教师版高考试题解析数学文科学科分项版之专题五平面向量

教师版高考试题解析数学文科学科分项版之专题五平面向量

‎2009年高考解析数学(文科）分项版之专题五平面向量教师版 ‎【考查要点】w 纵观近几年高考题，对平面向量的考查主要从三个方面入手：‎ ‎⑴向量的基本概念与运算，如向量的线性运算、坐标运算、共线定理、数量积运算、几何意义、模与夹角、平行线、垂直等问题.高考对这方面的考查往往以难度不大的小题形式出现，偶尔也有新颖题出现；‎ ‎⑵向量的工具作用，这是向量的一个主要命题方向，高考试题以向量为载体，考查解析几何、三角函数、曲线与方程等问题.这种题型的题目由于综合性比较强，多以大题甚至压轴题的形式出现.‎ ‎⑶正余弦定理，一般融入三角函数、向量中，考查三角形的有关知识.‎ 整个向量在高考中的分值一般在5左右.三角函数题在近几年的高考试题中有向解三角形拓展的趋向，一般为容易题，安排在解答题的前两题.‎ ‎【名师解题指南】‎ 1、 向量的三种线性运算及运算的三种形式。‎ 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积都称为向量的线性运算，前两者的结果是向量，两个向量数量积的结果是数量。每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。‎ 主要内容列表如下：‎ 运 算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与减法 += -= 记=(x1,y1)，=(x1,y2)‎ 则+=(x1+x2,y1+y2)‎ ‎ -=（x2-x1,y2-y1）‎ += 实数与向量 的乘积 =λ λ∈R 记=(x,y)‎ 则λ=(λx,λy)‎ 两个向量 的数量积 ·=||||‎ cos<,>‎ 记=(x1,y1), =(x2,y2)‎ 则·=x1x2+y1y2‎ 2、 运算律 加法：+=+，(+)+=+(+)‎ 实数与向量的乘积：λ(+)=λ+λ；(λ+μ)=λ+μ，λ(μ)=‎ ‎(λμ) 两个向量的数量积：·=·；(λ)·=·(λ)=λ(·)，(+)·=·+· 说明：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)2= 1、 重要定理、公式 ‎ （1）平面向量基本定理；如果+是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任一向量，有且只有一对数数λ1，λ2，满足=λ1+λ2，称λ1λ+λ2为，的线性组合。‎ 根据平面向量基本定理，任一向量与有序数对(λ1,λ2)一一对应，称(λ1,λ2)为在基底{，}下的坐标，当取{，}为单位正交基底{，}时定义(λ1，λ2)为向量的平面直角坐标。‎ 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若A(x，y)，则=（x,y）；当向量起点不在原点时，向量坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)‎ ‎ （2）两个向量平行的充要条件 符号语言：若∥，≠，则=λ 坐标语言为：设=（x1,y1），=(x2,y2)，则∥(x1,y1)=λ(x2,y2)，即，或x1y2-x2y1=0‎ 在这里，实数λ是唯一存在的，当与同向时，λ>0；当与异向时，λ<0。‎ ‎|λ|=，λ的大小由及的大小确定。因此，当，确定时，λ的符号与大小就确定了。这就是实数乘向量中λ的几何意义。‎ ‎ （3）两个向量垂直的充要条件 语言：⊥·=0‎ 坐标语言：设=(x1,y1), =(x2,y2)，则⊥x1x2+y1y2=0‎ ‎ （4）线段定比分点公式 如图，设 则定比分点向量式： 定比分点坐标式：设P（x,y），P1（x1,y1），P2（x2,y2）‎ 则特例：当λ=1时，就得到中点公式： ， 实际上，对于起点相同，终点共线三个向量，，（O与P1P2不共线），总有=u+v，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。‎ ‎ （5）平移公式：‎ ① 点平移公式，如果点P（x，y）按=（h，k）平移至P’（x’，y’），则 分别称（x，y），（x’，y’）为旧、新坐标，为平移法则 在点P新、旧坐标及平移法则三组坐标中，已知两组坐标，一定可以求第三组坐标 ‎②图形平移：设曲线C：y=f(x)按=（h，k）平移，则平移后曲线C’对应的解析式为y-k=f(x-h)‎ 当h，k中有一个为零时，就是前面已经研究过的左右及上下移 利用平移变换可以化简函数解析式，从而便于研究曲线的几何性质 ‎ （6）正弦定理，余弦定理 正弦定理： 余弦定理：a2=b2+c2-2cbcosA b2=c2+a2-2cacosB c2=a2+b2-2abcosc 定理变形：cosA=，cosB=，cosC= 正弦定理及余弦定理是解决三角形的重要而又基本的工具。通过阅读课本，理解用向量法推导正、余弦定理的重要思想方法。‎ ‎5、向量既是重要的数学概念，也是有力的解题工具。利用向量可以证明线线垂直，线线平行，求夹角等，特别是直角坐标系的引入，体现了向量解决问题的“程序性”特点。‎ ‎【09真题全解全析】‎ 考点1：向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积. ‎ ‎1.（2009北京卷文）已知向量a、b不共线，cabR),dab,如果cd，那么 （ ）‎ ‎ A．且c与d同向 B．且c与d反向 ‎ C．且c与d同向 D．且c与d反向 ‎2 （2009北京卷文）设D是正及其内部的点构成的集合，点是的中心，若集合，则集合S表示的平面区域是 ( )‎ A． 三角形区域 B．四边形区域 ‎ C． 五边形区域 D．六边形区域 ‎3(2009年广东卷文)已知平面向量a= ，b=， 则向量 ‎ A平行于轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 ‎ C.平行于轴 D.平行于第二、四象限的角平分线 ‎ ‎（2009湖南卷文）如图1， D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则 A．‎ B．‎ C．‎ D． ‎ 图1‎ ‎4.（2009陕西卷文）在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足学,则科网等于 ‎（A） （B） （C） (D) ‎ ‎5（福建卷文）设，，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线， ∣∣=∣∣,则∣ •∣的值一定等于 ‎ A．以，为邻边的平行四边形的面积 B. 以，为两边的三角形面积 C．，为两边的三角形面积 D. 以，为邻边的平行四边形的面积 ‎6.（2009安徽卷文）在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，或=+，其中，R ，则+= _________。. ‎ ‎7.（2009湖南文）如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，则 ， ‎ ‎1（2009浙江卷文）已知向量，．若向量满足，，则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2（2009湖北卷文）若向量a=（1，1），b=（-1,1），c=（4，2），则c=‎ A‎.3a+b B. ‎3a-b C.-a+3b D. a+3b ‎3（2009宁夏海南卷文）已知，向量与垂直，则实数的值为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4（2009重庆卷文）已知向量若与平行，则实数的值是（ ）‎ A．-2 B．‎0 ‎ C．1 D．2‎ ‎5.（2009江西卷文）已知向量，， ，若 则= ．‎ 答案： ‎ ‎6（辽宁卷文）在平面直角坐标系xoy中，四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC,已知点A(－2，0)，B（6，8），C(8,6),则D点的坐标为___________.‎ ‎1（2009辽宁卷文）平面向量a与b的夹角为，a＝(2,0), | b |＝1，则 | a＋2b |＝‎ ‎（A） （B）2 （C）4 （D）12‎ ‎2（2009全国卷Ⅰ文）设非零向量、、满足，则 ‎（A）150°B）120° （C）60° （D）30°‎ ‎3（2009江苏卷）已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积= 。‎ ‎4（2009全国卷Ⅱ文）已知向量a = (2,1)， a·b = 10，︱a + b ︱= ，则︱b ︱=‎ ‎ （A） （B） （C）5 （D）25‎ ‎1江苏15．（本题满分14分）设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：∥. ‎ ‎2（2009上海卷文）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分 . 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量，， . （1）若//，求证：ΔABC为等腰三角形 （2）若⊥，边长c = 2，角C = ，求ΔABC的面积 .‎ 证明：（1）即，其中R是三角形ABC外接圆半径， 为等腰三角形 ‎3（2009湖南卷文）（每小题满分12分）已知向量 ‎（Ⅰ）若，求的值；（Ⅱ）若求的值。 ‎ ‎4（2009江西卷文）（本小题满分12分）在△中，所对的边分别为，，．（1）求；（2）若，求,，．‎ ‎5(2009年广东卷文)（本小题满分12分）已知向量与互相垂直，其中（1）求和的值（2）若，,求的值 ‎【09命题特点与10备考要点】‎ ‎09命题特点 ‎“平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．‎ 透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积．‎ ‎2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义．‎ ‎3．两非零向量平行、垂直的充要条件．‎ ‎4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．‎ ‎5．由于向量具有“数”与“形”‎ 双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等．6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．‎ ‎10备考要点 数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。‎ 学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点。‎ ‎1．两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别 ‎（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定；‎ ‎（2）两个向量的数量积称为内积，写成·；今后要学到两个向量的外积×，而×是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；‎ ‎（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹0，且×=0，不能推出=。因为其中cosq有可能为0；‎ ‎（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bc Þ a=c。但是×= ×；‎ 如右图：×= |||cosb = |||OA|，×c = ||c|cosa = |||OA|Þ× =×，但 ¹；‎ ‎ (5)在实数中，有(×) = (×)，但是(×)¹ (×)，显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与c不共线。‎ ‎2．平面向量数量积的运算律 特别注意：‎ ‎（1）结合律不成立：；‎ ‎（2）消去律不成立不能得到；‎ ‎（3）=0不能得到=或=。‎ ‎3．‎ 向量知识，向量观点在数学.物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点，所以高考中应引起足够的重视. 数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直；‎ ‎4．注重数学思想方法的教学 ‎①．数形结合的思想方法。‎ 由于向量本身具有代数形式和几何形式双重身份，所以在向量知识的整个学习过程中，都体现了数形结合的思想方法，在解决问题过程中要形成见数思形、以形助数的思维习惯，以加深理解知识要点，增强应用意识。‎ ‎②．化归转化的思想方法。‎ 向量的夹角、平行、垂直等关系的研究均可化归为对应向量或向量坐标的运算问题；三角形形状的判定可化归为相应向量的数量积问题；向量的数量积公式，沟通了向量与实数间的转化关系；一些实际问题也可以运用向量知识去解决。‎ ‎③．分类讨论的思想方法。‎ 如向量可分为共线向量与不共线向量；平行向量（共线向量）可分为同向向量和反向向量；向量在方向上的投影随着它们之间的夹角的不同，有正数、负数和零三种情形；定比分点公式中的随分点P的位置不同，可以大于零，也可以小于零。‎ ‎5．突出向量与其它数学知识的交汇 ‎“新课程增加了新的现代数学内容，其意义不仅在于数学内容的更新，更重要的是引入新的思维方法，可以更有效地处理和解决数学问题和实际应用问题”。因此，新课程卷中有些问题属于新教材与旧教材的结合部，凡涉及此类问题，高考命题都采用了新旧结合，以新带旧或以新方法解决的方法进行处理，从中启示我们在高考学习中，应突出向量的工具性，注重向量与其它知识的交汇与融合，但不宜“深挖洞”。我们可以预测近两年向量高考题的难度不会也不应该上升到压轴题的水平。‎