高考数学总复习系列——高中数学必修四
2011 高考数学复习必修 4
第一章 基本初等函数 II
一、基础知识（理解去记）
定义 1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若
旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的。
定义 2 角度制，把一周角 360 等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做
一弧度。360 度=2π弧度。若圆心角的弧长为 L，则其弧度数的绝对值|α|=
r
L ,其中 r 是圆的半径。
定义 3 三角函数，在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与 x 轴的正半轴重合，在角的终边
上任意取一个不同于原点的点 P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为 r,则正弦函数 sinα=
r
y ,余弦函数
cosα=
r
x ,正切函数 tanα=
x
y ，余切函数 cotα=
y
x ，正割函数 secα=
x
r ,余割函数 cscα= .y
r
定理 1 同角三角函数的基本关系式：
倒数关系：tanα= cot
1 ,sinα= csc
1 ，cosα= sec
1 ；
商数关系：tanα=
sin
coscot,cos
sin ；
乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；
平方关系：sin2α+cos2α=1, tan2α+1=sec2α, cot2α+1=csc2α.
定理 2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;（Ⅱ）sin(-
α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα; （Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-
α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα; （Ⅳ）sin
2
=cosα, cos
2
=sinα, tan
2
=cotα（记法：
奇变偶不变，符号看象限）。
定理 3（根据图像去记） 正弦函数的性质：根据图象可得 y=sinx（x∈R）的性质如下。单调区间：在区
间
22,22 kk 上为增函数，在区间
2
32,22 kk 上为减函数，最小正周期为 2 . 奇偶
数. 有界性：当且仅当 x=2kx+
2
时，y 取最大值 1，当且仅当 x=3k -
2
时, y 取最小值-1。对称性：直线
x=k +
2
均为其对称轴，点（k , 0）均为其对称中心，值域为[-1，1]。这里 k∈Z.
定理 4（根据图像去记）余弦函数的性质：根据图象可得 y=cosx(x∈R)的性质。单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]
上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。最小正周期为 2π。奇偶性：偶函数。对称性：直线 x=kπ均为
其对称轴，点
0,2
k 均为其对称中心。有界性：当且仅当 x=2kπ时，y 取最大值 1；当且仅当 x=2kπ-π
时，y 取最小值-1。值域为[-1，1]。这里 k∈Z.
定理 5 （根据图像去记） 正切函数的性质：由图象知奇函数 y=tanx(x kπ+
2
)在开区间(kπ-
2
, kπ+
2
)上
为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（kπ，0），（kπ+
2
，0）均为其对称中心。
定理 6 两角和与差的基本关系式：cos(α β)=cosαcosβ sinαsinβ,sin(α β)=sinαcosβ cosαsin
β; tan(α β)= .)tantan1(
)tan(tan
定理 7 和差化积与积化和差公式:
sinα+sinβ=2sin
2
cos
2
,sinα-sinβ=2sin
2
cos
2
,
cosα+cosβ=2cos
2
cos
2
, cosα-cosβ=-2sin
2
sin
2
,
sinαcosβ=
2
1 [sin(α+β)+sin(α-β)],cosαsinβ=
2
1 [sin(α+β)-sin(α-β)],
cosαcosβ=
2
1 [cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-
2
1 [cos(α+β)-cos(α-β)].
口诀记忆：
积化和差：
2
1 前系数：“有余为正，无余为负”“前和后差”“同名皆余，异名皆正”“余后为和，正后
为差” 和差化积：正弦之和正余弦、正弦之差余正弦、余弦之和得余弦、余弦之差负正弦
定理 8 倍角公式（常考）:sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
tan2α= .)tan1(
tan2
2
定理 9 半角公式:sin
2
=
2
)cos1( ,cos
2
=
2
)cos1( ,
tan
2
=
)cos1(
)cos1(
= .sin
)cos1(
)cos1(
sin
定理 10 万能公式:
2tan1
2tan2
sin
2
,
2tan1
2tan1
cos
2
2
,
.
2tan1
2tan2
tan
2
定理 11 ****【必考】辅助角公式：如果 a, b 是实数且 a2+b2 0，则取始边在 x 轴正半轴，终边经过点(a,
b)的一个角为β，则 sinβ= 22 ba
b
,cosβ= 22 ba
a
，对任意的角α.
asinα+bcosα= )( 22 ba sin(α+β).
定理 12 正弦定理：在任意△ABC 中有 RC
c
B
b
A
a 2sinsinsin
，其中 a, b, c 分别是角 A，B，C 的
对边，R 为△ABC 外接圆半径。
定理 13 余弦定理：在任意△ABC 中有 a2=b2+c2-2bcosA，其中 a,b,c 分别是角 A，B，C 的对边。
定理 14 图象之间的关系：y=sinx 的图象经上下平移得 y=sinx+k 的图象；经左右平移得 y=sin(x+ )的图
象（相位变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的
1 ，得到 y=sin x ( 0 )的图象（周期变换）；横坐
标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=Asin( x+ )( >0)的图象（周期
变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，得到 y=Asinx 的图象（振幅变换）；y=Asin( x+ )( , >0)(|A|
叫作振幅)的图象向右平移
个单位得到 y=Asin x 的图象。
定义 4 函数 y=sinx
2,2
x 的反函数叫反正弦函数，记作 y=arcsinx(x∈[-1, 1])，函数 y=cosx(x∈[0,
π]) 的反函数叫反余弦函数，记作 y=arccosx(x∈[-1, 1]). 函数 y=tanx
2,2
x 的反函数叫反正切函
数。记作 y=arctanx(x∈[-∞, +∞]). y=cosx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作 y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理 15 三角方程的解集，如果 a∈(-1,1)，方程 sinx=a 的解集是{x|x=nπ+(-1)narcsina, n∈Z}。方程 cosx=a
的解集是{x|x=2kx arccosa, k∈Z}. 如果 a∈R，方程 tanx=a 的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。恒等式：
arcsina+arccosa=
2
；arctana+arccota=
2
.
定理 16 若
2,0 x ，则 sinx
-1，所以 cos
0,2
x ，
所以 sin(cosx) ≤0,又 00，
所以 cos(sinx)>sin(cosx).
若
2,0 x ，则因为 sinx+cosx= 2cos2
2sin2
22
xx (sinxcos
4
+sin
4
cosx)= 2 sin(x+
4
)
≤ 2 <
2
，
所以 0cos(
2
-cosx)=sin(cosx).
综上，当 x∈(0,π)时，总有 cos(sinx)0，求证： .2sin
cos
sin
cos
xx
【证明】 若α+β>
2
，则 x>0，由α>
2
-β>0 得 cosαsin(
2
-β)=cosβ, 所以 0<
sin
cos <1，
所以 .2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos 00
xx
若α+β<
2
，则 x<0，由 0<α<
2
-β<
2
得 cosα>cos(
2
-β)=sinβ>0,
所以
sin
cos >1。又 01，
所以 2sin
cos
sin
cos
sin
cos
sin
cos 00
xx
，得证。
注：以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
3．最小正周期的确定。
例 4 求函数 y=sin(2cos|x|)的最小正周期。
【解】 首先，T=2π是函数的周期（事实上，因为 cos(-x)=cosx，所以 co|x|=cosx）；其次，当且仅当 x=kπ+
2
时，y=0（因为|2cosx|≤2<π）,
所以若最小正周期为 T0，则 T0=mπ, m∈N+，又 sin(2cos0)=sin2 sin(2cosπ)，所以 T0=2π。
4．三角最值问题。
例 5 已知函数 y=sinx+ x2cos1 ，求函数的最大值与最小值。
【解法一】 令 sinx=
4
304sin2cos1,cos2 2 x ,
则有 y= ).4sin(2sin2cos2
因为
4
304
，所以
42
，
所以 )4sin(0 ≤1，
所以当
4
3 ，即 x=2kπ-
2
(k∈Z)时，ymin=0，
当
4
，即 x=2kπ+
2
(k∈Z)时，ymax=2.
例 6 设 0< <π，求 sin )cos1(2
的最大值。
【解】因为 0< <π，所以
220 ，所以 sin
2
>0, cos
2
>0.
所以 sin
2
（1+cos ）=2sin
2
·cos2
2
=
2cos2cos2sin22 222 ≤
3
222
3
2cos2cos2sin2
2
= .9
34
27
16
当且仅当 2sin2
2
=cos2
2
, 即 tan
2
=
2
2 , =2arctan
2
2 时，sin
2
(1+cos )取得最大值
9
34 。
例 7 若 A，B，C 为△ABC 三个内角，试求 sinA+sinB+sinC 的最大值。
【解】 因为 sinA+sinB=2sin
2
BA cos
2sin22
BABA , ①
sinC+sin
2
3sin22
3cos2
3sin23
CCC
, ②
又因为
3sin24
3cos4
3sin22
3sin2sin
CBACBACBA ，③
由①，②，③得 sinA+sinB+sinC+sin
3
≤4sin
3
,
所以 sinA+sinB+sinC≤3sin
3
=
2
33 ,
当 A=B=C=
3
时，（sinA+sinB+sinC）max=
2
33 .
注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、|cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数
的单调性等是解三角最值的常用手段。
5．换元法的使用。
例 8 求
xx
xxy cossin1
cossin
的值域。
【解】 设 t=sinx+cosx= ).4sin(2cos2
2sin2
22
xxx
因为 ,1)4sin(1 x
所以 .22 t
又因为 t2=1+2sinxcosx,
所以 sinxcosx=
2
12 t ，所以
2
1
1
2
12
t
t
x
y ，
所以 .2
12
2
12 y
因为 t -1，所以 12
1 t ，所以 y -1.
所以函数值域为 .2
12,11,2
12
y
例 9 已知 a0=1, an=
1
1 121
n
n
a
a
(n∈N+)，求证：an> 22 n
.
【证明】 由题设 an>0，令 an=tanan, an∈
2,0 ，则
an= .tan2tan
sin
cos1
tan
1sec
tan
1tan1 1
1
1
1
1
1
1
2
n
n
n
n
n
n
n
n aa
a
a
a
a
a
a
因为
2
1na ，an∈
2,0 ，所以 an= 12
1
na ，所以 an= .2
1
0a
n
又因为 a0=tana1=1，所以 a0=
4
，所以
n
na
2
1 ·
4
。
又因为当 0x，所以 .22tan 22 nnna
注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。
另外当 x∈
2,0 时，有 tanx>x>sinx，这是个熟知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。
6．图象变换【常考】：y=sinx(x∈R)与 y=Asin( x+ )(A, , >0).
由 y=sinx 的图象向左平移 个单位，然后保持横坐标不变，纵坐标变为原来的 A 倍，然后再保持纵坐标不
变，横坐标变为原来的
1 ，得到 y=Asin( x+ )的图象；也可以由 y=sinx 的图象先保持横坐标不变，纵坐
标变为原来的 A 倍，再保持纵坐标不变，横坐标变为原来的
1 ，最后向左平移
个单位，得到
y=Asin( x+ )的图象。
例 10 例 10 已知 f(x)=sin( x+ )( >0, 0≤ ≤π)是 R 上的偶函数，其图象关于点
0,4
3M 对称，
且在区间
2,0 上是单调函数，求 和 的值。
【解】 由 f(x)是偶函数，所以 f(-x)=f(x)，所以 sin( + )=sin(- x+ )，所以 cos sinx=0，对任意 x∈R
成立。
又 0≤ ≤π，解得 =
2
，
因为 f(x)图象关于
0,4
3M 对称，所以 )4
3()4
3( xfxf =0。
取 x=0，得 )4
3( f =0，所以 sin .024
3
所以
24
3 k (k∈Z)，即 =
3
2 (2k+1) (k∈Z).
又 >0，取 k=0 时，此时 f(x)=sin(2x+
2
)在[0，
2
]上是减函数；
取 k=1 时， =2，此时 f(x)=sin(2x+
2
)在[0，
2
]上是减函数；
取 k=2 时， ≥
3
10 ，此时 f(x)=sin( x+
2
)在[0，
2
]上不是单调函数，
综上， =
3
2 或 2。
7．三角公式的应用。
例 11 已知 sin(α-β)=
13
5 ，sin(α+β)=-
13
5 ，且α-β∈
,2
，α+β∈
2,2
3 ，求 sin2α,cos2β的值。
【解】 因为α-β∈
,2
，所以 cos(α-β)=- .13
12)(sin1 2
又因为α+β∈
2,2
3 ，所以 cos(α+β)= .13
12)(sin1 2
所以 sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=
169
120 ,
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例 12 已知△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，且
BCA cos
2
cos
1
cos
1 ，试求
2cos CA 的值。
【解】 因为 A=1200-C，所以 cos
2
CA =cos(600-C)，
又由于
)120cos(cos
cos)120cos(
cos
1
)120cos(
1
cos
1
cos
1
0
0
0 CC
CC
CCCA
= 22
2
1)2120cos(
)60cos(2
)]2120cos(120[cos2
1
)60cos(60cos2
0
0
00
00
C
C
C
C ，
所以 232cos22cos24 2 CACA =0。
解得
2
2
2cos CA 或
8
23
2cos CA 。
又
2cos CA >0，所以
2
2
2cos CA 。
例 13 求证：tan20 +4cos70 .
【解】 tan20 +4cos70 =
20cos
20sin +4sin20
20cos
40sin220sin
20cos
20cos20sin420sin
20cos
40sin10cos30sin2
20cos
40sin40sin20sin
.3
20cos
20cos60sin2
20cos
40sin80sin
三、趋近高考（必懂）
1.（四川省成都市 2010 届高三第三次诊断理科）计算 cot15°－tan15的结果是( )
(A) 3
2 (B) 6
2 (C)3 3 (D)2 3
【答案】D
2.（成都 2010 届高三第三次诊断文科）计算 cos45cos15－sin45cos75的结果是( )
(A) 3
2 (B) 2
2 (C) 1
2 (D)1
【答案】C
【解析】cos45cos15－sin45cos75 ＝cos45cos15－sin45sin15 ＝cos(45＋15)
＝cos60 ＝ 1
2
3. （成都 2010 届高三第三次诊断文科）先把函数 f(x)＝sinx－ 3 cosx 的图象按向量 a＝(π
3
，0)平移得到曲
线 y＝g(x)，再把曲线 y＝g(x)上所有点的纵坐标缩短到原来的 1
2
倍，横坐标保持不变，得到曲线 y＝h(x)，
则曲线 y＝h(x)的函数表达式为( )
(A)h(x)＝sin(x－2π
3 ) (B)h(x)＝sinx (C)h(x)＝4sin (x－2π
3 ) (D)h (x)＝4sinx
【答案】A
【解析】f(x)＝2sin(x－π
3)，
按向量 a＝(π
3
，0)平移后，得到曲线 y＝g(x) ＝2sin(x－2π
3 )
再把纵坐标缩短到原来的 1
2
倍，横坐标保持不变，得到曲线 y＝h(x)＝sin(x－2π
3 )
4. （成都 2010 届高三第三次诊断理科）已知 sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα＝ 3
3
，则 cos2β的值为
________________.
【答案】 1
3
【解析】因为 sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)－α] ＝sinβ＝ 3
3
于是 cos2β＝1－2sin22β＝1－ 2 1
3 3
6.(绵阳 2010 年 4 月高三三诊理科试题) （本小题满分 12 分）已知△ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别
为 a，b，c，若 A、B、C 成等差数列，b=1，记角 A=x，a+c=f (x)．
（Ⅰ）当 x∈[ 6
，
3
]时，求 f (x)的取值范围；
（Ⅱ）若
5
6)6( xf ，求 sin2x 的值．
解：（I）由已知 A、B、C 成等差数列，得 2B=A+C，
∵ 在△ABC 中， A+B+C=π，于是解得
3
B ，
3
2 CA ．
∵ 在△ABC 中，
C
c
B
b
A
a
sinsinsin
，b=1，
∴ CAca sin
3sin
1sin
3sin
1
)]3
2sin([sin3
32 AA
]sin3
2coscos3
2sin[sin3
32 AAA AA cossin3 )6sin(2 A ，
即 )6sin(2)( xxf ． …………………………………………………………6 分
由
6
≤x≤
3
得
3
≤x+ 6
≤
2
，于是 3 ≤ )(xf ≤2，
即 f (x)的取值范围为[ 3 ，2] ． ………………………………………………8 分
（Ⅱ）∵
5
6)66sin(2)6( xxf ，即
5
3sin x ．
∴
5
4sin1cos 2 xx ． ……………………………………………………9 分
若
5
4cos x ，此时由
2
2
5
4 知 x> 4
3 ，这与
3
2CA 矛盾．
∴ x 为锐角，故
5
4cos x ． ……………………………………………………11 分
∴
25
24cossin22sin xxx ．……………………………………………………12 分
7．（雅安 2010 届高三第三次诊断性考试理科）
（本题满分 12 分）
三角形的三内角 , ,A B C 所对边的长分别为 , ,a b c ，设向量 ( , )m c a b a ， n
( , )a b c ，若 //m n
。
(1)求角 B 的大小；
(2)求sin sinA C 的取值范围。
8．（自贡 2010 届高三三诊理科试题）（本小题满分 12 分）
如图 4，已知△ABC 中，| | 1AC ，∠ABC=120°，∠BAC= ，记 ( )f AB BC 。
（I）求 ( )f 关于 的表达式；
（II）求 ( )f 的值域。
解：（Ⅰ），由正弦定理有：
120sin
1
sin
||
BC ＝
)60sin(
||
AB …………(2 分)
∴ sin120sin
1|| BC ,
120sin
)60sin(|| AB …………(4 分)
∴ )(f
2
1)60sin(sin3
4)0( BCABf
＝ sin)sin2
1cos2
3(3
2 ＝ )2
2cos12sin2
3(3
1
＝
6
1)62sin(3
1 )30( …………(8 分)
(Ⅱ)
30 =>
6
5
626
,
∴ 1)62sin(2
1 ∴ ]6
1,0()( f ………（12 分）
9.（南充 2010 届高三 4 月月考理科试题）（本小题满分 12 分） 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为
a、b、c， 7,5,2
72cos2sin4 2 cbaCBA ．
（1）求角 C 的大小；
（2）求△ABC 的面积．
解：（1）由
2
72cos2cos4,2
72cos2sin4 22 CCCBA 得
∴ 4cos2C－4cosC＋１＝０
解得
2
1cos C ∴ C＝60°
（2）由余弦定理得 C2＝a2＋b2－2ab cos C 即 7＝a2＋b2－ab ①
又 a＋b＝5 ∴a2＋b2＋2ab＝25 ②
由①②得 ab＝6
∴ S△ABC＝
2
33sin2
1 Cab
10．（资阳 2009—2010 学年度高三第三次高考模拟理）（本小题满分 12 分）
在直角坐标系 xOy 中，若角α的始边为 x 轴的非负半轴，终边为射线 l： 2 ( 0)y x x ．
（Ⅰ）求 tan 2 的值；
（Ⅱ）求
22cos 2sin( ) 12
72 cos( )4
的值．
解：（Ⅰ）在终边 l 上取一点 ( 1, 2)P ，则 2tan 21
，·································· 2 分
∴ 2
2 2 4tan 2 1 2 3
．··········································································4 分
（Ⅱ）
22cos 2sin( ) 12
72 cos( )4
cos 2sin
2 cos( )4
cos 2sin
cos sin
························ 8 分
1 2tan 1 2 2 51 tan 1 2
． 12 分
11.（四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题）（12 分）在 ABC 中，
角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c ，
2 2 2 1
2a c b ac
.
(Ⅰ)求
2sin cos22
A C B
的值；
（Ⅱ）若 2b ，求 ABC 面积的最大值.
解：（Ⅰ）由余弦定理：
1cos 4B
（Ⅱ）由
.4
15sin,4
1cos BB 得
∵ 2b ，
2 2 2 1
2a c b ac
∴
2 2 21 1 4 22 2a c ac b ac ac
，从而
8
3ac
故
1 15sin2 3ABCS ac B
（当且仅当 a c 时取等号）
12．(成都石室中学 2010 届高三三诊模拟理科)
（12 分）
已知 ABC 中， .sin3)cos3(sinsin CBBA
（I）求角 A 的大小；
（II）若 BC=3，求 ABC 周长的取值范围。
解：（I） CBA
得 )sin(sin BAC 代入已知条件得
BBA sincos3sinsin
0sin B ，由此得
3,3tan AA …………6 分
（II）由上可知： BCCB
3
2,3
2
由正弦定理得：
))3
2sin((sin32)sin(sin2 BBCBRACAB
即得： )6sin(6)cos2
3sin2
3(32 BBBACAB
1)6sin(2
1
3
20 BB 得
63 ACAB ，
ABC 周长的取值范围为 9,6
…………12 分 5_u.c o*m
第二章 平面向量
一、基础知识（理解去记）
定义 1 既有大小又有方向的量，称为向量。画图时用有向线段来表示，线段的长度表示向量的模。向量
的符号用两个大写字母上面加箭头，或一个小写字母上面加箭头表示。书中用黑体表示向量，如 a. |a|表示
向量的模，模为零的向量称为零向量，规定零向量的方向是任意的。零向量和零不同，模为 1 的向量称为
单位向量【最近几年常考】。
定义 2 方向相同或相反的向量称为平行向量（或共线向量），规定零向量与任意一个非零向量平行和结
合律。
定理 1 向量的运算，加法满足平行四边形法规，减法满足三角形法则。加法和减法都满足交换律和结合
律。
定理 2 非零向量 a, b 共线的充要条件是存在实数 0，使得 a= .b f
定理 3 平面向量的基本定理，若平面内的向量 a, b 不共线，则对同一平面内任意向是 c，存在唯一一对实
数 x, y，使得 c=xa+yb，其中 a, b 称为一组基底。
定义 3 向量的坐标，在直角坐标系中，取与 x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量 i, j 作为基底，任取一个
向量 c，由定理 3 可知存在唯一一组实数 x, y，使得 c=xi+yi，则（x, y）叫做 c 坐标。
定义 4 向量的数量积，若非零向量 a, b 的夹角为 ，则 a, b 的数量积记作 a·b=|a|·|b|cos =|a|·|b|cos，也称内积，其中|b|cos 叫做 b 在 a 上的投影（注：投影可能为负值）。
定理 4 平面向量的坐标运算：若 a=(x1, y1), b=(x2, y2)，
1．a+b=(x1+x2, y1+y2), a-b=(x1-x2, y1-y2)，
2．λa=(λx1, λy1), a·(b+c)=a·b+a·c，
3．a·b=x1x2+y1y2, cos(a, b)=
2
2
2
2
2
1
2
1
2121
yxyx
yyxx
(a, b 0),
4. a//b x1y2=x2y1, a b x1x2+y1y2=0.
定义 5 若点 P 是直线 P1P2 上异于 p1，p2 的一点，则存在唯一实数λ，使 21 PPPP ，λ叫 P 分 21 PP 所
成的比，若 O 为平面内任意一点，则
1
21 OPOPOP 。由此可得若 P1，P，P2 的坐标分别为(x1, y1), (x,
y), (x2, y2)，则 ..
1
1
2
1
2
1
21
21
yy
yy
xx
xx
yyy
xxx
定义 6 设 F 是坐标平面内的一个图形，将 F 上所有的点按照向量 a=(h, k)的方向，平移|a|= 22 kh 个单
位得到图形 'F ，这一过程叫做平移。设 p(x, y)是 F 上任意一点，平移到 'F 上对应的点为 )','(' yxp ，则
kyy
hxx
'
' 称为平移公式。
定理 5 对于任意向量 a=(x1, y1), b=(x2, y2), |a·b|≤|a|·|b|，并且|a+b|≤|a|+|b|.
【证明】 因为|a|2·|b|2-|a·b|2= ))(( 2
2
2
2
2
1
2
1 yxyx -(x1x2+y1y2)2=(x1y2-x2y1)2≥0，又|a·b|≥0, |a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对 n 维向量，a=(x1, x2,…,xn)，b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，
化简即为柯西不等式： ))(( 22
2
2
1
22
2
2
1 nn yyyxxx (x1y1+x2y2+…+xnyn)2≥0，又|a·b|≥0,
|a|·|b|≥0，
所以|a|·|b|≥|a·b|.
由向量的三角形法则及直线段最短定理可得|a+b|≤|a|+|b|.
注：本定理的两个结论均可推广。1）对 n 维向量，a=(x1, x2,…,xn), b=(y1, y2, …, yn)，同样有|a·b|≤|a|·|b|，
化简即为柯西不等式： ))(( 22
2
2
1
22
2
2
1 nn yyyxxx (x1y1+x2y2+…+xnyn)2。
2）对于任意 n 个向量，a1, a2, …,an，有| a1, a2, …,an|≤| a1|+|a2|+…+|an|。
二、基础例题【必会】
1．向量定义和运算法则的运用
例 1 设 O 是正 n 边形 A1A2…An 的中心，求证： .21 OOAOAOA n
【证明】 记 nOAOAOAS 21 ，若 OS ，则将正 n 边形绕中心 O 旋转
n
2 后与原正 n
边形重合，所以 S 不变，这不可能，所以 .OS
例 2 给定△ABC，求证：G 是△ABC 重心的充要条件是 .OGCGBGA
【证明】必要性。如图所示，设各边中点分别为 D，E，F，延长 AD 至 P，使 DP=GD，则 .2 GPGDAG
又因为 BC 与 GP 互相平分，
所以 BPCG 为平行四边形，所以 BG // PC，所以 .CPGB
所以 .OPGCPGCGCGBGA
充分性。若 OGCGBGA ，延长 AG 交 BC 于 D，使 GP=AG，连结 CP，则 .PGGA 因为
OPCPGGC ，则 PCGB ，所以 GB // CP，所以 AG 平分 BC。
同理 BG 平分 CA。
所以 G 为重心。
例 3 在 凸 四 边 形 ABCD 中 ， P 和 Q 分 别 为 对 角 线 BD 和 AC 的 中 点 ， 求 证 ：
AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2。
【证明】 如图所示，结结 BQ，QD。
因为 DQPQDPBQPQBP , ，
所以 2222
)()( PQDPPQBPDQBQ
= BPPQDPBP 22
222
· PQDPPQ 2
= .2)(22
222222
PQDPBPPQDPBPPQDPBP ①
又因为 ,,, OQCQABAQABQBCQCBQ
同理 22222
2BQQCQABCBA ， ②
22222
2QDQCQADACD ， ③
由①，②，③可得 )(24
222222
QDBQQACDBCBA
222222
4)22(2 PQBDACPQBPAC 。得证。
2．证利用定理证明共线
例 4 △ABC 外心为 O，垂心为 H，重心为 G。求证：O，G，H 为共线，且 OG：GH=1：
【证明】 首先 AMOAAGOAOG 3
2
= )2(3
1)(3
1 OCOBAOOAACABOA
).(3
1 OCOBOA
其次设 BO 交外接圆于另一点 E，则连结 CE 后得 CE .BC
又 AH BC，所以 AH//CE。
又 EA AB，CH AB，所以 AHCE 为平行四边形。
所以 ,ECAH
所以 OCOBOAOCEOOAECOAAHOAOH ，
所以 OGOH 3 ，
所以 OG 与OH 共线，所以 O，G，H 共线。
所以 OG：GH=1：2。
3．利用数量积证明垂直
例 5 给定非零向量 a, b. 求证：|a+b|=|a-b|的充要条件是 a b.
【证明】|a+b|=|a-b| (a+b)2=(a-b)2 a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2 a·b=0 a b.
例 6 已知△ABC 内接于⊙O，AB=AC，D 为 AB 中点，E 为△ACD 重心。求证：OE CD。
【证明】 设 cOCbOBaOA ,, ，
则 )(2
1 baOD ，
.6
1
2
1
3
1)(2
1
3
1 bacbacaOE
又 cbaCD )(2
1 ，
所以
cbabcaCDOE 2
1
2
1
6
1
3
1
2
1
cabacba
3
1
3
1
3
1
12
1
4
1 222
3
1 a·(b-c). （因为|a|2=|b|2=|c|2=|OH|2）
又因为 AB=AC，OB=OC，所以 OA 为 BC 的中垂线。
所以 a·(b-c)=0. 所以 OE CD。
4．向量的坐标运算
例 7 已知四边形 ABCD 是正方形，BE//AC，AC=CE，EC 的延长线交 BA 的延长线于点 F，求证：
AF=AE。
【证明】 如图所示，以 CD 所在的直线为 x 轴，以 C 为原点建立直角坐标系，设正方形边长为 1，则
A，B 坐标分别为（-1，1）和（0，1），设 E 点的坐标为（x, y），则 BE =(x, y-1), )1,1( AC ，因为 ACBE // ，
所以-x-(y-1)=0.
又因为 |||| ACCE ，所以 x2+y2=2.
由①，②解得 .2
31,2
31 yx
所以 .324||,2
31,2
33 2
AEAE
设 )1,'(xF ，则 )1,'(xCF 。由CF 和CE 共线得 .02
31'2
31 x
所以 )32(' x ，即 F )1,32( ，
所以 2|| AF =4+ 2||32 AE ，所以 AF=AE。
三、趋近高考【必懂】
1.（成都市 2010 届高三第三次诊断理科）已知向量 a＝(－3,2),b＝(2,1),则|a＋2 b|的值为( )
(A)3 2 (B)7 (C) 17 (D) 13 2 5
【答案】C
【解析】因为 a＋2 b＝(1,4)
故|a＋2 b|＝ 2 21 4 17
2. (绵阳市 2010 年 4 月高三三诊理科试题)已知向量 a、b 不共线，若向量 a+λb 与 b+λa 的方向相反，则λ=
（ C ）
（A）1 （B）0 （C）-1 （D）±1
3．（雅安市 2010 届高三第三次诊断性考试理科）已知 ,a b
为非零向量，函数 ( ) ( ) ( )f x xa b a xb ，
则使 ( )f x 的图象为关于 y 轴对称的抛物线的一个必要不充分条件
是( C )
A． a b
B． //a b
C．| | | |a b
D． a b
4．（资阳市 2009—2010 学年度高三第三次高考模拟理）已知平面直角坐标系内的点 A(1，1)，B(2，4)，
C(－1，3)，则 | |AB AC （ B ）
（A） 2 2 （B） 10 （C）8 （D）10
5．（泸州市 2010 届高三第二次教学质量
诊断性考试理科）如图：正六边形 ABCDEF 中，下列命题错误的是（ C ）
A． AC AD AD AB
B． 2AD AB AF
C． 2AC AF BC
D． AD AF EF EF AF AD
6.（四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题）已知 1, 6, 2a b a b a
，则向量 a
与
向量 b
的夹角是（ C ）
A. 6
B. 4
C. 3
D. 2
7． (成都市石室中学 2010 届高三三诊模拟理科)已知 ba, 是非零向量且满足
bbaaba )4(,)3( ，则 ba与 的夹角是 （ A ）
A．
6
B．
3
C．
3
2 D．
6
5
二、填空题：
8．（自贡市 2010 届高三三诊理科试题）有下列命题：
① a b 是 2 2a b 的充分不必要条件；
② 2 2 21 ( )2OP OQ OP OQ PQ ；
③若函数 ( )f x 满足 ( 1) 1 ( )f x f x ，则 ( )f x 是周期函数；
④如果一组数据中，每个数都加上同一个非零常数 c，则这组数据的平均数和方差都改变。
其中错误命题的序号为 （要求填写所有错误命题的序号）。①④
9.（眉山市 2010 年 4 月高三第二次诊断性考试理科）设 1 2 3 4, , ,e e e e
是平面内的四个单位向量，其中
1 2 3,e e e 与 4e
的夹角为135 ，对这个平面内的任一个向量 1 2a xe ye ，规定经过一次“斜二测变换”
得到向量 1 3 42
ya xe e ，设向量 1 23 4v e e ，则经过一次“斜
二测变换”得到向量 1v
的模 1v
是_____________________. 13 6 2 [
10．（省泸州市 2010 届高三第二次教学质量诊断性考试理科）已知向量 (2,1), 10a a b
， 5 2a b
，
则 b
5 .
11．（泸州市 2010 届高三第二次教学质量诊断性考试文科）已知向量 (1, ), ( 1, )a n b n
，若 2a b
与
b
垂直，则 a
2 .
12.（四川省攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统
考文科试题）已知点 ( 1, 5)A 和向量 (2,3)a
，若 3AB a
，则点 B 的坐标为 . 5 , 4
13.（攀枝花市 2010 年 4 月高三第二次统考文科试题）（12 分）已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率
为
1
2 ，且其焦点 ( ,0)( 0)F c c 到相应准线l 的距离为３，
过焦点 F 的直线与椭圆交于 ,A B 两点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设 M 为椭圆的右顶点，则直线 ,AM BM 与准线l 分别交于 ,P Q 两点（ ,P Q 两点不重合），求证：
0FP FQ
.
【解析】
∴直线 AB 的方程为 0),1( kxky
又设 ),(),,(),,(),,( 44332211 yxQyxPyxByxA
联立
134
)1(
22 yx
xky
消 y 得 01248)43( 2222 kxkxk
∴ 2
2
212
2
21 43
124,43
8
k
kxxk
kxx
∴ 2
2
21
2
21 43
9)1)(1( k
kxxkyy
又∵A、M、P 三点共线，∴ 2
2
1
1
3
x
yy
同理 2
2
2
2
4
x
yy
∴
)2
2,3(
1
1
x
yFP
，
)2
2,3(
2
2
x
yFQ
∴
04)(2
49
2121
21
xxxx
yyFQFP
综上所述： 0FQFP
[
