2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6

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文档介绍

2020_2021学年新教材高中数学第6章幂函数指数函数和对数函数6

‎6.1 幂函数 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.了解幂函数的概念,会画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的图象.(重点)‎ ‎2.能根据幂函数的图象,了解幂函数的性质.(难点)‎ ‎3.会用几个常见的幂函数性质比较大小.(重点、难点)‎ 通过学习本节内容,提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.‎ 经调查,一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示:‎ 价格/元 ‎0.6‎ ‎0.65‎ ‎0.7‎ ‎0.75‎ ‎0.8‎ ‎0.85‎ ‎0.9‎ 需求量/t ‎1.216‎ ‎1.179‎ ‎1.146‎ ‎1.117‎ ‎1.089‎ ‎1.064‎ ‎1.041‎ 根据此表,我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y=x-0.38.这是一类怎样的函数,这类函数有什么一般的性质?‎ ‎1.幂函数的概念 一般地,我们把形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.‎ ‎2.幂函数的图象和性质 - 8 -‎ ‎3.在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x-1的图象如图所示:‎ ‎1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)幂函数的图象不经过第四象限. (  )‎ ‎(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点. (  )‎ ‎(3)幂函数y=xα的定义域为R,与指数也无关. (  )‎ ‎[提示] (1)由幂函数的一般式y=xα(α为常数)及图象可知,当x>0时,y>0,即图象不经过第四象限.‎ ‎(2)y=x-1不经过(0,0)点,故错误.‎ ‎(3)y=x,定义域为[0,+∞),与指数有关,故错误.‎ ‎[答案] (1)√ (2)× (3)×‎ ‎2.若y=mxα+(2n-4)是幂函数,则m+n=    .‎ ‎3 [由题意得所以m+n=3.]‎ ‎3.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,8),则f(-2)=    .‎ ‎-8 [8=2α,所以α=3,‎ 所以f(x)=x3,f(-2)=(-2)3=-8.]‎ 幂函数的概念 ‎【例1】 已知y=(m2+‎2m-2)x+2n-3是幂函数,求m,n的值.‎ ‎[思路点拨] 由幂函数的定义列式求解.‎ - 8 -‎ ‎[解] 由题意得解得 ‎∴m=-3,n=为所求.‎ ‎1.幂函数y=xα满足的三个特征 ‎(1)幂xα前系数为1;‎ ‎(2)底数只能是自变量x,指数是常数;‎ ‎(3)项数只有一项.‎ ‎2.求幂函数解析式时常用待定系数法,即设解析式为f(x)=xα,根据条件求出α.‎ ‎1.下列函数是幂函数的有    .(填序号)‎ ‎①y=x2x;②y=2x2;③y=;④y=x2+1;⑤y=-;⑥y=x.‎ ‎③⑥ [根据幂函数的定义,只有③⑥符合题意.]‎ ‎2.已知幂函数f(x)=xα的图象经过,则f(100)=     .‎  [由题知2α==2,∴α=-.‎ ‎∴f(x)=x,‎ ‎∴f(100)=100==.]‎ 比较大小 ‎【例2】 比较下列各组数中两个数的大小:‎ ‎(1)与;(2)与;‎ ‎(3)0.25与6.25;(4)1.20.6与0.30.4;‎ ‎(5)(-3)与(-2).‎ ‎[思路点拨] 可以借助幂函数y=x2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较.‎ ‎[解] (1)∵y=x是[0,+∞)上的增函数,且>,‎ ‎∴>.‎ ‎(2)∵y=x-1是(-∞,0)上的减函数,‎ - 8 -‎ 且-<-,‎ ‎∴>.‎ ‎(3)0.25==2,‎ ‎6.25=2.5.‎ ‎∵y=x是[0,+∞)上的增函数,且2<2.5,‎ ‎∴2<2.5,即0.25<6.25.‎ ‎(4)由幂函数的单调性,知1.20.6>10.6=1,0.30.4<10.4=1,从而0.30.4<1.20.6.‎ ‎(5)由幂函数的奇偶性,(-3)=3>0,(-2)=-2<0,‎ 所以(-3) >(-2).‎ 比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数:‎ ‎(1)若指数相同而底数不同,则构造幂函数;若指数相同、底数不在同一单调区间,则用奇偶性;‎ ‎(2)若指数与底数都不同,需考虑是否能把指数化为相同,是否可以引入中间量.‎ ‎3.比较下列各组中两个数的大小:‎ ‎(1)3,3.1;‎ ‎(2)a1.5,(a+1)1.5(a>0);‎ ‎(3)(-0.88),0.89.‎ ‎[解] (1)因为函数y=x在(0,+∞)内是减函数,所以3>3.1.‎ ‎(2)函数y=x1.5在(0,+∞)内是增函数,又a>0,a+1>a,‎ 所以(a+1)1.5>a1.5.‎ ‎(3)函数y=x为偶函数,在[0,+∞)上是增函数,‎ 所以(-0.88)= 0.88<0.89.‎ ‎【例3】 点(,2)与点分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,问当x为何值时,有:‎ ‎(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)g(x);‎ ‎(2)当x=1时,f(x)=g(x);‎ ‎(3)当x∈(0,1)时,f(x)0,幂函数的图象恒经过(0,0),(1,1),在[0,+∞)是增函数.‎ ‎(2)α<0,幂函数的图象恒经过(1,1),在(0,+∞)上是减函数.‎ ‎3.幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律 ‎(1)在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;‎ ‎(2)在第一象限内直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.‎ ‎4.(1)若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是(  )‎ A.d>c>b>a B.a>b>c>d C.d>c>a>b D.a>b>d>c - 8 -‎ ‎(2)函数y=x-1的图象关于x轴对称的图象大致是(  )‎ A    B    C    D ‎(1)B (2)B [(1)令a=2,b=,c=-,d=-1,正好和题目所给的形式相符合.‎ 在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a>b>c>d.故选B.‎ ‎(2)y=x的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=x-1的图象可看作由y=x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示),将y=x-1的图象关于x轴对称后即为选项B.]‎ 幂函数的图象与性质的综合应用 ‎[探究问题]‎ ‎1.幂函数y=x的图象应该怎么作?‎ ‎[提示] ①因为0<<1,故幂函数y=x=的定义域为R,且为偶函数,‎ ‎②函数y=x在第一象限的图象恒过(0,0),(1,1),在[0,+∞)是增函数.‎ ‎③利用偶函数的图象关于y轴对称,得到第二象限的图象.(图略)‎ ‎2.从上述过程能否归纳出作幂函数y=xα的图象的步骤?‎ ‎[提示] ①先求定义域,判定函数的奇偶性;‎ ‎②再看α,按α<0,α>0来分类确定在第一象限的图象的形状;‎ ‎③结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象.‎ ‎3.作出y=x的图象(草图),并说明若x>y时,x,y与0的大小关系有多少种?‎ ‎[提示] y=x在第一象限内的图象单调递减,且为奇函数,草图如下,‎ 从图象可以看出,若x>y,则有以下情况:‎ ‎①00>y.‎ ‎【例4】 已知幂函数y=x‎3m-9(m∈N*)的图象关于y - 8 -‎ 轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,求满足(a+1) <(3-‎2a) 的a的取值范围.‎ ‎[思路点拨] →→→→→ ‎[解] ∵函数在(0,+∞)上递减,‎ ‎∴‎3m-9<0,解得m<3.‎ 又m∈N*,∴m=1,2.‎ 又函数图象关于y轴对称,∴‎3m-9为偶数,故m=1.‎ ‎∴有(a+1) <(3-‎2a) .‎ ‎∵y=x在(-∞,0),(0,+∞)上均递减,‎ ‎∴a+1>3-‎2a>0或0>a+1>3-‎2a,或a+1<0<3-‎2a,解得x,则x的取值范围是    .‎ ‎(-∞,0)∪(1,+∞) [作出函数y=x2和y=x的图象(如图所示),易得x<0或x>1.]‎ ‎1.幂函数y=xα的底数是自变量,指数是常数,只有一项,系数为1.‎ - 8 -‎ ‎2.简单幂函数的图象与性质的探究策略 ‎(1)先求幂函数的定义域,若对称,判定其奇偶性(一定具有奇偶性).‎ ‎(2)研究幂函数位于第一象限的图象与性质 ‎①α>0,幂函数的图象恒经过(0,0),(1,1),在[0,+∞)上是增函数.‎ ‎②α<0,幂函数的图象恒经过(1,1),在(0,+∞)上是减函数.‎ ‎(3)结合幂函数的奇偶性,得到第三或第二象限的图象与性质,幂函数的图象一定不经过第四象限.‎ ‎1.下列所给出的函数中,是幂函数的是(  )‎ A.y=x-3 B.y=-x3‎ C.y=2x3 D.y=x3-1.‎ A [幂函数是形如y=xα的函数,观察四个函数只有A中函数是幂函数.]‎ ‎2.已知幂函数y=xα的图象过点(2,),则f(4)的值是   .‎ ‎2 [将点(2,)代入幂函数可得f(2)=2α=,解得α=,即幂函数为f(x)=x,可得f(4)=4=2.]‎ ‎3.下列幂函数中,过点(0,0),(1,1)且为偶函数的是  .(填序号)‎ ‎(1)y=x;(2)y=x4;(3)y=x-1;(4)y=x3.‎ ‎(2) [(1)为非奇非偶函数,(3)为不过(0,0)的奇函数,(4)为奇函数,只有(2)符合题意.]‎ ‎4.比较下列各组数的大小:‎ ‎(1)3与3.1;‎ ‎(2)4.1,3.8,(-1.9).‎ ‎[解] (1)因为函数y=x在(0,+∞)上为减函数,‎ 又3<3.1,所以3>3.1.‎ ‎(2)4.1>1=1,0<3.8<1=1,而(-1.9) <0,所以4.1>3.8>(-1.9).‎ - 8 -‎
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