2014年福建省福州市中考数学试题（含答案）

2014年福建省福州市中考数学试题（含答案）

二O一四年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试 数 学 试 卷 ‎（全卷共4页，三大题，22小题，满分150分；考试时间120分钟）‎ 友情提示：所有答案都必须填涂在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效。[来源:学科网]‎ 毕业学校 姓名 考生号 ‎ 一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应位置填涂）‎ ‎1．-5的相反数是 ‎ A．-5 B．5 C． D．- ‎ ‎【答案】B ‎2．地球绕太阳公转的速度约是110000千米/时，将110000用科学记者数法表示为 ‎ A．11´104 B．1.1´105 C．1.1´104 D．0.11´106‎ ‎【答案】B ‎3．某几何体的三视图如图所示，则该几何体是 ‎ A．三棱柱 B．长方体 C．圆柱 D．圆锥 ‎【答案】D ‎4．下列计算正确的是 ‎ A．x4·x4=x16 B．(a3)2=a5 C．(ab2)3=ab6 D．a+2a=3a ‎【答案】D ‎5．若7名学生的体重（单位：kg）分别是：40，42，43，45，47，47，58，则这组数据的平均数是 ‎ A．44 B．45 C．46 D．47‎ ‎【答案】C ‎6．下列命题中，假命题是 ‎ A．对顶角相等 B．三角形两边的和小于第三边 C．菱形的四条边都相等 D．多边形的外角和等于360° ‎【答案】B ‎7．若(m-1)2+ =0，则m+n的值是 ‎ A．-1 B．0 C．1 D．2 ‎ ‎【答案】A ‎8．某工厂现在平均每天比原计算多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机器，根据题意，下面所列方程正确的是 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎9．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为 ‎ A．45° B．55° C．60° D．75° ‎【答案】C ‎10．如图，已知直线y=-x+2分别与x轴， y轴交于A，B两点，与双曲线y=交于E，F两点，若AB=2EF，则k的值是 ‎ ‎ A．-1 B．1 C． D． ‎ ‎【答案】D 二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置）‎ ‎11．分解因式：ma+mb= .‎ ‎【答案】m(a+b)‎ ‎12．若5件外观相同的产品中有1件不合格，现从中任意抽取1件进行检测，则抽到不合格产品的概率是 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎13．计算：（+1）（-1）= .‎ ‎【答案】1‎ ‎14．如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC，AD=6，BE=2，则□ABCD的周长是 .‎ ‎[来源:Zxxk.Com]‎ ‎【答案】20‎ ‎15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC到点F，使CF=BC .若AB=10，则EF的长是 .‎ ‎【答案】5‎ 三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置.作图或添加辅助线用铅笔画完，再用黑色签字笔描黑）‎ ‎16．（每小题7分，共14分）‎ ‎（1）计算：+0 +|-1|.‎ ‎【答案】解：原式=3+1+1=5.‎ ‎（2）先化简，再求值：(x+2)2+x(2-x)，其中x=. ‎ ‎【答案】解：原式=x2+4x+4+2x-x2‎ ‎ =6x+4.‎ ‎ 当x=时，‎ ‎ 原式=6´+4=6.‎ ‎17．（每小题7分，共14分）‎ ‎（1）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C.求证：∠A=∠D.‎ ‎【答案】证明：∵BE=CF，‎ ‎ ∴BE+EF=CF+EF ‎ 即BF=CE.‎ ‎ 又∵AB=DC，∠B=∠C，‎ ‎ ∴△ABF≌△DCE.‎ ‎∴∠A=∠E.‎ ‎（2）如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC的顶点均在格点上.‎ ‎ ①sinB的值是 ；‎ ‎ ②画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C与C1相对应）.连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积.‎ ‎ 【答案】①；‎ ‎ ②如图所示.‎ ‎ 由轴对称的性质可得，AA1=2，BB1=8，高是4.‎ ‎ ∴ =(AA1+BB1)´4=20.‎ ‎18．（满分12分）设中学生体质健康综合评定成绩为x分，满分为100分.规定：85≤x≤100为A级，75≤x<85为B级，60≤x<75为C级，x<60为D级.现随机抽取福海中学部分学生的综合评定成绩，整理绘制成如下两幅不完整的统计图.请根据图中的信息，解答下列问题：‎ ‎ （1）在这次调查中，一共抽取了 名学生，a= %；‎ ‎（2）补全条形统计图；‎ ‎（3）扇形统计图中C级对应的圆心角为 度；‎ ‎（4）若该校共有2000名学生，请你估计该校D级学生有多少名？‎ ‎【答案】解：（1）50，24；‎ ‎（2）如图所示；‎ ‎（3）72；‎ ‎（4）该校D级学生有：2000´=160人. ‎ ‎19．（满分12分）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品共用了160元.‎ ‎（1）求A，B两种商品每件多少元？‎ ‎（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，且不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？‎ ‎【答案】解：（1）设A商品每件x元，B商品每件y元.‎ 依题意，得 ‎ 解得 答：A商口每件20元，B商品每件50元.‎ ‎（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品(10-a)件.‎ 依题意，得 [来源:学科网]‎ 解得5≤a≤6.‎ 根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6.‎ 方案一：当a=5时，购买费用为20´5+50´(10-5)=350元；‎ 方案二：当a=6时，购买费用为20´6+50´(10-6)=320元.‎ ‎∵350>320，‎ ‎∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低.‎ 答：有两种购买方案，方案一：购买A商品5件，B商品5件；方案二：购买A商品6件，B商品4件.其中方案二费用最低. ‎ ‎20．（满分11分）如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=60°，AB=3，点D为BA延长线上的一点，且∠D=∠ACB，⊙O为△ACD的外接圆.‎ ‎（1）求BC的长；‎ ‎（2）求⊙O的半径. ‎ ‎【答案】解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E.‎ ‎∴∠AEB=∠AEC=90°.‎ 在Rt△ABE中，∵sinB=，‎ ‎∴AB=AB·sinB=3·sin45°= 3·=3.‎ ‎∵∠B=45°，‎ ‎∴∠BAE=45°.‎ ‎∴BE=AE=3.‎ 在Rt△ACE中，∵tan∠ACB=，‎ ‎∴EC=.‎ ‎∴BC=BE+EC=3+.‎ ‎（2）由（1）得，在Rt△ACE中，∵∠EAC=30°，EC=，‎ ‎∴AC=2.‎ 解法一：连接AO并延长交⊙O于M，连接CM.‎ ‎∵AM为直径，‎ ‎∴∠ACM=90°.‎ 在Rt△ACM中，∵∠M=∠D=∠ACB=60°，sinM=，‎ ‎∴AM===4.‎ ‎∴⊙O的半径为2.‎ 解法二：连接OA，OC，过点O作OF⊥AC，垂足为F，‎ 则AF=AC=.‎ ‎∵∠D=∠ACB=60°，‎ ‎∴∠AOC=120°.‎ ‎∴∠AOF=∠AOC=60°.‎ 在Rt△OAF中，sin∠AOF=，‎ ‎∴AO==2，即⊙O的半径为2. ‎ ‎21．（满分13分）如图1，点O在线段AB上，AO=2，OB=1，OC为射线，且∠BOC=60°，动点P以每秒2个单位长度的速度从点O出发，沿射线OC做匀速运动，设运动时间为t秒.‎ ‎（1）当t=秒时，则OP= ，S△ABP= ；‎ ‎（2）当△ABP是直角三角形时，求t的值；‎ ‎（3）如图2，当AP=AB时，过点A作AQ∥BP，并使得∠QOP=∠B，求证：AQ·BP=3. ‎ ‎【答案】解：（1）1，；‎ ‎（2）①∵∠A<∠BOC=60°，‎ ‎∴∠A不可能是直角.‎ ‎②当∠ABP=90°时，‎ ‎∵∠BOC=60°，‎ ‎∴∠OPB=30°.‎ ‎∴OP=2OB，即2t=2.‎ ‎∴t=1.‎ ‎③当∠APB=90°时，作PD⊥AB，垂足为D，则∠ADP=∠PDB=90°.‎ ‎∵OP=2t，‎ ‎∴OD=t，PD=t，AD=2+t，BD=1-t（△BOP是锐角三角形）.‎ 解法一：∴BP2=（1-t）2 +3t2，AP2=(2+t)2+3t2.‎ ‎∵BP2+AP2=AB2，‎ ‎∴(1-t)2+3t2+(2+t)2+3t2=9，‎ 即4t2+t-2=0.‎ 解得t1=，t2= （舍去）.‎ 解法二：∵∠APD+∠BPD=90°，∠B+∠BPD=90°，‎ ‎∴∠APD=∠B.‎ ‎∴△APD∽△PBD.‎ ‎∴ ‎ ‎∴PD2=AD·BD.‎ 于是(t)2=(2+t)(1-t)，即 4t2+t-2=0.‎ 解得t1=，t2= （舍去）.‎ 综上，当△ABP为直角三角形时，t=1或.‎ ‎（3）解法一：∵AP=AB，‎ ‎∴∠APB=∠B.‎ 作OE∥AP，交BP于点E，‎ ‎∴∠OEB=∠APB=∠B.‎ ‎∵AQ∥BP，‎ ‎∴∠QAB+∠B=180°.‎ 又∵∠3+∠OEB=180°，‎ ‎∴∠3=∠QAB.‎ 又∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，‎ 已知∠B=∠QOP，‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∴△QAO∽△OEP.‎ ‎∴，即AQ·EP=EO·AO.‎ ‎∵OE∥AP，‎ ‎∴△OBE∽△ABP.‎ ‎∴.‎ ‎∴OE=AP=1，BP=EP.‎ ‎∴AQ·BP=AQ·EP=AO·OE=´2´1=3.‎ 解法二：连接PQ，设AP与OQ相交于点F.‎ ‎∵AQ∥BP，‎ ‎∴∠QAP=∠APB.‎ ‎∵AP=AB，‎ ‎∴∠APB=∠B.‎ ‎∴∠QAP=∠B.‎ 又∵∠QOP=∠B，‎ ‎∴∠QAP=∠QOP.‎ ‎∵∠QFA=∠PFO，‎ ‎∴△QFA∽△PFO.‎ ‎∴，即.‎ 又∵∠PFQ=∠OFA，‎ ‎∴△PFQ∽△OFA.‎ ‎∴∠3=∠1.‎ ‎∵∠AOC=∠2+∠B=∠1+∠QOP，‎ 已知∠B=∠QOP，‎ ‎∴∠1=∠2.‎ ‎∴∠2=∠3.‎ ‎∴△APQ∽△BPO.‎ ‎∴.‎ ‎∴AQ·BP=AP·BO=3´1=3. ‎ ‎22.（满分14分）如图，抛物线y=(x-3)2-1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D了.‎ ‎（1）求点A，B，D的坐标；‎ ‎（2）连接CD，过原点O作OE⊥CD，垂足为H，OE与抛物线的对称轴交于点E，连接AE，AD.求证：∠AEO=∠ADC；[来源:学科网]‎ ‎（3）以（2）中的点E为圆心，1为半径画圆，在对称轴右侧的抛物线上有一动点P，过点P作⊙E的切线，切点为Q，当PQ的长最小时，求点P的坐标，并直接写出点Q的坐标. ‎ ‎【答案】（1）顶点D的坐标为（3，-1）.‎ 令y=0，得(x-3)2-1=0，‎ 解得x1=3+，x2=3-.‎ ‎∵点A在点B的左侧，‎ ‎∴A点坐标(3-，0)，B点坐标（3+，0）.‎ ‎（2）过D作DG⊥y轴，垂足为G.‎ 则G（0，-1），GD=3.‎ 令x=0，则y=，∴C点坐标为（0，）.‎ ‎∴GC=-(-1)=.‎ 设对称轴交x轴于点M.‎ ‎∵OE⊥CD，‎ ‎∴∠GCD+∠COH=90°.‎ ‎∵∠MOE+∠COH=90°，‎ ‎∴∠MOE=∠GCD.‎ 又∵∠CGD=∠OMN=90°，‎ ‎∴△DCG∽△EOM.[来源:学科网ZXXK]‎ ‎∴.‎ ‎∴EM=2，即点E坐标为(3，2)，ED=3.‎ 由勾股定理，得AE2=6，AD2=3，‎ ‎∴AE2+AD2=6+3=9=ED2.‎ ‎∴△AED是直角三角形，即∠DAE=90°.‎ 设AE交CD于点F.‎ ‎∴∠ADC+∠AFD=90°.‎ 又∵∠AEO+∠HFE=90°，‎ ‎∴∠AFD=∠HFE，‎ ‎∴∠AEO=∠ADC.‎ ‎（3）由⊙E的半径为1，根据勾股定理，得PQ2=EP2-1.‎ 要使切线长PQ最小，只需EP长最小，即EP2最小.‎ 设P坐标为（x，y），由勾股定理，得EP2=(x-3)2+(y-2)2.‎ ‎∵y=(x-3)2-1，‎ ‎∴(x-3)2=2y+2.‎ ‎∴EP2=2y+2+y2-4y+4‎ ‎ =(y-1)2+5.‎ 当y=1时，EP2最小值为5.‎ 把y=1代入y=(x-3)2-1，得(x-3)2-1=1，‎ 解得x1=1，x2=5.‎ 又∵点P在对称轴右侧的抛物线上，‎ ‎∴x1=1舍去.‎ ‎∴点P坐标为(5，1).‎ 此时Q点坐标为（3，1）或(). ‎