【数学】2020届一轮复习苏教版算法的含义及流程图课时作业

【数学】2020届一轮复习苏教版算法的含义及流程图课时作业

‎(建议用时：40分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2018·新课标全国Ⅰ卷改编)执行如图所示的流程图，如果输入的t∈[－1,3]，则输出的s的范围为________．‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 解析　作出分段函数s＝‎ 的图象(图略)，可知函数s在[－1,2]上单调递增，在[2,3]上单调递减，s(－1)＝－3，s(2)＝4，s(3)＝3，‎ ‎∴t∈[－1,3]时，s∈[－3,4]．‎ 答案　[－3,4]‎ ‎2.(2018·北京卷)执行如图所示的流程图，输出的S值为________．‎ 解析　初始条件i＝0，S＝1，逐次计算结果是S＝，i＝1；S＝，i＝2，此时满足输出条件，故输出S＝.‎ 答案　 ‎3．按照下面的算法进行操作：‎ S1　x←2.35‎ S2　y←Int(x)‎ S3　Print y 最后输出的结果是________．‎ 解析　Int(x)表示不大于x的最大整数．‎ 答案　2‎ ‎4．下面伪代码的结果为________．‎ A←1‎ A←A＋2‎ A←A＋3‎ A←A＋4‎ A←A＋5‎ Print“A＝”，A END 解析　计算1＋2＋3＋4＋5的值．该伪代码是1＋2＋3＋4＋5＝15.‎ 答案　15‎ ‎5．(2018·福建卷改编)阅读如图所示的流程图，运行相应的算法，如果输入某个正整数n后，输出的S∈(10,20)，那么n的值为________．‎ 解析　第一次运行，S＝1，k＝2；第二次运行，S＝3，k＝3；第三次运行，S＝7，k＝4；第四次运行，S＝15，k＝4.‎ 答案　4‎ ‎ 　　 ‎ 第5题图　　　　 　　　　　第6题图　　‎ ‎6．(2018·湖南卷改编)执行如图所示的流程图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．‎ 解析　第一次循环，a＝1＋2＝3，第二次循环，a＝3＋2＝5，第三次循环，a＝5＋2＝7，第四次循环，a＝7＋2＝9＞8，满足条件，输出a＝9.‎ 答案　9‎ ‎7．(2018·江苏卷)‎ 如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．‎ 解析　第一次循环：a＝8，n＝2；第二次循环：a＝26，n＝3.‎ 答案　3‎ ‎8．如下给出的是用条件语句编写的一个伪代码，该伪代码的功能是________．‎ 答案　求下列函数当自变量输入值为x时的函数值f(x)，其中f(x)＝ ‎9．(2018·临沂一模)某流程图如图所示，该算法运行后输出的k的值是________．‎ 解析　第一次循环，S＝20＝1，k＝1；第二次循环，S＝1＋21＝3，k＝2；第三次循环，S＝3＋23＝11，k＝3；第四次循环，S＝11＋211，k＝4；第五次循环S＝11＋211≤100不成立，输出k＝4.‎ 答案　4‎ ‎10．(2018·枣庄模拟)如图是一个算法的流程图，若输出的结果是31，则判断框中整数M的值是________．‎ 解析　本算法计算的是S＝1＋2＋22＋…＋‎2A，即S＝＝‎2A＋1－1，由‎2A＋1－1＝31得‎2A＋1＝32，解得A＝4，则A＋1＝5时，条件不成立，所以M＝4.‎ 答案　4‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：25分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2018·南通调研)根据如图的算法，输出的结果是________．‎ 解析　S＝1＋2＋3＋…＋10＝＝55.‎ 答案　55‎ ‎2．(2018·泰州调研)如图，运行伪代码所示的程序，则输出的结果是________．‎ 解析　流程图的执行如下：‎ a ‎1‎ ‎1＋2＝3‎ ‎3＋5＝8‎ ‎8＋13＝21‎ b ‎2‎ ‎3＋2＝5‎ ‎8＋5＝13‎ ‎21＋13＝34‎ I ‎2‎ ‎2＋2＝4‎ ‎4＋2＝6‎ ‎6＋2＝8‎ 当I＝8时，b＝34，退出循环．‎ 答案　34‎ ‎3．(2018·辽宁卷)执行如图所示的流程图，若输入n＝8，则输出S＝________.‎ 解析　S＝S＋的意义在于对求和．‎ 因为＝，同时注意i＝i＋2，所以所求的S＝＝.‎ 答案　 ‎　‎ 第3题图　　　　　　第4题图 ‎4．(2018·湖北卷)阅读如图所示的流程图，运行相应的算法．若输入m的值为2，则输出的结果i＝________.‎ 解析　i＝1，A＝2，B＝1→i＝2，A＝4，B＝2→i＝3，A＝8，B＝6→i＝4，A＝16，B＝24，满足A＜B，输出i＝4.‎ 答案　4‎ ‎5．(2018·淄博二模)‎ 执行如图所示的流程图，若输出的结果是8，则输入的数是________．‎ 解析　由a≥b得x2≥x3，解得x≤1.所以当x≤1时，输出a＝x2，当x＞1时，输出b＝x3.所以当x≤1时，由a＝x2＝8，解得x＝－＝－2.若x＞1，由b＝x3＝8，得x＝2，所以输入的数为2或－2.‎ 答案　2或－2 ‎6．(2018·丽水模拟)‎ 依据小区管理条例，小区编制了如图所示的住户每月应缴纳卫生管理费的流程图，并编写了相应的算法．已知小张家共有4口人，则他家每个月应缴纳的卫生管理费(单位：元)是________．‎ 解析　当n＝4时，S＝5＋1.2×(4－3)＝6.2.‎ 答案　6.2‎ 第2讲　合情推理与演绎推理 知 识 梳 理 ‎1．归纳推理 ‎(1)定义：根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理．或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．‎ ‎(2)归纳推理的特点 ‎①归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理；‎ ‎②归纳推理的结论不一定为真；‎ ‎③归纳的个别情况越多，越具有代表性，推广的一般性命题就越可靠．‎ ‎2．类比推理 ‎(1)定义：由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征的推理，称为类比推理．类比推理是两类事物特征之间的推理．‎ ‎(2)类比推理的特点 ‎①类比推理是由特殊到特殊的推理；‎ ‎②类比推理属于合情推理，其结论具有或然性，可能为真，也可能为假；‎ ‎③类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，类比得出的命题就越可靠．‎ ‎3．演绎推理 ‎(1)定义：演绎推理是根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．‎ ‎(2)演绎推理的特点 ‎①演绎推理是由一般到特殊的推理；‎ ‎②当前提为真时，结论必然为真．‎ ‎(3)演绎推理的主要形式是三段论，其一般模式为：‎ ‎①大前提——已知的一般原理；‎ ‎②小前提——所研究的特殊情况；‎ ‎③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．‎ 辨 析 感 悟 ‎1．对合情推理的认识 ‎(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．(×)‎ ‎(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．(√)‎ ‎(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(×)‎ ‎(4)(教材习题改编)一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式是an＝n(n∈N*)．(×)‎ ‎(5)(2018·安庆调研改编)在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为1∶8.(√)‎ ‎2．对演绎推理的认识 ‎(6)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(√)‎ ‎(7)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(×)‎ ‎[感悟·提升]‎ 三点提醒　一是合情推理包括归纳推理和类比推理，所得到的结论都不一定正确，其结论的正确性是需要证明的．‎ 二是在进行类比推理时，要尽量从本质上去类比，不要被表面现象所迷惑；否则只抓住一点表面现象甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误，如(3)．‎ 三是应用三段论解决问题时，应首先明确什么是大前提，什么是小前提，如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．如(7).‎ 考点一　归纳推理 ‎【例1】 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：‎ 三角形数　　　　　N(n,3)＝n2＋n，‎ 正方形数 N(n,4)＝n2，‎ 五边形数 N(n,5)＝n2－n，‎ 六边形数 N(n,6)＝2n2－n ‎……‎ 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.‎ 解析　由N(n,3)＝n2＋n，‎ N(n,4)＝n2＋n，‎ N(n,5)＝n2＋n，‎ N(n,6)＝n2＋n，‎ 推测N(n，k)＝n2＋n，k≥3.‎ 从而N(n,24)＝11n2－10n，N(10,24)＝1 000.‎ 答案　1 000‎ 规律方法 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．‎ ‎【训练1】 (1)(2018·佛山质检)观察下列不等式：‎ ‎①＜1；②＋＜；③＋＋＜.‎ 则第5个不等式为________．‎ ‎(2)(2018·陕西卷)观察下列等式 ‎(1＋1)＝2×1‎ ‎(2＋1)(2＋2)＝22×1×3‎ ‎(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5‎ ‎……‎ 照此规律，第n个等式可为________．‎ 解析　(2)由已知的三个等式左边的变化规律，得第n个等式左边为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，由已知的三个等式右边的变化规律，得第n个等式右边为2n与n个奇数之积，即2n×1×3×5×…×(2n－1)．‎ 答案　(1)＋＋＋＋＜ ‎(2)(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)‎ 考点二　类比推理 ‎【例2】 在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC＝(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，则四面体的体积为________”．‎ 审题路线　三角形面积类比为四面体的体积⇒三角形的边长类比为四面体四个面的面积⇒内切圆半径类比为内切球的半径⇒二维图形中类比为三维图形中的⇒得出结论．‎ 答案　V四面体ABCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)r 规律方法 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比，且要注意以下两点：①找两类对象的对应元素，如：三角形对应三棱锥，圆对应球，面积对应体积等等；②找对应元素的对应关系，如：两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直，边相等对应面积相等．‎ ‎【训练2】 二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.则四维空间中“超球”的四维测度W＝2πr4，猜想其三维测度V＝________.‎ 解析　由已知，可得圆的一维测度为二维测度的导函数；球的二维测度是三维测度的导函数．类比上述结论，“超球”的三维测度是四维测度的导函数，即V＝W′＝(2πr4)′＝8πr3.‎ 答案　8πr3‎ 考点三　演绎推理 ‎【例3】 数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n∈N*)．证明：‎ ‎(1)数列是等比数列；‎ ‎(2)Sn＋1＝4an.‎ 证明　(1)∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝Sn，‎ ‎∴(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，即nSn＋1＝2(n＋1)Sn.‎ ‎∴＝2·，又＝1≠0，(小前提)‎ 故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)‎ ‎(大前提是等比数列的定义，这里省略了)‎ ‎(2)由(1)可知＝4·(n≥2)，‎ ‎∴Sn＋1＝4(n＋1)·＝4··Sn－1‎ ‎＝4an(n≥2)，(小前提)‎ 又a2＝3S1＝3，S2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝‎4a1，(小前提)‎ ‎∴对于任意正整数n，都有Sn＋1＝4an.(结论)‎ ‎(第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)‎ 规律方法 演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．‎ ‎【训练3】 “因为对数函数y＝logax是增函数(大前提)，而y＝logx是对数函数(小前提)，所以y＝logx是增函数(结论)”，以下推理的错误是________．‎ ‎①大前提错误导致结论错误；②小前提错误导致结论错误；③推理形式错误导致结论错误；④大前提和小前提错误导致结论错误．‎ 解析　当a＞1时，函数y＝logax是增函数；当0＜a＜1时，函数y＝logax是减函数．故大前提错误导致结论错误．‎ 答案　①‎ ‎1．合情推理主要包括归纳推理和类比推理．数学研究中，在得到一个新结论前，合情推理能帮助猜测和发现结论，在证明一个数学结论之前，合情推理常常能为证明提供思路与方向．‎ ‎2．演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理方法，是由一般到特殊的推理，常用的一般模式是三段论．数学问题的证明主要通过演绎推理来进行．‎ ‎3．合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定正确．而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．　　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ 创新突破9——新定义下的归纳推理 ‎【典例】 (2018·湖南卷)对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，例如： ‎(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于______；‎ ‎(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1,1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．‎ 解析　(1)根据题意可知子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,0，…，0，此数列前3项和为2.‎ ‎(2)根据题意可写出子集P的“特征数列”为1,0,1,0,1，0，…，1,0，则P＝{a1，a3，…，a2n－1，…，a99}(1≤n≤50)，‎ 子集Q的“特征数列”为1,0,0,1,0,0，…，1,0,0,1，则Q＝{a1，a4，…，a3k－2，…，a100}(1≤k≤34)，则P∩Q＝{a1，a7，a13，…，a97}，共有17项．‎ 答案　(1)2　(2)17‎ ‎[反思感悟] 此类问题一定要抓住题设中的例子与定义的紧密结合， 细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，需有一定的逻辑推理能力．‎ ‎【自主体验】‎ 若定义在区间D上的函数f(x)对于D上的n个值x1，x2，…，xn总满足[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f，称函数f(x)为D上的凸函数．现已知f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．‎ 解析　已知[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤‎ f，(大前提)‎ 因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数，(小前提)‎ 所以f(A)＋f(B)＋f(C)≤‎3f，(结论)‎ 即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝.‎ 因此sin A＋sin B＋sin C的最大值是.‎ 答案　 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、填空题 ‎1．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理________．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎①结论正确；②大前提不正确；③小前提不正确；④全不正确．‎ 解析　f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数而是复合函数，所以小前提不正确．‎ 答案　③‎ ‎2．(2018·西安五校联考)观察下式：1＝12；2＋3＋4＝32；3＋4＋5＋6＋7＝52；4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，则得出第n个式子的结论：________.‎ 解析　各等式的左边是第n个自然数到第3n－2个连续自然数的和，右边是中间奇数的平方，故得出结论：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.‎ 答案　n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2‎ ‎3．若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为＝a1＋(n－1)·，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则________．‎ 答案　数列{}为等比数列，且通项为＝b1()n－1‎ ‎4．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝________.‎ 解析　由已知得偶函数的导函数为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．‎ 答案　－g(x)‎ ‎5．(2012·江西卷改编)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10等于________．‎ 解析　‎ 从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.‎ 答案　123‎ ‎6．(2018·长春调研)类比“两角和与差的正弦公式”的形式，对于给定的两个函数：S(x)＝ax－a－x，C(x)＝ax＋a－x，其中a＞0，且a≠1，下面正确的运算公式是________．‎ ‎①S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；‎ ‎②S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)；‎ ‎③2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；‎ ‎④2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．‎ 解析　经验证易知①②错误．依题意，注意到2S(x＋y)＝2(ax＋y－a－x－y)，S(x)C(y)＋C(x)S(y)＝2(ax＋y－a－x－y)，因此有2S(x＋y)＝S(x)C(y)＋C(x)S(y)；同理有2S(x－y)＝S(x)C(y)－C(x)S(y)．‎ 答案　③④‎ ‎7．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：‎ ‎①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；‎ ‎②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；‎ ‎③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；‎ ‎④“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；‎ ‎⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；‎ ‎⑥“＝”类比得到“＝”．‎ 以上式子中，类比得到的结论正确的是________．‎ 解析　①②正确；③④⑤⑥错误．‎ 答案　①②‎ ‎8．(2018·南京一模)给出下列等式：＝2cos ，＝2cos ，＝2cos ，请从中归纳出第n个等式：＝________.‎ 答案　2cos 二、解答题 ‎9．给出下面的数表序列：‎ 　　　…‎ 其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3，5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．‎ 写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．‎ 解　表4为　　　　　　1　3　5　7‎ ‎　　　　　　　　　 4　8　12‎ ‎　　　　　　　　　　12　20‎ ‎　　　　　　　　　　　32‎ 它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．‎ 将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．‎ ‎10．f(x)＝，先分别求f(0)＋f(1)，f(－1)＋f(2)，f(－2)＋f(3)，然后归纳猜想一般性结论，并给出证明．‎ 解　f(0)＋f(1)＝＋ ‎＝＋＝＋＝，‎ 同理可得：f(－1)＋f(2)＝，f(－2)＋f(3)＝.‎ 由此猜想f(x)＋f(1－x)＝.‎ 证明：f(x)＋f(1－x)＝＋ ‎＝＋＝＋ ‎＝＝.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：25分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2012·江西卷改编)观察下列事实：|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12，…，则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．‎ 解析　由|x|＋|y|＝1的不同整数解的个数为4，|x|＋|y|＝2的不同整数解的个数为8，|x|＋|y|＝3的不同整数解的个数为12，归纳推理得|x|＋|y|＝n的不同整数解的个数为4n，故|x|＋|y|＝20的不同整数解的个数为80.‎ 答案　80‎ ‎2．观察下列各式9－1＝8,16－4＝12,25－9＝16,36－16＝20，…，这些等式反映了自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示为________．‎ 解析　9－1＝(1＋2)2－12＝4(1＋1)，16－4＝(2＋2)2－22＝4(2＋1)，25－9＝(3＋2)2－32＝4(4＋1)，36－16＝(4＋2)2－42＝4×(5＋1)，…，一般地，有(n＋2)2－n2＝4(n＋1)(n∈N*)．‎ 答案　(n＋2)2－n2＝4(n＋1)(n∈N*)‎ ‎3．(2018·湖北卷)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点．若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L.例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.‎ ‎(1)图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是________；‎ ‎(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝________(用数值作答)．‎ 解析　(1)四边形DEFG是一个直角梯形，观察图形可知：S＝(＋2)××＝3，N＝1，L＝6.‎ ‎(2)由(1)知，S四边形DEFG＝a＋6b＋c＝3.‎ S△ABC＝4b＋c＝1.‎ 在平面直角坐标系中，取一“田”字型四边形，构成边长为2的正方形，该正方形中S＝4，N＝1，L＝8.则S＝a＋8b＋c＝4.联立解得a＝1，b＝.c＝－1.‎ ‎∴S＝N＋L－1，∴若某格点多边形对应的N＝71，L＝18，则S＝71＋×18－1＝79.‎ 答案　(1)3,1,6　(2)79‎ 二、解答题 ‎4．(2012·福建卷)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：‎ ‎①sin213°＋cos217°－sin 13°cos 17°；‎ ‎②sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°；‎ ‎③sin218°＋cos212°－sin 18°cos 12°；‎ ‎④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos 48°；‎ ‎⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos 55°.‎ ‎(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；‎ ‎(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．‎ 解　(1)选择②式，计算如下：‎ sin215°＋cos215°－sin 15°cos 15°‎ ‎＝1－sin 30°‎ ‎＝1－ ‎＝.‎ ‎(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝.‎ 证明如下：‎ sin2α＋cos2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin ‎ α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋cos2α＋sin αcos α＋sin2α－sin αcos α－sin2α＝sin2α＋cos2α＝.‎ 第3讲　直接证明与间接证明 知 识 梳 理 ‎1．直接证明 ‎(1)综合法定义：‎ 从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．这样的思维方法称为综合法．‎ ‎(2)框图表示：→→→…→ ‎(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证的结论)．‎ ‎(3)分析法定义：‎ 从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．这样的思维方法称为分析法．‎ ‎(4)框图表示：→→→…→‎ .‎ ‎2．间接证明 ‎(1)反证法定义：‎ 在证明数学命题时，要证明的结论要么正确，要么错误，二者必居其一．我们可以先假定命题结论的反面成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立．这种证明方法叫作反证法．‎ ‎(2)反证法的证题步骤是：‎ ‎①作出否定结论的假设；‎ ‎②进行推理，导出矛盾；‎ ‎③否定假设，肯定结论．‎ 辨 析 感 悟 对三种证明方法的认识 ‎(1)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(×)‎ ‎(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(×)‎ ‎(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．(√)‎ ‎(4)证明不等式＋＜＋最合适的方法是分析法．(√)‎ ‎[感悟·提升]‎ 两点提醒　一是分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是寻找使结论成立的充分条件，如(1)；‎ 二是应用反证法证题时必须先否定结论，把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法．所谓矛盾主要指：①与已知条件矛盾；②与假设矛盾；③与定义、公理、定理矛盾；④与公认的简单事实矛盾；⑤自相矛盾.‎ 考点一　综合法的应用 ‎【例1】 (2018·新课标全国Ⅱ卷)设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：‎ ‎(1)ab＋bc＋ac≤；(2)＋＋≥1.‎ 证明　(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥‎2ac得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由题设得(a＋b＋c)2＝1，‎ 即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.‎ 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.‎ ‎(2)因为＋b≥‎2a，＋c≥2b，＋a≥‎2c，‎ 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)，‎ 即＋＋≥a＋b＋c.所以＋＋≥1.‎ 规律方法 综合法往往以分析法为基础，是分析法的逆过程，但更要注意从有关不等式的定理、结论或题设条件出发，根据不等式的性质推导证明.‎ ‎【训练1】 (1)设a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：＋＋≥8.‎ ‎(2)已知a，b，c是全不相等的正实数，求证：＋＋＞3.‎ 证明　(1)∵a＋b＝1，‎ ‎∴＋＋＝＋＋ ‎＝1＋＋1＋＋≥2＋2＋ ‎＝2＋2＋4＝8.当且仅当a＝b＝时等号成立．‎ ‎(2)∵a，b，c全不相等，且都大于0‎ ‎∴与，与，与全不相等，‎ ‎∴＋＞2，＋＞2，＋＞2，‎ 三式相加得＋＋＋＋＋＞6，‎ ‎∴＋＋＞3，‎ 即＋＋＞3.‎ 考点二　分析法的应用 ‎【例2】 已知a＞0，求证：－≥a＋－2.‎ 审题路线　从结论出发⇒观察不等式两边的符号⇒移项(把不等式两边都变为正项)⇒平方⇒移项整理⇒平方⇒移项整理可得显然成立的结论．‎ 证明　(1)要证－≥a＋－2，‎ 只需要证＋2≥a＋＋.‎ ‎∵a＞0，故只需要证2≥2，‎ 即a2＋＋4＋4‎ ‎≥a2＋2＋＋2＋2，‎ 从而只需要证2≥，‎ 只需要证4≥2，‎ 即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立．‎ 规律方法 (1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．‎ ‎(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．‎ ‎【训练2】 已知m＞0，a，b∈R，求证：2≤.‎ 证明　∵m＞0，∴1＋m＞0.所以要证原不等式成立，‎ 只需证(a＋mb)2≤(1＋m)(a2＋mb2)‎ 即证m(a2－2ab＋b2)≥0，‎ 即证(a－b)2≥0，而(a－b)2≥0显然成立，故原不等式得证．‎ 考点三　反证法的应用 ‎【例3】 等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.‎ ‎(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；‎ ‎(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．‎ ‎(1)解　由已知得∴d＝2，‎ 故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．‎ ‎(2)证明　由(1)得bn＝＝n＋.‎ 假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N*，且互不相等)成等比数列，则b ＝bpbr.‎ 即(q＋)2＝(p＋)(r＋)．‎ ‎∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.‎ ‎∵p，q，r∈N*，∴ ‎∴2＝pr，(p－r)2＝0.‎ ‎∴p＝r，与p≠r矛盾．‎ ‎∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．‎ 规律方法 用反证法证明不等式要把握三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面；(2)必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须依据这一条件进行推证；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，且推导出的矛盾必须是明显的．‎ ‎【训练3】 已知a≥－1，求证三个方程：x2＋4ax－‎4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－‎2a＝0中至少有一个方程有实数根．‎ 证明　假设三个方程都没有实数根，则 ⇒ ‎∴－＜a＜－1.‎ 这与已知a≥－1矛盾，‎ 所以假设不成立，故原结论成立．‎ ‎1．分析法的特点：从未知看需知，逐步靠拢已知．‎ ‎2．综合法的特点：从已知看可知，逐步推出未知．‎ ‎3．分析法和综合法各有优缺点．分析法思考起来比较自然，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法从条件推出结论，较简捷地解决问题，但不便于思考．实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后再用综合法叙述出来．‎ ‎4．利用反证法证明数学问题时，要假设结论错误，并用假设的命题进行推理，没有用假设命题推理而推出矛盾结果，其推理过程是错误的．　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 答题模板13——反证法在证明题中的应用 ‎【典例】 (14分)(2018·北京卷)直线y＝kx＋m(m≠0)与椭圆W：＋y2＝1相交于A，C两点，O是坐标原点．‎ ‎(1)当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长；‎ ‎(2)当点B在W上且不是W的顶点时，证明：四边形OABC不可能为菱形．‎ ‎[规范解答]　(1)因为四边形OABC为菱形，‎ 所以AC与OB相互垂直平分．(2分)‎ 所以可设A，代入椭圆方程得＋＝1，‎ 即t＝±.‎ 所以|AC|＝2.(5分)‎ ‎(2)假设四边形OABC为菱形．‎ 因为点B不是W的顶点，且AC⊥OB，所以k≠0.‎ 由消y并整理得 ‎(1＋4k2)x2＋8kmx＋‎4m2‎－4＝0.(7分)‎ 设A(x1，y1)，C(x2，y2)，则 ＝－，‎ ＝k·＋m＝.‎ 所以AC的中点为M.(9分)‎ 因为M为AC和OB的交点，且m≠0，k≠0，‎ 所以直线OB的斜率为－.(11分)‎ 因为k·≠－1，所以AC与OB不垂直．(13分)‎ 所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾．‎ 所以当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．(14分)‎ ‎[反思感悟] (1)掌握反证法的证明思路及证题步骤，明确作假设是反证法的基础，应用假设是反证法的基本手段，得到矛盾是反证法的目的．‎ ‎(2)当证明的结论和条件联系不明显、直接证明不清晰或正面证明分类较多、而反面情况只有一种或较少时，常采用反证法．‎ ‎(3)利用反证法证明时，一定要回到结论上去．‎ 答题模板　用反证法证明数学命题的答题模板：‎ 第一步：分清命题“p→q”的条件和结论；‎ 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q；‎ 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；‎ 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于所作的假设綈q不真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题.‎ ‎【自主体验】‎ 设直线l1：y＝k1x＋1，l2：y＝k2x－1，其中实数k1，k2满足k1k2＋2＝0.‎ ‎(1)证明：l1与l2相交；‎ ‎(2)证明：l1与l2的交点在椭圆2x2＋y2＝1上．‎ 证明　(1)假设l1与l2不相交，‎ 则l1与l2平行或重合，有k1＝k2，‎ 代入k1k2＋2＝0，得k＋2＝0.‎ 这与k1为实数的事实相矛盾，从而k1≠k2，‎ 即l1与l2相交．‎ ‎(2)由方程组 解得交点P的坐标为.‎ 从而2x2＋y2＝22＋2‎ ‎＝＝＝1，‎ 所以l1与l2的交点P(x，y)在椭圆2x2＋y2＝1上.‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2018·安阳模拟)若a＜b＜0，则下列不等式中成立的是________．‎ ‎①＜；②a＋＞b＋；③b＋＞a＋；④＜.‎ 解析　(特值法)取a＝－2，b＝－1，验证③正确．‎ 答案　③‎ ‎2．用反证法证明命题：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，则a，b中至少有一个能被5整除”时，应反设________成立．解析　由反证法的定义得，反设即否定结论．‎ 答案　a，b都不能被5整除 ‎3．(2018·上海模拟)“a＝”是“对任意正数x，均有x＋≥‎1”‎的________条件．‎ 解析　当a＝时，x＋≥2＝1，当且仅当x＝，即x＝时取等号；反之，显然不成立．‎ 答案　充分不必要 ‎4．(2018·张家口模拟)分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证＜a”索的因应是________．‎ ‎①a－b＞0；②a－c＞0；③(a－b)(a－c)＞0；④(a－b)(a－c)＜0.‎ 解析　由题意知＜a⇐b2－ac＜‎3a2‎ ‎⇐(a＋c)2－ac＜‎3a2‎ ‎⇐a2＋‎2ac＋c2－ac－‎3a2＜0‎ ‎⇐－‎2a2＋ac＋c2＜0‎ ‎⇐‎2a2－ac－c2＞0‎ ‎⇐(a－c)(‎2a＋c)＞0⇐(a－c)(a－b)＞0.‎ 答案　③‎ ‎5．(2018·天津模拟)p＝＋，q＝·(m，n，a，b，c，d均为正数)，则p，q的大小关系为________．‎ 解析　q＝ ≥＝＋＝p.‎ 答案　p≤q ‎6．下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的条件的个数是________．‎ 解析　要使＋≥2，只需>0且>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2成立．‎ 答案　3‎ ‎7．已知a，b，m均为正数，且a＞b，则与的大小关系是________．‎ 解析　－＝＝，‎ ‎∵a，b，m＞0，且a＞b，∴b－a＜0，∴＜.‎ 答案　＜ ‎8．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＞2；②a2＋b2＞2.其中能推出：“a，b中至少有一个大于‎1”‎的条件的是________(填序号)．‎ 答案　①‎ 二、解答题 ‎9．若a，b，c是不全相等的正数，求证：‎ lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.‎ 证明　∵a，b，c∈(0，＋∞)，‎ ‎∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.‎ 又上述三个不等式中等号不能同时成立．‎ ‎∴··＞abc成立．‎ 上式两边同时取常用对数，‎ 得lg＞lg abc，‎ ‎∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.‎ ‎10．(2018·鹤岗模拟)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．‎ ‎(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；‎ ‎(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？‎ ‎(1)证明　假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，‎ 即a(1＋q)2＝a1·a1·(1＋q＋q2)，‎ 因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，‎ 即q＝0，这与公比q≠0矛盾，‎ 所以数列{Sn}不是等比数列．‎ ‎(2)解　当q＝1时，Sn＝na1，故{Sn}是等差数列；‎ 当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则2S2＝S1＋S3，‎ 即‎2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)，‎ 得q＝0，这与公比q≠0矛盾．‎ 综上，当q＝1数列{Sn}是等差数列；当q≠1时，{Sn}不是等差数列．‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：25分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2018·漳州一模)设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋________.‎ ‎①都大于2；②都小于2；③至少有一个不大于2；④至少有一个不小于2‎ 解析　∵a＞0，b＞0，c＞0，‎ ‎∴＋＋＝＋＋‎ ≥6，当且仅当a＝b＝c时，“＝”‎ 成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.‎ 答案　④‎ ‎2．已知函数f(x)＝x，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为________．‎ 解析　∵≥≥，又f(x)＝x在R上是减函数，∴f≤f()≤f.‎ 答案　A≤B≤C ‎3．(2018·株洲模拟)已知a，b，μ∈(0，＋∞)，且＋＝1，则使得a＋b≥μ恒成立的μ的取值范围是________．‎ 解析　∵a，b∈(0，＋∞)，且＋＝1，‎ ‎∴a＋b＝(a＋b)＝10＋≥16，当且仅当a＝4，b＝12时等号成立，∴a＋b的最小值为16.‎ ‎∴要使a＋b≥μ恒成立，需16≥μ，∴0<μ≤16.‎ 答案　(0,16]‎ 二、解答题 ‎4．是否存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{an}，{bn}的通项公式；若不存在，说明理由．‎ 证明　假设存在两个等比数列{an}，{bn}使b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列．‎ 设{an}的公比为q1，{bn}的公比为q2，‎ 则b2－a2＝b1q2－a1q1，b3－a3＝b1q－a1q，‎ b4－a4＝b1q－a1q.‎ 由b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成等差数列得 即 ‎①×q2－②得a1(q1－q2)(q1－1)2＝0，‎ 由a1≠0得q1＝q2或q1＝1.‎ ⅰ)当q1＝q2时，由①，②得b1＝a1或q1＝q2＝1，‎ 这时(b2－a2)－(b1－a1)＝0，与公差不为0矛盾．‎ ⅱ)当q1＝1时，由①，②得b1＝0或q2＝1，‎ 这时(b2－a2)－(b1－a1)＝0，与公差不为0矛盾．‎ 综上所述，不存在两个等比数列{an}，{bn}使得b1－a1，b2－a2，b3－a3，b4－a4成公差不为0的等差数列.‎ 第4讲　数系的扩充与复数的引入 知 识 梳 理 ‎1．复数的概念及分类 ‎(1)概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别为它的实部和虚部．‎ ‎(2)分类 ‎(3)相等复数：a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d(a，b，c，d∈R)．‎ ‎2．复数的加、减、乘、除运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 ‎(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；‎ ‎(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；‎ ‎(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；‎ ‎(4)乘方：zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zmn，(z1·z2)n＝z·z；‎ ‎(5)除法：＝＝ ‎＝＋i(c＋di≠0)．‎ ‎3．共轭复数 把实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数，复数z＝a＋bi(a、b∈R)的共轭复数记做，即＝a－bi(a，b∈R)．‎ ‎4．复数的模 ‎(1)向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模(或绝对值)，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.一般地，|z1－z2|表示z1与z2的对应点间的距离．‎ ‎(2)|z|2＝||2＝|z2|＝|2|＝z·.‎ ‎(3)|z|＝1⇔z·＝1.‎ ‎(4)||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.‎ 辨 析 感 悟 ‎1．对复数概念的理解 ‎(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)‎ ‎(2)2i比i大．(×)‎ ‎(3)(教材习题改编)复数1－i的实部是1，虚部是－i.(×)‎ ‎2．对复数几何意义的认识 ‎(4)原点是实轴与虚轴的交点．(√)‎ ‎(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．(√)‎ ‎(6)(2018·福建卷改编)复数z＝－1－2i在复平面内对应的点位于第三象限．(√)‎ ‎3．对复数四则运算的理解 ‎(7)(教材习题改编)＝－i.(√)‎ ‎(8)(2018·浙江卷改编)(2＋i)(3＋i)＝5＋5i.(√)‎ ‎[感悟·提升]‎ ‎1．两点提醒　一是在实数范围内无解的方程在复数范围内都有解，且方程的根成对出现，如(1)；‎ 二是两个虚数不能比较大小，如(2)．‎ ‎2．两条性质　(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(各式中n∈N)．‎ ‎(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.‎ 考点一　复数的概念 ‎【例1】 (1)(2018·山东卷改编)复数z满足(z－3)(2－i)＝5(i为虚数单位)，则z的共轭复数＝________.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎(2)(2018·安徽卷改编)设i是虚数单位，若复数a－(a∈R)是纯虚数，则a的值为 ‎________．‎ 解析　(1)由(z－3)(2－i)＝5，‎ 得z＝＋3＝＋3‎ ‎＝＋3＝5＋i，‎ ‎∴＝5－i.‎ ‎(2)复数a－＝a－＝(a－3)－i为纯虚数，‎ ‎∴a－3＝0，‎ ‎∴a＝3.‎ 答案　(1)5－i　(2)3‎ 规律方法 处理有关复数的基本概念问题，关键是找准复数的实部和虚部，从定义出发，把复数问题转化成实数问题来处理．‎ ‎【训练1】 (1)设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋为纯虚数”的________条件．‎ ‎(2)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，是z的共轭复数，则z2＋2的虚部为________．‎ 解析　(1)ab＝0⇒a＝0或b＝0，这时a＋＝a－bi不一定为纯虚数，但如果a＋＝a－bi为纯虚数，则有a＝0且b≠0，这时有ab＝0.‎ ‎(2)∵z2＋2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝0，∴z2＋2的虚部为0.‎ 答案　(1)必要不充分　(2)0‎ 考点二　复数的几何意义 ‎【例2】 (1)(2018·湖南卷改编)复数z ‎＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于第________象限．‎ ‎(2)(2018·山东卷改编)复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________.‎ 解析　(1)z＝i＋i2＝－1＋i，对应的点为(－1,1)，位于复平面第二象限．‎ ‎(2)∵z＝＝＝＝＝－4－3i，‎ ‎∴|z|＝ ＝5.‎ 答案　(1)二　(2)5‎ 规律方法 要掌握复数的几何意义就要搞清楚复数、复平面内的点以及向量三者之间的一一对应关系，从而准确理解复数的“数”与“形”的特征．‎ ‎【训练2】 (1)(2018·四川卷改编)‎ 如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是________．‎ ‎(2)(2018·湖北卷)i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.‎ 解析　(1)设z＝－a＋bi(a，b∈R＋)，则z的共轭复数＝－a－bi，它的对应点为(－a，－b)，是第三象限的点．‎ ‎(2)在复平面内，复数z＝a＋bi与点(a，b)一一对应．‎ ‎∵点(a，b)关于原点对称的点为(－a，－b)，则复数z2＝－2＋3i.‎ 答案　(1)B　(2)－2＋3i 考点三　复数代数形式的四则运算 ‎【例3】 (1)已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.‎ ‎(2)＝________.‎ ‎(3)已知复数z满足＝2－i，则z＝________.‎ 解析　(1)法一　|z|＝＝，‎ z·＝|z|2＝.‎ 法二　z＝＝－＋，‎ z·＝＝.‎ ‎(2)＝＝＝i(1＋i)4＝i[(1＋i)2]2＝i(2i)2＝－4i.‎ ‎(3)由＝2－i，得z＝－i＝－i＝i－－i＝－－i.‎ 答案　(1)　(2)－4i　(3)－－i 规律方法 在做复数的除法时，要注意利用共轭复数的性质：若z1，z2互为共轭复数，则z1·z2＝|z1|2＝|z2|2，通过分子、分母同乘以分母的共轭复数将分母实数化．‎ ‎【训练3】 (1)(2018·临沂模拟)设z＝1＋i，则＋z2＝________.‎ ‎(2)(2018·天津卷)复数(3＋i)·(1－2i)＝________.‎ 解析　(1)＋z2＝＋(1＋i)2＝＋2i ‎＝＋2i＝1－i＋2i＝1＋i.‎ ‎(2)(3＋i)·(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.‎ 答案　(1)1＋i　(2)5－5i ‎1．复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根．除法实际上是分母实数化的过程．‎ ‎2．在复数的几何意义中，加法和减法对应向量的三角形法则的方向是应注意的问题，平移往往和加法、减法相结合．‎ ‎3．要记住一些常用的结果，如i，－＋i的有关性质等，可简化运算步骤提高运算速度．　　　‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　‎ 思想方法12——解决复数问题的实数化思想 ‎【典例】 (2018·广东卷)若i(x＋yi)＝3＋4i，则复数x＋yi的模是________．‎ 解析　由已知得xi－y＝3＋4i，‎ 由复数相等得 ‎∴ ‎∴|z|＝＝5.‎ 答案　5‎ ‎[反思感悟] (1)复数相等是一个重要概念，它是复数问题实数化的重要工具，通过复数的代数形式，借助两个复数相等，可以列出方程(组)来求未知数的值．‎ ‎(2)复数问题要把握一点，即复数问题实数化，这是解决复数问题最基本的思想方法．‎ ‎【自主体验】‎ ‎1．(2018·滨州模拟)已知＝b＋i(a，b∈R)，则a－b＝________.‎ 解析　a－2i＝bi＋i2＝－1＋bi，∴a＝－1，b＝－2，∴a－b＝1.‎ 答案　1‎ ‎2．(2012·湖北卷)若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b＝________.‎ 解析　由已知得3＋bi＝(1－i)(a＋bi)＝a＋bi－ai－bi2＝(a＋b)＋(b－a)i，‎ 根据复数相等得解得∴a＋b＝3.‎ 答案　3‎ 基础巩固题组 ‎(建议用时：40分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2018·江西卷改编)复数z＝i(－2－i)(i为虚数单位)在复平面内所对应的点在第________象限．‎ 解析　 z＝－2i－i2＝1－2i，z在复平面内对应点Z(1，－2)．‎ 答案　四 ‎2．(2018·新课标全国Ⅰ卷改编)＝________.‎ 解析　＝＝＝＝－1＋i.‎ 答案　－1＋i ‎3．(2018·武汉模拟)设复数z＝(3－4i)(1＋2i)，则复数z的虚部为________．‎ 解析　z＝(3－4i)(1＋2i)＝11＋2i，所以复数z的虚部为2.‎ 答案　2‎ ‎4．(2018·新课标全国Ⅱ卷改编)＝________.‎ 解析　＝＝|1－i|＝.‎ 答案　 ‎5．(2018·陕西卷改编)设z是复数，则下列命题中是假命题的序号________．‎ ‎①若z2≥0，则z是实数；②若z2＜0，则z是虚数；③若z是虚数，则z2≥0；④若z是纯虚数，则z2＜0.‎ 答案　③‎ ‎6．(2018·重庆卷)已知复数z＝1＋2i，则|z|＝________.‎ 解析　|z|＝＝.‎ 答案　 ‎7．(2018·盐城模拟)4＝________.‎ 解析　4＝2＝1.‎ 答案　1‎ ‎8．(2018·上海卷)设m∈R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，则m＝________.‎ 解析　由题意知解得m＝－2.‎ 答案　－2‎ 二、解答题 ‎9．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2‎ 是实数，求z2.‎ 解　(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i(a∈R)，‎ 则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(‎2a＋2)＋(4－a)i.‎ ‎∵z1·z2∈R.∴a＝4.∴z2＝4＋2i.‎ ‎10．当实数m为何值时，z＝＋(m2＋‎5m＋6)i，(1)为实数；(2)为虚数；(3)为纯虚数；(4)复数z对应的点在复平面内的第二象限．‎ 解　(1)若z为实数，则解得m＝－2.‎ ‎(2)若z为虚数，则 解得m≠－2且m≠－3.‎ ‎(3)若z为纯虚数，则解得m＝3.‎ ‎(4)若z对应的点在第二象限，则 即∴m＜－3或－2＜m＜3.‎ 能力提升题组 ‎(建议用时：25分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2018·陕西师大附中模拟)2 014＝________.‎ 解析　2 014＝2 014＝2 014＝‎ ‎(－i)2 104＝i2 014＝i4×503＋2＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎2．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是________．‎ 解析　法一　x＝＝－3±2i.‎ 法二　令x＝a＋bi，a，b∈R，∴(a＋bi)2＋6(a＋bi)＋13＝0，即a2－b2＋‎6a＋13＋(2ab＋6b)i＝0，‎ ‎∴ 解得a＝－3，b＝±2，即x＝－3±2i.‎ 答案　－3＋2i ‎3．(2018·北京西城模拟)定义运算＝ad－bc.若复数x＝，y＝，则y＝________.‎ 解析　因为x＝＝＝－i.‎ 所以y＝＝＝－2.‎ 答案　－2‎ 二、解答题 ‎4．如图，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：‎ ‎(1)所表示的复数，所表示的复数；‎ ‎(2)对角线所表示的复数；‎ ‎(3)求B点对应的复数．‎ 解　(1)＝－，∴所表示的复数为－3－2i.‎ ‎∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.‎ ‎(2)＝－，∴所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.‎ ‎(3)＝＋＝＋，‎ ‎∴所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，‎ 即B点对应的复数为1＋6i.‎ 基础回扣练——推理证明、算法、复数　‎ ‎(建议用时：60分钟)‎ 一、填空题 ‎1．(2018·北京卷改编)在复平面内，复数i(2－i)对应的点位于第________象限．‎ 解析　因为i(2－i)＝1＋2i，所以对应的点的坐标为(1,2)，该点在第一象限．‎ 答案　一 ‎2．(2018·辽宁卷改编)复数z＝的模为________．‎ 解析　z＝＝＝－－i，‎ ‎∴|z|＝＝.‎ 答案　 ‎3．(2018·韶关调研)若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋，则a＋b＝________.‎ 解析　由已知得ai＋i2＝b＋(2＋i)，‎ 即－1＋ai＝(b＋2)＋i，∴∴ ‎∴a＋b＝1－3＝－2.‎ 答案　－2‎ ‎4．(2018·佛山二模)已知复数z的实部为1，且|z|＝2，则复数z的虚部是________．‎ 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知a＝1，‎ ‎∴1＋b2＝4，∴b2＝3，∴b＝±.‎ 答案　± ‎5．(2018·青岛一模)某流程图如图所示，若a＝3，则该程序运行后，输出的x值为________．‎ 解析　第一次循环：x＝2×3＋1＝7，n＝2；‎ 第二次循环：x＝2×7＋1＝15，n＝3；‎ 第三次循环：x＝2×15＋1＝31，n＝4.‎ 此时不满足条件，输出x＝31.‎ 答案　31‎ ‎6．(2018·徐州一模)执行如图所示的流程图，则输出n的值为________．‎ 解析　第一次循环，n＝1，S＝1＋2＝3；第二次循环，n＝2，S＝2×3＋2＝8；第三次循环，n＝3，S＝3×8＋2＝26；第四次循环，n＝4，S＝4×26＋2＝106，此时满足条件，输出n＝4.‎ 答案　4‎ ‎7.(2018·绍兴模拟)已知某流程图如图所示，当输入的x的值为5时，输出的y的值恰好是，则在空白的赋值框处应填入的关系式可以是________．‎ ‎①y＝x3；②y＝x；③y＝3x；④y＝3－x.‎ 解析　由流程图可知，当输入的x的值为5时，‎ 第一次运行，x＝5－2＝3；‎ 第二次运行，x＝3－2＝1；‎ 第三次运行，x＝1－2＝－1，‎ 此时x≤0，退出循环，要使输出的y的值为，只有③中的函数y＝3x符合要求．‎ 答案　③‎ ‎8.(2018·咸阳模拟)某算法的流程图如图所示，如果输出的结果为5,57，则判断框内应为________．‎ ‎①k≤6；②k＞4；③k＞5；④k≤5.‎ 解析　当k＝1时，S＝2×0＋1＝1；当k＝2时，S＝2×1＋2＝4；当k＝3时，S＝2×4＋3＝11；当k＝4时，S＝2×11＋4＝26；当k＝5时，S＝2×26＋5＝57，由题意知此时退出循环．‎ 答案　②‎ ‎9．(2018·福州质检)将正奇数1,3,5,7，…排成五列(如下表)，按此表的排列规律，89所在的位置是第________列．‎ 解析　正奇数从小到大排，则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．‎ 答案　四 ‎10．(2018·长沙模拟)我国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中较小者为勾，另一直角边为股，斜边为弦．若a，b，c为直角三角形的三边，其中c为斜边，则a2＋b2＝c2，称这个定理为勾股定理．现将这一定理推广到立体几何中：在四面体OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝90°，S为顶点O所对面的面积，S1，S2，S3分别为侧面△OAB，△OAC，△OBC的面积，则S，S1，S2，S3满足的关系式为________．‎ ‎①S2＝S＋S＋S；②S2＝＋＋；③S＝S1＋S2＋S3；④S＝＋＋.‎ 解析　如图，作OD⊥BC于点D，连接AD，由立体几何知识知，AD⊥BC，从而S2＝2＝BC2·AD2＝BC2·(OA2＋OD2)＝(OB2＋OC2)·OA2＋BC2·OD2＝2＋2＋2＝S＋S＋S.‎ 答案　①‎ ‎11．(2018·湛江二模)已知i是虚数单位，则＝________.‎ 解析　＝1－i.‎ 答案　1－i ‎12．(2018·无锡一模)设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a＝________.‎ 解析　＝＝＋i，‎ 由题意知：＝0，∴a＝2.‎ 答案　2‎ ‎13．(2018·浙江卷)若某流程图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．‎ 解析　第一步：S＝1＋＝，k＝2；‎ 第二步：S＝＋＝，k＝3；‎ 第三步：S＝＋＝，k＝4；‎ 第四步：S＝＋＝，k＝5，‎ 结束循环．输出S＝.‎ 答案　 ‎14．(2018·泰安一模)若流程图如图所示，则该程序运行后输出k的值为________．‎ 解析　第一次：n＝3×5＋1＝16，k＝1；‎ 第二次：n＝＝8，k＝2；‎ 第三次：n＝＝4，k＝3；‎ 第四次：n＝＝2，k＝4；‎ 第五次：n＝＝1，k＝5，‎ 此时满足条件，输出k＝5.‎ 答案　5‎ ‎15．(2018·陕西卷)观察下列等式 ‎12＝1‎ ‎12－22＝－3‎ ‎12－22＋32＝6‎ ‎12－22＋32－42＝－10‎ ‎……‎ 照此规律，第n个等式可为________．‎ 解析　观察规律可知，第n个式子为12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1‎ .‎ 答案　12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1 ‎16．(2018·兰州质检)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC的内切圆面积为S1，外接圆面积为S2，则＝.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为V1，外接球体积为V2，则＝________.‎ 解析　平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成正比，而在空间几何中，球的体积与球的半径的立方成正比，所以＝.‎ 答案　 二、解答题 ‎17．在单调递增数列{an}中，a1＝2，不等式(n＋1)an≥na2n对任意n∈N*都成立．‎ ‎(1)求a2的取值范围；‎ ‎(2)判断数列{an}能否为等比数列，并说明理由．‎ 解　(1)因为{an}是单调递增数列，所以a2＞a1，即a2＞2.‎ 又(n＋1)an≥na2n，令n＝1，则有‎2a1≥a2，即a2≤4，所以a2∈(2,4]．‎ ‎(2)数列{an}不能为等比数列．‎ 用反证法证明：‎ 假设数列{an}是公比为q的等比数列，由a1＝2＞0，得an＝2qn－1.‎ 因为数列{an}单调递增，所以q＞1.‎ 因为(n＋1)an≥na2n对任意n∈N*都成立，‎ 所以对任意n∈N*，都有1＋≥qn.①‎ 因为q＞1，所以存在n0∈N*，‎ 使得当n≥n0时，qn＞2.‎ 因为1＋≤2(n∈N*)．‎ 所以存在n0∈N*，使得当n≥n0时，qn＞1＋，与①矛盾，故假设不成立．‎ ‎18．(2018·福州质检)阅读下面材料：‎ 根据两角和与差的正弦公式，有 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β，①‎ sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，②‎ 由①＋②得sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β，③‎ 令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，‎ 代入③得sin A＋sin B＝2sin cos.‎ ‎(1)类比上述推理方法，根据两角和与差的余弦公式，证明：cos A－cos B＝－2sinsin；‎ ‎(2)若△ABC的三个内角A，B，C满足cos ‎2A－cos 2B＝1－cos ‎2C，试判断△ABC的形状．‎ ‎(提示：如果需要，也可以直接利用阅读材料及(1)中的结论)‎ 解　(1)因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β，①‎ cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β，②‎ ‎①－②得cos(α＋β)－cos(α－β)＝－2sin αsin β.③‎ 令α＋β＝A，α－β＝B，有α＝，β＝，‎ 代入③得cos A－cos B＝－2sin sin.‎ ‎(2)由二倍角公式，cos ‎2A－cos 2B＝1－cos ‎2C可化为1－2sin‎2A－1＋2sin2B＝1－1＋2sin‎2C，‎ 所以sin‎2A＋sin‎2C＝sin2B.‎ 设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，‎ 由正弦定理可得a2＋c2＝b2.‎ 根据勾股定理的逆定理知△ABC为直角三角形． ‎