,则 an= .tan2tan sin cos1 tan 1sec tan 1tan1 1 1 1 1 1 1 1 2 n n n n n n n n aa a a a a a a          因为 2 1na ,an∈      2,0  ,所以 an= 12 1 na ,所以 an= .2 1 0a n      又因为 a0=tana1=1,所以 a0= 4  ,所以 n na      2 1 · 4  。 又因为当 0x,所以 .22tan 22   nnna  注:换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。 另外当 x∈      2,0  时,有 tanx>x>sinx,这是个熟知的结论,暂时不证明,学完导数后,证明是很容易的。 6.图象变换【常考】:y=sinx(x∈R)与 y=Asin( x+ )(A,  ,  >0). 由 y=sinx 的图象向左平移 个单位,然后保持横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,然后再保持纵坐标不 变,横坐标变为原来的  1 ,得到 y=Asin( x+ )的图象;也可以由 y=sinx 的图象先保持横坐标不变,纵坐 标变为原来的 A 倍,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的  1 ,最后向左平移   个单位,得到 y=Asin( x+ )的图象。 例 10 例 10 已知 f(x)=sin( x+ )( >0, 0≤ ≤π)是 R 上的偶函数,其图象关于点      0,4 3M 对称, 且在区间     2,0  上是单调函数,求 和 的值。 【解】 由 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x),所以 sin( + )=sin(- x+ ),所以 cos sinx=0,对任意 x∈R 成立。 又 0≤ ≤π,解得 = 2  , 因为 f(x)图象关于      0,4 3M 对称,所以 )4 3()4 3( xfxf   =0。 取 x=0,得 )4 3( f =0,所以 sin .024 3        所以 24 3   k (k∈Z),即 = 3 2 (2k+1) (k∈Z). 又 >0,取 k=0 时,此时 f(x)=sin(2x+ 2  )在[0, 2  ]上是减函数; 取 k=1 时, =2,此时 f(x)=sin(2x+ 2  )在[0, 2  ]上是减函数; 取 k=2 时, ≥ 3 10 ,此时 f(x)=sin( x+ 2  )在[0, 2  ]上不是单调函数, 综上, = 3 2 或 2。 7.三角公式的应用。 例 11 已知 sin(α-β)= 13 5 ,sin(α+β)=- 13 5 ,且α-β∈       ,2 ,α+β∈       2,2 3 ,求 sin2α,cos2β的值。 【解】 因为α-β∈       ,2 ,所以 cos(α-β)=- .13 12)(sin1 2   又因为α+β∈       2,2 3 ,所以 cos(α+β)= .13 12)(sin1 2   所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)= 169 120 , cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1. 例 12 已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,且 BCA cos 2 cos 1 cos 1  ,试求 2cos CA  的值。 【解】 因为 A=1200-C,所以 cos 2 CA  =cos(600-C), 又由于 )120cos(cos cos)120cos( cos 1 )120cos( 1 cos 1 cos 1 0 0 0 CC CC CCCA     = 22 2 1)2120cos( )60cos(2 )]2120cos(120[cos2 1 )60cos(60cos2 0 0 00 00      C C C C , 所以 232cos22cos24 2  CACA =0。 解得 2 2 2cos  CA 或 8 23 2cos  CA 。 又 2cos CA  >0,所以 2 2 2cos  CA 。 例 13 求证:tan20  +4cos70  . 【解】 tan20  +4cos70  =   20cos 20sin +4sin20       20cos 40sin220sin 20cos 20cos20sin420sin      20cos 40sin10cos30sin2 20cos 40sin40sin20sin .3 20cos 20cos60sin2 20cos 40sin80sin      三、趋近高考(必懂) 1.(四川省成都市 2010 届高三第三次诊断理科)计算 cot15°-tan15的结果是( ) (A) 3 2 (B) 6 2 (C)3 3 (D)2 3 【答案】D 2.(成都 2010 届高三第三次诊断文科)计算 cos45cos15-sin45cos75的结果是( ) (A) 3 2 (B) 2 2 (C) 1 2 (D)1 【答案】C 【解析】cos45cos15-sin45cos75 =cos45cos15-sin45sin15 =cos(45+15) =cos60 = 1 2 3. (成都 2010 届高三第三次诊断文科)先把函数 f(x)=sinx- 3 cosx 的图象按向量 a=(π 3 ,0)平移得到曲 线 y=g(x),再把曲线 y=g(x)上所有点的纵坐标缩短到原来的 1 2 倍,横坐标保持不变,得到曲线 y=h(x), 则曲线 y=h(x)的函数表达式为( ) (A)h(x)=sin(x-2π 3 ) (B)h(x)=sinx (C)h(x)=4sin (x-2π 3 ) (D)h (x)=4sinx 【答案】A 【解析】f(x)=2sin(x-π 3), 按向量 a=(π 3 ,0)平移后,得到曲线 y=g(x) =2sin(x-2π 3 ) 再把纵坐标缩短到原来的 1 2 倍,横坐标保持不变,得到曲线 y=h(x)=sin(x-2π 3 ) 4. (成都 2010 届高三第三次诊断理科)已知 sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα= 3 3 ,则 cos2β的值为 ________________. 【答案】 1 3 【解析】因为 sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα =sin[(α+β)-α] =sinβ= 3 3 于是 cos2β=1-2sin22β=1- 2 1 3 3  6.(绵阳 2010 年 4 月高三三诊理科试题) (本小题满分 12 分)已知△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别 为 a,b,c,若 A、B、C 成等差数列,b=1,记角 A=x,a+c=f (x). (Ⅰ)当 x∈[ 6  , 3  ]时,求 f (x)的取值范围; (Ⅱ)若 5 6)6(  xf ,求 sin2x 的值. 解:(I)由已知 A、B、C 成等差数列,得 2B=A+C, ∵ 在△ABC 中, A+B+C=π,于是解得 3 B , 3 2 CA . ∵ 在△ABC 中, C c B b A a sinsinsin  ,b=1, ∴ CAca sin 3sin 1sin 3sin 1   )]3 2sin([sin3 32 AA   ]sin3 2coscos3 2sin[sin3 32 AAA   AA cossin3  )6sin(2  A , 即 )6sin(2)(  xxf . …………………………………………………………6 分 由 6  ≤x≤ 3  得 3  ≤x+ 6  ≤ 2  ,于是 3 ≤ )(xf ≤2, 即 f (x)的取值范围为[ 3 ,2] . ………………………………………………8 分 (Ⅱ)∵ 5 6)66sin(2)6(   xxf ,即 5 3sin x . ∴ 5 4sin1cos 2  xx . ……………………………………………………9 分 若 5 4cos x ,此时由 2 2 5 4  知 x> 4 3 ,这与 3 2CA 矛盾. ∴ x 为锐角,故 5 4cos x . ……………………………………………………11 分 ∴ 25 24cossin22sin  xxx .……………………………………………………12 分 7.(雅安 2010 届高三第三次诊断性考试理科) (本题满分 12 分) 三角形的三内角 , ,A B C 所对边的长分别为 , ,a b c ,设向量 ( , )m c a b a   , n  ( , )a b c ,若 //m n   。 (1)求角 B 的大小; (2)求sin sinA C 的取值范围。 8.(自贡 2010 届高三三诊理科试题)(本小题满分 12 分) 如图 4,已知△ABC 中,| | 1AC  ,∠ABC=120°,∠BAC= ,记 ( )f AB BC    。 (I)求 ( )f  关于 的表达式; (II)求 ( )f  的值域。 解:(Ⅰ),由正弦定理有:  120sin 1 sin ||  BC = )60sin( ||  AB …………(2 分) ∴ sin120sin 1|| BC ,   120sin )60sin(|| AB …………(4 分) ∴ )(f 2 1)60sin(sin3 4)0(  BCABf =  sin)sin2 1cos2 3(3 2  = )2 2cos12sin2 3(3 1   = 6 1)62sin(3 1   )30(   …………(8 分) (Ⅱ) 30   => 6 5 626   , ∴ 1)62sin(2 1   ∴ ]6 1,0()( f ………(12 分) 9.(南充 2010 届高三 4 月月考理科试题)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c, 7,5,2 72cos2sin4 2  cbaCBA . (1)求角 C 的大小; (2)求△ABC 的面积. 解:(1)由 2 72cos2cos4,2 72cos2sin4 22 CCCBA  得 ∴ 4cos2C-4cosC+1=0 解得 2 1cos C ∴ C=60° (2)由余弦定理得 C2=a2+b2-2ab cos C 即 7=a2+b2-ab ① 又 a+b=5 ∴a2+b2+2ab=25 ② 由①②得 ab=6 ∴ S△ABC= 2 33sin2 1 Cab 10.(资阳 2009—2010 学年度高三第三次高考模拟理)(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,若角α的始边为 x 轴的非负半轴,终边为射线 l: 2 ( 0)y x x  . (Ⅰ)求 tan 2 的值; (Ⅱ)求 22cos 2sin( ) 12 72 cos( )4         的值. 解:(Ⅰ)在终边 l 上取一点 ( 1, 2)P   ,则 2tan 21    ,·································· 2 分 ∴ 2 2 2 4tan 2 1 2 3     .··········································································4 分 (Ⅱ) 22cos 2sin( ) 12 72 cos( )4         cos 2sin 2 cos( )4      cos 2sin cos sin       ························ 8 分 1 2tan 1 2 2 51 tan 1 2          . 12 分 11.(四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题)(12 分)在 ABC 中, 角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c , 2 2 2 1 2a c b ac   . (Ⅰ)求 2sin cos22 A C B  的值; (Ⅱ)若 2b  ,求 ABC 面积的最大值. 解:(Ⅰ)由余弦定理: 1cos 4B  (Ⅱ)由 .4 15sin,4 1cos  BB 得 ∵ 2b , 2 2 2 1 2a c b ac   ∴ 2 2 21 1 4 22 2a c ac b ac ac      ,从而 8 3ac  故 1 15sin2 3ABCS ac B   (当且仅当 a c 时取等号) 12.(成都石室中学 2010 届高三三诊模拟理科) (12 分) 已知 ABC 中, .sin3)cos3(sinsin CBBA  (I)求角 A 的大小; (II)若 BC=3,求 ABC 周长的取值范围。 解:(I)  CBA 得 )sin(sin BAC  代入已知条件得 BBA sincos3sinsin  0sin B ,由此得 3,3tan  AA …………6 分 (II)由上可知: BCCB  3 2,3 2  由正弦定理得: ))3 2sin((sin32)sin(sin2 BBCBRACAB   即得: )6sin(6)cos2 3sin2 3(32  BBBACAB 1)6sin(2 1 3 20   BB 得 63  ACAB , ABC 周长的取值范围为  9,6 …………12 分 5_u.c o*m 第二章 平面向量 一、基础知识(理解去记) 定义 1 既有大小又有方向的量,称为向量。画图时用有向线段来表示,线段的长度表示向量的模。向量 的符号用两个大写字母上面加箭头,或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量,如 a. |a|表示 向量的模,模为零的向量称为零向量,规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同,模为 1 的向量称为 单位向量【最近几年常考】。 定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量(或共线向量),规定零向量与任意一个非零向量平行和结 合律。 定理 1 向量的运算,加法满足平行四边形法规,减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合 律。 定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数  0,使得 a= .b f 定理 3 平面向量的基本定理,若平面内的向量 a, b 不共线,则对同一平面内任意向是 c,存在唯一一对实 数 x, y,使得 c=xa+yb,其中 a, b 称为一组基底。 定义 3 向量的坐标,在直角坐标系中,取与 x 轴,y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底,任取一个 向量 c,由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y,使得 c=xi+yi,则(x, y)叫做 c 坐标。 定义 4 向量的数量积,若非零向量 a, b 的夹角为 ,则 a, b 的数量积记作 a·b=|a|·|b|cos =|a|·|b|cos,也称内积,其中|b|cos 叫做 b 在 a 上的投影(注:投影可能为负值)。 定理 4 平面向量的坐标运算:若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 1.a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2), 2.λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c, 3.a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)= 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx   (a, b  0), 4. a//b  x1y2=x2y1, a  b  x1x2+y1y2=0. 定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1,p2 的一点,则存在唯一实数λ,使 21 PPPP  ,λ叫 P 分 21 PP 所 成的比,若 O 为平面内任意一点,则     1 21 OPOPOP 。由此可得若 P1,P,P2 的坐标分别为(x1, y1), (x, y), (x2, y2),则 .. 1 1 2 1 2 1 21 21 yy yy xx xx yyy xxx                    定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形,将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向,平移|a|= 22 kh  个单 位得到图形 'F ,这一过程叫做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点,平移到 'F 上对应的点为 )','(' yxp ,则      kyy hxx ' ' 称为平移公式。 定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|,并且|a+b|≤|a|+|b|. 【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2= ))(( 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyx  -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,…,xn),b=(y1, y2, …, yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|, 化简即为柯西不等式:  ))(( 22 2 2 1 22 2 2 1 nn yyyxxx  (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0,又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0, 所以|a|·|b|≥|a·b|. 由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|. 注:本定理的两个结论均可推广。1)对 n 维向量,a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn),同样有|a·b|≤|a|·|b|, 化简即为柯西不等式:  ))(( 22 2 2 1 22 2 2 1 nn yyyxxx  (x1y1+x2y2+…+xnyn)2。 2)对于任意 n 个向量,a1, a2, …,an,有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。 二、基础例题【必会】 1.向量定义和运算法则的运用 例 1 设 O 是正 n 边形 A1A2…An 的中心,求证: .21 OOAOAOA n   【证明】 记 nOAOAOAS  21 ,若 OS  ,则将正 n 边形绕中心 O 旋转 n 2 后与原正 n 边形重合,所以 S 不变,这不可能,所以 .OS  例 2 给定△ABC,求证:G 是△ABC 重心的充要条件是 .OGCGBGA  【证明】必要性。如图所示,设各边中点分别为 D,E,F,延长 AD 至 P,使 DP=GD,则 .2 GPGDAG  又因为 BC 与 GP 互相平分, 所以 BPCG 为平行四边形,所以 BG // PC,所以 .CPGB  所以 .OPGCPGCGCGBGA  充分性。若 OGCGBGA  ,延长 AG 交 BC 于 D,使 GP=AG,连结 CP,则 .PGGA  因为 OPCPGGC  ,则 PCGB  ,所以 GB // CP,所以 AG 平分 BC。 同理 BG 平分 CA。 所以 G 为重心。 例 3 在 凸 四 边 形 ABCD 中 , P 和 Q 分 别 为 对 角 线 BD 和 AC 的 中 点 , 求 证 : AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。 【证明】 如图所示,结结 BQ,QD。 因为 DQPQDPBQPQBP  , , 所以 2222 )()( PQDPPQBPDQBQ  = BPPQDPBP 22 222  · PQDPPQ  2 = .2)(22 222222 PQDPBPPQDPBPPQDPBP  ① 又因为 ,,, OQCQABAQABQBCQCBQ  同理 22222 2BQQCQABCBA  , ② 22222 2QDQCQADACD  , ③ 由①,②,③可得 )(24 222222 QDBQQACDBCBA  222222 4)22(2 PQBDACPQBPAC  。得证。 2.证利用定理证明共线 例 4 △ABC 外心为 O,垂心为 H,重心为 G。求证:O,G,H 为共线,且 OG:GH=1: 【证明】 首先 AMOAAGOAOG 3 2 = )2(3 1)(3 1 OCOBAOOAACABOA  ).(3 1 OCOBOA  其次设 BO 交外接圆于另一点 E,则连结 CE 后得 CE .BC 又 AH  BC,所以 AH//CE。 又 EA  AB,CH  AB,所以 AHCE 为平行四边形。 所以 ,ECAH  所以 OCOBOAOCEOOAECOAAHOAOH  , 所以 OGOH 3 , 所以 OG 与OH 共线,所以 O,G,H 共线。 所以 OG:GH=1:2。 3.利用数量积证明垂直 例 5 给定非零向量 a, b. 求证:|a+b|=|a-b|的充要条件是 a  b. 【证明】|a+b|=|a-b|  (a+b)2=(a-b)2  a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2  a·b=0  a  b. 例 6 已知△ABC 内接于⊙O,AB=AC,D 为 AB 中点,E 为△ACD 重心。求证:OE  CD。 【证明】 设 cOCbOBaOA  ,, , 则 )(2 1 baOD  , .6 1 2 1 3 1)(2 1 3 1 bacbacaOE      又 cbaCD  )(2 1 , 所以            cbabcaCDOE 2 1 2 1 6 1 3 1 2 1 cabacba  3 1 3 1 3 1 12 1 4 1 222 3 1 a·(b-c). (因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2) 又因为 AB=AC,OB=OC,所以 OA 为 BC 的中垂线。 所以 a·(b-c)=0. 所以 OE  CD。 4.向量的坐标运算 例 7 已知四边形 ABCD 是正方形,BE//AC,AC=CE,EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F,求证: AF=AE。 【证明】 如图所示,以 CD 所在的直线为 x 轴,以 C 为原点建立直角坐标系,设正方形边长为 1,则 A,B 坐标分别为(-1,1)和(0,1),设 E 点的坐标为(x, y),则 BE =(x, y-1), )1,1( AC ,因为 ACBE // , 所以-x-(y-1)=0. 又因为 |||| ACCE  ,所以 x2+y2=2. 由①,②解得 .2 31,2 31  yx 所以 .324||,2 31,2 33 2        AEAE 设 )1,'(xF ,则 )1,'(xCF  。由CF 和CE 共线得 .02 31'2 31  x 所以 )32(' x ,即 F )1,32(  , 所以 2|| AF =4+ 2||32 AE ,所以 AF=AE。 三、趋近高考【必懂】 1.(成都市 2010 届高三第三次诊断理科)已知向量 a=(-3,2),b=(2,1),则|a+2 b|的值为( ) (A)3 2 (B)7 (C) 17 (D) 13 2 5 【答案】C 【解析】因为 a+2 b=(1,4) 故|a+2 b|= 2 21 4 17   2. (绵阳市 2010 年 4 月高三三诊理科试题)已知向量 a、b 不共线,若向量 a+λb 与 b+λa 的方向相反,则λ= ( C ) (A)1 (B)0 (C)-1 (D)±1 3.(雅安市 2010 届高三第三次诊断性考试理科)已知 ,a b   为非零向量,函数 ( ) ( ) ( )f x xa b a xb       , 则使 ( )f x 的图象为关于 y 轴对称的抛物线的一个必要不充分条件 是( C ) A. a b  B. //a b   C.| | | |a b  D. a b  4.(资阳市 2009—2010 学年度高三第三次高考模拟理)已知平面直角坐标系内的点 A(1,1),B(2,4), C(-1,3),则 | |AB AC   ( B ) (A) 2 2 (B) 10 (C)8 (D)10 5.(泸州市 2010 届高三第二次教学质量 诊断性考试理科)如图:正六边形 ABCDEF 中,下列命题错误的是( C ) A. AC AD AD AB      B. 2AD AB AF    C. 2AC AF BC    D.   AD AF EF EF AF AD        6.(四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题)已知  1, 6, 2a b a b a         ,则向量 a  与 向量 b  的夹角是( C ) A. 6  B. 4  C. 3  D. 2  7. (成都市石室中学 2010 届高三三诊模拟理科)已知 ba, 是非零向量且满足 bbaaba  )4(,)3( ,则 ba与 的夹角是 ( A ) A. 6  B. 3  C. 3 2 D. 6 5 二、填空题: 8.(自贡市 2010 届高三三诊理科试题)有下列命题: ① a b 是 2 2a b 的充分不必要条件; ② 2 2 21 ( )2OP OQ OP OQ PQ        ; ③若函数 ( )f x 满足 ( 1) 1 ( )f x f x   ,则 ( )f x 是周期函数; ④如果一组数据中,每个数都加上同一个非零常数 c,则这组数据的平均数和方差都改变。 其中错误命题的序号为 (要求填写所有错误命题的序号)。①④ 9.(眉山市 2010 年 4 月高三第二次诊断性考试理科)设 1 2 3 4, , ,e e e e     是平面内的四个单位向量,其中 1 2 3,e e e   与 4e  的夹角为135 ,对这个平面内的任一个向量 1 2a xe ye    ,规定经过一次“斜二测变换” 得到向量 1 3 42 ya xe e    ,设向量 1 23 4v e e    ,则经过一次“斜 二测变换”得到向量 1v  的模 1v  是_____________________. 13 6 2 [ 10.(省泸州市 2010 届高三第二次教学质量诊断性考试理科)已知向量 (2,1), 10a a b     , 5 2a b   , 则 b  5 . 11.(泸州市 2010 届高三第二次教学质量诊断性考试文科)已知向量 (1, ), ( 1, )a n b n    ,若 2a b  与 b  垂直,则 a  2 . 12.(四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统 考文科试题)已知点 ( 1, 5)A   和向量 (2,3)a  ,若 3AB a  ,则点 B 的坐标为 . 5 , 4 13.(攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题)(12 分)已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率 为 1 2 ,且其焦点 ( ,0)( 0)F c c  到相应准线l 的距离为3, 过焦点 F 的直线与椭圆交于 ,A B 两点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)设 M 为椭圆的右顶点,则直线 ,AM BM 与准线l 分别交于 ,P Q 两点( ,P Q 两点不重合),求证: 0FP FQ    . 【解析】 ∴直线 AB 的方程为 0),1(  kxky 又设 ),(),,(),,(),,( 44332211 yxQyxPyxByxA 联立      134 )1( 22 yx xky 消 y 得 01248)43( 2222  kxkxk ∴ 2 2 212 2 21 43 124,43 8 k kxxk kxx   ∴ 2 2 21 2 21 43 9)1)(1( k kxxkyy   又∵A、M、P 三点共线,∴ 2 2 1 1 3  x yy 同理 2 2 2 2 4  x yy ∴ )2 2,3( 1 1  x yFP , )2 2,3( 2 2  x yFQ ∴ 04)(2 49 2121 21  xxxx yyFQFP 综上所述: 0FQFP [
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