2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

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2016年高考山东理科数学试题及答案(word解析版)

‎2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)‎ 数学(理科)‎ 第Ⅰ卷(共50分)‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎(1)【2016年山东,理1,5分】若复数满足,其中为虚数为单位,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】设,则,所以,故选B.‎ ‎【点评】本题考查复数的代数形式混合运算,考查计算能力.‎ ‎(2)【2016年山东,理2,5分】已知集合,则( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意,,所以,故选C.‎ ‎【点评】本题考查并集及其运算,考查了指数函数的值域,考查一元二次不等式的解法,是基础题.‎ ‎(3)【2016年山东,理3,5分】某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的频率分布直方图,其中自习时间的范围是,样本数据分组为,,,,.根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是( )‎ ‎(A)56 (B)60 (C)120 (D)140‎ ‎【答案】D ‎【解析】由图可知组距为2.5,每周的自习时间少于22.5小时的频率为,‎ ‎ 所以,每周自习时间不少于22.5小时的人数是人,故选D. ‎ ‎【点评】本题考查的知识点是频率分布直方图,难度不大,属于基础题目.‎ ‎(4)【2016年山东,理4,5分】若变量,满足,则的最大值是( )‎ ‎ (A)4 (B)9 (C)10 (D)12‎ ‎【答案】C ‎【解析】由是点到原点距离的平方,故只需求出三直线的交点,‎ 所以是最优解,的最大值是10,故选C.‎ ‎【点评】本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法,是中档题.‎ ‎(5)【2016年山东,理5,5分】有一个半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如右图所示,则该 几何体的体积为( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图可知,半球的体积为,四棱锥的体积为,所以该几何体的体积为, ‎ 故选C.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是由三视图,求体积和表面积,根据已知的三视图,判断几何体的形状 ‎ 是解答的关键.‎ ‎(6)【2016年山东,理6,5分】已知直线分别在两个不同的平面,内,则“直线和直线相交”是“平面和平面相交”的( )‎ ‎(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由直线和直线相交,可知平面有公共点,所以平面和平面相交.又如果平面和平面相 交,直线和直线不一定相交,故选A.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是充要条件,空间直线与平面的位置关系,难度不大,属于基础题.‎ ‎(7)【2016年山东,理7,5分】函数的最小正周期是( )‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】由,所以,最小正周期是,故选B. ‎ ‎【点评】本题考查的知识点是和差角及二倍角公式,三角函数的周期,难度中档.‎ ‎(8)【2016年山东,理8,5分】已知非零向量满足 ,若则实数的值为( )‎ ‎(A)4 (B) (C) (D)‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为,由,有,即,,‎ 故选B.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的运算,向量垂直的充要条件,难度不大,属于基础题.‎ ‎(9)【2016年山东,理9,5分】已知函数的定义域为,当时,;当时,;当时,,则( )‎ ‎(A) (B) (C)0 (D)2‎ ‎【答案】D ‎【解析】由,知当时,的周期为1,所以.又当时,‎ ‎,所以.于是,故选D.‎ ‎【点评】本题考查函数值的计算,考查函数的周期性,考查学生的计算能力,属于中档题.‎ ‎(10)【2016年山东,理10,5分】若函数的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称具有性质.下列函数具有性质的是( )‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为函数,的图象上任何一点的切线的斜率都是正数;函数的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数.都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有性质,故选A.‎ ‎【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程,转化思想,难度中档.‎ 第II卷(共100分)‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分 ‎(11)【2016年山东,理11,5分】执行右边的程序框图,若输入的的值分别为0和9,则输出的 值为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】时,执行循环体后,不成立;时,执行循环体后,‎ 不成立;时,执行循环体后,成立;所以,故填 3. ‎ ‎【点评】本题考查的知识点是程序框图,当循环次数不多,或有规律可循时,可采用模拟程序法进 行解答.‎ ‎(12)【2016年山东,理12,5分】若的展开式中的系数是,则实数 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由,得,所以应填.‎ ‎【点评】考查了利用二项式定理的性质求二项式展开式的系数,属常规题型.‎ ‎(13)【2016年山东,理13,5分】已知双曲线,若矩形的四个顶点在上,的中点为的两个焦点,且,则的离心率为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由题意,所以,于是点在双曲线上,代入方程,得,‎ ‎ 在由得的离心率为.‎ ‎【点评】本题考查双曲线的离心率的求法,注意运用方程的思想,正确设出的坐标是解题的关键,考查运算能力,属于中档题.‎ ‎(14)【2016年山东,理14,5分】在上随机的取一个数,则事件“直线与圆相交”发生的概率为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】首先的取值空间的长度为2,由直线与圆相交,得事件发生时的取值空间为,其长度为,所以所求概率为.‎ ‎【点评】本题主要考查了几何概型的概率,以及直线与圆相交的性质,解题的关键弄清概率类型,同时考查了计算能力,属于基础题.‎ ‎(15)【2016年山东,理15,5分】在已知函数,其中,若存在实数,使得关于的方程有三个不同的根,则的取值范围是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为的对称轴为,所以时单调递增,只要大于的最小值时,关于的方程在时有一根;又在,时,存在实数,使方程在时有两个根,只需;故只需即可,解之,注意,得,故填.‎ ‎【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断,数形结合思想的运用是关键,分析得到是难点,属于中档题.‎ ‎ 三、解答题:本大题共6题,共75分.‎ ‎(16)【2016年山东,理16,12分】在中,角的对边分别为,已知. ‎(1)证明:;‎ ‎(2)求的最小值.‎ 解:(1)由得,,‎ 由正弦定理,得.‎ ‎ (2)由.所以的最小值为 ‎.‎ ‎【点评】考查切化弦公式,两角和的正弦公式,三角形的内角和为,以及三角函数的诱导公式,正余弦定理,不等式的应用,不等式的性质.‎ ‎(17)【2016年山东,理17,12分】在如图所示的圆台中,是下底面圆的直径,是上底 面圆的直径,是圆台的一条母线.‎ ‎(1)已知分别为的中点,求证:平面;‎ ‎(2)已知,求二面角的余弦值.‎ 解:(1)连结,取的中点,连结,因为,在上底面内,不 在上底面内,所以上底面,所以平面;又因为,平 面,平面,所以平面;所以平面平面,‎ ‎ 由平面,所以平面.‎ ‎(2)连结,,以为原点,分别以为轴,‎ 建立空间直角坐标系.,,‎ 于是有,,,,可得平面中的向量,‎ ‎,于是得平面的一个法向量为,又平面的 一个法向量为,设二面角为,‎ 则.二面角的余弦值为.‎ ‎【点评】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,是中档题,解题时要认 真审题,注意向量法的合理运用.‎ ‎(18)【2016年山东,理18,12分】已知数列的前项和,是等差数列,且.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)令.求数列的前项和.‎ 解:(1)因为数列的前项和,所以,当时,‎ ‎,又对也成立,所以.‎ 又因为是等差数列,设公差为,则.当时,;当时,‎ ‎,解得,所以数列的通项公式为.‎ ‎(2)由,于是,‎ 两边同乘以2,得,两式相减,得 ‎.‎ ‎【点评】本题考查数列的通项与求和,着重考查等差数列的通项与错位相减法的运用,考查分析与运算能力,属于中档题.‎ ‎(19)【2016年山东,理19,12分】甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,如果两人都猜对,则“星队”得3分;如果只有一人猜对,则“星队”得1‎ 分;如果两人都没猜对,则“星队”得0分.已知甲每轮猜对的概率是,乙每轮猜对的概率是;每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果也互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求:‎ ‎(1)“星队”至少猜对3个成语的概率;‎ ‎(2)“星队”两轮得分之和的分布列和数学期望.‎ 解:(1)“至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”.设“至少猜对3个成语”为事件;‎ ‎“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件,则;‎ ‎.所以.‎ ‎(2)“星队”两轮得分之和的所有可能取值为0,1,2,3,4,6,于是 ‎;;‎ ‎;;‎ ‎;;‎ 的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎6‎ 的数学期望.‎ ‎【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望,属中档题.‎ ‎(20)【2016年山东,理20,13分】已知.‎ ‎(1)讨论的单调性;‎ ‎(2)当时,证明对于任意的成立.‎ 解:(1)求导数,当时,,,单调递增,‎ ‎,,单调递减当时,‎ ‎①当时,,或,,单调递增,,,、单调递减;‎ ‎ ②当时,, ,,单调递增,‎ ‎③当时,,或,,单调递增,,,‎ 单调递减.‎ ‎(2)当时,,,‎ 于是,‎ 令,,,于是,‎ ‎,的最小值为;又,‎ 设,,因为,,所以必有,使得,‎ 且时,,单调递增;时,,单调递减;又,,‎ 所以的最小值为.所以.‎ 即对于任意的成立.‎ ‎【点评】本题考查利用导数加以函数的单调性,考查了利用导数求函数的最值,考查了分类讨论的数学思想方法和数学转化思想方法,是压轴题.‎ ‎(21)【2016年山东,理21,14分】平面直角坐标系中,椭圆的离心率是,抛物线的焦点是的一个顶点. ‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)设是上的动点,且位于第一象限,在点处的切线与交于不同的两点,线段的中 点为,直线与过且垂直于轴的直线交于点.‎ ‎(i)求证:点在定直线上;‎ ‎(ii)直线与轴交于点,记的面积为,的面积为,求的最大值及取得最大值时点的坐标.‎ 解:(1)由离心率是,有,又抛物线的焦点坐标为,所以,于是,‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)(i)设点坐标为,由得,所以在点处的切线的斜率为,‎ 因此切线的方程为,设,,将代入 ‎,得.于是,,‎ 又,于是直线的方程为.‎ 联立方程与,得的坐标为.所以点在定直线上.‎ ‎(ii)在切线的方程为中,令,得,即点的坐标为,又,‎ ‎,所以;再由,得 于是有 .令,‎ 得,当时,即时,取得最大值.此时,‎ ‎,所以点的坐标为.所以的最大值为,取得最大值时点的坐标为.‎ ‎【点评】本题考查椭圆的方程的求法,注意运用椭圆的离心率和抛物线的焦点坐标,考查直线和抛物线斜的条件,以及直线方程的运用,考查三角形的面积的计算,以及化简整理的运算能力,属于难题.‎
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