2018-2019学年三湘教育联盟下学期高二期中考试数学试题（解析版）

2018-2019学年三湘教育联盟下学期高二期中考试数学试题（解析版）

2018-2019 学年三湘教育联盟下学期高二期中考试数学试题 一、单选题 1．已知集合 ，则 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】先求 ，再求 ． 【详解】 由已知得 ，所以 ，故选 C． 【点睛】 本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】首先解一元二次不等式 ，然后根据充分不必要条 件即可判断. 【详解】 由 ，则 ， 可知“ ”是“ ”的充分不必要条件， 故选：A 【点睛】 本题主要考查充分不必要条件的含义，属于基础题. 3．在等差数列 中, ，则 （ ） A．5 B．8 C．10 D．14 【答案】B 【解析】试题分析：设等差数列 的公差为 ，由题设知， ，所以， { } { } { }1,2,3,4,5,6,7 2,3,4,5 2,3,6,7U A B= = =， ， CUB A { }1,6 { }1,7 { }6,7 { }1,6,7 U A UB A∩ { }1,6,7UC A = UB C A∩ = {6,7} x∈R 0 2x< < 2 2 3 0x x− − < 2 2 3 0 1 3x x x− − < ⇒ − < < 2 2 3 0x x− − < 1 3x- < < 0 2x< < 2 2 3 0x x− − < { }na 1 3 52, 10a a a= + = 7a = { }na d 12 6 10a d+ = 110 2 16 ad −= = 所以， 故选 B. 【考点】等差数列通项公式. 4．已知向量 ＝(1，0)， ＝(-3，4)的夹角为 ，则 sin2 等于 (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】首先根据向量夹角公式求出 的值，然后求出 ，最后根据二倍角正弦 公式即可得出结果. 【详解】 ， ∵ ， ∴ ， ，故选 C. 【点睛】 本题主要考查了向量夹角的计算以及二倍角正弦公式的应用，属于中档题. 5．已知圆柱的高为 ，它的两个底面的圆周在半径为 的同一个球的球面上.则球的体 积与圆柱的体积的比值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据圆柱的底面半径、球的半径与球心到圆柱底面的距离构成直角三角形求出 圆柱的底面半径为 ，再有体积公式求出圆柱的体积与球的体积即可. 【详解】 设圆柱的底面半径为 ，则 ， 所以圆柱的体积为 ， 又球的体积为 7 1 6 2 6 8a a d= + = + = a b θ θ 7 25 − 7 25 24 25 − 24 25 cosθ sinθ 3 3cos 1 5 5 a b a b θ ⋅= = − = −×⋅    0 θ π≤ ≤ 2 4sin 1 cos 5 θ θ= − = 24sin 2 2sin cos 25 θ θ θ= = − 2 2 4 3 9 16 3 4 16 9 r r 2 22 1 3r = − = 2 1 ( 3) 2 6V π π= ⋅ × = 3 2 4 3223 3V = π× = π 所以球的体积与圆柱的体积的比 故选：D 【点睛】 本题主要考查几何体的体积，需熟记公式，属于基础题. 6．以下四个命题： ①“若 ，则 ”的逆否命题为真命题 ②“ ”是“函数 在区间 上为增函数”的充分不必要条件 ③若 为假命题，则 ， 均为假命题 ④对于命题 ： ， ，则 为： ， 其中真命题的个数是（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【解析】①由原命题与逆否命题同真同假即可判断； ②由函数 在区间 上为增函数”，则 ，即可判断； ③由若 为假命题，则 ， 至少有一个为假命题即可判断出正误； ④由 的定义即可判断出正误； 【详解】 对于①，由于原命题“若 ，则 ”为真命题，即逆否命题也为真命题，故① 对； 对于②，“ ”是“函数 在区间 上为增函数”为真命题，但“函 数 在区间 上为增函数”，则 ，故②对； 对于③，若 为假命题，则 ， 至少有一个为假命题即可，故③错； 对于④， 对于命题 ： ， ，由 的定义可知 ： ， ，故④对； 故选：C 【点睛】 本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题. 2 1 32 163 6 9 V V π π= = x y= 2 2x y= 2a = ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ p q∧ p q p 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x+ + < p¬ x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + ≥ ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ 1a > p q∧ p q p¬ x y= 2 2x y= 2a = ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ ( ) logaf x x= ( )0, ∞+ 1a > p q∧ p q p 0x R∃ ∈ 2 0 0 1 0x x+ + < p¬ p¬ x R∀ ∈ 2 1 0x x+ + ≥ 7．意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”： ，即 ，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用．若此数 列被 2 整除后的余数构成一个新数列 ，则数列 的前 2019 项的和为（ ） A．672 B．673 C．1346 D．2019 【答案】C 【解析】求出已知数列除以 2 所得的余数，归纳可得 是周期为 3 的周期数列，求 出一个周期中三项和，从而可得结果. 【详解】 由数列 各项除以 2 的余数， 可得 为 ， 所以 是周期为 3 的周期数列， 一个周期中三项和为 ， 因为 ， 所以数列 的前 2019 项的和为 ， 故选 C. 【点睛】 本题主要考查归纳推理的应用，考查了递推关系求数列各项的和，属于中档题.利用递 推关系求数列中的项或求数列的和：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2） 项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列. 8．已知变量 、 之间的线性回归方程为 ，且变量 、 之间的一- 组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（ ） A．可以预测，当 时， B． 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1, 1 2F F F n F n F n= = = − + − ( )3,n n N ∗≥ ∈ { }na { }na { }na 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,... { }na 1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,... { }na 1 1 0 2+ + = 2019 673 3= × { }na 673 2 1346× = x y 0.7 10.3y x= − + x y x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 20x = 3.7y = − 4m = C．变量 、 之间呈负相关关系 D．该回归直线必过点 【答案】B 【解析】将 的值代入回归直线方程可判断出 A 选项的正误；将 的坐标代 入回归直线方程可计算出实数 的值，可判断出 B 选项的正误；根据回归直线方程的 斜率的正负可判断出 C 选项的正误；根据回归直线过点 可判断出 D 选项的正误. 【详解】 对于 A 选项，当 时， ，A 选项正确； 对于 B 选项， ， ，将点 的坐标 代入回归直线方程得 ，解得 ，B 选项错误； 对于 C 选项，由于回归直线方程的斜率为负，则变量 、 之间呈负相关关系，C 选项 正确； 对于 D 选项，由 B 选项可知，回归直线 必过点 ，D 选项正确.故 选：B. 【点睛】 本题考查回归直线方程有关命题的判断，解题时要熟悉与回归直线有关的结论，考查分 析问题和解决问题的能力，属于基础题. 9．将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图 象，则下列说法正确的是 (　　　) A．函数 的最小正周期是 B．函数 的图象关于直线 对称 C．函数 在 上单调递减 D．函数 在 上的最大值是 1 【答案】C 【解析】求出函数的周期判断 A 的正误；函数的对称轴判断 B 的正误；函数的单调性 判断 C 的正误；函数的最值判断 D 的正误； 【详解】 由题意知： ，最小正周期 T ，选项 A 错误; 当 时， ， x y ( )9,4 20x = ( ),x y m ( ),x y 20x = 0.7 20 10.3 3.7y = − × + = − 6 8 10+12 92x + += = 6 3 2 11 4 4 m my + + + += = ( ),x y 11 0.7 9 10.3 44 m + = − × + = 5m = x y 0.7 10.3y x= − + ( )9,4 ( ) 2sin(2 ) 16f x x π= − − 6 π ( )g x ( )g x 2 π ( )g x 12x π= − ( )g x ,6 2 π π     ( )g x 0, 6 π     ( ) 2sin(2 ) 16g x x π= + − 2 2 π π= = 12x π= − 112g π − = −   即函数 的图象关于点 对称，选项 B 错误； 当 时， ， ∴函数 在 上单调递减，选项 C 正确; ∵函数 在 上单调递增， ， 即函数 在 上没有最大值， ∴选项 D 错误，故选 C. 【点睛】 本题考查三角函数的简单性质，最值、单调性、周期以及单调性，考查命题的真假的判 断，属于中档题． 10．已知命题 ：“ ， ”，命题 ：“关于 的方程 有正实数解”.若“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，进行分了讨论，由此求得实数 的取值范围. 【详解】 当 真时， ，解得 或 . 当 真时， 时， ，所以关于 的方程 有正实数解，可得 . 由于“ 或 ”为真命题，“ 且 ”为假命题，所以 一真一假. 当 真 假时， “ 或 ”且“ ”，所以 . 当 假 真时，“ ”且“ ”，所以 . 综上所述，实数 的取值范围是 . 故选：B. ( )g x ( , 1)12 π− − ( , )6 2x π π∈ 72 ( , )6 2 6x π π π+ ∈ ( )g x ,6 2 π π     ( )g x 0, 6 π     ( ) ( ) 16g x g π< = ( )g x 0, 6 π     p 0x R∃ ∈ 2 0 0 2 5 0x tx t+ + + < q x 2 0x t− = p q p q t [ ]1,10 ( ) ( ], 2 1,10−∞ −  [ ]2,10− ( ) ( ], 2 0,10−∞ −  p q p q t p ( ) ( )( )2 24 2 5 8 20 2 10 0t t t t t t∆ = − + = − − = + − > 2t < − 10t > q 0x > 2 0x > x 2 0x t− = 2 1xt = > p q p q ,p q p q 2t < − 10t > 1t ≤ 2t < − p q 2 10t− ≤ ≤ 1t > 1 10t< ≤ t ( ) ( ], 2 1,10−∞ −  【点睛】 本小题主要考查根据含有逻辑联结词的命题的真假性求参数的取值范围，属于基础题. 11．已知 ， ，且 .若不等式 对任意 实数 恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】首先根据不等式 恒成立求得 的取值范 围.然后结合“ ”代换的方法以及基本不等式，求得实数 的取值范围. 【详解】 由于不等式 对任意实数 恒成立，即 恒成立，而 ，所以 ①.由于 ， .所以 ，解得 . 故选 D. 【点睛】 本小题主要考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围，考查利用“1”的代换的方法 和基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题. 12．如图， 是某防汛抗洪大坝的坡面，大坝上有一高为 20 米的监测塔 ，若某 科研小组在坝底 点测得 ，沿着坡面前进 40 米到达 点，测得 ，则大坝的坡角（ ）的余弦值为（ ） 1a > 1b > 1 1 11 1a b + =− − 24 4 16a b x x m+ − + + − x m [ )3,+∞ ( ],3−∞ ( ],6−∞ [ )6,+∞ 24 4 16a b x x m+ − + + − 4a b m+ + 1 m 24 4 16a b x x m+ − + + − x 24 4 16a b m x x+ + ≥ − + + ( )22 4 16 2 20 20x x x− + + = − − + ≤ 4 20a b m+ + ≥ 1 0, 1 0a b− > − > ( )4 1 4 1 5a b a b+ = − + − + ( ) ( ) 1 11 4 1 51 1a b a b  = − + − + +    − −  ( ) ( )4 1 4 11 110 10 21 1 1 1 b ba a a b a b − −− −= + + ≥ + ⋅− − − − 10 4 14= + = 14 20m+ ≥ 6m ≥ AD BD A 15BAD∠ =  E 45BED∠ =  DAC∠ A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由 ， ，可得 ，在 中，由正弦 定理得 ，在 中，由正弦定理得 ，进而 由 可得结果. 【详解】 因为 ， ，所以 . 在 中，由正弦定理得 ，解得 . 在 中，由正弦定理得 ， 所以 . 又 ，所以 ， 所以 . 故选：A. 【点睛】 本题考查正弦定理解三角形，考查诱导公式，考查学生合理进行边角转化的能力，属于 中档题. 二、填空题 13．已知函数 ，则 _______. 【答案】 【解析】由函数 求出 ， ，由此能求出 的值. 【详解】 3 1− 3 1 2 − 2 1− 2 1 2 − 15BAD∠ =  45BED∠ =  30ABE∠ =  ABE∆ ( )20 6 2BE = − BED∆ sin 3 1BDE∠ = − ( )sin sin 90BDE DAC∠ = ∠ +  15BAD∠ =  45BED∠ =  30ABE∠ =  ABE∆ sin30 sin15 AE BE=   ( )20 6 2BE = − BED∆ sin sin 45 BE BD BDE =∠  ( ) 220 6 2 2sin 3 120BDE − × ∠ = = − 90ACD∠ =  ( )sin sin 90BDE DAC∠ = ∠ +  cos 3 1DAC∠ = − ( ) 2 2 , 1 1, 1 x xf x x x  >=  + ≤ ( ) ( )2 1f f− = 2 ( ) 2 2 , 1 1, 1 x xf x x x  >=  + ≤ (2) 4f = (1) 1 1 2f = + = ( ) ( )2 1f f− 函数 ， ， ， 故答案为： 【点睛】 本题考查分段函数求值，属于基础题. 14．已知 ， 是方程 的两个实数根，则 _______. 【答案】 【解析】根据根与系数之间的关系得到 和 的值，利用两角和 的正切公式进行计算即可. 【详解】 ， 是方程 的两个实数根， ， ， 由 ， 故答案为： 【点睛】 本题主要考查正切的两角和的公式，需熟记公式. 15．已知 ，且 ，则 的最小值为_____________. 【答案】 【解析】由题意首先求得 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最 终结果，注意等号成立的条件. 【详解】 由 可知 ， 且： ，因为对于任意 ， 恒成立，  ( ) 2 2 , 1 1, 1 x xf x x x  >=  + ≤ ∴ (2) 4f = (1) 1 1 2f = + = ( ) ( )2 1 4 2 2f f∴ − = − = 2 tanα tan β 22 3 5 0x x+ − = ( )tan α β+ = 3 7 − tan tanα β+ tan tanα β  tanα tan β 22 3 5 0x x+ − = 3tan tan 2 α β∴ + = − 5tan tan 2 α β = − ( ) 3 tan tan 2 5tan t 3tan 1 7a 21n α α β α ββ+ = = = −−  −   −+ − 3 7 − , Ra b∈ 3 6 0a b− + = 12 8 a b + 1 4 3a b− 3 6 0a b− + = 3 6a b− = − 312 2 28 a a b b −+ = + x 2 0x > 结合均值不等式的结论可得： . 当且仅当 ，即 时等号成立. 综上可得 的最小值为 . 【点睛】 在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为 正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出 现错误． 16．在平面直角坐标系 中，已知圆 ， ，动点 在直线 上，过 点分别作圆 的切线，切点分别为 ，若满足 的点 有且只有两个，则实数 的取值范围是________． 【答案】 . 【解析】设出点的坐标，将原问题转化为直线与圆相交的问题，求解关于b 的不等式即 可求得实数 的取值范围. 【详解】 由题意 O(0,0),O1(4,0).设 P(x,y)，则 ∵PB=2PA， ， ∴(x−4)2+y2=4(x2+y2)， ∴x2+y2+ =0， 圆心坐标为 ,半径为 ， ∵动点 P 在直线 x+ y−b=0 上，满足 PB=2PA 的点 P 有且只有两个， ∴直线与圆 x2+y2+ =0 相交， ∴圆心到直线的距离 ， ∴ ， 即实数 的取值范围是 . 3 3 6 12 2 2 2 2 2 2 4 a b a b− − −+ ≥ × × = × = 32 2 3 6 a b a b − =  − = − 3 1 a b = −  = 12 8 a b + 1 4 xOy 2 2: 1O x y+ = ( )2 2 1 : 4 4O x y− + = P 3 0x y b+ − = P 1,O O ,A B 2PB PA= P b 20( ,4)3 − b ( )2 2 2 24 4 2 1x y x y∴ − + − = + − 8 16 3 3x − 4 ,03  −   8 3 3 8 16 3 3x − 4 83 31 3 b d − − = < + 4 16 4 16 3 3 3 3b− − < < − + b 20 ,43  −   【点睛】 本题主要考查圆的方程及其应用，等价转化的数学思想，直线与圆是位置关系的应用等 知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 三、解答题 17．已知 是各项均为正数的等比数列， ， . （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，求数列 的前 项和 . 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由等比数列的通项公式求出 即可求解. （2）由（1）求出 的通项公式，再有裂项相消法求和即可. 【详解】 解：（1）由已知： ， 即 ，所以 或 （舍去）， （2）由（1）知： 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式以及裂项相消法求和，属于中档题. 18．2018 年，教育部发文确定新高考改革正式启动，湖南、广东、湖北等 8 省市开始 实行新高考制度，从 2018 年下学期的高一年级学生开始实行.为了适应新高考改革，某 校组织了一次新高考质量测评，在成绩统计分析中，高二某班的数学成绩的茎叶图和频 率分布直方图因故都受到不同程度的损坏，但可见部分如下，据此解答如下问题： { }na 1 2a = 3 22 16a a= + { }na 2logn nb a= 1 1 n nb b +    ⋅  n nT 2 12 n na −= 2 1n nT n = + q nb 1 2a = 3 22 16a a= + ∴ 22 4 16q q= + 2 2 8 0q q− − = 4q = 2q = − ∴ 1 1 2 1 1 2 4 2n n n na a q − − −= = × = 2logn nb a= = 2 1 2log 2 2 1n n− = − ∴ ( )( )1 1 1 2 1 2 1n nb b n n+ = =⋅ − + 1 1 1 2 2 1 2 1n n  − − +  1 2 2 3 1 1 1 1 n n n T b b b b b b + = + +⋅⋅⋅+⋅ ⋅ ⋅ 1 1 1 1 1 112 3 3 5 2 1 2 1n n  = − + − + + − = − +  1 112 2 1 2 1 n n n  − = + +  （1）求该班数学成绩在 的频率及全班人数； （2）根据频率分布直方图估计该班这次测评的数学平均分； （3）若规定 分及其以上为优秀，现从该班分数在 分及其以上的试卷中任取 份 分析学生得分情况，求在抽取的 份试卷中至少有 份优秀的概率. 【答案】（1）频率为 ，全班人数为 .（2）73.8；（3） 【解析】（1）由频率分布直方图小矩形的面积即为频率，频数 频率即得出全班人数. （2）根据频率分布图平均数 每个小矩形底边中点横坐标 小矩形的面积，代入数据 即可求解. （3）列出基本事件，根据古典概型的概率求法即可求解. 【详解】 （1）频率为 ，频数=2，所以全班人数为 . （2）估计平均分为： . （3）由已知得 的人数为：（0.16+0.08） . 设分数在 的试卷为 ， ， ， ，分数在 的试卷为 ， . 则从 份卷中任取 份，共有 个基本事件， 分别是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 其中至少有一份优秀的事件共有 个， 分别是 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在抽取的 份试卷中至少有 份优秀的概率为 . 【点睛】 本题考查了茎叶图、频率分布直方图以及古典概型的概率，属于综合性题目. 19．在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 asin B＝－bsin . (1)求 A； [ )50,60 90 80 2 2 1 0.08 25 3 5 ÷ = × 0.08 2 0.08 = 25 55 0.08 65 0.28 75 0.4× + × + × + 85 0.16 95 0.08 73.8× + × = [ )80,100 0.16 0.08 25+ × =（ ） 4 2 6+ = [ )80,90 A B C D [ ]90,100 a b 6 2 15 AB AC AD Aa Ab BC BD Ba Bb CD Ca Cb Da Db ab 9 Aa Ab Ba Bb Ca Cb Da Db ab ∴ 2 1 9 3 15 5P = = 3A π +   (2)若△ABC 的面积 S＝ c2，求 sin C 的值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）利用正弦定理化简已知等式即得 A= .(2)先根据△ABC 的面积 S＝ c2 得到 b＝ c， 再利用余弦定理得到 a＝ c，再利用正弦定理求出 sin C 的值． 【详解】 (1)因为 asin B＝－bsin ，所以由正弦定理得 sin A＝－sin ， 即 sin A＝－ sin A－ cos A，化简得 tan A＝－ ， 因为 A∈(0，π)，所以 A＝ . (2)因为 A＝ ，所以 sin A＝ ，由 S＝ c2＝ bcsin A＝ bc，得 b＝ c， 所以 a2＝b2＋c2－2bccos A＝7c2，则 a＝ c，由正弦定理得 sin C＝ . 【点睛】 本题主要考查三角恒等变换，考查正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知 识的掌握水平和分析推理计算能力. 20．如图，在三棱柱 中， 底面 ， 、 、 、 分别为 ， 、 、 ，的中点，且 ， ， . （1）证明： 平面 ； 3 4 5 6 π 7 14 5 6 π 3 4 3 7 )3A π+（ )3A π+（ 1 2 3 2 3 3 5 6 π 5 6 π 1 2 3 4 1 2 1 4 3 7 sin 7 14 c A a = 1 1 1ABC A B C− 1CC ⊥ ABC D E F G 1AA AC 1 1AC 1BB 5AB BC= = 2 3AC = 1 15AA = AF  1BEC （2）证明： ； （3）求直线 与平面 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【解析】（1）根据题意由 ， ，证出 即可证出 平 面 ； （2）先证出 平面 ，再有 平面 即可证出 ； （3）过 作 于点 ，连接 ，可证出 就是所求的角，在三角形 中求解即可； 【详解】 （1）连接 ， ， 分别为 ， 的中点且 ， ， 四边形 是平行四边形， 又 平面 ， 平面 ， 平面 . （2）在三棱柱 中， 平面 ， 四边形 为矩形． AC FG⊥ BD 1BEC 3 14 14 1FC AE 1FC AE= 1AF EC AF  1BEC AC ⊥ BEF FG ⊂ BEF AC FG⊥ D 1DO C E⊥ O BO DBO∠ AF  E F AC 1 1AC 1 1AC AC 1 1AC AC= ∴ 1FC AE 1FC AE= ∴ 1AEC F ∴ 1AF EC AF ⊄ 1BEC 1EC ⊂ 1BEC ∴ AF  1BEC 1 1 1ABC A B C−  1CC ⊥ ABC ∴ 1 1A ACC 又 ， 分别为 ， 的中点， ． ． ， 平面 ． 又 是 中点， ， 在平面 内 ， . （3）过 作 于点 ，连接 ， 易证 平面 ， ， 平面 从而 就是所求的角. 由平面几何知识计算得， ， . 直线 与平面 所成的角的正弦值为 【点睛】 本题考查了立体几何中线面平行、异面直线垂直、线面角，要证线面平行，则要证线线 平行；证明异面直线垂直，需证线面垂直；求线面角的步骤“作、证、求”，此题是立体 几何的综合性题目. 21．已知数列 的前 项和为 ，且 ，函数 对任意的 都有 ，数列 满足 … . （1）求数列 ， 的通项公式； （2）若数列 满足 ， 是数列 的前 项和，是否存在正实数 ，对 于任意 ，不等式 ，恒成立？若存在，请求出 的取值 范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） . ；（2）存在， 【解析】（1）由 求 ，根据 得 ，再有 得 即可求出 的通项公式；由 ， 根据倒序相加法可求 . E F AC 1 1AC ∴ AC EF⊥  AB BC= ∴ AC BE⊥ ∴ AC ⊥ BEF G 1BB 1BB EF ∴ G BEF ∴ AC FG⊥ D 1DO C E⊥ O BO BE⊥ 1 1ACC A ∴ DO BE⊥ ∴ DO ⊥ 1BEC DBO∠ 35 2BD = 3 10 sin4DO DBO= ⇒ ∠ = 3 14 14 DO BD = ∴ BD 1BEC 3 14 14 { }na n nS 2 2 0n nS a− + = ( )f x x∈R ( ) ( )1 1f x f x+ − = { }nb ( ) 1 20nb f f fn n    = + + +       ( )1 1nf fn −  +   { }na { }nb { }nc n n nc a b= ⋅ nT { }nc n k n ∗∈N ( )2 9 26 4n nk n n T nc− + > k 2n na = 1 2n nb += ( )2,+∞ nS na 2 2 0n nS a− + = 2 2n nS a= − 1 12 2n n n nS S a a− −− = − 12n na a −= na ( ) ( )1 1f x f x+ − = nb （2）用分离参数法，根据（1）由 得 ，令 求出 即可. 【详解】 解：（1） 即 当 时， ， 当 时， ， ，即 是等比数列，首项为 ，公比为 ， . ， . … . … . ①+②，得 ， （2） ， … . ① … ② ①－②得 … 即 . 要使得不等式 恒成立， 恒成立 对于一切的 恒成立， 即 ，令 ， ( )2 9 26 4n nk n n T nc− + > ( ) 2 2 1 9 26 nk n n +> − + ( ) ( ) ( )* 2 2 1 9 26 ng n n Nn n += ∈− + ( )max 2g n =  2 2 0n nS a− + = 2 2n nS a= − 1n = 1 12 2S a= − ∴ 1 2a = 2n ≥ 1 12 2n nS a− −= − ∴ 1 12 2n n n nS S a a− −− = − 12n na a −= ∴{ }na 1 2a = 2 ∴ 2n na =  ( ) ( )1 1f x f x+ − = ∴ 1 1 1nf fn n −   + =        ( ) 1 20nb f f fn n    = + + +       ( )1 1nf fn − + +   ∴ ( ) 1 21n n nb f f fn n − −   = + + +       ( )01f n f + +   ∴ 2 1nb n= + ∴ 1 2n nb +=  n n nc a b= ⋅ ∴ ( ) 11 2n nc n −= + ⋅ ∴ 0 1 22 2 3 2 4 2nT = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ( ) 11 2nn −+ + ⋅ 1 2 32 2 2 3 2 4 2nT = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ( )12 1 2n nn n−+ ⋅ + + ⋅ 1 22 2 2nT− = + + + ( )12 1 2n nn−+ − + ⋅ 2n nT n= ⋅ ( )2 9 26 4n nk n n T nc− + >  ( )2 9 26 0nn n T− + > ∴ ( )2 4 9 26 n n nck n n T > − + *n N∈ ( ) 2 2 1 9 26 nk n n +> − + ( ) ( ) ( )* 2 2 1 9 26 ng n n Nn n += ∈− + 则 当且仅当 时等号成立，故 . 故 的取值范围为 . 【点睛】 本题考查由 求 的通项公式，倒序相加法求通项公式以及分离参数法求参数的取值 范围，综合性比较强. 22．若函数 对定义域内的每一个值 ，在其定义域内都存在唯一的 ，使 成立，则称该函数为“依赖函数”. （1）判断函数 是否为“依赖函数”，并说明理由； （2）若函数 在定义域 （ ）上为“依赖函数”，求 的取 值范围； （3）已知函数 在定义域 上为“依赖函数”.若存在实数 ，使得对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的最大值. 【答案】（1）不是“依赖函数”，见解析；（2） （3）实数 的最大值为 . 【解析】（1）利用 时， 不可能成立，判断出 不是“依赖函数”. （2）结合指数型函数的单调性，利用“依赖函数”的定义，求得 ，由此将 转化为 ，然后结合二次函数的单调性，求得 的取值范围. （3）根据 与区间 的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的性质以及“依赖函 数”的定义，求得 的值.由此化简不等式 为以 为主变量的形 式.利用判别式得到 ，结合存在性问题，由 的最大值， ( ) ( ) ( ) ( )2 2 1 1 11 1 36 ng n n n += = + − + + ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 236 361 11 2 1 111 1 n nn n ≤ = + − + + ⋅ −+ + 5n = ( )max 2g n = k ( )2,+∞ nS na ( )y f x= 1x 2x ( ) ( )1 2 1f x f x = ( ) cosg x x= ( ) 13xf x -= [ ],m n 0n m> > mn ( ) ( )2 4 3h x x a a = −    4 ,43      4 ,43x  ∈   t R∈ ( ) ( )2 4h x t s t x− + − + s ( )0,1mn∈ s 41 12 1 3x π= 2cos 2x = ( )g x 2n m= − mn ( )2m m− mn a 4 ,43      a ( ) ( )2 4h x t s t x− + − + t 26 5324 33 9s x x  + ≤ +   5323 9x x + 求得 的取值范围，从而求得 的最大值. 【详解】 （1）对于函数 的定义域 内存在 ， 则 ，无解，故 不是“依赖函数”. （2）因为 在 递增，故 ，即 ， 由 ，故 ，得 ， 从而 在 上单调递增，故 ， （3）①若 ，故 在 上最小值为 0，此时不存在 ，舍 去； ②若 故 在 上单调递减， ∴ ，解得 （舍）或 . ∴存在 ，使得对任意的 ，有不等式 都成 立， 即 恒成立，由 ， 得 ，由 ，可得 ， 又 在 单调递减，故当 时， ， 从而 ，解得 ， 综上，故实数 的最大值为 . 【点睛】 本小题主要考查新定义函数概念的理解和运用，考查余弦函数函数值的特点，考查指数 s s ( ) cosg x x= R 1 3x π= ( )2 2cos 2g x x= = ( ) cosg x x= ( ) 13xf x -= [ ],m n ( ) ( ) 1f m f n = 1 13 3 1m n− − = 2m n+ = 0n m> > 2 0n m m= − > > 0 1m< < ( )2mn m m= − ( )0,1m∈ ( )0,1mn∈ 4 43 a≤ < ( ) ( )2h x x a= − 4 ,43      2x 4a ≥ ( ) ( )2h x x a= − 4 ,43      ( )4 4 13h h ⋅ =   1a = 13 3a = 4 ,43x  ∈   t R∈ ( )2 213 43x t s t x − ≥ − + − +   2 2 26 133 03 9t xt x s x + + − + + ≥   2 2 26 1334 03 9x x s x   ∆ = − − + + ≤     2 532 9 264 33s x x + ≤  +   4 ,43x  ∈   26 5324 33 9s x x  + ≤ +   5323 9y x x = + 4 ,43x  ∈   4 3x = max 532 1453 9 3x x  + =   26 1454 3 3s + ≤   41 12s ≤ s 41 12 型函数的单调性，考查存在性与恒成立结合而成的问题的求解，考查化归与转化的数学 思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.