江苏省赣榆高级中学高三数学12月份教学质量检测

江苏省赣榆高级中学高三数学12月份教学质量检测

江苏省赣榆高级中学2012-2013学年度第一学期高三教学质量检测 数学 命题：陈庆广 一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．‎ ‎1．已知集合A＝{x|x2＜3x＋4，xR}，则A∩Z中元素的个数为 ▲ ．‎ ‎2．i是虚数单位，复数= ▲ ． ‎ ‎3．函数的定义域为 ▲ ． ‎ ‎4．连续两次抛掷一枚骰子落在水平面上，则两次向上的点数和等于6的概率是 ▲ ． ‎ ‎5．已知非零向量a，b满足|a|＝|a＋b|＝1，a与b夹角为120°，则向量b的模为 ▲ ．‎ 开始 k←1‎ S←0‎ S＜20‎ k←k＋2‎ S←S＋k Y N 输出k 结束 ‎(第8题)‎ ‎6．在等比数列中，已知则数列的前项的和 ‎ ▲ ．‎ ‎7．函数在上是减函数，则实数的取值范围是▲ ． ‎ ‎8．右图是一个算法的流程图，最后输出的k＝ ▲ ．‎ ‎9．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝1，‎ A＝60°，c＝，则△ABC的面积为 ▲ ．‎ ‎10．已知则的值为 ▲ ．‎ ‎11．已知为椭圆的左右焦点，为右准线上一点，若线段的中垂线过点，则椭圆的离心率的取值范围是 ▲ ． ‎ ‎12．在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：‎ ‎①使的面积的直线仅有一条；‎ ‎②使的面积的直线仅有两条；‎ ‎③使的面积的直线仅有三条；‎ ‎④使的面积的直线仅有四条．‎ 其中所有真命题的序号是 ▲ ．‎ ‎13．已知：点P的坐标（x，y）满足：及A（4，0），则||·cos∠AOP（O为坐标原点）的最大值是 ▲ ．‎ ‎14．已知三次函数在R上单调递增，则的最小值为 ▲ ．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．（本小题满分14分）‎ 设函数.‎ ‎ (1) 求函数f(x)的最大值和最小正周期；‎ ‎ (2) 设A,B,C为ABC的三个内角，若cosB=，，求sinA．‎ A B C D A1‎ B1‎ C1‎ ‎(第16题)‎ ‎16．（本小题满分14分）‎ 如图，已知斜三棱柱ABC－A1B‎1C1中，AB＝AC，D为BC的中点．‎ ‎（1）若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；‎ ‎（2）求证：A1B//平面ADC1．‎ ‎17．（本小题满分14分）‎ 甲、乙两地相距‎500千米，一辆货车从甲地匀速行驶到乙地，规定速度不得超过‎100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为0.01；固定部分为a元(a>0)．‎ ‎（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/时）的函数，并指出这个函数的定义域；‎ ‎（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？‎ ‎18．（本小题满分16分）‎ 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为， P、Q是椭圆C上的两个动点，是椭圆上一定点，是其左焦点，且PF、MF、QF成等差数列．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）判断线段PQ的垂直平分线是否经过一个定点，若定点存在，求出定点坐标；若不经过定点 ，请说明理由．‎ ‎19．（本小题满分16分）‎ 已知函数(其中是自然对数的底数)‎ ‎(1)　若是奇函数,求实数的值；‎ ‎(2)　若函数在上单调递增,试求实数的取值范围；‎ ‎(3)　设函数,求证:对于任意的,总存在,满足,并确定这样的的个数．‎ ‎20．（本小题满分16分）‎ 已知数列的首项(是常数，且)，（），数列的首项，（）．‎ ‎（1）证明：从第2项起是以2为公比的等比数列；‎ ‎（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；‎ ‎（3）当时，求数列的最小项。‎ 数学附加题 ‎ ‎21. 已知矩阵=，求的特征值，及对应的特征向量．‎ ‎22．在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为（为参数），求直线被曲线所截得的弦长．‎ ‎23．如图，PA⊥平面ABCD，AD//BC，∠ABC＝90°，AB＝BC＝PA＝1，AD＝3，E是PB的中点．‎ P A B C D E ‎(第23题)‎ ‎（1）求证：AE⊥平面PBC；‎ ‎（2）求二面角B－PC－D的余弦值．‎ ‎24．已知展开式的各项依次记为．‎ 设．‎ ‎（1）若的系数依次成等差数列，求的值；‎ ‎（2）求证：对任意，恒有．‎ 参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． ‎ ‎1．4 2． 3． 4． 5．1‎ ‎6．364 7． 8．11 9． 10．‎ ‎11． 12．②③④ 13． 14．4‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎15．解：（1）‎ ‎ ＝＝‎ ‎ 所以函数f(x)的最大值是，最小正周期为。…………………7分 ‎（2）==, 所以, 又C为ABC的内角 所以,‎ 又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以 ‎ ‎ ……14分 ‎16．（本小题满分14分）‎ 证明：（1）因为AB＝AC，D为BC的中点，所以AD⊥BC． ‎ 因为平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，ADÌ平面ABC，‎ 所以AD⊥平面BCC1B1． …………………5分 因为DC1Ì平面BCC1B1，所以AD⊥DC1． …………………7分 ‎（2）(证法一)连结A‎1C，交AC1于点O，连结OD， 则O为A‎1C的中点．‎ 因为D为BC的中点，所以OD//A1B． …………………11分 因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1， ‎ 所以A1B//平面ADC1． …………………14分 ‎(证法二)‎ 取B‎1C1的中点D1，连结A1D1，D1D，D1B．则D‎1C1BD．‎ 所以四边形BDC1D1是平行四边形．所以D1B// C1D．‎ 因为C1D平面ADC1，D1B平面ADC1，‎ 所以D1B//平面ADC1．同理可证A1D1//平面ADC1．‎ 因为A1D1平面A1BD1，D1B平面A1BD1，A1D1∩D1B＝D1，‎ 所以平面A1BD1//平面ADC1． …………………11分 因为A1B平面A1BD1，A B C D A1‎ B1‎ C1‎ ‎（第16题图）‎ O 所以A1B//平面ADC1． …………………14分 A B C D A1‎ B1‎ C1‎ ‎（第16题图）‎ D1‎ ‎17．解：（1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为，全程运输成本为 ……………………………………….4分 故所求函数及其定义域为 ………………………….6分 ‎(2)依题意知a，v都为正数，故有 当且仅当．即时上式中等号成立………………………...8分 Tesoon.com ‎ 天星版权 ‎（1）若，即时则当时，全程运输成本y最小.10分 ‎（2）若，即时，则当时，有 ‎.‎ ‎。也即当v=100时，全程运输成本y最小．…12分 综上知，为使全程运输成本y最小，当时行驶速度应为千米/时；‎ 当时行驶速度应为v=‎100千米/时。………………………………………………14分 ‎18．解：（1）由及点在椭圆上，直接代入求解得， ，椭圆的标准方程为………４分 ‎（2）设知 同理 ‎ ‎ …………………1０分 ‎①当，‎ 从而有 设线段PQ的中点为， ‎ 得线段PQ的中垂线方程为 ‎ ‎ ‎ ‎②当 线段PQ的中垂线是x轴，也过点 ‎…………………16分 ‎19．解：（1）由……………………………………………………………2分 ‎（2），在上单调递增显然成立；……………………………………3分 令，因为所以且递增，故在时递增 时，在时递增，故 所以……………………………………………………………5分 时，在时递增恒成立，故 所以……………………………………………………………7分 综上：……………………………………………………………8分 ‎（3），所以 即要证明任意的,方程在有实数解 令 所以 ‎①当时，，‎ 所以在有解，且只有一解……………………………12分 ‎②当时，‎ 所以在有解，且有两解……………………………14分 ‎③当时，有且只有一解，当时，有且只有一解，‎ 综上所述，对于任意的,总存在,满足,‎ 且当时，有唯一的适合题意，‎ 当时，有两个不同的适合题意。……………………………16分 ‎20、解析：（1）∵‎ ‎∴‎ ‎(n≥2)‎ 由得，，‎ ‎∵，∴ ，‎ 即从第2项起是以2为公比的等比数列．‎ ‎（2）由（1）知 当时，‎ ‎∵是等比数列， ∴是常数 ‎∴，即．‎ ‎（3）由（1）知当时，，‎ ‎∴，‎ ‎∴数列为，，，，……‎ 显然最小项是前三项中的一项。‎ 当时，最小项为；当时，最小项为或；‎ 当时，最小项为；当时，最小项为或；‎ 当时，最小项为2a+1．‎ 附加题参考答案 ‎21、解：矩阵的特征多项式为 ‎== ……………………………2分 ‎ 令=0，得到矩阵的特征值为1=3，2=． ………………4分 当1=3时，由=3，得，‎ ‎∴，取，得到属于特征值3的一个特征向量= ； ……………………7分 当2=时，由=，得，‎ 取，则，得到属于特征值的一个特征向量= ……………………10分 ‎22．解：将方程，分别化为普通方程：‎ ‎，　　………(6分)‎ 由曲线的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为，‎ 故所求弦长为………(10分)‎ ‎23．（1）根据题意，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ P A B C D E x y z 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，‎ D(0，3，0)，P(0，0，1)，E(，0，)， ‎ ＝(，0，)，＝(0，1，0)，＝(－1，0，1)．‎ 因为·＝0，·＝0，‎ 所以⊥，⊥．‎ 所以AE⊥BC，AE⊥BP．‎ 因为BC，BP平面PBC，且BC∩BP＝B， ‎ 所以AE⊥平面PBC． ………………4分 ‎（2）设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝0，n·＝0．‎ 因为＝(－1，2，0)，＝(0，3，－1)，所以－x＋2y＝0，3y－z＝0．‎ 令x＝2，则y＝1，z＝3．‎ 所以n＝(2，1，3)是平面PCD的一个法向量． ………………8分 因为AE⊥平面PBC，所以是平面PBC的法向量．‎ 所以cos<，n>＝＝．‎ 由此可知，与n的夹角的余弦值为．‎ 根据图形可知，二面角B－PC－D的余弦值为－． ………………10分 ‎24．解：（1）依题意，，‎ 的系数依次为，，，‎ 所以，解得； ………4分 ‎（2）‎ 设，‎ 则 考虑到，将以上两式相加得：‎ 所以 又当时，恒成立，从而是上的单调递增函数，‎ 所以对任意，．‎ ‎ ………10分