【数学】2020届数学文一轮复习第三章第5讲利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题作业

【数学】2020届数学文一轮复习第三章第5讲利用导数研究不等式恒成立求参数范围问题作业

‎1．设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是(　　)‎ A．(－∞，－1)∪(0，1)　　 B．(－1，0)∪(1，＋∞)‎ C．(－∞，－1)∪(－1，0) D．(0，1)∪(1，＋∞)‎ 解析：选A．设y＝g(x)＝(x≠0)，则g′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以 g′(x)<0，所以 g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.‎ 因为 f(x)为奇函数，所以 g(x)为偶函数，‎ 所以 g(x)的图象的示意图如图所示．‎ 当x＞0，g(x)＞0时，f(x)＞0，0＜x＜1，‎ 当x＜0，g(x)＜0时，f(x)>0，x＜－1，‎ 所以 使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选A．‎ ‎2．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．a≤1 B．a≥1‎ C．a≤2 D．a≥2‎ 解析：选A．由题意知f(x)min≥g(x)min(x∈[2，3])，因为f(x)min＝5，g(x)min＝4＋a，所以5≥4＋a，即a≤1，故选A．‎ ‎3．设函数f(x)＝ax＋ln x，g(x)＝a2x2.‎ ‎(1)当a＝－1时，求函数y＝f(x)图象上的点到直线x－y＋3＝0距离的最小值；‎ ‎(2)是否存在正实数a，使得不等式f(x)≤g(x)对一切正实数x都成立？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 解：(1)由f(x)＝－x＋ln x，得f′(x)＝－1＋，‎ 令f′(x)＝1，得x＝，‎ 所以所求距离的最小值即为P到直线x－y＋3＝0的距离，‎ d＝＝(4＋ln 2).‎ ‎(2)假设存在正数a，令F(x)＝f(x)－g(x)(x＞0)，‎ 则F(x)max≤0.‎ 由F′(x)＝a＋－2a2x＝0，得x＝，‎ 因为x＞时，F′(x)＜0，‎ 所以F(x)为减函数；‎ 当0＜x＜时，F′(x)＞0，‎ 所以F(x)为增函数，‎ 所以F(x)max＝F，‎ 所以ln ≤0，即a≥1.‎ 所以a的取值范围是[1，＋∞)．‎ ‎4．(2019·贵州适应性考试)已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调区间；‎ ‎(2)∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围．‎ 解：(1)因为f′(x)＝a－ex，x∈R.‎ 当a≤0时，f′(x)＜0，f(x)在R上单调递减；‎ 当a＞0时，令f′(x)＝0得x＝ln a.‎ 由f′(x)＞0得f(x)的单调递增区间为(－∞，ln a)；‎ 由f′(x)＜0得f(x)的单调递减区间为(ln a，＋∞)．‎ ‎(2)因为∃x0∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex，则ax≤，即a≤.‎ 设h(x)＝，则问题转化为a≤()max，‎ 由h′(x)＝，令h′(x)＝0，则x＝.‎ 当x在区间(0，＋∞)内变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：‎ x ‎(0，)‎ ‎(，＋∞)‎ h′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ h(x)‎ 单调递增 极大值 单调递减 由上表可知，当x＝时，函数h(x)有极大值，即最大值为.所以a≤.‎ ‎5．(2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex.‎ ‎(1)讨论f(x)的单调性；‎ ‎(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．‎ 解：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex.‎ 令f′(x)＝0得x＝－1－，x＝－1＋.‎ 当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)<0；当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)>0；‎ 当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)<0.‎ 所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)上单调递减，‎ 在(－1－，－1＋)上单调递增．‎ ‎(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.‎ 当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，h′(x)＝－xex<0(x>0)，‎ 因此h(x)在[0，＋∞)上单调递减，而h(0)＝1，‎ 故h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.‎ 当00(x>0)，‎ 所以g(x)在[0，＋∞)上单调递增，而g(0)＝0，故ex≥x＋1.‎ 当0(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)，‎ 取x0＝，则x0∈(0，1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)>ax0＋1.‎ 当a≤0时，取x0＝，则x0∈(0，1)，f(x0)>(1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.‎ 综上，a的取值范围是[1，＋∞)．‎ ‎6．(2019·兰州模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋xln x的图象在(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.‎ ‎(1)求实数a，b的值；‎ ‎(2)设g(x)＝x2－x，若k∈Z，且k(x－2)＜f(x)－g(x)对任意的x＞2恒成立，求k的最大值．‎ 解：(1)f′(x)＝2ax＋b＋1＋ln x，‎ 所以2a＋b＋1＝3且a＋b＝1，解得a＝1，b＝0.‎ ‎(2)由(1)与题意知k＜＝对任意的x＞2恒成立，‎ 设h(x)＝(x＞2)，则h′(x)＝，‎ 令m(x)＝x－4－2ln x(x＞2)，则m′(x)＝1－＝＞0，‎ 所以函数m(x)为(2，＋∞)上的增函数．‎ 因为m(8)＝4－2ln 8＜4－2ln e2＝4－4＝0，m(10)＝6－2ln 10＞6－2ln e3＝6－6＝0，‎ 所以函数m(x)在(8，10)上有唯一零点x0，即有x0－4－2ln x0＝0成立，‎ 故当2＜x＜x0时，m(x)＜0，即h′(x)＜0；当x0＜x时，m(x)＞0，即h′(x)＞0，‎ 所以函数h(x)在(2，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，‎ 所以h(x)min＝h(x0)＝＝＝，‎ 所以k＜，因为x0∈(8，10)，‎ 所以∈(4，5)，又k∈Z，所以k的最大值为4.‎